北師大版初二年級下冊冊數(shù)學(xué)全冊教案

北師大版八年級下冊初中數(shù)學(xué)

全冊資料匯編

教案（教學(xué)設(shè)計）

1等腰三角形

第1課時

【教學(xué)目標(biāo)】

知識技能目標(biāo)

1.理解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，應(yīng)用這些公理證明等腰三角形的性質(zhì)定理.

2.在證明過程中，掌握推理證明的基本要求，明確條件和結(jié)論，能夠借助數(shù)學(xué)符號語言利用綜合

法證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理.

3.熟悉證明的基本步驟和書寫格式.

過程性目標(biāo)

1.經(jīng)歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和

必要發(fā)展,發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力.

2.鼓勵學(xué)生在交流探索中發(fā)現(xiàn)證明方法的多樣性,提高邏輯思維水平.

情感態(tài)度目標(biāo)

1.啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生體會探索結(jié)論和證明結(jié)論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補(bǔ)充的辯證

關(guān)系.

2.培養(yǎng)學(xué)生合作交流的能力，以及獨立思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.

【重點難點】

重點:探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法.

難點:明確推理證明的基本要求如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語言正確表達(dá)等.

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境

提醒學(xué)生回憶并整理已經(jīng)學(xué)過的8條基本事實中的5條：

1.兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.

2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等.

3.兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS).

4.兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(ASA).

5.三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SSS).

在此基礎(chǔ)上回憶全等三角形的另一判別條件:1.(推論)兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個

三角形全等(AAS),并要求學(xué)生利用前面所提到的公理進(jìn)行證明2回憶全等三角形的性質(zhì).

有了前面的鋪墊，學(xué)生一般都能得到該推論的證明思路，但由于一個暑假的遺忘，可能部分學(xué)

生的表述未必嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范，教學(xué)中注意提醒學(xué)生分析條件和結(jié)論，畫出簡圖，寫出已知和求證，

并規(guī)范地寫出證明過程.

二、探究歸納

探究一:活動內(nèi)容:在提問："等腰三角形有哪些性質(zhì)？以前是如何探索這些性質(zhì)的，你能再次通

過折紙活動驗證這些性質(zhì)嗎?并根據(jù)折紙過程，得到這些性質(zhì)的證明嗎?”的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)

歷這些定理的活動驗證和證明過程.具體操作中，可以讓學(xué)生先獨自折紙觀察、探索并寫出等

腰三角形的性質(zhì)，然后再以六人為一小組進(jìn)行交流，互相彌補(bǔ)不足.

活動目的:通過折紙活動過程，獲得有關(guān)命題的證明思路，并通過進(jìn)一步的整理,再次感受證明

是探索的自然延伸和發(fā)展,熟悉證明的基本步驟和書寫格式.

活動效果與注意事項:由于有了教師引導(dǎo)下學(xué)生的活動，以及具體的折紙操作,學(xué)生一般都能

得到有關(guān)等腰三角形的性質(zhì)定理,當(dāng)然，可能部分學(xué)生得到的定理并不全面，在學(xué)生小組的交

流中，通過同伴的互相補(bǔ)充，一般都可以得到所有的性質(zhì)定理.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注意小組

的巡視，提醒學(xué)生思考多種證明思路，思考不同的輔助線之間的關(guān)系從而得到"三線合一”.

探究二:活動內(nèi)容:在學(xué)生小組合作的基礎(chǔ)上，教師通過分析、提問,和學(xué)生一起完成以下兩個性

質(zhì)定理的證明，注意最好讓兩至三個學(xué)生板演證明，其余學(xué)生挑選其一證明.其后，教師通過課

件匯總各小組的結(jié)果以及具體證明方法，讓學(xué)生明晰證明過程.

(1)等腰三角形的兩底角相等.

⑵等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合.

活動目的:和學(xué)生一起完成性質(zhì)定理的證明，可以讓學(xué)生自主經(jīng)歷命題的證明過程;明晰證明

過程，給學(xué)生一定的規(guī)范，起到一種引領(lǐng)作用;活動2則是前面命題的直接推論,力圖讓學(xué)生形

成拓廣命題的意識，同時也是一個很好的鞏固練習(xí).

三、交流反思

1.具體有關(guān)性質(zhì)定理.

2.通過折紙活動對獲得的定理給予了嚴(yán)格的證明，為今后解決有關(guān)等腰三角形的問題提供了

豐富的理論依據(jù).

3.體會了證明一個命題的嚴(yán)格的要求，體會了證明的必要性.

4.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握探索的步驟:觀察一歸納一猜想一證明;探索出等腰三角形的性質(zhì).

四、檢測反饋

學(xué)生自主完成P4第2題：

如圖，在4ABD中,AC1BD,垂足為C,AC=BC=CD.

⑴求證:△ABD是等腰三角形.

(2)求/BAD的度數(shù).

五、布置作業(yè)B

P4習(xí)題1.1第1,2題.

六、板書設(shè)計

全等三角形的判定學(xué)生板演練

等腰三角形的性質(zhì)

七、教學(xué)反思

本節(jié)關(guān)注學(xué)生已有活動經(jīng)驗的回顧過程,關(guān)注了“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的活動過

程，關(guān)注了學(xué)生的自主探究過程,學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性發(fā)揮較好，應(yīng)該說取得了較好的教學(xué)效果.

