2021 第4章 第4節(jié) 萬有引力與航天

第4節(jié)萬有引力與航天

夯實基礎知識必備知識全通關掃除雙基盲點

I:必備知識填充11

一、開普勒行星運動定律

1.開普勒第一定律

所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。

2.開普勒第二定律

對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過粗箜的面積。

3.開普勒第三定律

所有行星的軌道的生長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，

表達式：k0

二、萬有引力定律

1.內(nèi)容

(1)自然界中任何兩個物體都相互吸引。

(2)引力的方向在它們的連線上。

(3)引力的大小與物體的質(zhì)量一和切2的乘積成正比、與它們之間距離r的

二次方成反比。

2.表達式

尸=野詈,其中G為引力常量，G=6.67X1011N-m2/kg2,由卡文迪許扭

程實驗測定。

3.適用條件

(1)兩個質(zhì)點之間的相互作用。

(2)對質(zhì)量分布均勻的球體，r為兩球心間的距離。

三、宇宙速度

1.三種宇宙速度比較

宇宙速度數(shù)值(km/s)意義

第一宇

7.9地球衛(wèi)星最小發(fā)射速度（環(huán)繞速度）

宙速度

第二宇物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度

11.2

宙速度（脫離速度）

第三宇物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度

16.7

宙速度（逃逸速度）

2.第一宇宙速度的1卜算方法

⑴由仃爺=哈得[GM

V2

（2）由=互得。=道。

[學情自測驗收II

1.思考辨析（正確的畫“J”，錯誤的畫“X”）

（1）地面上的物體所受地球的引力方向一定指向地心。（J）

⑵兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大。

（X）

⑶開普勒第三定律爺=女中A值與中心天體質(zhì)量無關。（X）

（4）第一宇宙速度與地球的質(zhì)量有關。（J）

（5）地球同步衛(wèi)星的運行速度大于第一宇宙速度。（X）

2.（教科版必修2P44T2改編）火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運行，根

據(jù)開普勒行星運動定律可知（）

A.太陽位于木星運行軌道的中心

B.火星和木星繞太陽運行速度的大小始終相等

C.火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方

D.相同時間內(nèi)，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面

積

C

第2頁，共21頁

［太陽位于木星運行軌道的一個焦點上，A錯誤；不同的行星對應不同的運

行軌道，運行速度大小也不相同，B錯誤；同一行星與太陽連線在相等時間內(nèi)掃

/4戌歿ri

過的面積才能相同，D錯誤；由開普勒第三定律得黃=黃，故黃=,，C正確。］

3.（人教版必修2P43T2改編）若地球表面處的重力加速度為g,而物體在距

地面3R（R為地球半徑）處，由于地球作用而產(chǎn)生的加速度為g',則t-為（）

A.1B.1

"一

Ju-16

［答案］D

4.（人教版必修2P48T3改編）若取地球的第一宇宙速度為8km/s,某行星的

質(zhì)量是地球質(zhì)量的6倍，半徑是地球半徑的1.5倍，這顆行星的“第一宇宙速度”

約為（）

A.2km/sB.4km/s

C?16km/sD.32km/s

［答案］c

總結(jié)?？伎键c關鍵能力全突破破解高考疑難

考點1開普勒定律的應用［依題組訓練］

1.關于行星運動的規(guī)律，下列說法符合史實的是（）

A.開普勒在牛頓定律的基礎上，導出了行星運動的規(guī)律

B.開普勒在天文觀測數(shù)據(jù)的基礎上，總結(jié)出了行星運動的規(guī)律

C.開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，找出了行星按照這些規(guī)律運動的原因

D.開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律

B［開普勒在前人觀測數(shù)據(jù)的基礎上，總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，與牛頓定

律無聯(lián)系，選項A錯誤，選項B正確；開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，但沒

有找出行星按照這些規(guī)律運動的原因，選項C錯誤；牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律,

