北師大版初二年級下冊冊數(shù)學全冊教案

北師大版八年級下冊初中數(shù)學

全冊資料匯編

教案（教學設計）

1等腰三角形

第1課時

【教學目標】

知識技能目標

1.理解作為證明基礎的幾條公理的內容，應用這些公理證明等腰三角形的性質定理.

2.在證明過程中，掌握推理證明的基本要求，明確條件和結論，能夠借助數(shù)學符號語言利用綜合

法證明等腰三角形的性質定理和判定定理.

3.熟悉證明的基本步驟和書寫格式.

過程性目標

1.經歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過程，讓學生進一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和

必要發(fā)展,發(fā)展學生的初步的演繹邏輯推理的能力.

2.鼓勵學生在交流探索中發(fā)現(xiàn)證明方法的多樣性,提高邏輯思維水平.

情感態(tài)度目標

1.啟發(fā)引導學生體會探索結論和證明結論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補充的辯證

關系.

2.培養(yǎng)學生合作交流的能力，以及獨立思考的良好學習習慣.

【重點難點】

重點:探索證明等腰三角形性質定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法.

難點:明確推理證明的基本要求如明確條件和結論，能否用數(shù)學語言正確表達等.

【教學過程】

一、創(chuàng)設情境

提醒學生回憶并整理已經學過的8條基本事實中的5條：

1.兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.

2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等.

3.兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS).

4.兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA).

5.三邊對應相等的兩個三角形全等(SSS).

在此基礎上回憶全等三角形的另一判別條件:1.(推論)兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個

三角形全等(AAS),并要求學生利用前面所提到的公理進行證明2回憶全等三角形的性質.

有了前面的鋪墊，學生一般都能得到該推論的證明思路，但由于一個暑假的遺忘，可能部分學

生的表述未必嚴謹、規(guī)范，教學中注意提醒學生分析條件和結論，畫出簡圖，寫出已知和求證，

并規(guī)范地寫出證明過程.

二、探究歸納

探究一:活動內容:在提問："等腰三角形有哪些性質？以前是如何探索這些性質的，你能再次通

過折紙活動驗證這些性質嗎?并根據(jù)折紙過程，得到這些性質的證明嗎?”的基礎上，讓學生經

歷這些定理的活動驗證和證明過程.具體操作中，可以讓學生先獨自折紙觀察、探索并寫出等

腰三角形的性質，然后再以六人為一小組進行交流，互相彌補不足.

活動目的:通過折紙活動過程，獲得有關命題的證明思路，并通過進一步的整理,再次感受證明

是探索的自然延伸和發(fā)展,熟悉證明的基本步驟和書寫格式.

活動效果與注意事項:由于有了教師引導下學生的活動，以及具體的折紙操作,學生一般都能

得到有關等腰三角形的性質定理,當然，可能部分學生得到的定理并不全面，在學生小組的交

流中，通過同伴的互相補充，一般都可以得到所有的性質定理.在教學過程中，教師應注意小組

的巡視，提醒學生思考多種證明思路，思考不同的輔助線之間的關系從而得到"三線合一”.

探究二:活動內容:在學生小組合作的基礎上，教師通過分析、提問,和學生一起完成以下兩個性

質定理的證明，注意最好讓兩至三個學生板演證明，其余學生挑選其一證明.其后，教師通過課

件匯總各小組的結果以及具體證明方法，讓學生明晰證明過程.

(1)等腰三角形的兩底角相等.

⑵等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合.

活動目的:和學生一起完成性質定理的證明，可以讓學生自主經歷命題的證明過程;明晰證明

過程，給學生一定的規(guī)范，起到一種引領作用;活動2則是前面命題的直接推論,力圖讓學生形

成拓廣命題的意識，同時也是一個很好的鞏固練習.

三、交流反思

1.具體有關性質定理.

2.通過折紙活動對獲得的定理給予了嚴格的證明，為今后解決有關等腰三角形的問題提供了

豐富的理論依據(jù).

3.體會了證明一個命題的嚴格的要求，體會了證明的必要性.

4.通過這節(jié)課的學習，掌握探索的步驟:觀察一歸納一猜想一證明;探索出等腰三角形的性質.

四、檢測反饋

學生自主完成P4第2題：

如圖，在4ABD中,AC1BD,垂足為C,AC=BC=CD.

⑴求證:△ABD是等腰三角形.

(2)求/BAD的度數(shù).

五、布置作業(yè)B

P4習題1.1第1,2題.

六、板書設計

全等三角形的判定學生板演練

等腰三角形的性質

七、教學反思

本節(jié)關注學生已有活動經驗的回顧過程,關注了“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的活動過

程，關注了學生的自主探究過程,學生學習的主體性發(fā)揮較好，應該說取得了較好的教學效果.

在具體活動中,如何在學生活動與規(guī)范表達之間形成一個恰當?shù)钠胶?，具體各部分時間比例的

分配可能還需要根據(jù)班級學生具體狀況進行適度的調整.