在具體活動中,如何在學(xué)生活動與規(guī)范表達(dá)之間形成一個恰當(dāng)?shù)钠胶?，具體各部分時間比例的

分配可能還需要根據(jù)班級學(xué)生具體狀況進(jìn)行適度的調(diào)整.

第2課時

【教學(xué)目標(biāo)】

知識技能目標(biāo)

探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明等腰三角形中相等的線段,進(jìn)一步熟悉證明的基本步歌和書寫格式,

體會證明的必要性.

過程性目標(biāo)

1.經(jīng)歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和

必要發(fā)展,發(fā)展學(xué)生初步的演繹邏輯推理能力.

2.在命題的變式中，發(fā)展學(xué)生提出問題的能力，拓展命題的能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思

維能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性.

3.在圖形的觀察中，揭示等腰三角形的本質(zhì):對稱性，發(fā)展學(xué)生的幾何直覺.

情感態(tài)度目標(biāo)

1.鼓勵學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲.

2.體驗數(shù)學(xué)活動中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

【重點難點】

重點:經(jīng)歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過程，能夠用綜合法證明有關(guān)三角形和等腰三角形

的一些結(jié)論.

難點:能夠用綜合法證明有關(guān)三角形和等腰三角形的一些結(jié)論.

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境

內(nèi)容:在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出問題：

在等腰三角形中作出一些線段（如角平分線、中線、高等），你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎？

你能證明你的結(jié)論嗎?引入本課研究內(nèi)容.

二、探究歸納

1.探究活動一

內(nèi)容:在等腰三角形中自主作出一些線段（如角平分線、中線、高等），觀察其中有哪些相等的線

段，并嘗試給出證明.

問:你可能得到哪些相等的線段？

你如何驗證你的猜測？

你能證明你的猜測嗎?試作圖，寫出已知、求證和證明過程；

還可以有哪些證明方法？

學(xué)生通過觀察，歸納發(fā)現(xiàn)：

等腰三角形兩個底角的平分線相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中線相等.

2.探究活動二

內(nèi)容:提醒學(xué)生在得到上面等腰三角形性質(zhì)定理的基礎(chǔ)上，思考等邊三角形的特殊性質(zhì):等邊

三角形三個內(nèi)角都相等并且每個內(nèi)角都等于60°.

已知:在4ABC中,AB=BC=AC.

求證:/A=NB=NC=60".

證明:在△ABC中,rABMAC,

??.NB=/C（等邊對等角）.

同理:NC=NA,；./人=/8=/（2（等量代換）.

又?.?NA+NB+/C=180°（三角形內(nèi)角和定理），

ZA=ZB=ZC=60.

活動效果:學(xué)生一般都能得到這些定理的證明,能規(guī)范地寫出“等邊三角形三個內(nèi)角都相等并

且每個內(nèi)角都等于60°”的證明過程.

三、交流反思

1.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握探索的步驟:觀察一歸納一猜想一證明.

2.通過本節(jié)課探索出等腰三角形的性質(zhì)及推論.

四、檢測反饋

1.等邊三角形練習(xí):

如圖，已知AABC和4BDE都是等邊三角形.

求證:AE=CD.

2.等腰三角形特殊線段的應(yīng)用:

如圖，在△ABC中，若AB=AC,ZA=40°,O點是△ABC的角平分線BD與高線CE的交點，則Z

DOC的度數(shù)為

五、布置作業(yè)

1.已知:如圖，在△ABC中,AB=AC,BD,CE是aABC的角平分線.

求證:BD=CE.

2.證明：等腰三角形兩腰上的高相等.

六、板書設(shè)計

等腰三角形兩個底角的平分線相等；

等邊三角形的

等腰三角形腰上的高相等；

性質(zhì)

等腰三角形腰上的中線相等.

七、教學(xué)反思

本節(jié)課關(guān)注了問題的變式與拓廣,實際上引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了提出問題、解決問題的過程，因

而較好地提高了學(xué)生的研究能力、自主學(xué)習(xí)能力，但也應(yīng)注意根據(jù)學(xué)生的情況進(jìn)行適度的調(diào)

整，因為學(xué)生先前這樣的經(jīng)驗較少，因而對一些班級學(xué)生而言，完成全部這些教學(xué)任務(wù),可能時

間偏緊,為此，教學(xué)中可以適當(dāng)減少一些內(nèi)容，將部分內(nèi)容延伸到課外,當(dāng)然，也可以設(shè)計為兩個

課時，將研究過程進(jìn)一步展開.

第3課時

【教學(xué)目標(biāo)】

知識技能目標(biāo)

1.探索等腰三角形的判定定理.

2.理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進(jìn)行簡單的證明.

3.了解反證法的基本證明思路，并能簡單應(yīng)用.

過程性目標(biāo)

在命題的變式中，發(fā)展學(xué)生提出問題的能力，拓展命題的能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思

維能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性.

情感態(tài)度目標(biāo)

鼓勵學(xué)生積極參與教學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲.

【重點難點】

重點:理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進(jìn)行簡單的證明.

難點:靈活應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)和判定定理.

