2025屆上海市長(zhǎng)寧、青浦、寶山、嘉定高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析_第1頁
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2025屆上海市長(zhǎng)寧、青浦、寶山、嘉定高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,則集合()A. B. C. D.2.設(shè)全集,集合,,則集合()A. B. C. D.3.已知集合A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},則下列結(jié)論正確的是()A.﹣3∈AB.3BC.A∩B=BD.A∪B=B4.已知函數(shù),集合,,則()A. B.C. D.5.若集合,,則A. B. C. D.6.已知平面向量滿足,且,則所夾的銳角為()A. B. C. D.07.設(shè),若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.如圖,在等腰梯形中,,,,為的中點(diǎn),將與分別沿、向上折起,使、重合為點(diǎn),則三棱錐的外接球的體積是()A. B.C. D.9.若為虛數(shù)單位,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)表示復(fù)數(shù),則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()A.E B.F C.G D.H10.如圖在直角坐標(biāo)系中,過原點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,過點(diǎn)分別作、軸的垂線,垂足分別為、,在矩形中隨機(jī)選取一點(diǎn),則它在陰影部分的概率為()A. B. C. D.11.在中,點(diǎn)為中點(diǎn),過點(diǎn)的直線與,所在直線分別交于點(diǎn),,若,,則的最小值為()A. B.2 C.3 D.12.在中,,分別為,的中點(diǎn),為上的任一點(diǎn),實(shí)數(shù),滿足,設(shè)、、、的面積分別為、、、,記(),則取到最大值時(shí),的值為()A.-1 B.1 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名代表,甲被選中的概率為__________.14.已知雙曲線(a>0,b>0)的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為_______.15.已知向量,滿足,,且已知向量,的夾角為,,則的最小值是__.16.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若,的面積為,則_______,_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)滿足.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程;(2)點(diǎn),分別是曲線上第一象限,第二象限上兩點(diǎn),且滿足,求的值.18.(12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為求a,b的值;證明:.19.(12分)已知函數(shù),不等式的解集為.(1)求實(shí)數(shù),的值;(2)若,,,求證:.20.(12分)若養(yǎng)殖場(chǎng)每個(gè)月生豬的死亡率不超過,則該養(yǎng)殖場(chǎng)考核為合格,該養(yǎng)殖場(chǎng)在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145(1)從該養(yǎng)殖場(chǎng)2019年2月到6月這5個(gè)月中任意選取3個(gè)月,求恰好有2個(gè)月考核獲得合格的概率;(2)根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù),求出月利潤y(十萬元)關(guān)于月養(yǎng)殖量x(千只)的線性回歸方程(精確到0.001).(3)預(yù)計(jì)在今后的養(yǎng)殖中,月利潤與月養(yǎng)殖量仍然服從(2)中的關(guān)系,若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只,試估計(jì):該月利潤約為多少萬元?附:線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計(jì)計(jì)算公式如下:,參考數(shù)據(jù):.21.(12分)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,離心率(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點(diǎn),是橢圓上在第一象限的一點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),問與面積之差是否為定值?說明理由.22.(10分)已知矩陣不存在逆矩陣,且非零特低值對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

弄清集合B的含義,它的元素x來自于集合A,且也是集合A的元素.【詳解】因,所以,故,又,,則,故集合.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的定義,涉及到解絕對(duì)值不等式,是一道基礎(chǔ)題.2、C【解析】∵集合,,∴點(diǎn)睛:本題是道易錯(cuò)題,看清所問問題求并集而不是交集.3、C【解析】試題分析:集合考點(diǎn):集合間的關(guān)系4、C【解析】

分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,,∴.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算,難度容易.5、C【解析】

解一元次二次不等式得或,利用集合的交集運(yùn)算求得.【詳解】因?yàn)榛颍?,所以,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算,屬于容易題.6、B【解析】

根據(jù)題意可得,利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.【詳解】因?yàn)榧炊詩A角為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積求夾角,需掌握向量數(shù)量積的定義求法,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】令,可得.在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象(如圖所示).當(dāng)時(shí),.由得.設(shè)過原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象切于點(diǎn),則有,解得.所以當(dāng)直線與函數(shù)的圖象切時(shí).又當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),有,解得.結(jié)合圖象可得當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.選D.點(diǎn)睛:已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解,對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)問題常用此方法求解.8、A【解析】

由題意等腰梯形中的三個(gè)三角形都是等邊三角形,折疊成的三棱錐是正四面體,易求得其外接球半徑,得球體積.【詳解】由題意等腰梯形中,又,∴,是靠邊三角形,從而可得,∴折疊后三棱錐是棱長(zhǎng)為1的正四面體,設(shè)是的中心,則平面,,,外接球球心必在高上,設(shè)外接球半徑為,即,∴,解得,球體積為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求球的體積,解題關(guān)鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體.9、C【解析】

由于在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,然后將代入化簡(jiǎn)后可找到其對(duì)應(yīng)的點(diǎn).【詳解】由,所以,對(duì)應(yīng)點(diǎn).故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)就關(guān)系,復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

