2024-2025學年安徽省鼎尖教育高二上學期開學考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省鼎尖教育2024-2025學年高二上學期開學考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，所以，所以.故選：C.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設，因為，即，即，所以，解得，即，所以.故選：B.3.已知平面向量，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，則有若，則有，或，解得：或，顯然由可以推出，但由不一定能推出，因此是的充分不必要條件，故選：A.4.腰鼓是中國漢族古老的民族打擊樂器，腰鼓為木制鼓身，兩端蒙牛皮，腰鼓的鼓身中間粗，兩端細．一種腰鼓長為40cm，兩側鼓面直徑為20cm，中間最粗處直徑為24cm，若將該腰鼓近似看作由兩個相同圓臺拼接，則腰鼓的體積約為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，高為，所以腰鼓的體積.故選：D.5.函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，在區(qū)間上單調遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上也是單調遞增，因為二次函數(shù)的對稱軸為，所以有，即，故選：A.6.正六邊形六個頂點中任取四個點，構成等腰梯形的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗正六邊形六個頂點中任取四個點，不同方法共有種方法，在如圖所示正六邊形中，顯然四邊形、、、、、是等腰梯形，共個，因此正六邊形六個頂點中任取四個點，構成等腰梯形的概率是，故選：D.7.是定義在R上的函數(shù)，若，且對任意，滿足，，則（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026〖答案〗C〖解析〗因為，即，所以，又，所以，所以.故選：C.8.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，即，即，即，即，即，即，又，解得：，(舍)，.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于隨機事件和事件，，，則下列說法正確的是（）A.若與互斥，則 B.若與互斥，則C.若與相互獨立，則 D.若與相互獨立，則〖答案〗BC〖解析〗對于A：若與互斥，則，故A錯誤；對于B：若與互斥，則，故B正確；對于C：若與相互獨立，則，故C正確；對于D：若與相互獨立，則，故D錯誤.故選：BC.10.已知正數(shù)，滿足，則下列結論正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值〖答案〗ABD〖解析〗因為正數(shù)，滿足，所以，當且僅當，即，時等號成立，解得，所以，故的最大值為，故A正確；，即，又，所以，所以的最小值為，當且僅當，即，時等號成立，故B正確；由可得，所以，當且僅當時等號成立，此時，，又為正數(shù)，矛盾，故C錯誤；，當且僅當，即，時等號成立，故D正確.故選：ABD.11.在菱形中，邊長為，，將沿對角線折起得到四面體，記二面角大小為，則下列結論正確的是（）A.對任意，都有B.存在，使平面C.當時，直線與平面所成角為D.當時，四面體外接球表面積為〖答案〗ACD〖解析〗取的中點，連接、，依題意可得，，則為二面角的平面角，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；在菱形中，邊長為，，所以，若平面，平面，則，所以，與矛盾，故B錯誤；因為平面，又平面，所以平面平面，所以為直線與平面所成角，當，則，即當時，直線與平面所成角為，故C正確；在中，時，取、的外心、，則，，過、分別作、的垂線交于點，則為四面體外接球球心，連接，則，設外接球的半徑為，則，所以四面體外接球的表面積，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.天然氣是潔凈燃氣，供應穩(wěn)定，能夠改善空氣質量，因而能為地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展提供新的動力，帶動經(jīng)濟繁榮及改善環(huán)境．多年來，我國規(guī)模以上工業(yè)天然氣生產(chǎn)穩(wěn)定增長，2023年5月至2024年4月，天然氣日均產(chǎn)量（單位：億立方米）依次為6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是______．〖答案〗〖解析〗將數(shù)據(jù)從小到大排列依次：，，，，，，，，，，，，又，所以上四分位數(shù)是.13.將函數(shù)的圖象向右平移后得到的圖象關于原點對稱，則的最小正值為______．〖答案〗〖解析〗將函數(shù)的圖象向右平移得到，又的圖象關于原點對稱，所以，解得，所以的最小正值為.14.若用表示不大于x的最大整數(shù)，用表示不小于x的最小整數(shù)，那么方程的最大整數(shù)解為______．〖答案〗〖解析〗當時，由，此時方程有正整數(shù)解，因此不用討論是負整數(shù)的情況，當時，由；當時，由；當時，由；當時，由；當時，由，由上可知當時，方程的最大整數(shù)解為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為推動安徽省鄉(xiāng)村旅游發(fā)展提質增效，更好滿足人民群眾旅游消費升級需求，助力鄉(xiāng)村全面振興，安徽省實施精品示范工程打造“皖美休閑旅游鄉(xiāng)村”行動方案，實施“微創(chuàng)意、微改造”，促進“精提升”，建設“皖美”鄉(xiāng)村新風景，打造全國知名的鄉(xiāng)村旅游目的地．某學校興趣小組同學利用暑假時間，在全省范圍內調查了100個休閑旅游鄉(xiāng)村，并從環(huán)境風貌、資源價值、基礎設施等方面進行綜合評分，將評分按照50,60，60,70，，80,90，90,100分組，得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）求的值，并求這100個休閑旅游鄉(xiāng)村評分的平均分；（2）若評分在80分及以上的鄉(xiāng)村稱為“值得推薦的旅游鄉(xiāng)村”，其中評分在80,90為“推薦指數(shù)四顆星”，評分在90,100為“推薦指數(shù)五顆星”．