第2課時

【教學目標】

知識技能目標

探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明等腰三角形中相等的線段,進一步熟悉證明的基本步歌和書寫格式,

體會證明的必要性.

過程性目標

1.經歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過程，讓學生進一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和

必要發(fā)展,發(fā)展學生初步的演繹邏輯推理能力.

2.在命題的變式中，發(fā)展學生提出問題的能力，拓展命題的能力，從而提高學生的學習能力和思

維能力，提高學生學習的主體性.

3.在圖形的觀察中，揭示等腰三角形的本質:對稱性，發(fā)展學生的幾何直覺.

情感態(tài)度目標

1.鼓勵學生積極參與數(shù)學活動，激發(fā)學生的好奇心和求知欲.

2.體驗數(shù)學活動中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學的嚴謹性.

【重點難點】

重點:經歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過程，能夠用綜合法證明有關三角形和等腰三角形

的一些結論.

難點:能夠用綜合法證明有關三角形和等腰三角形的一些結論.

【教學過程】

一、創(chuàng)設情境

內容:在回憶上節(jié)課等腰三角形性質的基礎上，提出問題：

在等腰三角形中作出一些線段（如角平分線、中線、高等），你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎？

你能證明你的結論嗎?引入本課研究內容.

二、探究歸納

1.探究活動一

內容:在等腰三角形中自主作出一些線段（如角平分線、中線、高等），觀察其中有哪些相等的線

段，并嘗試給出證明.

問:你可能得到哪些相等的線段？

你如何驗證你的猜測？

你能證明你的猜測嗎?試作圖，寫出已知、求證和證明過程；

還可以有哪些證明方法？

學生通過觀察，歸納發(fā)現(xiàn)：

等腰三角形兩個底角的平分線相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中線相等.

2.探究活動二

內容:提醒學生在得到上面等腰三角形性質定理的基礎上，思考等邊三角形的特殊性質:等邊

三角形三個內角都相等并且每個內角都等于60°.

已知:在4ABC中,AB=BC=AC.

求證:/A=NB=NC=60".

證明:在△ABC中,rABMAC,

??.NB=/C（等邊對等角）.

同理:NC=NA,；./人=/8=/（2（等量代換）.

又?.?NA+NB+/C=180°（三角形內角和定理），

ZA=ZB=ZC=60.

活動效果:學生一般都能得到這些定理的證明,能規(guī)范地寫出“等邊三角形三個內角都相等并

且每個內角都等于60°”的證明過程.

三、交流反思

1.通過這節(jié)課的學習，掌握探索的步驟:觀察一歸納一猜想一證明.

2.通過本節(jié)課探索出等腰三角形的性質及推論.

四、檢測反饋

1.等邊三角形練習:

如圖，已知AABC和4BDE都是等邊三角形.

求證:AE=CD.

2.等腰三角形特殊線段的應用:

如圖，在△ABC中，若AB=AC,ZA=40°,O點是△ABC的角平分線BD與高線CE的交點，則Z

DOC的度數(shù)為

五、布置作業(yè)

1.已知:如圖，在△ABC中,AB=AC,BD,CE是aABC的角平分線.

求證:BD=CE.

2.證明：等腰三角形兩腰上的高相等.

六、板書設計

等腰三角形兩個底角的平分線相等；

等邊三角形的

等腰三角形腰上的高相等；

性質

等腰三角形腰上的中線相等.

七、教學反思

本節(jié)課關注了問題的變式與拓廣,實際上引領學生經歷了提出問題、解決問題的過程，因

而較好地提高了學生的研究能力、自主學習能力，但也應注意根據(jù)學生的情況進行適度的調

整，因為學生先前這樣的經驗較少，因而對一些班級學生而言，完成全部這些教學任務,可能時

間偏緊,為此，教學中可以適當減少一些內容，將部分內容延伸到課外,當然，也可以設計為兩個

課時，將研究過程進一步展開.

第3課時

【教學目標】

知識技能目標

1.探索等腰三角形的判定定理.

2.理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行簡單的證明.

3.了解反證法的基本證明思路，并能簡單應用.

過程性目標

在命題的變式中，發(fā)展學生提出問題的能力，拓展命題的能力，從而提高學生的學習能力和思

維能力，提高學生學習的主體性.

情感態(tài)度目標

鼓勵學生積極參與教學活動，激發(fā)學生的好奇心和求知欲.

【重點難點】

重點:理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行簡單的證明.

難點:靈活應用等腰三角形的性質和判定定理.

【教學過程】

一、創(chuàng)設情境

活動過程:通過問題串回顧等腰三角形的性質定理以及證明的思路,要求學生獨立思考后再進

行交流.

