2025屆福建省福州一中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆福建省福州一中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,在矩形中的曲線分別是,的一部分,,,在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),若此點(diǎn)取自陰影部分的概率為,取自非陰影部分的概率為,則()A. B. C. D.大小關(guān)系不能確定2.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則()A. B. C. D.3.方程的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,如果函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么滿足()A. B. C. D.4.若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知奇函數(shù)是上的減函數(shù),若滿足不等式組,則的最小值為()A.-4 B.-2 C.0 D.46.已知集合A={x|–1<x<2},B={x|x>1},則A∪B=A.(–1,1) B.(1,2) C.(–1,+∞) D.(1,+∞)7.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.8.直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),則的最小值是A.10 B.9 C.8 D.79.已知某口袋中有3個(gè)白球和個(gè)黑球(),現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球,再換回一個(gè)不同顏色的球(即若取出的是白球,則放回一個(gè)黑球;若取出的是黑球,則放回一個(gè)白球),記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是.若,則=()A. B.1 C. D.210.設(shè)點(diǎn),P為曲線上動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)A,P間距離的最小值為,則實(shí)數(shù)t的值為()A. B. C. D.11.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升,其三視圖如圖所示(單位:寸),若取3,當(dāng)該量器口密閉時(shí)其表面積為42.2(平方寸),則圖中x的值為()A.3 B.3.4 C.3.8 D.412.已知隨機(jī)變量的分布列是則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,是互相垂直的單位向量,若與λ的夾角為60°,則實(shí)數(shù)λ的值是__.14.在中,若,則的范圍為_(kāi)_______.15.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,,,,,E,F(xiàn)分別為,的中點(diǎn),,則球O的體積為_(kāi)_____.16.若函數(shù)在和上均單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在,角、、所對(duì)的邊分別為、、,已知.(1)求的值;(2)若,邊上的中線,求的面積.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若射線與和分別交于點(diǎn),求.19.(12分)設(shè)函數(shù)(其中),且函數(shù)在處的切線與直線平行.(1)求的值;(2)若函數(shù),求證:恒成立.20.(12分)已知函數(shù).(1)若,解關(guān)于的不等式;(2)若當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x+1|.(Ⅰ)解不等式f(x)>1;(Ⅱ)當(dāng)x>0時(shí),若函數(shù)g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22.(10分)已知,函數(shù),(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(Ⅰ)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(Ⅱ)若,且命題“,”是假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積,再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.【詳解】根據(jù)題意,陰影部分的面積的一半為:,于是此點(diǎn)取自陰影部分的概率為.又,故.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型,定積分的計(jì)算以及幾何意義,屬于中檔題.2、C【解析】

根據(jù)在關(guān)于對(duì)稱的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解.【詳解】,,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用.掌握正態(tài)曲線的性質(zhì)是解題基礎(chǔ).隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則.3、D【解析】

由題設(shè)中所給的定義,方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可求出的大致范圍【詳解】解:由題意方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,對(duì)于函數(shù),由于,,設(shè),該函數(shù)在為增函數(shù),,,在上有零點(diǎn),故函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么故選:.【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)新定義的題,理解定義,分別建立方程解出存在范圍是解題的關(guān)鍵,本題考查了推理判斷的能力,屬于基礎(chǔ)題..4、A【解析】

本題根據(jù)基本不等式,結(jié)合選項(xiàng),判斷得出充分性成立,利用“特殊值法”,通過(guò)特取的值,推出矛盾,確定必要性不成立.題目有一定難度,注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.【詳解】當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),有,解得,充分性成立;當(dāng)時(shí),滿足,但此時(shí),必要性不成立,綜上所述,“”是“”的充分不必要條件.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有,一是基本不等式掌握不熟,導(dǎo)致判斷失誤;二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”,通過(guò)特取的值,從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.5、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到可行域,畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】奇函數(shù)是上的減函數(shù),則,且,畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),,即,表示直線與軸截距的相反數(shù),根據(jù)平移得到:當(dāng)直線過(guò)點(diǎn),即時(shí),有最小值為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,線性規(guī)劃問(wèn)題,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.6、C【解析】

根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選C.【點(diǎn)睛】考查并集的求法,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出.【詳解】解:復(fù)數(shù)i(2+i)=2i﹣1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,2),故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

根據(jù)拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的兩段線段關(guān)系,可得;再由基本不等式可求得的最小值.【詳解】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可知p=2因?yàn)橹本€l過(guò)拋物線的焦點(diǎn),由過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)可知所以因?yàn)闉榫€段長(zhǎng)度,都大于0,由基本不等式可知,此時(shí)所以選B【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的基本性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用,基本不等式的用法,屬于中檔題.9、B【解析】由題意或4,則,故選B.10、C【解析】