選項D錯誤。］

第3頁，共21頁

2.（多選）（2019?撫州七校聯(lián)考）2018年7月是精彩天象集中上演的月份，“

第3頁，共21頁

水星東大距”“火星沖日”“月全食”等天象先后扮靚夜空，可謂精彩紛

呈。發(fā)生于北京時間7月28日凌晨的''月全食"，相對于2018年1月31日發(fā)

生的“月全食”來說，7月的全食階段持續(xù)時間更長。已知月球繞地球的運動軌

道可看成橢圓，地球始終在該橢圓軌道的一個焦點上,則相對于1月的月球而言，

7月的月球（）

A.繞地球運動的線速度更大

B.距離地球更近

C.繞地球運動的線速度更小

D.距離地球更遠

CD［地球繞著太陽公轉(zhuǎn)，月球又繞著地球公轉(zhuǎn)，發(fā)生月食的條件是地球處

于月球和太陽中間，擋住了太陽光，月全食持續(xù)的時間長短和太陽、地球、月

球三者的位置關系密切相關，7月這次月全食的時間比較長是由于月球和地球的

距離比較遠。根據(jù)開普勒第二定律可知此時月球繞地球運動的線速度更小，故A、

B錯誤，C、D正確。］

3.如圖為人造地球衛(wèi)星的軌道示意圖，LEO是近地軌道，MEO是中地球

軌道，GEO是地球同步軌道，GTO是地球同步轉(zhuǎn)移軌道。已知地球的半徑7?=

6400km,該圖中MEO衛(wèi)星的周期約為（圖中數(shù)據(jù)為衛(wèi)星近地點、遠地點離地

面的高度）（）

A［根據(jù)題圖中MEO衛(wèi)星距離地面高度為4200km,可知軌道半徑約為

/?i=10600km,同步軌道上GEO衛(wèi)星距離地面高度為36000km,可知軌道半

徑約為及=42400km,為MEO衛(wèi)星軌道半徑的4倍，即&=4Ri。地球同步

衛(wèi)星的周期為T2=24h,運用開普勒第三定律，翳=得解得乃=3h,選項A

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正確。］

第4頁，共21頁

廠........困律總結(jié)...........一

應用開普勒行星運動定律的三點注意

(1)行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理。

(2)開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運動。

(3)開普勒第三定律:=女中，”值只與中心天體的質(zhì)量有關，不同的中心天

體左值不同。

,，總%萬有引力定律的理解及應用［講典例示法］

1.萬有引力與重力的關系

地球?qū)ξ矬w的萬有引力b表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg,二是提供物體隨

地球自轉(zhuǎn)的向心力產(chǎn)向，如圖所示。

2

(1)在赤道上：=mg\+m(t)Ro

(2)在兩極上：G喘=ing2。

2.星體表面上的重力加速度

(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：

GM

mg=Cr-^r，得g=R。

⑵在地球上空距離地心「=/?+力處的重力加速度為g',mg'=￡^5,

,GM

=(R+h)2°

3.估算天體質(zhì)量和密度的兩種方法

(1)“g、R”法：已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。

第5頁，共21頁

①由G爺=mg,得天體質(zhì)量”=警。

②天體密度,十=十二懸。

鏟&

（2）“八r”法：測出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑，和周期T。

4兀23.47r2/

①由G^=nr^r,Z侍B聞=石聲。

②若已知天體的半徑R,則天體的密度

__M_M_3+

P=~V=4~；=G『R3。

［典例示法］（多選）（2019?湖南地質(zhì)中學三模）若宇航員在月球表面附近高h

處以初速度。。水平拋出一個小球，測出小球的水平射程為心已知月球半徑為R,

引力常量為G。則下列說法正確的是（）

hvi

A.月球表面的重力加速度g月=萬

3hvi

B.月球的平均密度,=2nGI}R

___

c.月球的第一宇宙速度而

.hR2vi

D.月球的質(zhì)量m月=~^T

關鍵信息：“水平拋出一個小球，測出水平射程”，可獲得月球表面的重

力加速度。

［解析］設月球表面的重力加速度為g月，小球在月球表面做平拋運

動，根據(jù)平拋知識可知在水平方向上L=oof,在豎直方向上/i=；g月P,解得g月

2

2hvi,,皿Gm^m…,2hRviv.