興趣小組同學用分層抽樣的方法在“值得推薦的旅游鄉(xiāng)村”中抽取7個鄉(xiāng)村進行第一批次的校內宣傳，并從這7個鄉(xiāng)村中隨機抽取2個鄉(xiāng)村在校園內做展板宣傳，求這2個鄉(xiāng)村正好是“推薦指數(shù)四顆星”和“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村各一個的概率．解：（1）由頻率分布直方可知，解得；則這100個休閑旅游鄉(xiāng)村評分的平均分為：；（2）“推薦指數(shù)四顆星”鄉(xiāng)村數(shù)為（個）；“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村數(shù)為（個）；按照分層抽樣，可知“推薦指數(shù)四顆星”鄉(xiāng)村抽取個，可知“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村抽取個，從個鄉(xiāng)村中隨機抽取個鄉(xiāng)村共有種情形，其中“推薦指數(shù)四顆星”和“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村各一個有種情形，所以“推薦指數(shù)四顆星”和“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村各一個的概率.16.如圖，在直三棱柱中，所有棱長均為4，D是AB的中點．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的正弦值．解：（1）連接交于，在直三棱柱中，所有棱長均為4，因此四邊形是正方形，所以是的中點，而D是AB的中點，因此有，而平面，平面，所以平面；（2）由（1）可知：，因此異面直線與所成角為（或其補角），因為是正方形，所以，在直三棱柱中，所有棱長均為4，因此四邊形是正方形，因此有，在直三棱柱中，側棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直線，因此有，由余弦定理可知：，因此.17.的內角，，的對邊分別為，，，且滿足．（1）求角；（2）若，．平分交于點，求的長．解：（1）因為，由正弦定理可得，即，由余弦定理，又，所以；（2）在中，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），又，，所以，解得.18.如圖，在四棱錐中，，，底面是直角梯形，，，．（1）求證：平面平面；（2）求證：；（3）求平面與平面所成銳二面角正切值．解：（1）取的中點，連接、，因為，所以，又，所以，因為底面是直角梯形，，，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）由（1）可知平面，平面，所以，在梯形中，，，，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以；（3）延長與延長線相交于點，連接，過作于點，連接，因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，因為且，所以為的中點，又為邊長為的等邊三角形，所以在中，，，所以，所以，又平面，平面，所以，在中，，所以平面與平面所成銳二面角的正切值為.19.已知定義在R上的函數(shù)，．（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）若對，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若函數(shù)，實數(shù)a、b、c滿足，，求c的最小值．（參考公式：如果a、b、c是正實數(shù)，那么，當且僅當時，等號成立．）解：（1）是奇函數(shù)，證明如下：的定義域是，，所以是奇函數(shù).（2）依題意，對，恒成立，即對，恒成立，即對，恒成立，令，hx在1,2上單調遞增，所以，即，令，則，所以，根據(jù)對鉤函數(shù)的性質可知，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，，所以.（3），依題意，，即，將代入得，整理得，當且僅當時等號成立，由兩邊取以為底的對數(shù)得，所以的最小值是.安徽省鼎尖教育2024-2025學年高二上學期開學考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，所以，所以.故選：C.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設，因為，即，即，所以，解得，即，所以.故選：B.3.已知平面向量，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，則有若，則有，或，解得：或，顯然由可以推出，但由不一定能推出，因此是的充分不必要條件，故選：A.4.腰鼓是中國漢族古老的民族打擊樂器，腰鼓為木制鼓身，兩端蒙牛皮，腰鼓的鼓身中間粗，兩端細．一種腰鼓長為40cm，兩側鼓面直徑為20cm，中間最粗處直徑為24cm，若將該腰鼓近似看作由兩個相同圓臺拼接，則腰鼓的體積約為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，高為，所以腰鼓的體積.故選：D.5.函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，在區(qū)間上單調遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上也是單調遞增，因為二次函數(shù)的對稱軸為，所以有，即，故選：A.6.正六邊形六個頂點中任取四個點，構成等腰梯形的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗正六邊形六個頂點中任取四個點，不同方法共有種方法，在如圖所示正六邊形中，顯然四邊形、、、、、是等腰梯形，共個，因此正六邊形六個頂點中任取四個點，構成等腰梯形的概率是，故選：D.7.是定義在R上的函數(shù)，若，且對任意，滿足，，則（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026〖答案〗C〖解析〗因為，即，所以，又，所以，所以.