「初中數(shù)學(xué)」利用對稱求線段和最值

「初中數(shù)學(xué)」利用對稱求線段和最值用軸對稱思想解決線段最值問題是常用的方法，本質(zhì)是利用三角形三邊關(guān)系或兩點之間線段最短解決問題，即化折為直。常見的類型筆者歸納為五種：即兩定一動型，一定兩動型，兩定兩動型，兩定滑動型（架橋），三動型等類型一：兩定一動型【模型介紹】已知直線l同側(cè)有A,B兩點，在l上找一點P，使得PA+PB最小。作法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A',連接A'B，與直線l的交點就是點P，線段A'B的長度即為最小值。驗證：如圖，AQ+BQ=A'Q+BQ>A'B【例1】如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2，AB=3BE，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值是__________.【分析】這是兩定一動模型，需要作一個定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，根據(jù)本題圖形特征，B點關(guān)于AC的對稱點恰好是C點，連接CE，CE即為所求的最小值?！敬鸢浮?0【例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，1），B（5，5），P是x軸上一動點，當(dāng)PA+PB值最小時，求點P坐標(biāo)【分析】這是兩定一動模型，作A點關(guān)于x軸的對稱點A'，A'B與x軸的交點即為P，P點坐標(biāo)可以用直線解析式或勾股定理求，初三學(xué)生也可用相似?！敬鸢浮縋（2.5，0）類型二：一定兩動型【模型介紹】已知，在∠AOB內(nèi)有一點M，在邊OA,OB上分別找點P,Q，使MP+MQ+PQ最小。作法：作M關(guān)于OA的對稱點M‘，關(guān)于OB的對稱點M''，連接M'M''，交OA于點P，交OB于點Q，此時則MP+MP+PQ的值最小，最小值即為線段M'M''的長。驗證:如圖，OA上取一點P',OB上取一點Q'，連接M'P',M''Q',則MP'+MQ'+P'Q'=M'P'+M''Q'+P'Q'>M'M''(兩點之間線段最短)【例3】五邊形ABCDE中，∠A=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC、DE上分別找一點M、N，使得△AMN的周長最小，則△AMN周長的最小值為____.【分析】這是一定兩動模型，作點A關(guān)于BC的對稱點A’，關(guān)于ED的對稱點A''，連接A'A''，交BC于M，交ED于N，此時△AMN的周長最小，最小值即為A'A''的長。解含120°的△AA'A'‘即可求出A'A''?！敬鸢浮?√7。倘若追加一問：此時∠AMN+∠ANM=_____°，你能答對嗎？【例4】如圖，點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，BP=2，∠ABC=60°，分別在邊AB,BC上作出點M,N，使△PMN的周長最小，求這個最小值?！痉治觥窟@是一定兩動模型，作點P關(guān)于AB的對稱點P’，關(guān)于BC的對稱點P''，連接P'P''，交AB于M,交BC于N，此時△PMN的周長最小。在△BP'P''中，∠P'BP''=120°，BP'=BP=BP''=2，P'P''的長度很容易求。【答案】2√3【例5】如圖，在矩形ABCD中，AB=20，AC=10，若在AC,AB上各取一點M,N，求BM+MN的最小值?！痉治觥窟@是一定兩動型的變異模型，其變化在于：①定點與動點所在的直線在同一直線上，②求的是兩條線段和的最小值，而不是周長最小值。要使BM+MN的值最小，應(yīng)設(shè)法把折線BM+MN拉直(即化折為直)，從而想到用軸對稱性質(zhì)來做。畫出點B關(guān)于直線AC的對稱點B1，則B1N的長就是最小值；又因為N也是動點，所以，當(dāng)B1N⊥AB時這個值最小，利用勾股定理和三角形面積公式可以求得這個最小值，初三的同學(xué)也可以用相似或三角函數(shù)求解。