=12,故A錯伏；在月球表面一無5一=mg月,解付機月=—G^2,則月球密度

2hR2Vd

為2=產(chǎn)=詈匕=黑人，故B正確，D錯誤;月球的第一宇宙速度。=4贏

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-j-y［lhR,故C正確。

［答案］BC

「........易錯警示j..........................................................................................

估算天體質(zhì)量和密度的“四點”注意

(1)利用萬有引力提供天體圓周運動的向心力估算天體質(zhì)量時，估算的只是

中心天體的質(zhì)量，而非環(huán)繞天體的質(zhì)量。

(2)區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r,只有在天體表面附近的衛(wèi)星，才有

r=R；計算天體密度時，V=+R3中的“R”只能是中心天體的半徑。

(3)天體質(zhì)量估算中常有隱含條件，如地球的自轉(zhuǎn)周期為24h,公轉(zhuǎn)周期為

365天等。

(4)注意黃金代換式GM=gR2的應用。

［跟進訓練］

1.(多選)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r

的圓軌道上。設地球質(zhì)量為M,半徑為R。下列說法正確的是()

A.地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為正二市

B.一顆衛(wèi)星對地球的引力大小為罩場

C.兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為空

D.三顆衛(wèi)星對地球引力的合力大小為爺叫

BC［由萬有引力定律知A項錯誤，B項正確；因三顆衛(wèi)星連線構(gòu)成等邊三

角形，圓軌道半徑為r,由數(shù)學知識易知任意兩顆衛(wèi)星間距d=2rcos3(T=5r

第7頁，共21頁

,由萬有引力定律知C項正確；因三顆衛(wèi)星對地球的引力大小相等且互成

120°,故三顆衛(wèi)星對地球引力的合力為0,則D項錯誤。］

2.若地球半徑為R,把地球看作質(zhì)量分布均勻的球體?！膀札垺碧栂聺撋?/p>

度為d,“天宮一號”軌道距離地面高度為比“蛟龍”號所在處與“天宮一號”

所在處的重力加速度之比為()

R-d(R-d)2

AR+hB'(R+li)2

(R_Q(R+陽2(R_J)(R+M

C.R3d-R2

C［設地球的密度為〃，則在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，

有：g=G^,由于地球的質(zhì)量為：M=p^nR3,所以重力加速度的表達式可寫成：

GMG/37rW4

g=-^T=—^—=^nGpRo根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引

力為零，故在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬有引力即為半徑等于住一公

的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故“蛟龍”號的重力加速度g'=表6"便一

2'R—dMm

〃)，所以有~=一/。根據(jù)萬有引力提供向心力6=溪需=次生“天宮一號”

SK("十九廣

訴去撲的番內(nèi)加海庭%GMaR2K_一(R-乃(R+/z)2從

所在處的重力加速度為J(R+協(xié)2，所々一(/?+m2，“一R3，故

C正確，A、B、D錯誤。］

3.(2019?合肥一中等六校聯(lián)考)科學家計劃在2025年將首批宇航員送往火星

進行考察。假設在火星兩極宇航員用彈簧測力計測得一質(zhì)量為m的物體的重力

為人，在火星赤道上宇航員用同一把彈簧測力計測得該物體的重力為尸2。通過

天文觀測測得火星的自轉(zhuǎn)角速度為“，已知引力常量為G,將火星看成是質(zhì)量分

布均勻的球體，則火星的密度和半徑分別為()