問題1.等腰三角形性質定理的內容是什么？這個命題的題設和結論分別是什么？

問題2.我們把性質定理的條件和結論反過來還成立嗎?如果一個三角形有兩個角相等，那么這

兩個角所對的邊也相等嗎？

二、探究歸納

探究一：教師：”等邊對等角“，反過來成立嗎?也就是:有兩個角相等的三角形是等腰」

三角形嗎？/\

［學生］如圖，在4ABC中,NB=/C,要想證明AB=AC,只要構造兩個全等的三角形，使/

-----------

AB與AC成為對應邊就可以了.

探究二:導出反證法：

小明說:在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等.你認為這個結

論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎？

我們來看一位同學的想法：

如圖，在4ABC中，已知/BK/C,此時AB與AC要么相等,要么不相等.

A

假設AB=AC,那么根據(jù)“等邊對等角“定理可得/C=/B,但已知條件是/BK/C./

C=NB”與已知條件“NBK/C”相矛盾，因此ABMAC./

你能理解他的推理過程嗎？

反證法的定義是先假設命題的結論不成立，然后推導出與定義、基本事實、已有定理或已知

條件相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立.這也是證明命題的一種方法，我們把它叫

做反證法.

三.、交流反思

(1)本節(jié)課學習了哪些內容？

⑵等腰三角形的判定方法有哪幾種？

(3)結合本節(jié)課的學習，談談等腰三角形性質和判定的區(qū)別與聯(lián)系.

(4)舉例談談用反證法證明的基本思路.

四、檢測反饋

1.如圖,BD平分NCBA,CD平分/ACB,且MN//BC,設AB=12,AC=18,求AAMN的周長.

A

2.現(xiàn)有等腰三角形紙片,如果能從一個角的頂點出發(fā)，將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙

片，問此時的等腰三角形的頂角的度數(shù)？

五、布置作業(yè)

已知:如圖,/CAE是4ABC的外角,AD//BC且/1=/2.

求證:AB=AC.

六、板書設計

等腰三角形的判定：

有兩個角相等的三角形是等腰三角反證法

形

七、教學反思

本節(jié)課關注了問題的變式與拓廣,實際上引領學生經歷了提出問題、解決問題的過程，因

而較好地提高了學生的研究能力、自主學習能力，但也應注意根據(jù)學生的情況進行適度的調

整，因為學生先前這樣的經驗較少，因而對一些班級學生而言，完成全部這些教學任務,可能時

間偏緊.

第4課時

【教學目標】

知識技能目標

1.理解等邊三角形的判別條件及其證明.

2.理解含有30°角的直角三角形的性質及其證明，并能利用這兩個定理解決一些簡單的問題.

過程性目標

1.經歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維.

2.經歷實際操作，探索含有30°角的直角三角形性質及其推理證明過程,發(fā)展合情推理能力和

初步的演繹推理的能力.

情感態(tài)度目標

積極參與數(shù)學學習活動,對數(shù)學有好奇心和求知欲.

【重點難點】

重點:等邊三角形判定定理.

含30°角的直角三角形的性質定理.

難點:含30'角的直角三角形性質定理的探索與證明.

引導學生全面、周到地思考問題.

【教學過程】

―、創(chuàng)設情境

活動內容:教師回顧前面等腰三角形的性質和判定定理的基礎上，直接提出問題:等邊三角形

作為一種特殊的等腰三角形,具有哪些性質呢?又如何判別一個三角形是等邊三角形呢?從而

引入新課.

二、探究歸納

探究一:學生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報各自的結論，教師適時

要求學生給出相對規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導學生總結出下表：

性質判定的條件

等邊對等角等角對等邊

等腰三“三線合一”即等腰三角形頂

有一角是60°的等腰三角形

角形角的平分線、底邊上的中線、

是等邊三角形

（含等邊高互相重合

三角形）等邊三角形三個角都相等，且三個角都相等的三角形是等

每個角都是60°邊三角形

學生探究出：

1.頂角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

2.底角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

3.三個角都相等的三角形是等邊三角形.

4.三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

探究二:教師直接提出問題：

1.將等邊三角形沿對稱軸能剪成兩個什么特殊的三角形？

2.你能猜測這個含30°角的直角三角形有哪些性質嗎？

學生發(fā)現(xiàn)結論:在直角三角形中，如果一個銳角等于30,那么它所對的直角邊等于斜邊的一

半.

三、交流反思

讓學生對課堂學習進行小結，注意總結具體的知識、結論,以及解決問題的方法和蘊含其中的

思想，如分類討論思想、逆向思維等.

四、檢測反饋

等腰三角形的底角為15°,腰長為2a,求腰上的高CD的長.

解:/ABC=/ACB=15°,

ZDAC=ZABC+ZACB=15°+15°=30°,

11

；.CD=2AC=2x2a=a（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜

邊的一半）.

五、布置作業(yè)

P12習題1.4第1,2題

六、板書設計

等邊三角形的判定

1.含30"角的直角

學生板演

2.三角形的性質

3.

七、教學反思

本節(jié)課，難點在于探究兩個定理:“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么

這條直角邊所對的銳角等于30°”和"在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一

半”，由于設計了三角板操作的實踐活動，有效地突破了難點,因而，課堂上學生思維非常靈活，

方法多樣，取得較好的效果.

