2023-2024學(xué)年山東省聊城市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省聊城市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：每小題滿分5分，共8個(gè)小題，滿分40分．每個(gè)小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．1.設(shè)集合是10的正約數(shù)}，是小于10的素?cái)?shù)}，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)正約數(shù)的概念知，，根據(jù)素?cái)?shù)的概念知，，所以.故選：B.2.設(shè)命題p：，，則下列表示的正確的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知，命題p：，的否定為：：，.故選：D.3.下列四個(gè)條件中，是“”成立的充分不必要的條件為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗時(shí)一定有，但反之不一定，是充分必要條件，A正確；時(shí)滿足但不滿足，不是充分條件，B錯(cuò)；時(shí)滿足，但不滿足，不充分，C錯(cuò)；根據(jù)不等式的性質(zhì)與是等價(jià)的，即為充要條件，D錯(cuò).故選：A．4.設(shè)函數(shù)，，則的值為（）A. B.1 C.0 D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，則.故選：B.5.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)．設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如，．若不等式成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由不等式，可得，解得，則，根據(jù)取整函數(shù)定義可知．故選：D.6.設(shè)函數(shù)，若是的最小值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立；當(dāng)時(shí)，，要使是的最小值，只需在上遞減，且，即，解得.故選：B.7.有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同．已知三個(gè)房間的粉刷面積（單位：）分別為，，，且，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用（單位：元/）分別為，，，且．在不同的方案中，最低的總費(fèi)用（單位：元）是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，所以，故；同理，，故，因?yàn)?，?故最低費(fèi)用為.故選：B.8.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗由，得，則是以4為周期的周期函數(shù)，又函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以．故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：每小題滿分5分，共4個(gè)小題，滿分20分．每個(gè)小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中有多項(xiàng)符合題目要求，多選、錯(cuò)選均得0分，少選得2分．9.已知集合，.則下列表示正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)?，所以，則，，均正確，錯(cuò)誤.故選：ABD.10.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的可能取值為（）A.1 B.4 C.9 D.16〖答案〗AB〖解析〗由函數(shù)，可得，且，且，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，可得，即，整理得，則，要使得函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，只需，結(jié)合選項(xiàng)，A、B符合題意.故選：AB.11.設(shè)，若，且，則下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗A：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又，所以，故A錯(cuò)誤；B：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，又，所以，故B正確；C：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又，所以，故C正確；D：，又，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.對于分式不等式有多種解法，其中一種方法如下，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，然后將對應(yīng)方程的所有根標(biāo)注在數(shù)軸上，形成，，，，五個(gè)區(qū)間，其中最右邊的區(qū)間使得的值為正值，并且可得x在從右向左的各個(gè)區(qū)間內(nèi)取值時(shí)的值為正、負(fù)依次相間，即可得到所求不等式的解集．利用此法求解下列問題：定義區(qū)間、、、的長度均為，若滿足的x構(gòu)成的區(qū)間的長度和為2，則實(shí)數(shù)t的取值可以是（）A. B. C. D.1〖答案〗ACD〖解析〗等價(jià)于且，且，當(dāng)時(shí)滿足條件的x構(gòu)成的區(qū)間為，長度為2，符合題意，A正確；當(dāng)時(shí)滿足條件的x構(gòu)成的區(qū)間為，長度為1，不符合題意，B不正確；當(dāng)時(shí)滿足條件的x構(gòu)成的區(qū)間為，長度為2，符合題意，C正確；當(dāng)時(shí)滿足條件的x構(gòu)成的區(qū)間為，長度為2，符合題意，D正確．故選：ACD．三、填空題：每小題滿分5分，共4個(gè)小題，滿分20分．13.