【解答】作B點關(guān)于AC的對稱點B1,再過B1作AB的垂線，垂足為N，與AC的交點為M，此時BM+MN的值最小。類型三：兩定兩動型【模型介紹】在∠MON內(nèi)有兩點P,Q，在邊OM,ON上分別找點R,S，使得PR+RS+SQ+PQ最小。作法：作點P關(guān)于OM的對稱點P',點Q關(guān)于ON的對稱點Q'，連接P'Q'，與OM,ON的交點就是R,S，此時四邊形PRSQ的周長最小。驗證：在OM上取一點R‘，ON上取一點S’，則PR'+R'S'+QS'=P'R'+R'S'+S'Q'>P'Q'(兩點之間，線段最短)【例6】如圖，∠MON=30°，A在OM上，OA=2，D在ON，OD=4，C在OM上的任意一點，B是ON上的任意一點，則折線ABCD的最短長度為______.【分析】作D關(guān)于OM的對稱點D'，A關(guān)于ON的對稱點A‘，連接D'A'，交OM于C，交ON于B，則AB+BC+CD的值最小，最小值即為D'A'。此時∠D'OA'=90°，OD'=4,OA'=2，D'A'=2√5類型四：兩定滑動型（架橋）【模型介紹】在A和B兩地之間有一條河，現(xiàn)要在這條河上建一座橋CD，橋建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）作法：過點B作BB'垂直于河岸，且使BB'長等于這條河寬，連接AB'交河的一岸于點C，過點C作CD垂直于河岸，與另一岸交點D,則CD即為架橋最合適的位置。驗證：在河的兩岸任取一點C',D'，連接B'C'，易知四邊形BB'C'D'是平行四邊形，則AC'+C'D'+BD'=AC'+B'C'+BB'>AB'+BB'=AC+CD+DB（三角形的兩邊之和大于第三邊）【例7】如圖，在平面直角坐標(biāo)中，已知點A（0，2）、B（4，0），點C、D分別在直線x=1與x=2上，且CD∥x軸，則AC+CD+DB的最小值為______．【分析】這是典型的架橋問題，將B沿x軸向左平移一個單位到B’，連接AB'，交直線x=1于點C，交直線x=2于點D，此時AC+CD+DB的值最小，最小值為AB'+CD=√13+1.【例8】如圖，A、B是直線a同側(cè)的兩定點，定長線段PQ在a上平行移動，問PQ移動到什么位置時，AP+PQ+QB的長最短？【分析】本題與架橋問題有所區(qū)別，動線段不是在平行線間移動了，而是在一條直線上移動，故處理策略截然不同，需用軸對稱及平行四邊形的性質(zhì)化折為直。作AA'平行且等于PQ，再作A'關(guān)于直線a的對稱點A''，連接A''B，與直線a的交點為D，在D的左邊截取線段CD，使CD=PQ,則當(dāng)PQ移動到與CD重合的位置時，AP+PQ+QB的長最短。類型五：三動型【模型介紹】在直角△ABC中，∠B=90°，D,E,F分別是邊AB,BC,CA上的點，求DE+EF+DF的最小值。分析：首先假設(shè)F點固定，作關(guān)于AB,BC的對稱點F',F''（如圖1），則DE+EF+FD=DE+F'D+F''E，此時最小值就是線段F'F''的長。于是問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)F運動時，F(xiàn)'F''什么時候最短。將Rt△ABC補全為菱形（如圖2），發(fā)現(xiàn)F‘，F(xiàn)''是這個菱形對邊上的關(guān)于B中心對稱的對稱點，很容易發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)'F''的最短距離就是菱形對邊的距離，即菱形的高。此時（如圖3）F就是斜邊AC上的高的垂足點，D,E與B點重合。驗證：如圖所示，在AB,BC上任取點D,E，則FD+DE+EF=F'D+DE+EF''>F'F''(兩點之間線段最短)【例9】在直角△ABC中，∠B=90°，D,E,F分別是邊AB,BC,CA上的點，AB=3,BC=4,求DE+EF+DF的最小值?！敬鸢浮繕?gòu)造菱形，其對邊間距離為4.8，即DE+EF+DF的最小值為4.8【總結(jié)】兩定一動型是較為簡單的一種類型