3/WF1-F2

A，4nG(Fi-Fi),mco2

3①21132

ZTTG'mco1

第8頁，共21頁

3Fift>2.1+.2

C-irG(尸1一/2)'mco2

3“FLF2

D，47tG'to2

A［在兩極萬有引力等于重力，G^r=F!；在赤道上萬有引力提供重力及

向心力，Cr^—F2=m(t)2R,聯(lián)立解得R=F；IQF；由^^=用，且知=；7昧3〃，

3尸IS2

解得尸菽函故A正端］

考點3宇宙速度及衛(wèi)星運行參量的分析計算［講典例示法］

1.宇宙速度與運動軌跡的關系

(1)。發(fā)=7.9km/s時，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動。

(2)7.9km/s<v發(fā)<11.2km/s,衛(wèi)星繞地球運動的軌跡為橢圓。

(3)11.2km/sW。發(fā)<16.7km/s,衛(wèi)星繞太陽做橢圓運動。

(4)。發(fā)N16.7km/s,衛(wèi)星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間。

2.物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律

第9頁，共21頁

V2,CM1

m——

r

2粵2」越

Mmmo）二

rC-=

「百高

r越

規(guī)慢

zn域T二

律(r=%+h)

r

GM1

ma—^a-——a—

rr

mg=嗎加（地球表面）~^GM=gR；

R地

3?同步衛(wèi)星的六個“一定”

軌道平面一定軌道平面與赤道平面共面

周期一定與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即7=24h

角速度一定與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同

由G焉祭（R+用得同步衛(wèi)星

高度一定

離地面的高度九=-R=6R（恒量）

速率一定

繞行方向一定與地球自轉(zhuǎn)的方向一致

［典例示法］

如圖所示，。為放在赤道上相對地球靜止的物體，隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運

動，力為沿地球表面附近做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星（軌道半徑約等于地球半徑）,

。為地球的同步衛(wèi)星。下列關于。、b、c的說法中正確的是（）

,0

0,

A.b衛(wèi)星轉(zhuǎn)動線速度大于7.9km/s

B.a、b、c做勻速圓周運動的向心加速度大小關系為戶以

C.a、b、。做勻速圓周運動的周期關系為Tc>Tb>Ta

第10頁，共21頁

D.在6c中，〃的速度大

思路點撥：解此題抓住以下兩個環(huán)節(jié)

(1)赤道上的物體與同步衛(wèi)星具有相同的角速度(周期)；

(2)赤道上物體與衛(wèi)星比較物理量時，要借助同步衛(wèi)星過渡。

［解析］)為沿地球表面附近做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力定

律有G=i般,解得/寫代入數(shù)據(jù)得0=7.9km/s,故A錯誤；地球

赤道上的物體與同步衛(wèi)星具有相同的角速度，所以3=g,根據(jù)a=rc02知，c

的向心加速度大于a的向心加速度，根據(jù)。=彳?得b的向心加速度大于c的向

心加速度，即恁＞%＞匹，故B錯誤；衛(wèi)星c為同步衛(wèi)星，所以￡=或，根據(jù)T

曷得c的周期大于8的周期，即A=K＞乃，故C錯誤；在從c中，

根據(jù)可知的速度比。的速度大，故D正確。

［答案］D

廠........律總結(jié)...............................

研究衛(wèi)星運行熟悉“三星一物”