若關(guān)于x的不等式的解集是，則的值為______．〖答案〗〖解析〗由的解集是，可得，且和是的兩根，則且，即且，解得，所以．故〖答案〗為：.14.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，要使得函數(shù)在上單調(diào)遞增，必須，解得.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故〖答案〗為：.15.對于任意實(shí)數(shù)a，b，定義設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為______．〖答案〗1〖解析〗令，，即，，得，當(dāng)，，當(dāng)，，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，．故〖答案〗為：.16.為了保證信息安全傳輸，有一種系統(tǒng)稱為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如下：明文x，密文t密文t明文y．現(xiàn)在加密密鑰為冪函數(shù)，解密密鑰為反比例函數(shù)，過程如下：發(fā)送方發(fā)送明文“4”，通過加密后得到密文“2”，再發(fā)送密文“2”，接受方通過解密密鑰得到明文“6”．若接受方得到明文“4”，則發(fā)送方發(fā)送的明文為______．〖答案〗9〖解析〗設(shè)加密密鑰為冪函數(shù)，，則，則，解密密鑰為反比例函數(shù)，，，則，所以通過逆運(yùn)算可得，當(dāng)接受方得到明文“4”時(shí)，則發(fā)送方發(fā)送明文為“9”．故〖答案〗為：9.四、解答題：共6個(gè)小題，滿分70分．解答每個(gè)題時(shí)均要寫出必要的文字說明、語言描述和解題過程．17.已知全集，集合，集合．（1）若，求；（2）若集合A，B滿足條件______（從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)作答），求實(shí)數(shù)m的取值集合．條件①是充分條件；②；③，，使得.解：（1）集合，當(dāng)時(shí)，集合，所以.（2）集合，集合．當(dāng)選擇條件①時(shí)，滿足是的充分條件，即，則集合，即，，要使，只需，解得，所以，即實(shí)數(shù)m的取值集合是．當(dāng)選擇條件②時(shí)，，則集合，即，，由集合，得，或，要使，只需，解得，所以，即實(shí)數(shù)m的取值集合是．當(dāng)選擇條件③時(shí)，，，使得，則集合，且，即，，要使，只需，解得，所以，即實(shí)數(shù)m的取值集合是．18.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，且.（1）求的最小值；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解：（1）解法一：因?yàn)?，，且，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，所以的最小值為.解法二：由，，且，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，所以的最小值為.（2）由可得，由（1）可得，所以要使不等式恒成立，只需，即，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為.19.已知函數(shù)．（1）若時(shí)，求函數(shù)的定義域；（2）若對時(shí)，函數(shù)均有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）若，要使函數(shù)有意義，由，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?（2）由題意，，函數(shù)均有意義，即，，，故只需，，即只需且即可.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí)，為常函數(shù)，不符合題意，再由（2）可知或或；設(shè)，，且．，由，可得，，要使函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，只需，則，解得，或，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.20.隨著人類生活質(zhì)量的提高，生活用水越來越多，水污染也日益嚴(yán)重，水資源愈來愈成為世界關(guān)注的問題，許多國家都積極響應(yīng)節(jié)約水資源的號召.為此我們的國家也提出了比較科學(xué)的處理污水的辦法.近年來，某企業(yè)每年需要向自來水廠繳納水費(fèi)約4萬元，為了緩解供水的壓力，決定對污水進(jìn)行凈化再利用，以降低自來水的使用量.該企業(yè)經(jīng)測算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設(shè)備.這種凈水設(shè)備的購置費(fèi)（單位：萬元）與設(shè)備的占地面積x（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.2.預(yù)計(jì)安裝后該企業(yè)每年需繳納的水費(fèi)C（單位：萬元）與設(shè)備占地面積x之間的函數(shù)關(guān)系為（，k為常數(shù)）.將該企業(yè)的凈水設(shè)備購置費(fèi)與安裝后4年需繳水費(fèi)之和合計(jì)為y（單位：萬元）.（1）試解釋的實(shí)際意義，根據(jù)題意求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使y不超過7.2萬元，求設(shè)備占地面積x的取值范圍；（3）當(dāng)設(shè)備占地面積x為多少時(shí)，y的值最小？解：（1）表示不安裝設(shè)備時(shí)每年繳納的水費(fèi)約為4萬元，則，解得，所以，即.（2）要滿足題意，則，即，化簡得，解得，即設(shè)備占地面積x的取值范圍為.（3），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以設(shè)備占地面積為時(shí)，y的值最小.21.學(xué)習(xí)與探究問題：正實(shí)數(shù)x，y，滿足，求的最小值．