設(shè)所求切線的方程為,聯(lián)立,消去得出關(guān)于的方程,可得出,求出的值,進(jìn)而求得切點(diǎn)的坐標(biāo),利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積,然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設(shè)所求切線的方程為,則,聯(lián)立,消去得①,由,解得,方程①為,解得,則點(diǎn),所以,陰影部分區(qū)域的面積為,矩形的面積為,因此,所求概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查定積分的計(jì)算以及幾何概型,同時(shí)也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.11、B【解析】

由,,三點(diǎn)共線,可得,轉(zhuǎn)化,利用均值不等式,即得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn),所以,又因?yàn)?,,所以.因?yàn)?,,三點(diǎn)共線,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值為1.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了三點(diǎn)共線的向量表示和利用均值不等式求最值,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.12、D【解析】

根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),可得到的距離等于△的邊上高的一半,從而得到,由此結(jié)合基本不等式求最值,得到當(dāng)取到最大值時(shí),為的中點(diǎn),再由平行四邊形法則得出,根據(jù)平面向量基本定理可求得,從而可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示:因?yàn)槭恰鞯闹形痪€,所以到的距離等于△的邊上高的一半,所以,由此可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即為的中點(diǎn)時(shí),等號(hào)成立,所以,由平行四邊形法則可得,,將以上兩式相加可得,所以,又已知,根據(jù)平面向量基本定理可得,從而.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則,考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,考查了基本不等式求最值,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,根據(jù)公式即可求得概率.【詳解】甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的計(jì)算,考查學(xué)生分析問題的能力,難度容易.14、【解析】

根據(jù)題意,由雙曲線的漸近線方程可得,即a=2b,進(jìn)而由雙曲線的幾何性質(zhì)可得cb,由雙曲線的離心率公式計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,雙曲線的漸近線方程為y=±x,又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y=0,即yx,則有,即a=2b,則cb,則該雙曲線的離心率e;故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),關(guān)鍵是分析a、b之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

求的最小值可以轉(zhuǎn)化為求以AB為直徑的圓到點(diǎn)O的最小距離,由此即可得到本題答案.【詳解】如圖所示,設(shè),由題,得,又,所以,則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上,取AB的中點(diǎn)為M,則,設(shè)以AB為直徑的圓與線段OM的交點(diǎn)為E,則的最小值是,因?yàn)?,又,所以的最小值?故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的綜合應(yīng)用問題,涉及到圓的相關(guān)知識(shí)與余弦定理,考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.16、【解析】

由已知及正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得,從而求得,結(jié)合范圍,即可得到答案運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式,結(jié)合完全平方公式,即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得,可得:解得,即,由面積公式可得:,即由余弦定理可得:即有解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形,題目較為基礎(chǔ),只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)();(2)【解析】

(1)由已知,曲線的參數(shù)方程消去t后,要注意x的范圍,再利用普通方程與極坐標(biāo)方程的互化公式運(yùn)算即可;(2)設(shè),,由(1)可得,,相加即可得到證明.【詳解】(1),∵,∴,∴,由題可知:,:().(2)因?yàn)?,設(shè),,則,,.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道容易題.18、(1);(2)見解析【解析】分析:第一問結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切點(diǎn)在切線上也在函數(shù)圖像上,從而建立關(guān)于的等量關(guān)系式,從而求得結(jié)果;第二問可以有兩種方法,一是將不等式轉(zhuǎn)化,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,從而求得結(jié)果,二是利用中間量來完成,這樣利用不等式的傳遞性來完成,再者這種方法可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.詳解:(1)解:,由題意有,解得(2)證明:(方法一)由(1)知,.設(shè)則只需證明,設(shè)則,在上單調(diào)遞增,,使得且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,由,得,,設(shè),,當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減,,因此(方法二)先證當(dāng)時(shí),,即證設(shè),則,且,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞增,則當(dāng)時(shí),(也可直接分析顯然成立)再證設(shè),則,令,得且當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.,即又,點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題,在求解的過程中,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,有關(guān)切線的問題,還有就是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式,可以構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為最值問題來解決,也可以借用不等式的傳遞性,借助中間量來完成.19、(1),.(2)見解析【解析】

(1)分三種情況討論即可(2)將,的值代入,然后利用均值定理即可.【詳解】解:(1)不等式可化為.即有或或.解得,或或.所以不等式的解集為,故,.(2)由(1)知,,即,由,得,,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)等號(hào)成立.故,即.【點(diǎn)睛】考查絕對(duì)值不等式的解法以及用均值定理證明不等式,中檔題.20、(1);(2);(3)利潤約為111.2萬元.【解析】

(1)首先列出基本事件,然后根據(jù)古典概型求出恰好兩個(gè)月合格的概率;(2)首先求出利潤y和養(yǎng)殖量x的平均值,然后根據(jù)公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程;(3)根據(jù)線性回歸方程代入9月份的數(shù)據(jù)即可求出9月利潤.【詳解】(1)2月到6月中,合格的月份為2,3,4月份,則5個(gè)月份任意選取3個(gè)月份的基本事件有,,,,,,,,,,共計(jì)10個(gè),故恰好有兩個(gè)月考核合格的概率為;(2),,,,故;(3)當(dāng)千只,(十萬元)(萬元),故9月份的利潤約為111.2萬元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型,線性回歸方程的求解和使用,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)(2)是定值,詳見解析【解析】

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