第06講角平分線

第06講角平分線思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.角平分線的性質(zhì)定理2.角平分線的判定定理3.角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用4.作角平分線（尺規(guī)作圖）1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.定理的作用：①證明兩條線段相等；②用于幾何作圖問題；2.角平分線的判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上.定理的作用：用于證明兩個(gè)角相等或證明一條射線是一個(gè)角的角平分線.3.三角形的三條角平分線交點(diǎn)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.作用：①用于證明三角形內(nèi)的線段相等；②用于實(shí)際中的幾何作圖問題.三角形的三條角平分線的交點(diǎn)位置與三角形形狀的關(guān)系：三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部.4.運(yùn)用角平分線的性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意以下三個(gè)問題：（1）這里的距離指的是點(diǎn)到角的兩邊的垂線段的長；（2）該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，不需要再用全等三角形的性質(zhì)；（3）使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線、有兩個(gè)垂直.5.尺規(guī)作圖畫角平分線（題設(shè)中有關(guān)作圖痕跡，要能識(shí)別角平分線的作法）（1）以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA、OB于C、D兩點(diǎn)；（2）分別以C、D為圓心，大于CD長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；（3）過點(diǎn)P作射線OP，射線OP即為所求.1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.2.角平分線的判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、角平分線的性質(zhì)定理例題：如圖，平分，交的延長線于點(diǎn)E，且．(1)求證：；(2)若，，求線段的長度．【解析】（1）證明：過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，∵平分，，，∴，，∴在和中，，∴，∴，∵∴；（2）設(shè)，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，解得，即．【變式訓(xùn)練】1．已知：如圖，在中，，是的角平分線，，垂足為點(diǎn)E，．(1)求的度數(shù)；(2)如果，，求四邊形的周長．【解析】（1），且，，，是的角平分線，，，,．（2）是的角平分線，且，，，在和中，，，，，，，四邊形的周長為：．2．如圖，E是的平分線上一點(diǎn)，于C，于D，連接交于點(diǎn)F，若．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求線段的長．【解析】（1）證明：∵點(diǎn)E是的平分線上一點(diǎn)，，，垂足分別是C，D，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴是等邊三角形；（2）∵是等邊三角形，是的平分線，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．考點(diǎn)二、角平分線的判定定理例題：如圖，，兩點(diǎn)分別在射線，上，點(diǎn)在的內(nèi)部且，，，垂足分別為，，且．(1)求證：平分；(2)如果，，求的長．【解析】（1）證明：由題意得：，，，在和中，，，，，，平分．（2）在和中，，，，設(shè)，，，，，，．【變式訓(xùn)練】1．如圖，于E，于F，若．

(1)求證：平分；(2)寫出與之間的等量關(guān)系，并說明理由．【解析】（1）證明：∵，，∴，∴與均為直角三角形，∵在與中，∵，∴,∴，∴平分；（2），理由如下：∵，平分，∴，∵，∴，在與中，∵，∴，∴，∴．2．如圖，P是上一點(diǎn)，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．F，G分別是上的點(diǎn)．．

(1)求證：是的平分線；(2)若，，．求的長．【解析】（1）證明：在和中，，∴，∴，∵于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，∴是的平分線（2）∵平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴∵，∴．考點(diǎn)三、角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用例題：三條公路將三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建的位置是（

）A．三條高的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】C【解析】在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在的角平分線的交點(diǎn)處，故選C．【變式訓(xùn)練】1．如圖是三條兩兩相交的筆直公路，某物流公司現(xiàn)要修建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，使它到三條公路的距離相等，這個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站可選的位置有（

）

A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【解析】如圖所示，

分別作直線交點(diǎn)處的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得點(diǎn)共個(gè)點(diǎn)，故選．考點(diǎn)四、作角平分線（尺規(guī)作圖）例題：已知：如圖，在中，，．

(1)求作的平分線，交于點(diǎn)P．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，求的角度？【解析】（1）以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧交，于兩點(diǎn)，再分別以兩點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧交于一點(diǎn)，連接點(diǎn)與該點(diǎn)所在直線交于點(diǎn)P，如圖所示：即為所求；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得，∴，∵平分，∴．【變式訓(xùn)練】1．如圖所示，某縣計(jì)劃在張村、李村之間建一座定點(diǎn)醫(yī)療站P，張、李兩村坐落在兩相交公路內(nèi)（如圖所示）．醫(yī)療站必須滿足下列條件：①使其到兩公路距離相等；②到張、李兩村的距離也相等．請(qǐng)你通過作圖確定點(diǎn)P的位置．【解析】如圖所示，點(diǎn)P即為所要求作的點(diǎn)．過關(guān)檢測(cè)一、選擇題1．如圖，在中，，是的垂直平分線，恰好平分．若，則的長是（）A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】是的垂直平分線，，，，，，恰好平分，，，，，，，故選B．2．在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，在平分線上的是（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】B【解析】如圖，根據(jù)正方形網(wǎng)格的大小可得為等腰三角形，正好為其高線，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”，即可確定點(diǎn)Q在平分線上．故選B．3．如圖，在中，∠B=90°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，與邊AB、AC分別相交于點(diǎn)M、N，再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E．連接AE并延長與邊BC交于點(diǎn)D．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵根據(jù)尺規(guī)作圖可知，是角平分線，∴，∵在中，，∠B=90°，∴，∴，∴故選A4．如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（

）A．的三條中線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高所在直線的交點(diǎn) D．三邊的中垂線的交點(diǎn)【答案】B【解析】∵角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，∴三條角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等，∴涼亭的位置應(yīng)選在三條角平分線的交點(diǎn)，故選B．5．如圖，，，，垂足分別為，，與交于點(diǎn)．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③點(diǎn)在的平分線上.