課題直角三角形（第一課時）課型新授課

1.知識目標：（1）掌握直角三?角形的性質定理（勾股定理）及判定定理的證明方法，

并能應用定理解決與直角三角形有關的問題。（2）結合具體例子了解逆命題的概^念，會識別

教學

兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立.

目標

2.能力目標：（1）進一步經歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初

步的符號感，發(fā)展抽象思維.（2）進一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理的能力.

重點：①了解勾股定理及其逆定理的證明方法.②結合具體例子了解逆命題的概念，識

重點

別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立.

難點

難點：勾股定理及其逆定理的證明方法.

學生課前準備：一張等腰三角形紙片（供上課折疊實驗課時

1課時

準備用）；安排

教學過程與教學內”容教學方法與學法

1:創(chuàng)設情境，引入新課

通過問題1,讓學生在解決問題的同時，回顧直角三角形的一般性

質。

［問題1］一個直甭三角形房梁如圖所示，其中BC1AC,

ZBAC=30",AB=10cm,CB,1AB,B^IAC,,垂足分別是耳、.Ct,

那么BC的長是多少？BQ】呢？

解：在RtZ\ABC中，ZCAB=30°,AB=10cm,

11讓學生在回顧的基礎上，

，BC=;AB=QX10=5cm.

自主地尋求命題的證明

?.'CB.IAB,ZB4-ZBCB,=90°

又NA+/B=90°

ZBCB,=ZA=30°

115

在Rt^ACBi中，BB,=-BC=-X5=-cm=2.5cm.

.?.ABl=AB=BB,=10—2.5=7.5（cm）.

，在RtZ\GAB|中，ZA=30°

11

=5AB［=5X7.5=3.75（cm）.

解決這個問題，主要利用了上節(jié)課已經證明的"30"角的直角三角

形的性■■質由此提問：“一般的直角三角形具有什么樣的性質呢?”從而

引入勾股定理及其證明。

教材中曾利用數(shù)方格和割補圖形的方法得到了勾股定理.如果利用

公理及由其推導出的定理，能夠證明勾股定理嗎？

請同學們打開課本P18,閱讀“讀一讀”，了解一下利用教科書給

出的公理和推導出的定理，證明勾股定理的方法.

2:講述新課

閱讀完畢后，針對“讀一讀”中使用的兩種證明方法，著重討論第

一種，第二種方法請有興趣的同學課后閱讀.

(1).勾股定理及其逆定理的證明.

已知：如圖，在AABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

求證：a2+b2=c2.

證明：延長CB至D,使BD=b,作NEBD=/A,并取BE=c,連

接ED、AE(如圖)，則4ABC四Z\BED.

ZBDE=905,ED=a(全等三角形的對應角相

A

等，對應邊相等).\

二四邊形ACDE是直角梯形.\

?1S梯形AQDE=5(a+b)(a+b)=-(a+b)2.1\

/.ZABE=180°-(/ABC+ZEBD)=180°—CB

90°=90°,

AB=BE.

1

/.SAABE=2C?A

?/S梯形ACDE=\E

SAABE+S/XABC+SABED，\

101011h_____A

(a+b)2=2c+2ab+2CaBD

ab,

111

即5a2+ab+-b2=~c2+ab,

.■.a2+b2=c2

教師用多媒體顯示勾股定理內容，用課件演示勾股定理的條件和結

論，并強調.具體如下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于.斜

邊的平方.

反過來，如果在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方

時，我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三甭形”的結論.你

能證明此結論嗎？

師生共同來完成.

已發(fā)P：如圖：在AABC中，AB2+AC2

=BC2

求證：4ABC是直角三角形.

分析：要從邊的關系，推出NA=90°

是不容易的，如果能借助于aABC與一個

直角三角形全等，而得到NA與對應角（構造的三角形的直角）相等，可證.

證明：作RtZ\A'B'C'，彳更NA'=90°,A'B'=AB,A'C'、

AC（如圖），

則A'B':+A'C'"勾股定理）.

?.AB2+AC2=BC2,A'B'=AB,A'C*W

.-.BC2=BrCz2/

.-.BC=B，C'/

C

.-.△ABC^AA，B'C'（SSS）

ZA=ZA"=90"（全等三角形的對應角相等）.

因此，AABC是直角三角形.

.總結得勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，

那么這個三角形是直角三角形.

（2）.互逆命題和互逆定理.

觀察上面兩個命題，它們的條件和結論之間有怎樣的關系?在前面的

學習中還有類似的命題嗎？

通過觀察，學生會發(fā)現(xiàn)：

上面兩個定.理的條件和結論互換了位置，即勾股定理的條件是第二

個定理的結論，結論是第二個定理的條件.

