北京西城3中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

北京西城3中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)在平面α上，其法向量，則下列點(diǎn)不在平面α上的是（）A. B.C. D.2．等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則A.8 B.10C.12 D.143．已知等比數(shù)列，且，則（）A.16 B.32C.24 D.644．某救援隊(duì)有5名隊(duì)員，其中有1名隊(duì)長(zhǎng)，1名副隊(duì)長(zhǎng)，在一次救援中需隨機(jī)分成兩個(gè)行動(dòng)小組，其中一組2名隊(duì)員，另一組3名隊(duì)員，則正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的概率為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，若，則（）A. B.0C.1 D.26．已知拋物線的方程為，則此拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.7．七巧板是中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為（）A. B.C. D.8．已知點(diǎn)，和直線，若在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)P，使，且點(diǎn)P到直線l的距離為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A.或 B.或C.或 D.或9．?dāng)?shù)列2，0，2，0，…的通項(xiàng)公式可以為（）A. B.C. D.10．已知是拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若，則（）A.1011 B.2020C.2021 D.202211．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，則的最小值為（）A. B.C. D.12．下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（）①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底；③為空間一組基底，若，則；④對(duì)于任意非零空間向量，，若，則A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是用斜二測(cè)畫法畫出水平放置的正三角形ABC的直觀圖，其中，則三角形的面積為______.14．若函數(shù)在處有極值，則的值為___________.15．定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓是“黃金橢圓”，則_________.若“黃金橢圓”兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓C上的異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，則________.16．下列命題：①若，則；②“在中，若，則”逆命題是真命題；③命題“，”的否定是“，”；④“若，則”的否命題為“若，則”.則其中正確的是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：（，）的離心率為，點(diǎn)P在雙曲線C上，點(diǎn)，分別為雙曲線C的左右焦點(diǎn)，.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，.證明：為定值.18．（12分）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和19．（12分）已知橢圓的離心率是，且過點(diǎn).直線與橢圓相交于兩點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的面積的最大值；（Ⅲ）設(shè)直線，分別與軸交于點(diǎn)，.判斷，大小關(guān)系，并加以證明.20．（12分）在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，分別是棱，的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若，且四棱錐的體積是6，求三棱錐的體積21．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)和（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程22．（10分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)法向量的定義，利用向量垂直對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面α上對(duì)于B：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面α上對(duì)于C：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面α上對(duì)于D：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)不在平面α上.故選：D2、C【解析】假設(shè)公差為,依題意可得.所以.故選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).3、A【解析】由等比數(shù)列的定義先求出公比，然后可解..【詳解】，得故選：A4、C【解析】求出基本事件總數(shù)與正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的基本事件個(gè)數(shù)，即可求出答案.【詳解】基本事件總數(shù)為正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的基本事件個(gè)數(shù)為故正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的概率為.故選：C.5、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，直接代入即可求值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D.6、A【解析】由拋物線的方程直接寫出其準(zhǔn)線方程即可.【詳解】由拋物線的方程為，則其準(zhǔn)線方程為：故選：A7、A【解析】設(shè)七巧板正方形邊長(zhǎng)為4，求出陰影部分的面積，再利用幾何概型概率公式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)七巧板正方形邊長(zhǎng)為4，則大陰影等腰三角形底邊長(zhǎng)為4，底邊上的高為2，可得小正方形對(duì)角線長(zhǎng)為2，小正方形邊長(zhǎng)為，小陰影等腰直角三角形腰長(zhǎng)為，小白色等腰直角三角形底邊長(zhǎng)為2，則左上角陰影等腰直角三角形腰長(zhǎng)為2，因此，圖中陰影部分面積，而七巧板正方形面積，于是得七巧板中白色部分面積為，所以在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為.故選：A8、C【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)，點(diǎn)到直線的距離為，聯(lián)立方程組即可求解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∴的垂直平分線方程為，即，∵點(diǎn)在直線上，∴，又點(diǎn)到直線：的距離為，∴，即，聯(lián)立可得、或、，∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故選：C9、D【解析】舉特例排除ABC，分和討論確定D.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，不符；B.當(dāng)時(shí)，，不符；C.當(dāng)時(shí)，，不符；D.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合.