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】∵，，垂足分別為，，∴，∵，∴（①正確）,∴，∴，∵，，∴，又，∴（②正確）,∴，連接，

∵，∴，∴，即點(diǎn)D在的平分線上（③正確）,所以，正確的結(jié)論有3個(gè)，故選D．二、填空題6．如圖，在中，是角平分線，若，則點(diǎn)到的距離為．【答案】5【解析】如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，∵是的角平分線，，∴，∵，∴，即點(diǎn)D到的距離．故答案為：5．7．如圖所示，已知的周長是10，、分別平分和，于，且，則的面積是．

【答案】5【解析】連接，過點(diǎn)O作于G，于H，

∵的周長是10，∴，∵分別平分和，，∴∴，故答案為：5．8．如圖，，以點(diǎn)B為圓心，小于DB長為半徑作圓弧，分別交BA，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩弧交于點(diǎn)G，作射線BG交CD于點(diǎn)H．若，則的大小為度．

【答案】30【解析】由作圖可知：平分，∴，∵，∴，，∴，∴；故答案為：30．9．如圖，在中，邊的垂直平分線與的平分線交于點(diǎn)．交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．，．則的長是．【答案】7【解析】如圖，連接，，垂直平分，，平分，，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，，，故答案為：．10．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P與圖形M，N給出如下定義：點(diǎn)P到圖形M上的各點(diǎn)的最小距離為m，點(diǎn)P到圖形N上各點(diǎn)的最小距離為n，當(dāng)時(shí)，稱點(diǎn)P為圖形M與圖形N的“等長點(diǎn)”．如：點(diǎn)，，中，點(diǎn)O就是點(diǎn)E與點(diǎn)F的“等長點(diǎn)”，已知點(diǎn)，，，連接，若點(diǎn)P既是點(diǎn)O與點(diǎn)A的“等長點(diǎn)”，也是線段與線段的“等長點(diǎn)”，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】或【解析】如下圖，由圖可知，直線垂直平分，因此直線上的點(diǎn)是點(diǎn)O與點(diǎn)A的“等長點(diǎn)”，由圖可知，是直線與的角平分線的交點(diǎn)，是直線與的角平分線的交點(diǎn)，因此或到線段與線段距離相等，是線段與線段的“等長點(diǎn)”，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．故答案為：或．三、解答題11．如圖，已知中，點(diǎn)D在的平分線上，且點(diǎn)D到點(diǎn)B、C的距離相等.(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)D的位置（保留作圖痕跡）；(2)過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，，交的延長線于點(diǎn)N．求證：【解析】（1）以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫圓，交和于點(diǎn)E和點(diǎn)F，再分別以點(diǎn)E和點(diǎn)F為圓心，大于長為半徑畫圓，兩圓交點(diǎn)為一點(diǎn)G，連接并延長，此時(shí)為的平分線;分別以B,C為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于P,Q兩點(diǎn)，則PQ為BC的垂直平分線，交的延長線于一點(diǎn)D，此時(shí)點(diǎn)D即為所求，如圖所示：；（2）證明：如圖所示：，由（1）可得為的平分線，∵，，∴，∵點(diǎn)D到點(diǎn)B、C的距離相等，∴，在和中，，∴，∴．12．如圖，已知的平分線與的垂直平分線相交于點(diǎn)，，垂足分別為．(1)求證：．(2)若．求的長．【解析】（1）∵平分，，∴，∵，∴，∴；（2）連接，

∵垂直平分，∴，又，∴，∴，∵，∵，∴，∴．13．如圖，四邊形中，，連接，．(1)如圖（1），若，證明：．(2)如圖（2），平分，證明：．【解析】（1）證明：∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴；（2）證明：如圖（2），作于F，∵平分，，，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴．14．如圖，的外角的平分線與的外角的平分線相交于點(diǎn).(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：點(diǎn)到三邊，，所在直線的距離相等.【解析】（1）∵，∴，∵，，∴，∵外角的平分線與的外角的平分線相交于點(diǎn)，∴，∴.（2）證明：過點(diǎn)P作，，，如圖，∵外角的平分線與的外角的平分線相交于點(diǎn)，∴，∴，∴點(diǎn)到三邊，，所在直線的距離相等.15．如圖，、都是等邊三角形，與交點(diǎn)C，(1)如圖1，求證；(2)如圖2，求證：平分；(3)如圖2，若，，，求的長．【解析】（1）證明：如圖1，∵、都是等邊三角形，∴，，，∴，即，∴，∴；（2）如圖2，過A作于M，于N，∵，∴，∴，∵，∴，而，，∴A在的平分線上，即平分；（3）如圖，記，的交點(diǎn)為，∵，∴，而，∴，∴，∵平分，∴，而，，∴，∴，∵，，∴，，∵，，，∴，∴，∴．16．如圖，中，點(diǎn)D在邊延長線上，，的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，垂足為H，且．(1)求的度數(shù)；(2)求證：平分；(3)若，，且，求的面積．【解析】（1）∵，∴，∵，，∴，∴．（2）證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，∵平分，，，由（1）可知，，即平分，，，，，又點(diǎn)在的內(nèi)部，平分．（3）由（2）得：，設(shè)，∵，∴，∴，即，∴，又∵，∴，，∵，∴的面積為．17．已知：如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，按的路徑，以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．

(1)當(dāng)時(shí)，求的面積；(2)為何值時(shí)，線段是的平分線？(3)請(qǐng)利用備用圖2繼續(xù)探索，當(dāng)為______時(shí)，是以為腰的等腰三角形．(直接寫出結(jié)果)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，則，所以的面積；（2）過作，如圖1：，，，，，，∵為的平分線，∴，，，在中，,,解得；（3）如圖：因?yàn)槭且詾檠?/p>