(1)同步衛(wèi)星的周期、軌道平面、高度、線速度的大小、角速度、繞行方向

均是固定不變的，常用于無線電通信，故又稱通信衛(wèi)星。

(2)極地衛(wèi)星運行時每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實

現(xiàn)全球覆蓋。

(3)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其運行的

軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9km/s。

(4)赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)而做勻速圓周運動，由萬有引力和地面支持力

的合力充當向心力(或者說由萬有引力的分力充當向心力)，它的運動規(guī)律不同于

衛(wèi)星，但它的周期、角速度與同步衛(wèi)星相等。

［跟進訓練］

考向1宇宙速度的理解

第11頁，共21頁

1.（多選）據(jù)悉，我國的火星探測已引起各國的關注，我國將于近幾年進行

第一次火星探測，向火星發(fā)射軌道探測器和火星巡視器。已知火星的質(zhì)量約為地

球質(zhì)量的"火星的半徑約為地球半徑的;。下列關于火星探測器的說法中正確的

是（）

A.發(fā)射速度只要大于第一宇宙速度即可

B.發(fā)射速度只有達到第三宇宙速度才可以

C.發(fā)射速度應大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度

D.火星探測器環(huán)繞火星運行的最大速度約為地球的第一宇宙速度的手

CD［要將火星探測器發(fā)射到火星上去，必須脫離地球引力，即發(fā)射速度要

大于第二宇宙速度，火星探測器仍在太陽系內(nèi)運轉(zhuǎn)，因此從她球上發(fā)射時，發(fā)

射速度要小于第三宇宙速度，選項A、B錯誤，C正確；由第一宇宙速度的概念，

得6爺=燕得0］=、愕，故火星探測器環(huán)繞火星運行的最大速度與地球

的第一宇宙速度的比值約為\及=坐，選項D正確。］

卜考向2衛(wèi)星的運行問題

2.（2019?重慶一中月考汝口圖所示，衛(wèi)星A、5繞地球做勻速圓周運動，用T、

。、八S分別表示衛(wèi)星的周期、加速度、速度、與地心連線在單位時間內(nèi)掃過的

面積。下列關系式正確的是（）

A.TA>TB

C?VA>VBD.SA=SB

A［根據(jù)萬有引力提供向心力可得9詈=一［=典詈=，％,可知線速度

為周期為丁=\/符/，加速度為4=??,A的軌道半徑較大，則

VA<VB,

第12頁，共21頁

TA>TB,aA<aB,故A正確，B、C錯誤；由開普勒第二定律可知繞一中心天

體運動的衛(wèi)星與中心天體連線在相等時間內(nèi)掃過的面積相等，4、5不是同一軌

道，所以A、3與地心連線在單位時間內(nèi)掃過的面積不同，故D錯誤。］

考向3同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星與赤道上的物體

3.（2019?北京高考）2019年5月17日，我國成功發(fā)射第45顆北斗導航衛(wèi)星,

該衛(wèi)星屬于地球靜止軌道衛(wèi)星（同步衛(wèi)星）。該衛(wèi)星（）

A.入軌后可以位于北京正上方

B.入軌后的速度大于第一宇宙速度

C.發(fā)射速度大于第二宇宙速度

D.若發(fā)射到近地圓軌道所需能量較少

D［地球同步衛(wèi)星的軌道一定位于赤道的正上方，而北京位于北半

球，并不在赤道上，所以該衛(wèi)星入軌后不可能位于北京正上方，故A錯誤；第

一宇宙速度為最大的運行速度，即只有當衛(wèi)星做近地飛行時才能近似達到的速

度，所以該衛(wèi)星入軌后的速度一定小于第一宇宙速度，故B錯誤；成功發(fā)射人

造地球衛(wèi)星的發(fā)射速度應大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，故C錯誤；

衛(wèi)星需加速才可從低軌道運動至高軌道，故衛(wèi)星發(fā)射到近地圓軌道所需能量較

發(fā)射到同步衛(wèi)星軌道的少，故D正確。］

考點4衛(wèi)星變軌問題［講典例示法］

1.衛(wèi)星發(fā)射及變軌過程概述

人造衛(wèi)星的發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌方可到達預定軌道，如圖所示。

（1）為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道I上。

（2）在4點點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星做

離心運動進入橢圓軌道n。

（3）在B點（遠地點）再次點火加速進入圓形軌道皿。

2.三個運行物理量的大小比較

第13頁，共21頁

⑴速度：設衛(wèi)星在圓軌道i和ni上運行時的速率分別為。i、s,在軌道n

第13頁，共21頁

上過4點和5點速率分別為zu、在。在A點加速，則。4>磯，在5點加速,

則］V3>VB,又因Vl>V3,故有VA>V1>V3>VBO

(2)加速度：因為在A點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道I還是

軌道n上經(jīng)過4點，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經(jīng)過3點加速度也相同。