這樣的情況，在前面也曾遇到過.例如“兩直線平行，內錯角相等”，

交換條件和結論，就得到“內錯角相等，兩直線平行”.又如“在直角

三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊就等于斜邊的

一半”.交換此定理的條件和結論就可得“在直角三角形中，如果一條

直角邊等于,斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°”。

3：議一議

觀察下面三組命題：學生以分組討論形式進行，最后在教師的引導

下得出命題與逆命題的區(qū)別與聯(lián)系。

讓學生暢所欲言，體會逆命題與命題之間的區(qū)別與聯(lián)系，要能夠清

晰地分別出一個命題的題設和結論，能夠將一個命題寫出“如果……；

那么……"的形式，以及能夠寫出一個命題的逆命題。

活動中，教師應注意給予適度的引導，學生若出現(xiàn)語言上不嚴謹時，

要先讓這個疑問交給學生來剖析，然后再總結?；顒訒r可以先讓學生觀

察下面三組命題：

如果兩個角是對頂角，那么它們相等.

如果兩個角相等，那么它們是對頂角.

如果小明患了肺炎，那么他一定發(fā)燒.

如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎.

三角形中相等的邊所對的角相等.

三角形中相等的角所對的邊相等.

上面每組中兩個命題的條件和結論也有類似的關系嗎?與同伴交流.

不難發(fā)現(xiàn)，每組第二個命題的條件是第一個命題的結論，第二個命

題的結論是第一個命題的條件.

在兩個命題中，如果'命題條件和結論分別是另一個命題的結論

和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題

的逆命題，相對于逆命題來說，另一個就為原命題.

再來看“議一議”中的三組命題，它們就稱為互逆命題，如果稱每

組的第一個命題為原命題，另一個則為逆命題.請同學們判斷每組原命

題的真假.逆命題呢？

在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題.

在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題.

在第三組中，原命題和逆命題都是真命題.

由此我們可以發(fā)現(xiàn)：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題.

4:想一想

要寫出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結論，然后把

結論變換成條件，條件變換成結論，就得到了逆命題.

請學生寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等，那么它們的平方相等”的

逆命題嗎?它們都是真命題嗎？

從而引導學生思考：原命題是真命題嗎?逆命題一定是真命題嗎？并

通過具體的實例說明。

如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱

它們?yōu)榛ツ娑ɡ?

其中逆命題成為原命題(即原定理)的逆定理.

能舉例說出我們已學過的互逆定理？

如我們剛證過的勾股定理及其逆定理，“兩直線,平行，內錯角相等“

與“內錯角相等，兩直線平行”.“全等三角形對應邊相等”和“三邊對

應相等的三角形全等"、“等邊對等角”和“等角對等邊”等.

5:隨堂練習

說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假j

⑴四邊形是多邊形；

⑵兩直線平行，內旁內角互補；

⑶如果ab=O,那么a=0,b=0

［分析］互逆命題和互逆定理的概念，學生接受起來應不會有什么困

難，尤其是對以“如果……那么……”形式給出的命題，寫出其逆命題

較為容易，但對于那些不是以這種形式給出的命題，敘述其逆命題有一

定困難.可先分析命題的條件和結論，然后寫出逆命題.

解：⑴多邊形是四邊形.原命題是真命題，而逆命題是假命題.

(2)同旁內角互補，兩直線平行.原命題與逆命題同為正.

⑶如果a=0,6=0,那么ab=0.原命題是假命題，而逆命題是真

命題.

6:課時小結

這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結合數(shù)學和生

活中的例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道，原命題成

立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方法，進一步發(fā)展了演繹推理能

力.

7:課后作業(yè)

習題1.5第1、2、3、4題

1、勾股定理及逆定理的證明。

板2、互逆命題：

書

課題直角三角形（第二課時）課型新授課

1.知識目標：①能夠證明直角三角形全等的"HL”的判定定理，進一步理解證明的必

教學

要性②利用"HL''定理解決實際問題

目標

2.能力目標：①進一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力

重點重點：探索證明等腰三角形性質定理的.思路與方法，掌握證明的基本要求和方法；

難點難點：明確推理證明的基本要求如明確條件和結論，能否用數(shù)學語言正確表達等。

教具學生課前準備：一張等腰三角形紙片（供上課折疊實驗課時

1課時

準備用）；安排

教學過程與教學內容教學方法與學法

1:復習提問

1.判斷兩個三角形全等的方法有哪幾種？

2.已知一條邊和斜邊，求作一個直角三角形。想一想，怎么畫？同,學

們相互交流。

3、有兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等嗎？如果其

中一個角是直角呢？請證明，你的結論。

我們曾從折紙的過程中得到啟示，作了等腰三角形底.邊上的中線或

頂角的角平分線，運用公理，證明三角形全等，從而得出“等邊對等角”。讓學生在回顧的基礎

那么我們能否通過作等腰三角形底邊的高來證明”等邊對等角”.

上，自主地尋求命題的證

要求學生完成，一位學生的過程如下：

明

已知：在△ABC中，AB=AC.

求證：ZB=ZC.