故選：D.10、C【解析】結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算以及拋物線的定義求得正確答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)槭菕佄锞€上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，所以，準(zhǔn)線為：，因此，所以，即，由拋物線的定義可得，所以故選：C11、A【解析】將4x+3y＝4變形為含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由換元法、基本不等式換“1”的代換求解即可【詳解】由正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故選：A12、C【解析】根據(jù)題意、空間向量基底的概念和共線的運(yùn)算即可判斷命題①②③，根據(jù)空間向量的平行關(guān)系即可判斷命題④.【詳解】①：向量與空間任意向量都不能構(gòu)成一個(gè)基底，則與共線或與其中有一個(gè)為零向量，所以，故①正確；②：由向量是空間一組基底，則空間中任意一個(gè)向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組使得，所以也是空間一組基底，故②正確；③：由為空間一組基底，若，則，所以，故③正確；④：對(duì)于任意非零空間向量，，若，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得，有，又中可以有為0的，分式?jīng)]有意義，故④錯(cuò)誤.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)直觀圖和平面圖的關(guān)系可求出，進(jìn)而利用面積公式可得三角形的面積【詳解】由已知可得則故答案為：.14、2或6【解析】由解析式得到導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合是函數(shù)極值點(diǎn)，即可求的值.【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值，所以，即，解得2或6.經(jīng)檢驗(yàn)，2或6滿足題意.故答案為：2或6.15、①.②.【解析】第一空，直接套入“黃金橢圓”新定義即可，第二空，從內(nèi)切圓入手，找到等量關(guān)系，進(jìn)而得到，求解即可【詳解】由題，，所以如圖，連接，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，即，∴，∴，∴∴，∴故答案為：；【點(diǎn)睛】本題從新定義出發(fā)，第一空直接套用定義可得答案，第二空升華，需要在理解新定義的基礎(chǔ)上，借助內(nèi)切圓的相關(guān)公式求解，層層遞進(jìn)，是一道好題．關(guān)鍵點(diǎn)在于找到“”這一關(guān)系16、②③④【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，正弦定理與四種命題的概念，命題的否定，判斷各命題【詳解】①，滿足，但，①錯(cuò)；②在中，由正弦定理，因此其逆命題也是真命題，②正確；③存在命題的否定是全稱命題，命題“，”的否定是“，”，③正確；④由否命題的概念，“若，則”的否命題為“若，則”，④正確故答案為：②③④三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】(1)根據(jù)題意和雙曲線的定義求出，結(jié)合離心率求出b，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出、，化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【小問1詳解】由題知：由雙曲線的定義知：，又因?yàn)?，所以，所以所以，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為小問2詳解】設(shè)，則因?yàn)?，，所以，所?8、（1）；（2）【解析】（1）由等差數(shù)列以及等比中項(xiàng)的公式代入聯(lián)立求解出，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得答案；（2）利用分組求和法，根據(jù)求和公式分別求出等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和再相加即可.【詳解】（1）由題意，，，即，聯(lián)立解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）得，，所以【點(diǎn)睛】關(guān)于數(shù)列前項(xiàng)和的求和方法：分組求和法：兩個(gè)數(shù)列等差或者等比數(shù)列相加時(shí)利用分組求和法計(jì)算；裂項(xiàng)相加法：數(shù)列的通項(xiàng)公式為分式時(shí)可考慮裂項(xiàng)相消法求和；錯(cuò)位相減法：等差乘以等比數(shù)列的情況利用錯(cuò)位相減法求和.19、（1）（2）（3）見解析【解析】(1)由題意求得，所以橢圓的方程為(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，由題意可得．三角形的高為．，面積表達(dá)式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．即的面積的最大值是(3)結(jié)論為．利用題意有．所以試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為因?yàn)闄E圓的離心率是，所以，即由解得所以橢圓的方程為（Ⅱ）將代入，消去整理得令，解得設(shè)則，所以點(diǎn)到直線的距離為所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以的面積的最大值是（Ⅲ）．證明如下：設(shè)直線，的斜率分別是，，則由（Ⅱ）得，所以直線，的傾斜角互補(bǔ)所以，所以所以20、（1）證明見解析.（2）2.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，．運(yùn)用面面平行的判定和性質(zhì)可得證；（2）過點(diǎn)作，垂足為，連接，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)棱錐的體積求得，再利用三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，可求得答案.【小問1詳解】證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面因?yàn)?，且，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面因?yàn)槠矫?，且，所以平面平面因?yàn)槠矫?，所以平面【小?詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，連接，，則四邊形是正方形，從而因?yàn)椋?，則，從而直角梯形的面積設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則四棱錐的體積，解得因?yàn)槿忮F的體積與三棱錐的體積相等，所以三棱錐的體積因?yàn)槠矫妫匀忮F的體積與三棱錐的體積相等，所以三棱錐的體積為221、（1）（2）或【解析】（1）點(diǎn)和的中垂線經(jīng)過圓心，兩直線聯(lián)立方程得圓心坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式求解半徑.（2）已知弦長(zhǎng)，求解直線方程，分類討論斜率是否存在.小問1詳解】點(diǎn)和的中點(diǎn)為，,所以中垂線的，利用點(diǎn)斜式得方程為，聯(lián)立方程得圓心坐標(biāo)為，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)過點(diǎn)的直線l斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)弦長(zhǎng)，符合題意.當(dāng)過點(diǎn)的直線l斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為，化簡(jiǎn)得，弦心距，所以，解得，所以直線方程為.綜上所述直線方程為或.22、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)條件列關(guān)于公差與公比的方程組，解方