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境

活動過程:通過問題串回顧等腰三角形的性質(zhì)定理以及證明的思路,要求學(xué)生獨立思考后再進(jìn)

行交流.

問題1.等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？這個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？

問題2.我們把性質(zhì)定理的條件和結(jié)論反過來還成立嗎?如果一個三角形有兩個角相等，那么這

兩個角所對的邊也相等嗎？

二、探究歸納

探究一：教師：”等邊對等角“，反過來成立嗎?也就是:有兩個角相等的三角形是等腰」

三角形嗎？/\

［學(xué)生］如圖，在4ABC中,NB=/C,要想證明AB=AC,只要構(gòu)造兩個全等的三角形，使/

-----------

AB與AC成為對應(yīng)邊就可以了.

探究二:導(dǎo)出反證法：

小明說:在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等.你認(rèn)為這個結(jié)

論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎？

我們來看一位同學(xué)的想法：

如圖，在4ABC中，已知/BK/C,此時AB與AC要么相等,要么不相等.

A

假設(shè)AB=AC,那么根據(jù)“等邊對等角“定理可得/C=/B,但已知條件是/BK/C./

C=NB”與已知條件“NBK/C”相矛盾，因此ABMAC./

你能理解他的推理過程嗎？

反證法的定義是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實、已有定理或已知

條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立.這也是證明命題的一種方法，我們把它叫

做反證法.

三.、交流反思

(1)本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

⑵等腰三角形的判定方法有哪幾種？

(3)結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)劦妊切涡再|(zhì)和判定的區(qū)別與聯(lián)系.

(4)舉例談?wù)動梅醋C法證明的基本思路.

四、檢測反饋

1.如圖,BD平分NCBA,CD平分/ACB,且MN//BC,設(shè)AB=12,AC=18,求AAMN的周長.

A

2.現(xiàn)有等腰三角形紙片,如果能從一個角的頂點出發(fā)，將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙

片，問此時的等腰三角形的頂角的度數(shù)？

五、布置作業(yè)

已知:如圖,/CAE是4ABC的外角,AD//BC且/1=/2.

求證:AB=AC.

六、板書設(shè)計

等腰三角形的判定：

有兩個角相等的三角形是等腰三角反證法

形

七、教學(xué)反思

本節(jié)課關(guān)注了問題的變式與拓廣,實際上引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了提出問題、解決問題的過程，因

而較好地提高了學(xué)生的研究能力、自主學(xué)習(xí)能力，但也應(yīng)注意根據(jù)學(xué)生的情況進(jìn)行適度的調(diào)

整，因為學(xué)生先前這樣的經(jīng)驗較少，因而對一些班級學(xué)生而言，完成全部這些教學(xué)任務(wù),可能時

間偏緊.

第4課時

【教學(xué)目標(biāo)】

知識技能目標(biāo)

1.理解等邊三角形的判別條件及其證明.

2.理解含有30°角的直角三角形的性質(zhì)及其證明，并能利用這兩個定理解決一些簡單的問題.

過程性目標(biāo)

1.經(jīng)歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維.

2.經(jīng)歷實際操作，探索含有30°角的直角三角形性質(zhì)及其推理證明過程,發(fā)展合情推理能力和

初步的演繹推理的能力.

情感態(tài)度目標(biāo)

積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動,對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲.

【重點難點】

重點:等邊三角形判定定理.

含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理.

難點:含30'角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明.

引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問題.

【教學(xué)過程】

―、創(chuàng)設(shè)情境

活動內(nèi)容:教師回顧前面等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的基礎(chǔ)上，直接提出問題:等邊三角形

作為一種特殊的等腰三角形,具有哪些性質(zhì)呢?又如何判別一個三角形是等邊三角形呢?從而

引入新課.

二、探究歸納

探究一:學(xué)生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報各自的結(jié)論，教師適時

要求學(xué)生給出相對規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出下表：

性質(zhì)判定的條件

等邊對等角等角對等邊

等腰三“三線合一”即等腰三角形頂

有一角是60°的等腰三角形

角形角的平分線、底邊上的中線、

是等邊三角形

（含等邊高互相重合

三角形）等邊三角形三個角都相等，且三個角都相等的三角形是等

每個角都是60°邊三角形

學(xué)生探究出：

1.頂角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

2.底角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

3.三個角都相等的三角形是等邊三角形.

4.三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

探究二:教師直接提出問題：

1.將等邊三角形沿對稱軸能剪成兩個什么特殊的三角形？

2.你能猜測這個含30°角的直角三角形有哪些性質(zhì)嗎？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論:在直角三角形中，如果一個銳角等于30,那么它所對的直角邊等于斜邊的一

半.

三、交流反思

讓學(xué)生對課堂學(xué)習(xí)進(jìn)行小結(jié)，注意總結(jié)具體的知識、結(jié)論,以及解決問題的方法和蘊含其中的

思想，如分類討論思想、逆向思維等.

四、檢測反饋

等腰三角形的底角為15°,腰長為2a,求腰上的高CD的長.

解:/ABC=/ACB=15°,

ZDAC=ZABC+ZACB=15°+15°=30°,

11

；.CD=2AC=2x2a=a（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜

邊的一半）.