證明：過A作ADJ?BC,垂足為C,

ZADB=ZADC=90°

又「AB二AC,AD=AD,

.-.△ABD^AACD.

.,.ZB=ZC（全等三角形的對應角相等）

在實際的教學過程中，有學生對上述證明方法產生了質疑。質疑點

在于“在證明△ABD9Z\ACD時，用了“兩邊及其中一邊的對角對相等

的兩個三角形全等".而我們在前面學習全等的時候知道，兩個三角形，

如果有兩邊及其一邊的對角相等，這兩個三角形是不一定全等的.可以

畫圖說明.(如圖所示在ABD和4ABC中，AB=AB,ZB=ZB,AC=AD,

但aABD與AABC不全等)”.

也有學生認同上述的證明。

教師順水推舟，詢問能否證明：“在兩個直角三角形中，直角所對的

邊即斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.”，從而引入新

課。

2:引入新課

(1).“HL”定理.由師生共析完成

已知：在RtAABC和RtAA(B'C'中，ZC=ZC，=90°,

AB=A'B',BC=B'C'.

求證：

RtAABC^RtAA，B，C'夕分

證明：在RtAABC中，AC=AB2//

一BC2(勾股定理).//

又：在RtAA'B'C'中，A'C//

=A'C'=A'B'2-B'C'2(勾股定理).譽--------生--------%，

AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C.

RtAABC^RtAA'B'C(SSS).

教師用多媒體演示：

定理斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

這一定理可以簡單地用“斜邊、直角邊"或"HL”，表示.

，從而肯定了第一位同學通過作底

邊的高證明兩個三角形全等，從而得到

“等邊對等角”的證法是正確的.

練習：判斷下列命題的真假，并說

明理由:AD

(1)兩個銳角對應相等的兩個直角三角形全等;

（2）斜邊及一銳角對應相等的兩個直角三角形全等；

（3）兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；

（4）一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形

全等.

對于（1）、（2）、（3）一般可順利通過，這里教師將講解的重心放在

了問題（4）,學生感覺是真命題，一時有無法直接利用已知的定理支持，

教師引導學生證明.

已知：RAABC^RtAA'B'C,ZC=ZC'=90，,BC=B'C',BD、B'D'

分別是AC、AC）邊上的中線且BD—B'D（如圖）.

求證：RtAABC^RtAA'B'C.

AA'

證明：在RtABDC和中，/IA

：BD=BD,BC=BC/JD，

」.RtZXBDC/RtZ\B'D'C'（HL定理）.N_JN_J,

BCBC

CD=C'D'.

又,；AC=2CD,A'C'=2C'D',：.AC=A'C.

：.在RtAABC和RtAA'B'C'f,

?.BC=B'C',ZC=ZC'=90°,AC=A'C,

RtAABC^CORtAA'B'C（SAS）.

通過上述師生共同活動，學生板書推理過程之后可發(fā)動學生去糾錯，

教師最后再總結。

3:做一微

問題你能用三角尺平分一個已知角嗎？請同學們用手中的三角

尺操作完成，并在小組內交流，用自己的語言清楚表達自己的想法.

（設計做一做的目的為了讓學生體會數(shù)學結論在實際中的應用，教

學中就要求學生能用數(shù)學的語言清楚地表達自己的想法，并能按要求將

推理證明過程寫出來。）

4：議一議

如圖，已知/ACB=/BDA=90°,要使AACB9BDA,還需要什么

條件?把它們分別寫出來.

這是一個,開放性問題，答案不唯一，需要我們靈活地運用公理和已

學過的定理，觀察圖形，積極思考，并在獨立思考的基礎上，通過同學

之間的交流，獲得各種「不同的答案.

（教師一定要提供時間和空間，讓同學們認真思考，勇于向困難提出

挑戰(zhàn)）

5：例題學習

CD=CD.ZACB=ZA'

C'B'.

求證：AABC色△A'B'C'.

分析：要證△ABC9Z\ABC,由已知中找到條件：一組邊AC=A9,

一組角NACB=/A'C'B'.如果尋求/A=/A',就可用ASA證明全等；也

可以尋求么NB=/B',這樣就有AAS;還可尋求BC=B'C',那么就可根

據(jù)SAS.……注意到題目中，通有CD、CD是三角形的高，CD=C'D'.觀

察圖形，這里有三對三角形應該是全等的，且題目中具備了HL定理的

條件，可證的RtaADCSRtaA'DJC,因此證明NA=/A'就可行.

證明：-.CD.CD'分別是△ABCZ\A'B'C的高（已知），

ZADC=ZA'D'C-90°.

在RtAADC和RtZ\ATXC中，

AC=A'C（已次"），「

CD=CD（已知），

RtAADC^RtAA'D'C（HL）.

ZA=ZA',（全等三角形的對應角相等）.

在AABC和△AEC中，

/A=/A'（已證），

AC=A'C'（已知）,

NACB=/A'C'B'（已知），

AABC^AA'B'C（ASA）.