(3)周期：設衛(wèi)星在I、II、III軌道上運行的周期分別為乃、T2、T3,軌道

半徑分別為力、,2(半長軸)、-3,由開普勒第三定律捻=女可知71<72<乃。

［典例示法］

2017年1月18日，世界首顆量子科學實驗衛(wèi)星“墨子號”在圓滿完成4個

月的在軌測試任務后，正式交付用戶單位使用。如圖為“墨子號”變軌示意圖，

軌道4與軌道5相切于P點，軌道5與軌道C相切于。點，以下說法正確的是

()

A.“墨子號”在軌道B上由P向。運動的過程中速率越來越大

B.“墨子號”在軌道C上經(jīng)過。點的速率大于在軌道A上經(jīng)過P點的速

率

C.“墨子號”在軌道B上經(jīng)過P時的向心加速度大于在軌道A上經(jīng)過P

點時的向心加速度

D.“墨子號”在軌道B上經(jīng)過。點時受到的地球的引力小于經(jīng)過P點時

受到的地球的引力

［解析］“墨子號”在軌道3上由尸向。運動的過程中，逐漸遠離地心，

速率越來越小，選項A錯誤；“墨子號”在A、C軌道上運行時，軌道半徑不

同，根據(jù)d詈=機手可得。=\浮，軌道半徑越大，線速度越小，選項B錯

誤；“墨子號”在4、3兩軌道上經(jīng)過P點時，離地心的距離相等，受地球的引

力相等，所以加速度是相等的，選項C錯誤；“墨子號”在軌道5上經(jīng)過。點

比經(jīng)過P點時離地心的距離要遠些，受地球的引力要小些，選項D正確。

第14頁，共21頁

［答案］D

1...............J5法技巧....

航天器變軌問題的“三點”注意

(1)航天器變軌時半徑的變化，根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關系判斷;

穩(wěn)定在新圓軌道上的運行速度變化由。=入岸判斷。

(2)同一航天器在一個確定的圓(橢圓)軌道上運行時機械能守恒，在不同軌道

上運行時機械能不同，軌道半徑越大，機械能越大。

(3)航天器經(jīng)過不同軌道的相交點時，加速度相等，外軌道的速度大于內(nèi)軌

道的速度。

［跟進訓練］

1.(2019?臨沂2月檢測)2019年春節(jié)期間，中國科幻電影里程碑的作品《流

浪地球》熱播。影片中為了讓地球逃離太陽系，人們在地球上建造特大功率發(fā)動

機，使地球完成一系列變軌操作，其逃離過程如圖所示，地球在橢圓軌道I上運

行到遠日點3變軌，進入圓形軌道在圓形軌道H上運行到5點時再次加速

變軌，從而最終擺脫太陽束縛。對于該過程，下列說法正確的是()

A.沿軌道I運動至s點時，需向前噴氣減速才能進入軌道n

B.沿軌道I運行的周期小于沿軌道II運行的周期

C.沿軌道I運行時，在A點的加速度小于在B點的加速度

D.在軌道I上由4點運行到B點的過程，速度逐漸增大

B［沿軌道I運動至5點時，需向后噴氣加速才能進入軌道H,故選項A

錯誤；因在軌道I的半長軸小于軌道n的運動半徑，根據(jù)開普勒第三定律可知，

Mm

沿軌道I運行的周期小于沿軌道U運行的周期，故選項B正確；由

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可得則沿軌道I運行時，在4點的加速度大于在8點的加速度,