五、布置作業(yè)

P12習(xí)題1.4第1,2題

六、板書設(shè)計

等邊三角形的判定

1.含30"角的直角

學(xué)生板演

2.三角形的性質(zhì)

3.

七、教學(xué)反思

本節(jié)課，難點在于探究兩個定理:“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么

這條直角邊所對的銳角等于30°”和"在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一

半”，由于設(shè)計了三角板操作的實踐活動，有效地突破了難點,因而，課堂上學(xué)生思維非常靈活，

方法多樣，取得較好的效果.

課題直角三角形（第一課時）課型新授課

1.知識目標(biāo)：（1）掌握直角三?角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法，

并能應(yīng)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問題。（2）結(jié)合具體例子了解逆命題的概^念，會識別

教學(xué)

兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立.

目標(biāo)

2.能力目標(biāo)：（1）進(jìn)一步經(jīng)歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初

步的符號感，發(fā)展抽象思維.（2）進(jìn)一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理的能力.

重點：①了解勾股定理及其逆定理的證明方法.②結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，識

重點

別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立.

難點

難點：勾股定理及其逆定理的證明方法.

學(xué)生課前準(zhǔn)備：一張等腰三角形紙片（供上課折疊實驗課時

1課時

準(zhǔn)備用）；安排

教學(xué)過程與教學(xué)內(nèi)”容教學(xué)方法與學(xué)法

1:創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

通過問題1,讓學(xué)生在解決問題的同時，回顧直角三角形的一般性

質(zhì)。

［問題1］一個直甭三角形房梁如圖所示，其中BC1AC,

ZBAC=30",AB=10cm,CB,1AB,B^IAC,,垂足分別是耳、.Ct,

那么BC的長是多少？BQ】呢？

解：在RtZ\ABC中，ZCAB=30°,AB=10cm,

11讓學(xué)生在回顧的基礎(chǔ)上，

，BC=;AB=QX10=5cm.

自主地尋求命題的證明

?.'CB.IAB,ZB4-ZBCB,=90°

又NA+/B=90°

ZBCB,=ZA=30°

115

在Rt^ACBi中，BB,=-BC=-X5=-cm=2.5cm.

.?.ABl=AB=BB,=10—2.5=7.5（cm）.

，在RtZ\GAB|中，ZA=30°

11

=5AB［=5X7.5=3.75（cm）.

解決這個問題，主要利用了上節(jié)課已經(jīng)證明的"30"角的直角三角

形的性■■質(zhì)由此提問：“一般的直角三角形具有什么樣的性質(zhì)呢?”從而

引入勾股定理及其證明。

教材中曾利用數(shù)方格和割補(bǔ)圖形的方法得到了勾股定理.如果利用

公理及由其推導(dǎo)出的定理，能夠證明勾股定理嗎？

請同學(xué)們打開課本P18,閱讀“讀一讀”，了解一下利用教科書給

出的公理和推導(dǎo)出的定理，證明勾股定理的方法.

2:講述新課

閱讀完畢后，針對“讀一讀”中使用的兩種證明方法，著重討論第

一種，第二種方法請有興趣的同學(xué)課后閱讀.

(1).勾股定理及其逆定理的證明.

已知：如圖，在AABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

求證：a2+b2=c2.

證明：延長CB至D,使BD=b,作NEBD=/A,并取BE=c,連

接ED、AE(如圖)，則4ABC四Z\BED.

ZBDE=905,ED=a(全等三角形的對應(yīng)角相

A

等，對應(yīng)邊相等).\

二四邊形ACDE是直角梯形.\

?1S梯形AQDE=5(a+b)(a+b)=-(a+b)2.1\

/.ZABE=180°-(/ABC+ZEBD)=180°—CB

90°=90°,

AB=BE.

1

/.SAABE=2C?A

?/S梯形ACDE=\E

SAABE+S/XABC+SABED，\

101011h_____A

(a+b)2=2c+2ab+2CaBD

ab,

111

即5a2+ab+-b2=~c2+ab,

.■.a2+b2=c2

教師用多媒體顯示勾股定理內(nèi)容，用課件演示勾股定理的條件和結(jié)

論，并強(qiáng)調(diào).具體如下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于.斜

邊的平方.

反過來，如果在一個三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平方

時，我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三甭形”的結(jié)論.你

能證明此結(jié)論嗎？

師生共同來完成.

已發(fā)P：如圖：在AABC中，AB2+AC2

=BC2

求證：4ABC是直角三角形.

分析：要從邊的關(guān)系，推出NA=90°

是不容易的，如果能借助于aABC與一個

直角三角形全等，而得到NA與對應(yīng)角（構(gòu)造的三角形的直角）相等，可證.

證明：作RtZ\A'B'C'，彳更NA'=90°,A'B'=AB,A'C'、

AC（如圖），

則A'B':+A'C'"勾股定理）.

?.AB2+AC2=BC2,A'B'=AB,A'C*W

.-.BC2=BrCz2/

.-.BC=B，C'/

C

.-.△ABC^AA，B'C'（SSS）

ZA=ZA"=90"（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

因此，AABC是直角三角形.

.總結(jié)得勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，

那么這個三角形是直角三角形.

（2）.互逆命題和互逆定理.

