高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例-對數(shù)函數(shù)

12對數(shù)函數(shù)課本闡發(fā)對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型，它與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．課本是在學生學過指數(shù)函數(shù)、對數(shù)及其運算的底子上引入對數(shù)函數(shù)的看法的．須要說明的是，這里與傳統(tǒng)的課本有所差別，即沒有先學習反函數(shù)，這對學生學習對數(shù)函數(shù)的看法、圖像及性質有較大影響，使指數(shù)函數(shù)的知識點不能直策應用于對數(shù)函數(shù)的知識點，但從對數(shù)的界說中知道：指數(shù)式與對數(shù)式可互化．因此，在某些方面，如在畫對數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖像列表時，可以把畫指數(shù)函數(shù)y＝2x圖像時列的表中的x與y的值對調．這節(jié)內(nèi)容的重點是對數(shù)函數(shù)的看法、圖像及性質，難點是對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的干系．講授目標1.通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型刻畫的數(shù)量干系，開端理解對數(shù)函數(shù)的看法，并能畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖像，掌握對數(shù)函數(shù)的圖像和性質．2.知道指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)（a＞0且a≠1）．3.能應用對數(shù)函數(shù)的性質解有關問題．任務闡發(fā)首先溫習指數(shù)函數(shù)、對數(shù)的界說及對數(shù)的性質，這也是學習本節(jié)內(nèi)容的底子．解析式x＝logay是函數(shù)，叫作對數(shù)函數(shù)，為了切合習慣，常寫成y＝logax．這些內(nèi)容學生較難理解，講授時要引起重視．講授中，要注意從實例出發(fā)，使學生從感性認識提高到理性認識；要注意運用比擬的要領；要結合對數(shù)函數(shù)的圖像抽象歸納綜合對數(shù)函數(shù)的性質．注意：不要求討論形式化的函數(shù)界說，也不要求求已知函數(shù)的反函數(shù)，只須知道對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．講授設計一、問題情境同指數(shù)函數(shù)中的細胞破裂問題，即：某種細胞破裂時，由1個破裂成2個，2個破裂成4個，4個破裂成8個……1個這樣的細胞破裂x次后，得到的細胞的個數(shù)為y．我們已經(jīng)知道，個數(shù)y是破裂次數(shù)x的函數(shù)，解析式是y＝2x．形式上是指數(shù)函數(shù)（這里的界說域是N）．思考：在這個問題中，細胞破裂的次數(shù)x是不是細胞破裂個數(shù)y的函數(shù)？若是，這個函數(shù)的解析式是什么？x也是y的函數(shù)，由對數(shù)的界說得到這個新函數(shù)是x＝log2y．其中，細胞的個數(shù)y是自變量，細胞破裂的次數(shù)x是函數(shù)．二、創(chuàng)建模型1.學生討論（1）函數(shù)x＝log2y與指數(shù)函數(shù)y＝2x有何關系？（2）函數(shù)ｘ＝log2y中的自變量、字母與我們以前所學的函數(shù)有何區(qū)別？結論：問題（1）：兩函數(shù)中的x體現(xiàn)的都是細胞破裂的次數(shù)，y體現(xiàn)的都是細胞破裂的個數(shù)，對應規(guī)矩都是以2為底數(shù)，一個是取對數(shù)，一個是取指數(shù)，正好相逆．注意：這里不能說它們互為反函數(shù)，因為還沒有學習反函數(shù)的看法．問題（2）：這里的自變量所用字母是y，以前學習的函數(shù)的自變量常用字母x，即這里的用法不合習慣．2.西席明晰界說：函數(shù)x＝long2y，（a＞0，且a≠1）叫作對數(shù)函數(shù)，它的界說域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）．由對數(shù)函數(shù)的界說可知，在指數(shù)函數(shù)y＝ax和對數(shù)函數(shù)x＝logay中，x，y兩個變量之間的干系是一樣的．差別的只是在指數(shù)函數(shù)y＝ax里，x是自變量，y是因變量，而在對數(shù)函數(shù)x＝logay中，y是自變量，x是因變量．習慣上，我們常用x體現(xiàn)自變量，y體現(xiàn)因變量，因此，對數(shù)函數(shù)通常寫成y＝logay，（a＞0且a≠1，x＞0）．3.練習在同一坐標系中畫出下列函數(shù)的圖像．（1）y＝long2x．（2）y＝．解：列表：表12-1思考：上表中的x，y的對應值與指數(shù)函數(shù)中所列表的對應值有何關系？描點，畫圖：4.