故選項C錯誤；根據(jù)開普勒第二定律可知，在軌道I上由4點運行到B點的過

程，速度逐漸減小，選項D錯誤。］

2.（多選）如圖是“嫦娥三號”飛行軌道示意圖，在地月轉(zhuǎn)移段，若不計其

他星體的影響，關閉發(fā)動機后，下列說法正確的是（）

發(fā)

射軌道I

及

入

軌軌道U

段

太

陽卜面工作電、

帆

道

板

軌

修

展

道

正

開

修

正p/

軌道修正近月制動

A.“嫦娥三號”飛行速度一定越來越小

B.“嫦娥三號”的動能可能增大

C?“嫦娥三號”的動能和引力勢能之和一定不變

D.“嫦娥三號”的動能和引力勢能之和可能增大

AC［在地月轉(zhuǎn)移段“嫦娥三號”所受地球和月球的引力之和指向地球，關

閉發(fā)動機后，“嫦娥三號”向月球飛行，要克服引力做功，動能一定減小，速

度一定減小，選項A正確，B錯誤。關閉發(fā)動機后，只有萬有引力做功，“嫦

娥三號”的動能和引力勢能之和一定不變，選項C正確，D錯誤。］

YANG.

HEXINSU

素養(yǎng)

科學思維一雙星模型和多星模型

1.雙星模型

⑴定義：繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng),

如圖所示。

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⑵特點：

①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即

Gmiim,Gmunz)

==

加1①fn,~^2tfiicoino

②兩顆星的周期及角速度都相同，

即71=Ti9o)\—0)1Q

③兩顆星的半徑與它們之間的距離關系為：n+r2=Lo

④兩顆星到圓心的距離ri、廠2與星體質(zhì)量成反比，即

m\n

mi~nQ

⑤雙星的運動周期丁=2々就詞。

4九2七3

⑥雙星的總質(zhì)量，〃1+，〃2=7后。

［示例1］雙星系統(tǒng)中兩個星球4、B的質(zhì)量都是帆，A、B相距L,它們正

圍繞兩者連線上某一點做勻速圓周運動。實際觀測該系統(tǒng)的周期T要小于按照

力學理論計算出的周期理論值如。，且微=A(kl),于是有人猜測這可能是受到了

一顆未發(fā)現(xiàn)的星球。的影響，并認為C位于雙星A、5的連線正中間，相對A、

B靜止，求：

(1)兩個星球4、5組成的雙星系統(tǒng)周期理論值To;

(2)星球C的質(zhì)量。

［解析］⑴兩星球的角速度相同，根據(jù)萬有引力充當向心力知：寫jnn而

=mncfA

可得：ri=n①

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兩星繞連線的中點轉(zhuǎn)動，則有:

Gmm、,L、

=mX—cDi

解得3=4^②

所以To="=27T\/j^-。③

a)i\j2Gtn

(2)由于。的存在，雙星的向心力由兩個力的合力提供，則

Gmm.Mm1.,小

一~j^2-+G2='力5乙?二,④

?

T=~=kTo⑤

(02

聯(lián)立③④⑤式解得M=Q二:?力

2gIL3(1-k2)m

［答案1⑴2、而⑵

2.多星模型

(1)定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央

星體外，各星體的角速度或周期相同。

(2)三星模型：

①三顆星體位于同一直線上，兩顆質(zhì)量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑

為R的圓形軌道上運行(如圖甲所示)。

②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示)。

甲乙丙丁

(3)四星模型：

①其中一種是四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正

方形的圓形軌道做勻速圓周運動(如圖丙所示)。②

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另一種是三顆質(zhì)量相等的星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于

中心0,外圍三顆星繞。做勻速圓周運動(如圖丁所示)。

［示例2］(多選)宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng),其中有一種三

星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊

長為R,忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心0

做勻速圓周運動，引力常量為G,則)

Qm