觀察上面兩個命題，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系?在前面的

學(xué)習(xí)中還有類似的命題嗎？

通過觀察，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：

上面兩個定.理的條件和結(jié)論互換了位置，即勾股定理的條件是第二

個定理的結(jié)論，結(jié)論是第二個定理的條件.

這樣的情況，在前面也曾遇到過.例如“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，

交換條件和結(jié)論，就得到“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”.又如“在直角

三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊就等于斜邊的

一半”.交換此定理的條件和結(jié)論就可得“在直角三角形中，如果一條

直角邊等于,斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°”。

3：議一議

觀察下面三組命題：學(xué)生以分組討論形式進(jìn)行，最后在教師的引導(dǎo)

下得出命題與逆命題的區(qū)別與聯(lián)系。

讓學(xué)生暢所欲言，體會逆命題與命題之間的區(qū)別與聯(lián)系，要能夠清

晰地分別出一個命題的題設(shè)和結(jié)論，能夠?qū)⒁粋€命題寫出“如果……；

那么……"的形式，以及能夠?qū)懗鲆粋€命題的逆命題。

活動中，教師應(yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，學(xué)生若出現(xiàn)語言上不嚴(yán)謹(jǐn)時，

要先讓這個疑問交給學(xué)生來剖析，然后再總結(jié)?；顒訒r可以先讓學(xué)生觀

察下面三組命題：

如果兩個角是對頂角，那么它們相等.

如果兩個角相等，那么它們是對頂角.

如果小明患了肺炎，那么他一定發(fā)燒.

如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎.

三角形中相等的邊所對的角相等.

三角形中相等的角所對的邊相等.

上面每組中兩個命題的條件和結(jié)論也有類似的關(guān)系嗎?與同伴交流.

不難發(fā)現(xiàn)，每組第二個命題的條件是第一個命題的結(jié)論，第二個命

題的結(jié)論是第一個命題的條件.

在兩個命題中，如果'命題條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論

和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題

的逆命題，相對于逆命題來說，另一個就為原命題.

再來看“議一議”中的三組命題，它們就稱為互逆命題，如果稱每

組的第一個命題為原命題，另一個則為逆命題.請同學(xué)們判斷每組原命

題的真假.逆命題呢？

在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題.

在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題.

在第三組中，原命題和逆命題都是真命題.

由此我們可以發(fā)現(xiàn)：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題.

4:想一想

要寫出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結(jié)論，然后把

結(jié)論變換成條件，條件變換成結(jié)論，就得到了逆命題.

請學(xué)生寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等，那么它們的平方相等”的

逆命題嗎?它們都是真命題嗎？

從而引導(dǎo)學(xué)生思考：原命題是真命題嗎?逆命題一定是真命題嗎？并

通過具體的實例說明。

如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱

它們?yōu)榛ツ娑ɡ?

其中逆命題成為原命題(即原定理)的逆定理.

能舉例說出我們已學(xué)過的互逆定理？

如我們剛證過的勾股定理及其逆定理，“兩直線,平行，內(nèi)錯角相等“

與“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”.“全等三角形對應(yīng)邊相等”和“三邊對

應(yīng)相等的三角形全等"、“等邊對等角”和“等角對等邊”等.

5:隨堂練習(xí)

說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假j

⑴四邊形是多邊形；

⑵兩直線平行，內(nèi)旁內(nèi)角互補(bǔ)；

⑶如果ab=O,那么a=0,b=0

［分析］互逆命題和互逆定理的概念，學(xué)生接受起來應(yīng)不會有什么困

難，尤其是對以“如果……那么……”形式給出的命題，寫出其逆命題

較為容易，但對于那些不是以這種形式給出的命題，敘述其逆命題有一

定困難.可先分析命題的條件和結(jié)論，然后寫出逆命題.

解：⑴多邊形是四邊形.原命題是真命題，而逆命題是假命題.

(2)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.原命題與逆命題同為正.

⑶如果a=0,6=0,那么ab=0.原命題是假命題，而逆命題是真

命題.

6:課時小結(jié)

這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結(jié)合數(shù)學(xué)和生

活中的例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道，原命題成

立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方法，進(jìn)一步發(fā)展了演繹推理能

力.

7:課后作業(yè)

習(xí)題1.5第1、2、3、4題

1、勾股定理及逆定理的證明。

板2、互逆命題：

書

課題直角三角形（第二課時）課型新授課

1.知識目標(biāo)：①能夠證明直角三角形全等的"HL”的判定定理，進(jìn)一步理解證明的必

教學(xué)

要性②利用"HL''定理解決實際問題

目標(biāo)

2.能力目標(biāo)：①進(jìn)一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力

重點重點：探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的.思路與方法，掌握證明的基本要求和方法；

難點難點：明確推理證明的基本要求如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語言正確表達(dá)等。

教具學(xué)生課前準(zhǔn)備：一張等腰三角形紙片（供上課折疊實驗課時

1課時

準(zhǔn)備用）；安排

教學(xué)過程與教學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法與學(xué)法

1:復(fù)習(xí)提問

1.判斷兩個三角形全等的方法有哪幾種？

2.已知一條邊和斜邊，求作一個直角三角形。想一想，怎么畫？同,學(xué)

們相互交流。

3、有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎？如果其

中一個角是直角呢？請證明，你的結(jié)論。

我們曾從折紙的過程中得到啟示，作了等腰三角形底.邊上的中線或

頂角的角平分線，運用公理，證明三角形全等，從而得出“等邊對等角”。讓學(xué)生在回顧的基礎(chǔ)

那么我們能否通過作等腰三角形底邊的高來證明”等邊對等角”.

