山東省泰安市新泰市紫光實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年度期中學(xué)情檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試題

一、選擇題1．已知空間向量,,若,則()A.1 B. C. D.32．已知一對(duì)不共線的向量，的夾角為，定義為一個(gè)向量，其模長(zhǎng)為，其方向同時(shí)與向量，垂直（如圖1所示）.在平行六面體中（如圖2所示），下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.B.當(dāng)時(shí)，C.若，，則D.平行六面體的體積3．經(jīng)測(cè)得某拱橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造拱橋時(shí)每隔5米需用一根支柱支撐，則與OP相距30米的支柱MN的高度是（注：）()A.6.48米 B.4.48米 C.2.48米 D.以上都不對(duì)4．已知中，，角A的平分線交BC于點(diǎn)D，若，則面積的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.45．已知圓與圓相外切，則實(shí)數(shù)m的值為()A.1 B.2 C.3 D.46．已知圓的方程為，設(shè)該圓過點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A. B. C. D.7．在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)的距離為1，且與點(diǎn)的距離為2的直線共有()A.1條 B.2條 C.3條 D.4條8．“”是“兩點(diǎn)，到直線的距離相等”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、多項(xiàng)選擇題9．已知兩條平行直線：和：之間的距離小于，則實(shí)數(shù)m的值可能為()A.0 B.1 C.2 D.－110．已知圓，點(diǎn)，則下列說法正確的有()A.若點(diǎn)P在圓O上，則圓O在點(diǎn)P處的切線方程為B.若點(diǎn)P在圓O外，則直線與圓O相交C.若點(diǎn)P在圓O內(nèi)，則直線與圓O相交D.若點(diǎn)P在圓O外，則直線與圓O位置關(guān)系不確定11．“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，用以標(biāo)明兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總和，其定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)，的曼哈頓距離，則下列結(jié)論正確的是()A.若點(diǎn)，，則B.若點(diǎn)，，則在x軸上存在點(diǎn)P，使得C.若點(diǎn)，點(diǎn)P在直線上，則的最小值是3D.若點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在直線上，則的值可能是4三、填空題12．已知，設(shè)直線，，若，則________.13．點(diǎn)P為直線上任意一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則P到點(diǎn)的距離的最小值為___________.14．已知點(diǎn)（，）在圓和圓的公共弦上，則的最小值為________.四、解答題15．已知直線l經(jīng)過點(diǎn),圓.(1)若直線l與圓C相切,求直線l的方程;(2)若直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為,求直線l的方程.16．如圖,在四棱錐中,平面平面ABCD,,,,,,.（1）求證:平面PAB;（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;（3）在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得平面PCD？若存在,求的值;若不存在,說明理由.17．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是矩形，是等邊三角形，平面平面，，E為棱SA上一點(diǎn)，P為棱AD的中點(diǎn)，四棱錐的體積為.（1）若E為棱SA的中點(diǎn)，F(xiàn)是SB的中點(diǎn)，求證：平面平面SCD；（2）是否存在點(diǎn)E，使得平面PEB與平面SAD的夾角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.18．已知直線,直線．(1)若,求實(shí)數(shù)a的值;(2)若,求實(shí)數(shù)a的值．19．如圖,在四棱錐中,平面平面BCDE,,,,F是線段AD的中點(diǎn)．(1)若,求證：平面ACD;(2)若,,且平面ABC與平面ADE夾角的正切值為,求線段AC的長(zhǎng)．

參考答案1．答案：B解析：因?yàn)?,且,所以,解得,故選:B.2．答案：C解析：對(duì)于A，，而，故，正確；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，有意義，則，正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于D，的模長(zhǎng)即為平行六面體底面的面積，且方向垂直于底面，由數(shù)量積的幾何意義可知，就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模長(zhǎng)（即為平行六面體的高）乘以底面的面積，即為平行六面體的體積，正確.故選：C3．答案：A解析：以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP所在直線為y軸、過點(diǎn)P且平行于AB的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.由題意可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，設(shè)拱橋圓弧所在圓的半徑為r.，由勾股定理可得，即，解得，圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為.將代入圓的方程得.，解得，（米）.故選A.4．答案：C解析：在中，，在中，，故，，因?yàn)椋?，又角A的平分線交BC于點(diǎn)D，則，因此，故.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，所以，，設(shè)，則，即，化簡(jiǎn)可得，即，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓（除去點(diǎn)，）.