故選：C.8.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，即，即，即，即，即，即，又，解得：，(舍)，.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于隨機事件和事件，，，則下列說法正確的是（）A.若與互斥，則 B.若與互斥，則C.若與相互獨立，則 D.若與相互獨立，則〖答案〗BC〖解析〗對于A：若與互斥，則，故A錯誤；對于B：若與互斥，則，故B正確；對于C：若與相互獨立，則，故C正確；對于D：若與相互獨立，則，故D錯誤.故選：BC.10.已知正數(shù)，滿足，則下列結論正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值〖答案〗ABD〖解析〗因為正數(shù)，滿足，所以，當且僅當，即，時等號成立，解得，所以，故的最大值為，故A正確；，即，又，所以，所以的最小值為，當且僅當，即，時等號成立，故B正確；由可得，所以，當且僅當時等號成立，此時，，又為正數(shù)，矛盾，故C錯誤；，當且僅當，即，時等號成立，故D正確.故選：ABD.11.在菱形中，邊長為，，將沿對角線折起得到四面體，記二面角大小為，則下列結論正確的是（）A.對任意，都有B.存在，使平面C.當時，直線與平面所成角為D.當時，四面體外接球表面積為〖答案〗ACD〖解析〗取的中點，連接、，依題意可得，，則為二面角的平面角，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；在菱形中，邊長為，，所以，若平面，平面，則，所以，與矛盾，故B錯誤；因為平面，又平面，所以平面平面，所以為直線與平面所成角，當，則，即當時，直線與平面所成角為，故C正確；在中，時，取、的外心、，則，，過、分別作、的垂線交于點，則為四面體外接球球心，連接，則，設外接球的半徑為，則，所以四面體外接球的表面積，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.天然氣是潔凈燃氣，供應穩(wěn)定，能夠改善空氣質量，因而能為地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展提供新的動力，帶動經(jīng)濟繁榮及改善環(huán)境．多年來，我國規(guī)模以上工業(yè)天然氣生產(chǎn)穩(wěn)定增長，2023年5月至2024年4月，天然氣日均產(chǎn)量（單位：億立方米）依次為6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是______．〖答案〗〖解析〗將數(shù)據(jù)從小到大排列依次：，，，，，，，，，，，，又，所以上四分位數(shù)是.13.將函數(shù)的圖象向右平移后得到的圖象關于原點對稱，則的最小正值為______．〖答案〗〖解析〗將函數(shù)的圖象向右平移得到，又的圖象關于原點對稱，所以，解得，所以的最小正值為.14.若用表示不大于x的最大整數(shù)，用表示不小于x的最小整數(shù)，那么方程的最大整數(shù)解為______．〖答案〗〖解析〗當時，由，此時方程有正整數(shù)解，因此不用討論是負整數(shù)的情況，當時，由；當時，由；當時，由；當時，由；當時，由，由上可知當時，方程的最大整數(shù)解為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為推動安徽省鄉(xiāng)村旅游發(fā)展提質增效，更好滿足人民群眾旅游消費升級需求，助力鄉(xiāng)村全面振興，安徽省實施精品示范工程打造“皖美休閑旅游鄉(xiāng)村”行動方案，實施“微創(chuàng)意、微改造”，促進“精提升”，建設“皖美”鄉(xiāng)村新風景，打造全國知名的鄉(xiāng)村旅游目的地．某學校興趣小組同學利用暑假時間，在全省范圍內調查了100個休閑旅游鄉(xiāng)村，并從環(huán)境風貌、資源價值、基礎設施等方面進行綜合評分，將評分按照50,60，60,70，，80,90，90,100分組，得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）求的值，并求這100個休閑旅游鄉(xiāng)村評分的平均分；（2）若評分在80分及以上的鄉(xiāng)村稱為“值得推薦的旅游鄉(xiāng)村”，其中評分在80,90為“推薦指數(shù)四顆星”，評分在90,100為“推薦指數(shù)五顆星”．興趣小組同學用分層抽樣的方法在“值得推薦的旅游鄉(xiāng)村”中抽取7個鄉(xiāng)村進行第一批次的校內宣傳，并從這7個鄉(xiāng)村中隨機抽取2個鄉(xiāng)村在校園內做展板宣傳，求這2個鄉(xiāng)村正好是“推薦指數(shù)四顆星”和“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村各一個的概率．解：（1）由頻率分布直方可知，解得；則這100個休閑旅游鄉(xiāng)村評分的平均分為：；（2）“推薦指數(shù)四顆星”鄉(xiāng)村數(shù)為（個）；“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村數(shù)為（個）；按照分層抽樣，可知“推薦指數(shù)四顆星”鄉(xiāng)村抽取個，可知“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村抽取個，從個鄉(xiāng)村中隨機抽取個鄉(xiāng)村共有種情形，其中“推薦指數(shù)四顆星”和“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村各一個有種情形，所以“推薦指數(shù)四顆星”和“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村各一個的概率.16.如圖，在直三棱柱中，所有棱長均為4，D是AB的中點．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的正弦值．解：（1）連接交于，在直三棱柱中，所有棱長均為4，因此四邊形是正方形，所以是的中點，而D是AB的中點，因此有，而平面，平面，所以平面；（2）由（1）可知：，因此異面直線與所成角為（或其補角），因為是正方形，所以，在直三棱柱中，所有棱長均為4，因此四邊形是正方形