上，自主地尋求命題的證

要求學(xué)生完成，一位學(xué)生的過程如下：

明

已知：在△ABC中，AB=AC.

求證：ZB=ZC.

證明：過A作ADJ?BC,垂足為C,

ZADB=ZADC=90°

又「AB二AC,AD=AD,

.-.△ABD^AACD.

.,.ZB=ZC（全等三角形的對應(yīng)角相等）

在實際的教學(xué)過程中，有學(xué)生對上述證明方法產(chǎn)生了質(zhì)疑。質(zhì)疑點

在于“在證明△ABD9Z\ACD時，用了“兩邊及其中一邊的對角對相等

的兩個三角形全等".而我們在前面學(xué)習(xí)全等的時候知道，兩個三角形，

如果有兩邊及其一邊的對角相等，這兩個三角形是不一定全等的.可以

畫圖說明.(如圖所示在ABD和4ABC中，AB=AB,ZB=ZB,AC=AD,

但aABD與AABC不全等)”.

也有學(xué)生認(rèn)同上述的證明。

教師順?biāo)浦?，詢問能否證明：“在兩個直角三角形中，直角所對的

邊即斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.”，從而引入新

課。

2:引入新課

(1).“HL”定理.由師生共析完成

已知：在RtAABC和RtAA(B'C'中，ZC=ZC，=90°,

AB=A'B',BC=B'C'.

求證：

RtAABC^RtAA，B，C'夕分

證明：在RtAABC中，AC=AB2//

一BC2(勾股定理).//

又：在RtAA'B'C'中，A'C//

=A'C'=A'B'2-B'C'2(勾股定理).譽--------生--------%，

AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C.

RtAABC^RtAA'B'C(SSS).

教師用多媒體演示：

定理斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

這一定理可以簡單地用“斜邊、直角邊"或"HL”，表示.

，從而肯定了第一位同學(xué)通過作底

邊的高證明兩個三角形全等，從而得到

“等邊對等角”的證法是正確的.

練習(xí)：判斷下列命題的真假，并說

明理由:AD

(1)兩個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等;

（2）斜邊及一銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；

（3）兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；

（4）一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應(yīng)相等的兩個直角三角形

全等.

對于（1）、（2）、（3）一般可順利通過，這里教師將講解的重心放在

了問題（4）,學(xué)生感覺是真命題，一時有無法直接利用已知的定理支持，

教師引導(dǎo)學(xué)生證明.

已知：RAABC^RtAA'B'C,ZC=ZC'=90，,BC=B'C',BD、B'D'

分別是AC、AC）邊上的中線且BD—B'D（如圖）.

求證：RtAABC^RtAA'B'C.

AA'

證明：在RtABDC和中，/IA

：BD=BD,BC=BC/JD，

」.RtZXBDC/RtZ\B'D'C'（HL定理）.N_JN_J,

BCBC

CD=C'D'.

又,；AC=2CD,A'C'=2C'D',：.AC=A'C.

：.在RtAABC和RtAA'B'C'f,

?.BC=B'C',ZC=ZC'=90°,AC=A'C,

RtAABC^CORtAA'B'C（SAS）.

通過上述師生共同活動，學(xué)生板書推理過程之后可發(fā)動學(xué)生去糾錯，

教師最后再總結(jié)。

3:做一微

問題你能用三角尺平分一個已知角嗎？請同學(xué)們用手中的三角

尺操作完成，并在小組內(nèi)交流，用自己的語言清楚表達(dá)自己的想法.

（設(shè)計做一做的目的為了讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)結(jié)論在實際中的應(yīng)用，教

學(xué)中就要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)的語言清楚地表達(dá)自己的想法，并能按要求將

推理證明過程寫出來。）

4：議一議

如圖，已知/ACB=/BDA=90°,要使AACB9BDA,還需要什么

條件?把它們分別寫出來.

這是一個,開放性問題，答案不唯一，需要我們靈活地運用公理和已

學(xué)過的定理，觀察圖形，積極思考，并在獨立思考的基礎(chǔ)上，通過同學(xué)

之間的交流，獲得各種「不同的答案.

（教師一定要提供時間和空間，讓同學(xué)們認(rèn)真思考，勇于向困難提出

挑戰(zhàn)）

5：例題學(xué)習(xí)

CD=CD.ZACB=ZA'

C'B'.

求證：AABC色△A'B'C'.

分析：要證△ABC9Z\ABC,由已知中找到條件：一組邊AC=A9,

一組角NACB=/A'C'B'.如果尋求/A=/A',就可用ASA證明全等；也

可以尋求么NB=/B',這樣就有AAS;還可尋求BC=B'C',那么就可根

據(jù)SAS.……注意到題目中，通有CD、CD是三角形的高，CD=C'D'.觀

察圖形，這里有三對三角形應(yīng)該是全等的，且題目中具備了HL定理的

條件，可證的RtaADCSRtaA'DJC,因此證明NA=/A'就可行.