6：課時小結

本節(jié)課我們討論了在一般三角形中兩邊及其一邊對角對應相等的兩

個三角形不一定全等.而當一邊的對角是直角時，這兩個三角形是全等

的，從而得出判定直角三?角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理

安排了一系列具體的、開放性的問題，不僅進一步掌握了推理證明的方

法，而且發(fā)展了同學們演繹推理的能力.同學們這一節(jié)課的表現(xiàn)，很值

得繼續(xù)發(fā)揚廣大.

7：課后作業(yè)

習題1.6第3、4、5題

1、作等腰三角形底邊的高來證明”等邊對等角”

板2、判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理

3、例題講解

書4、隨堂練習

精品文檔用心整理

3線段的垂直平分線

一、教學目標

1.知識與技能

(1)要求學生掌握線段垂直平分線的性質定理及判定定理，能夠利用這兩個定理解決一些

問題；

(2)能夠證明線段垂直平分線的性質定理及判定定理.

2.過程與方法

(1)經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力；

(2)體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神；

(3)學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果.

3.情感態(tài)度及價值觀

(1)積極參與數(shù)學學習活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲；

(2)在數(shù)學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.

二、教學重點、難點

重點：能夠證明線段的垂直平分線的性質定理、判定定理及其相關結論.

難點：(1)寫出線段垂直平分線的性質定理的逆命題并證明它.

(2)用尺規(guī)作線段垂直平分線.

三、教具準備

教師準備：課件.

學生準備：練習本.

四、教學過程

1.創(chuàng)設現(xiàn)實情境，引入新課

教師用多媒體演示：

如圖3-1,4、8表示兩個倉庫，要在4、8一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距

離相等，碼頭應建在什么位置？

'B

圖3-1

［生］碼頭應建在線段的垂直平分線與在8一側的河岸邊的交點上.

［師］同學們認同他的看法嗎？

資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用

精品文檔用心整理

［生］認同.

［師］認為對的說說你的理由是什么呢？

［生］（回憶定理）我們以前曾學過線段垂直平分線的一個性質：線段垂直平分線上的點到線段

兩個端點的距離相等.所以在這個問題中，要求在“月、6一側的河岸邊建造一個碼頭，使

它到兩個倉庫的距離相等"利用此性質就能完成.

［師］這位同學分析得很好，我們在七年級時研究過線段的性質，線段是一個軸對稱圖形，其

中線段的垂直平分線就是它的對稱軸.我們曾經像這樣利用折紙的方法得到“線段垂直平分

線上的點到線段兩個端點的距離相等“這一簡單事實，但是用這種觀察的方式是很難說服別

人的，你能用公理或學過的定理來證明這一結論嗎？

教師演示線段垂直平分線的性質：

定理：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.

2.講述新課

【第一部分】線段垂直平分線的性質定理.

［師］我們得到了線段垂直平分線的性質定理，大家知道這是不夠的，還必須利用公理及已學

過的定理推理、證明它.那么如何證明呢？

［師］（引導）

問題一：①要證"線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等“，可線段垂直平分線

上的點有無數(shù)多個，需一個一個依次證明嗎？

（強調）我們只需在線段垂直平分線上任取一點代表即可，因為線段垂直平分線上的點都具有

相同的性質.（開始讓學生有這樣的教學思想）

②你能根據(jù)定理畫圖并寫出已知和求證嗎？

③誰能幫老師分析一下證明思路？

［生］（思考回答）

【師生共析］

已知：如圖3-2,直線垂足是C,S-AC=BC,P是MN上的懸.

求證：PA=PB.

圖3-2

資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用

精品文檔用心整理

分析：要想證明尸4=尸8,可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等.

證明：'：MNLAB,

:"PCA=LPCB=90°.

：AC=BC,PC=PC,

：.XPCA/△PO?（SAS）.

.?.%=P3（全等三角形的對應邊相等）.

【第二部分】線段垂直平分線的判定定理.

教師用多媒體完整演示證明過程.同時，用多媒體呈現(xiàn)：

想一想：

你能寫出上面這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？

［師］（引導、并提問兩學生）

問題二：①這個命題是否屬于"如果……，那么……”的形式？

②你能分析原命題的條件和結論，將原命題寫成“如果……，那么……”的形式嗎？

③最后再把它的逆命題寫出來.

［生司（思考分析）原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點"，結論是“這個點到

線段兩個端點的距離相等”.

［師1有了這位同學的精彩分析，逆命題就很容易寫出來.

［生必如果有一個點到線段兩個瑞點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上.

［師］很好，能否把它描述得更簡捷呢？

［生均到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

［師］非常好！當我們寫出逆命題時，就想到判斷它的真假.若為真，則需證明它；若為假，

則需用反例說明.請同學們類比原命題自己獨立寫出已知、求證.

（給學生思考時間）

已知：線段48,點〃是平面內一點且24=%.

求證：點夕在48的垂直平分線上.