設(shè),求,作為的函數(shù),其最小值是6,利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求的最小值.【詳解】設(shè),則,記,,易知是增函數(shù),且的值域是,∴的唯一解,且時(shí),,時(shí),,即,由題意,而,,∴,解得,.∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查用導(dǎo)數(shù)求最值.解題時(shí)對(duì)和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵.11、D【解析】

根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積,即可解得未知數(shù).【詳解】由圖可知,該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為和一個(gè)底面半徑為,高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為,解得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體,以及圓柱和長(zhǎng)方體表面積的求解,屬綜合基礎(chǔ)題.12、C【解析】

利用分布列求出,求出期望,再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得,得,所以,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法,是基本知識(shí)的考查.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與單位向量的定義,列出方程解方程即可求出λ的值.【詳解】解:由題意,設(shè)(1,0),(0,1),則(,﹣1),λ(1,λ);又夾角為60°,∴()?(λ)λ=2cos60°,即λ,解得λ.【點(diǎn)睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題,是中檔題.14、【解析】

借助正切的和角公式可求得,即則通過(guò)降冪擴(kuò)角公式和輔助角公式可化簡(jiǎn),由,借助正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得所求.【詳解】,所以,.因?yàn)?,所以,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn),重點(diǎn)考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度一般.15、【解析】

可證,則為的外心,又則平面即可求出,的值,再由勾股定理求出外接球的半徑,最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得.【詳解】解:,,,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以為的外心,因?yàn)?,所以點(diǎn)在內(nèi)的投影為的外心,所以平面,平面,所以,所以,又球心在上,設(shè),則,所以,所以球O體積,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球體積的求法,考查空間想象能力與思維能力,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.16、【解析】

化簡(jiǎn)函數(shù),求出在上的單調(diào)遞增區(qū)間,然后根據(jù)在和上均單調(diào)遞增,列出不等式求解即可.【詳解】由知,當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在和上均單調(diào)遞增,,

,

的取值范圍為:.

故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于m的方程組,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)答案不唯一,見(jiàn)解析【解析】

(1)由題意根據(jù)和差角的三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得的值;(2)在中,由余弦定理可得,解方程分別由三角形面積公式可得答案.【詳解】解:(1)在中,因?yàn)?,又已知,所以,因?yàn)椋?,于?所以.(2)在中,由余弦定理得,得解得或,當(dāng)時(shí),的面積,當(dāng)時(shí),的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理理解三角形,涉及三角形的面積公式和分類討論思想,屬于中檔題.18、(1):;:.(2)【解析】

(1)由可得,由,消去參數(shù),可得直線的普通方程為.由可得,將,代入上式,可得,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)由(1)得,的普通方程為,將其化為極坐標(biāo)方程可得,當(dāng)時(shí),,,所以.19、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)求導(dǎo)得到,解得答案.(2)變形得到,令函數(shù),求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到,,得到證明.【詳解】(1),,解得.(2)得,變形得,令函數(shù),,令解得,當(dāng)時(shí),時(shí).函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,,即,即,恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)切線求參數(shù),證明不等式,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力,綜合應(yīng)用能力.20、(1)(2)【解析】

(1)利用零點(diǎn)分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)對(duì)分成三種情況,求得的最小值,由此求得的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,由此可知,的解集為(2)當(dāng)時(shí),的最小值為和中的最小值,其中,.所以恒成立.當(dāng)時(shí),,且,不恒成立,不符合題意.當(dāng)時(shí),,若,則,故不恒成立,不符合題意;若,則,故不恒成立,不符合題意.綜上,.【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,考查根據(jù)絕對(duì)值不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.21、(Ⅰ);(Ⅱ)?!窘馕觥?/p>

(Ⅰ)分類討論,去掉絕對(duì)值,求得原絕對(duì)值不等式的解集;(Ⅱ)由條件利用基本不等式求得,,再由,求得的范圍.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),原不等式可化為,此時(shí)不成立;當(dāng)時(shí),原不等式可化為,解得,即;當(dāng)時(shí),原不等式可化為,解得.綜上,原不等式的解集是.(Ⅱ)因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以.當(dāng)時(shí),,所以.所以,解得,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想,難度一般;常見(jiàn)的絕對(duì)值不等式的解法,法一:利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;法二:利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想;法三:通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.22、(1)當(dāng)時(shí),沒(méi)有極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),有一個(gè)極小值點(diǎn).(2)【解析】試題分析:(1),分,討論,當(dāng)時(shí),對(duì),,當(dāng)時(shí),解得,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)。所以,當(dāng)時(shí),沒(méi)有極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),有一個(gè)極小值點(diǎn).(2)原命題為假命題,則逆否命題為真命題。即不等式在區(qū)間內(nèi)有解。設(shè),所以,設(shè),則,且是增函數(shù),所以。所以分和k>1討論。試題解析:(Ⅰ)因?yàn)?,所以,?dāng)時(shí),對(duì),,所以在是減函數(shù),此時(shí)函數(shù)不存

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