證明：-.CD.CD'分別是△ABCZ\A'B'C的高（已知），

ZADC=ZA'D'C-90°.

在RtAADC和RtZ\ATXC中，

AC=A'C（已次"），「

CD=CD（已知），

RtAADC^RtAA'D'C（HL）.

ZA=ZA',（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

在AABC和△AEC中，

/A=/A'（已證），

AC=A'C'（已知）,

NACB=/A'C'B'（已知），

AABC^AA'B'C（ASA）.

6：課時小結(jié)

本節(jié)課我們討論了在一般三角形中兩邊及其一邊對角對應(yīng)相等的兩

個三角形不一定全等.而當(dāng)一邊的對角是直角時，這兩個三角形是全等

的，從而得出判定直角三?角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理

安排了一系列具體的、開放性的問題，不僅進(jìn)一步掌握了推理證明的方

法，而且發(fā)展了同學(xué)們演繹推理的能力.同學(xué)們這一節(jié)課的表現(xiàn)，很值

得繼續(xù)發(fā)揚廣大.

7：課后作業(yè)

習(xí)題1.6第3、4、5題

1、作等腰三角形底邊的高來證明”等邊對等角”

板2、判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理

3、例題講解

書4、隨堂練習(xí)

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3線段的垂直平分線

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

(1)要求學(xué)生掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及判定定理，能夠利用這兩個定理解決一些

問題；

(2)能夠證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理及判定定理.

2.過程與方法

(1)經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力；

(2)體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神；

(3)學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果.

3.情感態(tài)度及價值觀

(1)積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲；

(2)在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.

二、教學(xué)重點、難點

重點：能夠證明線段的垂直平分線的性質(zhì)定理、判定定理及其相關(guān)結(jié)論.

難點：(1)寫出線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題并證明它.

(2)用尺規(guī)作線段垂直平分線.

三、教具準(zhǔn)備

教師準(zhǔn)備：課件.

學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本.

四、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境，引入新課

教師用多媒體演示：

如圖3-1,4、8表示兩個倉庫，要在4、8一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距

離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？

'B

圖3-1

［生］碼頭應(yīng)建在線段的垂直平分線與在8一側(cè)的河岸邊的交點上.

［師］同學(xué)們認(rèn)同他的看法嗎？

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［生］認(rèn)同.

［師］認(rèn)為對的說說你的理由是什么呢？

［生］（回憶定理）我們以前曾學(xué)過線段垂直平分線的一個性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段

兩個端點的距離相等.所以在這個問題中，要求在“月、6一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使

它到兩個倉庫的距離相等"利用此性質(zhì)就能完成.

［師］這位同學(xué)分析得很好，我們在七年級時研究過線段的性質(zhì)，線段是一個軸對稱圖形，其

中線段的垂直平分線就是它的對稱軸.我們曾經(jīng)像這樣利用折紙的方法得到“線段垂直平分

線上的點到線段兩個端點的距離相等“這一簡單事實，但是用這種觀察的方式是很難說服別

人的，你能用公理或?qū)W過的定理來證明這一結(jié)論嗎？

教師演示線段垂直平分線的性質(zhì)：

定理：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.

2.講述新課

【第一部分】線段垂直平分線的性質(zhì)定理.

［師］我們得到了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，大家知道這是不夠的，還必須利用公理及已學(xué)

過的定理推理、證明它.那么如何證明呢？

［師］（引導(dǎo)）

問題一：①要證"線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等“，可線段垂直平分線

上的點有無數(shù)多個，需一個一個依次證明嗎？

（強(qiáng)調(diào)）我們只需在線段垂直平分線上任取一點代表即可，因為線段垂直平分線上的點都具有

相同的性質(zhì).（開始讓學(xué)生有這樣的教學(xué)思想）

②你能根據(jù)定理畫圖并寫出已知和求證嗎？

③誰能幫老師分析一下證明思路？

［生］（思考回答）

【師生共析］

已知：如圖3-2,直線垂足是C,S-AC=BC,P是MN上的懸.

求證：PA=PB.

圖3-2

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分析：要想證明尸4=尸8,可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等.

證明：'：MNLAB,

:"PCA=LPCB=90°.

：AC=BC,PC=PC,

：.XPCA/△PO?（SAS）.

.?.%=P3（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.

【第二部分】線段垂直平分線的判定定理.

教師用多媒體完整演示證明過程.同時，用多媒體呈現(xiàn)：

想一想：

你能寫出上面這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？

［師］（引導(dǎo)、并提問兩學(xué)生）

問題二：①這個命題是否屬于"如果……，那么……”的形式？

②你能分析原命題的條件和結(jié)論，將原命題寫成“如果……，那么……”的形式嗎？

③最后再把它的逆命題寫出來.

［生司（思考分析）原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點"，結(jié)論是“這個點到

線段兩個端點的距離相等”.

［師1有了這位同學(xué)的精彩分析，逆命題就很容易寫出來.

［生必如果有一個點到線段兩個瑞點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上.

［師］很好，能否把它描述得更簡捷呢？

［生均到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

［師］非常好！當(dāng)我們寫出逆命題時，就想到判斷它的真假.若為真，則需證明它；若為假，

則需用反例說明.請同學(xué)們類比原命題自己獨立寫出已知、求證.