求解本問題的方法很多，其中一種求解方法是：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，而時(shí)，即，且時(shí)取等號成立．這種解題方法叫作“1”的代換．（1）利用上述求解方法解決下列問題：若實(shí)數(shù)a，b，x，y滿足，試比較與的大小，并注明等號成立的條件；（2）利用（1）的結(jié)論，求的最小值，并注明使得T取得最小值時(shí)t的值．解：（1）由，可得，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且x，y同號時(shí)等號成立，此時(shí)x，y滿足.（2）令且，由，即，則，，解得，，因?yàn)?，所以，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，有最小值．22.已知函數(shù)，．（1）若命題：，為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求函數(shù)最小值；（3）若，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）由命題：，為假命題可得，，即，，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.（3），，即，則，即，則，，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；又由（2）知當(dāng)時(shí)，有最小值3，即當(dāng)時(shí)，的最小值為7，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．山東省聊城市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：每小題滿分5分，共8個(gè)小題，滿分40分．每個(gè)小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．1.設(shè)集合是10的正約數(shù)}，是小于10的素?cái)?shù)}，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)正約數(shù)的概念知，，根據(jù)素?cái)?shù)的概念知，，所以.故選：B.2.設(shè)命題p：，，則下列表示的正確的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知，命題p：，的否定為：：，.故選：D.3.下列四個(gè)條件中，是“”成立的充分不必要的條件為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗時(shí)一定有，但反之不一定，是充分必要條件，A正確；時(shí)滿足但不滿足，不是充分條件，B錯(cuò)；時(shí)滿足，但不滿足，不充分，C錯(cuò)；根據(jù)不等式的性質(zhì)與是等價(jià)的，即為充要條件，D錯(cuò).故選：A．4.設(shè)函數(shù)，，則的值為（）A. B.1 C.0 D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，則.故選：B.5.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)．設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如，．若不等式成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由不等式，可得，解得，則，根據(jù)取整函數(shù)定義可知．故選：D.6.設(shè)函數(shù)，若是的最小值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立；當(dāng)時(shí)，，要使是的最小值，只需在上遞減，且，即，解得.故選：B.7.有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同．已知三個(gè)房間的粉刷面積（單位：）分別為，，，且，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用（單位：元/）分別為，，，且．在不同的方案中，最低的總費(fèi)用（單位：元）是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，所以，故；同理，，故，因?yàn)?，?故最低費(fèi)用為.故選：B.8.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗由，得，則是以4為周期的周期函數(shù)，又函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以．故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：每小題滿分5分，共4個(gè)小題，滿分20分．每個(gè)小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中有多項(xiàng)符合題目要求，多選、錯(cuò)選均得0分，少選得2分．9.已知集合，.則下列表示正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)?，所以，則，，均正確，錯(cuò)誤.故選：ABD.10.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的可能取值為（）A.1 B.4 C.9 D.16〖答案〗AB〖解析〗由函數(shù)，可得，且，且，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，可得，即，整理得，則，要使得函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，只需，結(jié)合選項(xiàng)，A、B符合題意.故選：AB.11.設(shè)，若，且，則下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗A：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又，所以，故A錯(cuò)誤；B：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，又，所以，故B正確；C：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又，所以，故C正確；D：，又，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.