高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例-對(duì)數(shù)函數(shù)

12對(duì)數(shù)函數(shù)課本闡發(fā)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型，它與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．課本是在學(xué)生學(xué)過指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)及其運(yùn)算的底子上引入對(duì)數(shù)函數(shù)的看法的．須要說明的是，這里與傳統(tǒng)的課本有所差別，即沒有先學(xué)習(xí)反函數(shù)，這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的看法、圖像及性質(zhì)有較大影響，使指數(shù)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)不能直策應(yīng)用于對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，但從對(duì)數(shù)的界說中知道：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式可互化．因此，在某些方面，如在畫對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖像列表時(shí)，可以把畫指數(shù)函數(shù)y＝2x圖像時(shí)列的表中的x與y的值對(duì)調(diào)．這節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的看法、圖像及性質(zhì)，難點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的干系．講授目標(biāo)1.通過具體實(shí)例，直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型刻畫的數(shù)量干系，開端理解對(duì)數(shù)函數(shù)的看法，并能畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)．2.知道指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)（a＞0且a≠1）．3.能應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解有關(guān)問題．任務(wù)闡發(fā)首先溫習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)的界說及對(duì)數(shù)的性質(zhì)，這也是學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的底子．解析式x＝logay是函數(shù)，叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，為了切合習(xí)慣，常寫成y＝logax．這些內(nèi)容學(xué)生較難理解，講授時(shí)要引起重視．講授中，要注意從實(shí)例出發(fā)，使學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)提高到理性認(rèn)識(shí)；要注意運(yùn)用比擬的要領(lǐng)；要結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像抽象歸納綜合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．注意：不要求討論形式化的函數(shù)界說，也不要求求已知函數(shù)的反函數(shù)，只須知道對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．講授設(shè)計(jì)一、問題情境同指數(shù)函數(shù)中的細(xì)胞破裂問題，即：某種細(xì)胞破裂時(shí)，由1個(gè)破裂成2個(gè)，2個(gè)破裂成4個(gè)，4個(gè)破裂成8個(gè)……1個(gè)這樣的細(xì)胞破裂x次后，得到的細(xì)胞的個(gè)數(shù)為y．我們已經(jīng)知道，個(gè)數(shù)y是破裂次數(shù)x的函數(shù)，解析式是y＝2x．形式上是指數(shù)函數(shù)（這里的界說域是N）．思考：在這個(gè)問題中，細(xì)胞破裂的次數(shù)x是不是細(xì)胞破裂個(gè)數(shù)y的函數(shù)？若是，這個(gè)函數(shù)的解析式是什么？x也是y的函數(shù)，由對(duì)數(shù)的界說得到這個(gè)新函數(shù)是x＝log2y．其中，細(xì)胞的個(gè)數(shù)y是自變量，細(xì)胞破裂的次數(shù)x是函數(shù)．二、創(chuàng)建模型1.學(xué)生討論（1）函數(shù)x＝log2y與指數(shù)函數(shù)y＝2x有何關(guān)系？（2）函數(shù)ｘ＝log2y中的自變量、字母與我們以前所學(xué)的函數(shù)有何區(qū)別？結(jié)論：?jiǎn)栴}（1）：兩函數(shù)中的x體現(xiàn)的都是細(xì)胞破裂的次數(shù)，y體現(xiàn)的都是細(xì)胞破裂的個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)規(guī)矩都是以2為底數(shù)，一個(gè)是取對(duì)數(shù)，一個(gè)是取指數(shù)，正好相逆．注意：這里不能說它們互為反函數(shù)，因?yàn)檫€沒有學(xué)習(xí)反函數(shù)的看法．問題（2）：這里的自變量所用字母是y，以前學(xué)習(xí)的函數(shù)的自變量常用字母x，即這里的用法不合習(xí)慣．2.西席明晰界說：函數(shù)x＝long2y，（a＞0，且a≠1）叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，它的界說域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）．由對(duì)數(shù)函數(shù)的界說可知，在指數(shù)函數(shù)y＝ax和對(duì)數(shù)函數(shù)x＝logay中，x，y兩個(gè)變量之間的干系是一樣的．差別的只是在指數(shù)函數(shù)y＝ax里，x是自變量，y是因變量，而在對(duì)數(shù)函數(shù)x＝logay中，y是自變量，x是因變量．習(xí)慣上，我們常用x體現(xiàn)自變量，y體現(xiàn)因變量，因此，對(duì)數(shù)函數(shù)通常寫成y＝logay，（a＞0且a≠1，x＞0）．3.練習(xí)在同一坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)的圖像．（1）y＝long2x．（2）y＝．解：列表：表12-1思考：上表中的x，y的對(duì)應(yīng)值與指數(shù)函數(shù)中所列表的對(duì)應(yīng)值有何關(guān)系？