視察上面的函數(shù)圖像，結合列表，模仿指數(shù)函數(shù)的性質，歸納總結出對數(shù)函數(shù)的性質（1）界說域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）．（2）函數(shù)圖像在y軸的右側且過定點（1，0）．（3）當a＞1時，函數(shù)在界說域上是增函數(shù)，且當x＞1時，y＞0；當0＜x＜1時，y＜0．當0＜a＜1時，函數(shù)在界說域上是減函數(shù)，且當x＞1時，y＜0；當0＜x＜1時，y＞0．三、解釋應用［例題］1.求下列函數(shù)的界說域．（1）y＝log2x2．（2）y＝loga（4－x）．（3）y＝．解：（1）｛x｜x≠0｝．（2）（－∞，4）．（3）（0，1）．2.比力下列各組數(shù)的巨細．（1）log23與log23.5．（2）loga5.1與loga5.9，（a＞0且a≠1）．（3）log67與log76．解：（1）考查對數(shù)函數(shù)y＝log2x．∵2＞1，∴它在（0，＋∞）上是增函數(shù)．又3＜3.5，∴l(xiāng)og23＜log23.5．（2）當a＞1時，loga5.1＜loga5.9；當0＜a＜1時，loga5.1＞loga5.9．（3）log67＞1＞log76．總結：本例是利用對數(shù)的單調性比力兩個對數(shù)的巨細，當?shù)讛?shù)與1的巨細不確定時，要分類討論；當不能直接進行比力時，可在兩個數(shù)中間插入一個已知數(shù)間接比力兩個數(shù)的巨細．3.溶液的酸堿度是通過pH值來刻畫的，pH值的盤算公式為pH＝－lg［H+］，其中［H+］體現(xiàn)溶液中氫離子的濃度，單位是mol／L．（1）憑據(jù)對數(shù)函數(shù)性質及上述pH值的盤算公式，說明溶液的酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變革干系．（2）已知純凈水中氫離子的濃度為［H+］＝10-7mol／L，盤算純凈水的pH值．解：（1）憑據(jù)對數(shù)的性質，有pH＝－lg［H+］＝lg［H+］－1＝lg，所以溶液中氫離子的濃度越大，溶液的酸度就越?。?）當［H+］＝10-7時，pH＝－lg10-7＝7，所以，純凈水的pH值是7．4.設函數(shù)f（x）＝lg（ax－bx），（a＞1＞b＞0），問：當a，b滿足什么干系時，f（x）在（1，＋∞）上恒取正值？解：當x∈（1，＋∞）時，lg（ax－bx）＞0恒創(chuàng)建ax－bx＞1恒創(chuàng)建．令g（x）＝ax－bx．∵a＞1＞b＞0，∴g（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，∴當x＞1時，g（x）＞g（1）＝a－b，∴當a－b≥1時，f（x）在（1，＋∞）上恒取正值．［練習］1.求函數(shù)y＝的界說域．2.比力log0.50.2與log0.53.函數(shù)y＝lg（x2－2x）的增區(qū)間是____________．4.已知a＞0，且a≠1，則在同一直角坐標系中，函數(shù)y＝a-x和y＝loga（－x）的圖像有可能是（）．5.大西洋鮭魚每年都要逆流而上2000m，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．研究鮭魚的科學家發(fā)明，一歲鮭魚的游速可以體現(xiàn)為函數(shù)，單位是m／s，其中Q體現(xiàn)鮭魚的耗氧量．（1）當一條鮭魚的耗氧量是2700個單位時，它的游速是多少？（2）盤算一條鮭魚的最低耗氧量．四、拓展延伸1.作出對數(shù)函數(shù)y＝logax，（a＞1）與y＝logax，（0＜a＜1）的草圖．2.說出指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的干系．以指數(shù)函數(shù)y＝2x與對數(shù)函數(shù)y＝log2x為代表加以說明．（1）對數(shù)函數(shù)y＝log2x是把指數(shù)函數(shù)y＝2x中自變量與因變量對調位置而得出的．西席明晰：當一個函數(shù)是一一映射時，可以把這個函數(shù)的因變量作為一個新的函數(shù)的自變量，而把這個函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的因變量．我們稱這兩個函數(shù)互為函數(shù)．函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)記作：y＝f-1（x）．對數(shù)函數(shù)y＝log2x與指數(shù)函數(shù)y＝2x互為反函數(shù)．（2）對數(shù)函數(shù)y＝log2x與指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖像關于直線y＝x對稱．（3）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)比較表．表12-2點評這篇案例首先通過細胞破裂問題說明了對數(shù)函數(shù)的意義，這樣擺設既有利于學生理解對數(shù)函數(shù)的看法，又有利于學生了解了它與指數(shù)函數(shù)的干系．其次通過畫具體的對數(shù)函數(shù)的圖像，歸納總結