故當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，即時(shí)，的面積取得最大值，最大值為.故選C.5．答案：A解析：由可得，則，所以，所以圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為1，圓與圓相外切，則，解得.故選A.6．答案：B解析：根據(jù)題意，圓的方程可化為，其圓心為，半徑為5，所以該圓過點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為直徑，則，最短弦，所以.故選B.7．答案：B解析：滿足要求的直線應(yīng)為圓心為A，半徑為1和圓心為B，半徑為2的兩圓的公切線，又，，所以圓A與圓B相交，所以公切線有2條.8．答案：A解析：由題意，得直線AB的斜率，線段AB的中點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)，所以兩點(diǎn)，到直線的距離相等.當(dāng)兩點(diǎn)，到直線的距離相等時(shí)，可能有直線經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)，此時(shí)，也可能是直線與直線AB平行，此時(shí).因此“”是“兩點(diǎn)，到直線的距離相等”的充分不必要條件.故選A.9．答案：AC解析：直線：和：平行，則，兩條平行直線間距離，解得且，故0和2符合要求.故選：AC.10．答案：AB解析：對(duì)于A，點(diǎn)P在圓O上，則，因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)滿足，故直線過點(diǎn)P.又點(diǎn)到直線的距離，故直線與圓O相切.綜上所述，若點(diǎn)P在圓O上，則圓O在點(diǎn)P處的切線方程為，A正確.對(duì)于B，D，點(diǎn)P在圓O外，則，又點(diǎn)O到直線的距離，故直線與圓O相交，所以B正確，D錯(cuò)誤.對(duì)于C，點(diǎn)P在圓O內(nèi)，則，又點(diǎn)O到直線的距離，故直線與圓O相離，C錯(cuò)誤.故選AB.11．答案：ACD解析：對(duì)于A選項(xiàng)，由曼哈頓距離的定義可知，則A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，則從而，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，作軸，交直線于E，過P作，垂足為H，如圖①所示.由曼哈頓距離的定義可知.當(dāng)P不與E重合時(shí)，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以；當(dāng)P與E重合時(shí)，.綜上，，則.故C正確.對(duì)于D選項(xiàng)，如圖②所示，若，，則，故D正確.故選ACD.12．答案：1解析：因?yàn)?，所?故答案為：113．答案：3解析：由題意得當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)的連線和直線垂直時(shí)距離最小，此時(shí)距離等于點(diǎn)到直線的距離，故P到點(diǎn)的距離的最小值為3.故答案為：314．答案：8解析：兩圓方程相減得，即，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，點(diǎn)為，，，點(diǎn)在兩圓公共弦上，滿足題意，故答案為：8.15．答案：(1)或(2)或解析：(1)由已知圓,所以圓心坐標(biāo)為,半徑為2.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),即直線l的方程為：,此時(shí)是與圓C相切,滿足題意;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l為：,即,則圓C的圓心到直線l的距離,解得,故直線l的方程為.綜上,直線l的方程為或.(2)因?yàn)橹本€l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為,所以圓心到直線l的距離為.由(1)可知,直線l的斜率一定存在,設(shè)直線l為：,即,則圓心到直線l的距離,解得或.故直線l的方程為或.16．答案：（1）證明見解析;（2）;（3）存在,.解析：（1）因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,,所以平面PAD.所以.又因?yàn)?所以平面PAB.（2）取AD的中點(diǎn)O,連結(jié)PO,CO.因?yàn)?所以.又因?yàn)槠矫?平面平面,所以平面ABCD.因?yàn)槠矫鍭BCD,所以.因?yàn)?所以.如圖建立空間直角坐標(biāo)系.由題意得,,,,,.設(shè)平面PCD的法向量為,則即令,則,.所以.又,所以.所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.（3）設(shè)M是棱PA上一點(diǎn),則存在使得.因此點(diǎn),.因?yàn)槠矫鍼CD,所以平面PCD當(dāng)且僅當(dāng),即,解得.所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得平面PCD,此時(shí).17．答案：（1）證明見解析（2）存在點(diǎn)E，且E為AS上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)解析：（1）證明：在等邊三角形SAD中，P為AD的中點(diǎn)，于是，又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD，平面ABCD，是四棱錐的高，設(shè)，則，，，，如圖，以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA所在直線為x軸，過點(diǎn)P且與AB平行的直線為y軸，PS所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即令，則，，.同理可得平面SCD的一個(gè)法向量為.，平面平面SCD.（2）存在.設(shè)，則，，設(shè)平面PEB的一個(gè)法向量為，則令，則，，，易知平面SAD的一個(gè)法向量為，.，，存在點(diǎn)E，且E為AS上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn).18．答案：(1);(2)或．解析：(1),,整理得,解得或,當(dāng)時(shí),與重合,舍去,故．(2),,,或．19．答案：(1)見解析(2)解析：(1)證明：取AC的中點(diǎn)G,連接BG,FG,因?yàn)?所以,因?yàn)槠矫嫫矫鍮CDE,平面平面,,平面BCDE,所以平面ABC,又平面ABC,所以,因?yàn)?,平面,所以平面,因?yàn)镕是線段AD的中點(diǎn),所以,,因?yàn)?,所以且,所以四邊形BEFG是平行四邊形,所以,因?yàn)槠矫鍭CD,所以平面ACD;