描點(diǎn)，畫圖：4.視察上面的函數(shù)圖像，結(jié)合列表，模仿指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，歸納總結(jié)出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（1）界說域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）．（2）函數(shù)圖像在y軸的右側(cè)且過定點(diǎn)（1，0）．（3）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)在界說域上是增函數(shù)，且當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)在界說域上是減函數(shù)，且當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0．三、解釋應(yīng)用［例題］1.求下列函數(shù)的界說域．（1）y＝log2x2．（2）y＝loga（4－x）．（3）y＝．解：（1）｛x｜x≠0｝．（2）（－∞，4）．（3）（0，1）．2.比力下列各組數(shù)的巨細(xì)．（1）log23與log23.5．（2）loga5.1與loga5.9，（a＞0且a≠1）．（3）log67與log76．解：（1）考查對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x．∵2＞1，∴它在（0，＋∞）上是增函數(shù)．又3＜3.5，∴l(xiāng)og23＜log23.5．（2）當(dāng)a＞1時(shí)，loga5.1＜loga5.9；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga5.1＞loga5.9．（3）log67＞1＞log76．總結(jié)：本例是利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性比力兩個(gè)對(duì)數(shù)的巨細(xì)，當(dāng)?shù)讛?shù)與1的巨細(xì)不確定時(shí)，要分類討論；當(dāng)不能直接進(jìn)行比力時(shí)，可在兩個(gè)數(shù)中間插入一個(gè)已知數(shù)間接比力兩個(gè)數(shù)的巨細(xì)．3.溶液的酸堿度是通過pH值來刻畫的，pH值的盤算公式為pH＝－lg［H+］，其中［H+］體現(xiàn)溶液中氫離子的濃度，單位是mol／L．（1）憑據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及上述pH值的盤算公式，說明溶液的酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變革干系．（2）已知純凈水中氫離子的濃度為［H+］＝10-7mol／L，盤算純凈水的pH值．解：（1）憑據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，有pH＝－lg［H+］＝lg［H+］－1＝lg，所以溶液中氫離子的濃度越大，溶液的酸度就越?。?）當(dāng)［H+］＝10-7時(shí)，pH＝－lg10-7＝7，所以，純凈水的pH值是7．4.設(shè)函數(shù)f（x）＝lg（ax－bx），（a＞1＞b＞0），問：當(dāng)a，b滿足什么干系時(shí)，f（x）在（1，＋∞）上恒取正值？解：當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，lg（ax－bx）＞0恒創(chuàng)建ax－bx＞1恒創(chuàng)建．令g（x）＝ax－bx．∵a＞1＞b＞0，∴g（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，∴當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）＝a－b，∴當(dāng)a－b≥1時(shí)，f（x）在（1，＋∞）上恒取正值．［練習(xí)］1.求函數(shù)y＝的界說域．2.比力log0.50.2與log0.53.函數(shù)y＝lg（x2－2x）的增區(qū)間是____________．4.已知a＞0，且a≠1，則在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝a-x和y＝loga（－x）的圖像有可能是（）．5.大西洋鮭魚每年都要逆流而上2000m，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)明，一歲鮭魚的游速可以體現(xiàn)為函數(shù)，單位是m／s，其中Q體現(xiàn)鮭魚的耗氧量．（1）當(dāng)一條鮭魚的耗氧量是2700個(gè)單位時(shí)，它的游速是多少？（2）盤算一條鮭魚的最低耗氧量．四、拓展延伸1.作出對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax，（a＞1）與y＝logax，（0＜a＜1）的草圖．2.說出指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的干系．以指數(shù)函數(shù)y＝2x與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x為代表加以說明．（1）對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x是把指數(shù)函數(shù)y＝2x中自變量與因變量對(duì)調(diào)位置而得出的．西席明晰：當(dāng)一個(gè)函數(shù)是一一映射時(shí)，可以把這個(gè)函數(shù)的因變量作為一個(gè)新的函數(shù)的自變量，而把這個(gè)函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的因變量．我們稱這兩個(gè)函數(shù)互為函數(shù)．函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)記作：y＝f-1（x）．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x與指數(shù)函數(shù)y＝2x互為反函數(shù)．（2）對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x與指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．（3）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)比較表．表12-2點(diǎn)評(píng)這篇案例首先通過細(xì)胞破裂問題說明了對(duì)數(shù)函數(shù)的意義，這樣擺設(shè)既有利于學(xué)生理解對(duì)數(shù)函數(shù)的看法，又有利于學(xué)生了解了它與指數(shù)函數(shù)的干系．其次通過畫具體的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，歸納總結(jié)