（給學(xué)生思考時間）

已知：線段48,點〃是平面內(nèi)一點且24=%.

求證：點夕在48的垂直平分線上.

（分組討論，鼓勵學(xué)生多想證明方法，并派代表上黑板寫寫本組的證明過程）

［師］看學(xué)生的具體情況，做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).

證明：（證法一）過點P作已知線段的垂線尸C,如圖3-3.

：PA=PB,PC=PC,

RtA/MC^RtAP56（HL）.

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：.AC=BC,即點域/18的垂直平分線上.

（證法二）取/13的中點C,過/<?作直線，如圖3-4.

：AP=BP,PC=PC,AC=CB,

「.△4〃/△8PJSSS）.

NPC4=/PCB（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

又..?/201+/〃以=180°,

APCA=APCB=90°,即〃C_L/3

.?.點〃在月方的垂直平分線上.

圖3-4

（證法三）過〃點作//瓶的角平分線，如圖3-5.

:AP=BP,Z1=Z2,PC=PC,

:.△AP8XBP尖0.

：.AC=DC,全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等）.

又..?/〃G4+/〃C3=180°,：.APCA=APCB=90°.

點蟀線段力6的垂直平分線上.

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圖3-5

所］先肯定學(xué)生的思考，再對證明過程嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男〗M加以表揚，不足的加以點評和糾正.

［師］從同學(xué)們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題，我們把它

稱為線段垂直平分線的判定定理.

【第三部分】做一做：用尺規(guī)作線段的垂直平分線.（教師多媒體演示）

［師］（邊演示圖邊講講作圖有關(guān)的數(shù)學(xué)史）大家知道這些圖是用什么工具作出來的嗎？

（資料：古希臘以來，平面幾何中的作圖工具習(xí)慣上限用直尺和圓規(guī)兩種，其中，直尺假定

直而且長，但上面無任何刻度，圓規(guī)則假定其兩腿足夠長并能開閉自如.作圖工具的這種限

制，最先大概是恩諾皮德斯（Oencw&es,約公元前465年）提出的，以后又經(jīng)過柏拉圖

公元前427—347）大力提倡.柏拉圖非常重視數(shù)學(xué)，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)幾何對訓(xùn)練邏輯思維能力的特

殊作用，主張對作圖工具要有限制，反對使用其他機(jī)械工具作圖.之后，歐幾里得（&c灰/,

約公元前330—275）又把它總結(jié)在《幾何原本》一書中，于是，限用尺規(guī)進(jìn)行作圖就成為古

希臘幾何學(xué)的金科玉律.）

［師］其實同學(xué)們也能用圓規(guī)、直尺畫出優(yōu)美的圖形，下面咱們就一起來學(xué)用尺規(guī)作線段的垂

直平分線.

（分析：要作出線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定定理，到線段兩個端點距離相等

的點在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個到線段兩個端點距離相等的點，這

樣才能確定已知線段的垂直平分線.）

類似于證明題要寫出已知、求證和證明，作圖題也要根據(jù)條件寫出已知、求作和作法，下面

我們一同來寫出已知、求作、作法，體會作法中每一步的依據(jù).

［教師示范，請學(xué)生同時練習(xí)］

已知：線段如圖3-6.

AB

圖3-6

求作：線段48的垂直平分線.

作法：①分別以點力和8為圓心，以大于工/8的長為半徑作弧，兩弧相交于點。和。.

2

②作直線CD,如圖3-7.直線CD就是線段的垂直平分線.

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圖3-7

所］根據(jù)上面作法中的步驟，請你說明8為什么是的垂直平分線嗎？請與同伴進(jìn)行交流.

［生］從作法的第一步可知：AC=BC,AD=BD.

：.a。都在/B的垂直平分線上(線段垂直平分線的判定定理).

...CD就是線段的垂直平分線(兩點確定一條直線).

［師］我們曾用刻度尺找線段的中點，當(dāng)我們學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的作法時，一旦垂直平分

線作出，線段與線段垂直平分線的交點就是線段43的中點，所以我們也用這種方法作線段

的中點.

3.練習(xí):

(1)已知直線1和/上一點P,用尺規(guī)作/的垂線，使它經(jīng)過點P.

學(xué)生先獨立思考完成，然后交流：說出做法并解釋作圖的理由.

(2)拓展：如果點P是直線/外一點，那么怎樣用尺規(guī)作/的垂線，使它經(jīng)過點P呢？

說說你的作法，并與同伴交流.

4.課堂小結(jié)：本節(jié)課你都掌握了哪些內(nèi)容？

5.教學(xué)反思

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4角平分線

課題角平分線(第一課時)課型新授課

1.會證明角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.

教學(xué)2.進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力，培養(yǎng)學(xué)生將文字語言.轉(zhuǎn)化為符號

目標(biāo)語言、圖形語言的能力.

3.經(jīng)歷探索，猜想，證明使學(xué)生掌握研究解決問題的方法。

重點

正確地表述角平分線性質(zhì)定理的逆命題及其證明。

難點

教具課時

圓規(guī)、三角尺1課時

準(zhǔn)備安排

教學(xué)過程與教學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法與學(xué)法

1:情境引入

我們曾