對于分式不等式有多種解法，其中一種方法如下，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，然后將對應(yīng)方程的所有根標(biāo)注在數(shù)軸上，形成，，，，五個(gè)區(qū)間，其中最右邊的區(qū)間使得的值為正值，并且可得x在從右向左的各個(gè)區(qū)間內(nèi)取值時(shí)的值為正、負(fù)依次相間，即可得到所求不等式的解集．利用此法求解下列問題：定義區(qū)間、、、的長度均為，若滿足的x構(gòu)成的區(qū)間的長度和為2，則實(shí)數(shù)t的取值可以是（）A. B. C. D.1〖答案〗ACD〖解析〗等價(jià)于且，且，當(dāng)時(shí)滿足條件的x構(gòu)成的區(qū)間為，長度為2，符合題意，A正確；當(dāng)時(shí)滿足條件的x構(gòu)成的區(qū)間為，長度為1，不符合題意，B不正確；當(dāng)時(shí)滿足條件的x構(gòu)成的區(qū)間為，長度為2，符合題意，C正確；當(dāng)時(shí)滿足條件的x構(gòu)成的區(qū)間為，長度為2，符合題意，D正確．故選：ACD．三、填空題：每小題滿分5分，共4個(gè)小題，滿分20分．13.若關(guān)于x的不等式的解集是，則的值為______．〖答案〗〖解析〗由的解集是，可得，且和是的兩根，則且，即且，解得，所以．故〖答案〗為：.14.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，要使得函數(shù)在上單調(diào)遞增，必須，解得.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故〖答案〗為：.15.對于任意實(shí)數(shù)a，b，定義設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為______．〖答案〗1〖解析〗令，，即，，得，當(dāng)，，當(dāng)，，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，．故〖答案〗為：.16.為了保證信息安全傳輸，有一種系統(tǒng)稱為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如下：明文x，密文t密文t明文y．現(xiàn)在加密密鑰為冪函數(shù)，解密密鑰為反比例函數(shù)，過程如下：發(fā)送方發(fā)送明文“4”，通過加密后得到密文“2”，再發(fā)送密文“2”，接受方通過解密密鑰得到明文“6”．若接受方得到明文“4”，則發(fā)送方發(fā)送的明文為______．〖答案〗9〖解析〗設(shè)加密密鑰為冪函數(shù)，，則，則，解密密鑰為反比例函數(shù)，，，則，所以通過逆運(yùn)算可得，當(dāng)接受方得到明文“4”時(shí)，則發(fā)送方發(fā)送明文為“9”．故〖答案〗為：9.四、解答題：共6個(gè)小題，滿分70分．解答每個(gè)題時(shí)均要寫出必要的文字說明、語言描述和解題過程．17.已知全集，集合，集合．（1）若，求；（2）若集合A，B滿足條件______（從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)作答），求實(shí)數(shù)m的取值集合．條件①是充分條件；②；③，，使得.解：（1）集合，當(dāng)時(shí)，集合，所以.（2）集合，集合．當(dāng)選擇條件①時(shí)，滿足是的充分條件，即，則集合，即，，要使，只需，解得，所以，即實(shí)數(shù)m的取值集合是．當(dāng)選擇條件②時(shí)，，則集合，即，，由集合，得，或，要使，只需，解得，所以，即實(shí)數(shù)m的取值集合是．當(dāng)選擇條件③時(shí)，，，使得，則集合，且，即，，要使，只需，解得，所以，即實(shí)數(shù)m的取值集合是．18.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，且.（1）求的最小值；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解：（1）解法一：因?yàn)?，，且，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，所以的最小值為.解法二：由，，且，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，所以的最小值為.（2）由可得，由（1）可得，所以要使不等式恒成立，只需，即，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為.19.已知函數(shù)．（1）若時(shí)，求函數(shù)的定義域；（2）若對時(shí)，函數(shù)均有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）若，要使函數(shù)有意義，由，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?（2）由題意，，函數(shù)均有意義，即，，，故只需，，即只需且即可.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí)，為常函數(shù)，不符合題意，再由（2）可知或或；設(shè)，，且．，由，可得，，要使函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，只需，則，解得，或，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.20.隨著人類生活質(zhì)量的提高，生活用水越來越多，水污染也日益嚴(yán)重，水資源愈來愈成為世界關(guān)注的問題，許多國家都積極響應(yīng)節(jié)約水資源的號召.為此我們的國家也提出了比較科學(xué)的處理污水的辦法.近年來，某企業(yè)每年需要向自來水廠繳納水費(fèi)約4萬元，為了緩解供水的壓力，決定對污水進(jìn)行凈化再利用，以降低自來水的使用量.該企業(yè)經(jīng)測算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的