（分組討論，鼓勵學生多想證明方法，并派代表上黑板寫寫本組的證明過程）

［師］看學生的具體情況，做適當?shù)囊龑?

證明：（證法一）過點P作已知線段的垂線尸C,如圖3-3.

：PA=PB,PC=PC,

RtA/MC^RtAP56（HL）.

資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用

精品文檔用心整理

：.AC=BC,即點域/18的垂直平分線上.

（證法二）取/13的中點C,過/<?作直線，如圖3-4.

：AP=BP,PC=PC,AC=CB,

「.△4〃/△8PJSSS）.

NPC4=/PCB（全等三角形的對應角相等）.

又..?/201+/〃以=180°,

APCA=APCB=90°,即〃C_L/3

.?.點〃在月方的垂直平分線上.

圖3-4

（證法三）過〃點作//瓶的角平分線，如圖3-5.

:AP=BP,Z1=Z2,PC=PC,

:.△AP8XBP尖0.

：.AC=DC,全等三角形的對應角相等，對應邊相等）.

又..?/〃G4+/〃C3=180°,：.APCA=APCB=90°.

點蟀線段力6的垂直平分線上.

資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用

精品文檔用心整理

圖3-5

所］先肯定學生的思考，再對證明過程嚴謹?shù)男〗M加以表揚，不足的加以點評和糾正.

［師］從同學們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質定理的逆命題是真命題，我們把它

稱為線段垂直平分線的判定定理.

【第三部分】做一做：用尺規(guī)作線段的垂直平分線.（教師多媒體演示）

［師］（邊演示圖邊講講作圖有關的數(shù)學史）大家知道這些圖是用什么工具作出來的嗎？

（資料：古希臘以來，平面幾何中的作圖工具習慣上限用直尺和圓規(guī)兩種，其中，直尺假定

直而且長，但上面無任何刻度，圓規(guī)則假定其兩腿足夠長并能開閉自如.作圖工具的這種限

制，最先大概是恩諾皮德斯（Oencw&es,約公元前465年）提出的，以后又經過柏拉圖

公元前427—347）大力提倡.柏拉圖非常重視數(shù)學，強調學習幾何對訓練邏輯思維能力的特

殊作用，主張對作圖工具要有限制，反對使用其他機械工具作圖.之后，歐幾里得（&c灰/,

約公元前330—275）又把它總結在《幾何原本》一書中，于是，限用尺規(guī)進行作圖就成為古

希臘幾何學的金科玉律.）

［師］其實同學們也能用圓規(guī)、直尺畫出優(yōu)美的圖形，下面咱們就一起來學用尺規(guī)作線段的垂

直平分線.

（分析：要作出線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定定理，到線段兩個端點距離相等

的點在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個到線段兩個端點距離相等的點，這

樣才能確定已知線段的垂直平分線.）

類似于證明題要寫出已知、求證和證明，作圖題也要根據(jù)條件寫出已知、求作和作法，下面

我們一同來寫出已知、求作、作法，體會作法中每一步的依據(jù).

［教師示范，請學生同時練習］

已知：線段如圖3-6.

AB

圖3-6

求作：線段48的垂直平分線.

作法：①分別以點力和8為圓心，以大于工/8的長為半徑作弧，兩弧相交于點。和。.

2

②作直線CD,如圖3-7.直線CD就是線段的垂直平分線.

資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用

精品文檔用心整理

圖3-7

所］根據(jù)上面作法中的步驟，請你說明8為什么是的垂直平分線嗎？請與同伴進行交流.

［生］從作法的第一步可知：AC=BC,AD=BD.

：.a。都在/B的垂直平分線上(線段垂直平分線的判定定理).

...CD就是線段的垂直平分線(兩點確定一條直線).

［師］我們曾用刻度尺找線段的中點，當我們學習了線段垂直平分線的作法時，一旦垂直平分

線作出，線段與線段垂直平分線的交點就是線段43的中點，所以我們也用這種方法作線段

的中點.

3.練習:

(1)已知直線1和/上一點P,用尺規(guī)作/的垂線，使它經過點P.

學生先獨立思考完成，然后交流：說出做法并解釋作圖的理由.

(2)拓展：如果點P是直線/外一點，那么怎樣用尺規(guī)作/的垂線，使它經過點P呢？

說說你的作法，并與同伴交流.

4.課堂小結：本節(jié)課你都掌握了哪些內容？

5.教學反思

資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用

精品文檔用心整理

4角平分線

課題角平分線(第一課時)課型新授課

1.會證明角平分線的性質定理及其逆定理.

教學2.進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力，培養(yǎng)學生將文字語言.轉化為符號

目標語言、圖形語言的能力.

3.經歷探索，猜想，證明使學生掌握研究解決問題的方法。

重點

正確地表述角平分線性質定理的逆命題及其證明。

難點

教具課時

圓規(guī)、三角尺1課時

準備安排

教學過程與教學內容教學方法與學法

1:情境引入

我們曾