2024七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第六章幾何圖形初步6.3角6.3.2角的比較與運(yùn)算課件新版新人教版

6．3角6．3.2角的比較與運(yùn)算第六章幾何圖形初步逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2角的大小比較角的和、差角平分線知識(shí)點(diǎn)角的大小比較知1－講1方法具體操作示例度量法用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小如量得∠AOB=36°，∠ECF=60°，則∠AOB

＜∠ECF知1－講方法具體操作示例疊合法把要比較的兩個(gè)角的頂點(diǎn)重合，把它們的一條邊疊合在一起，另一邊放在疊合邊的同側(cè)，通過(guò)觀察另一條邊的位置來(lái)比較兩個(gè)角的大小知1－講特別解讀1.度量法是從“數(shù)”的角度比較大小，疊合法是從“形”的角度比較大小.2.比較角的大小也可用估測(cè)法：直接通過(guò)觀察，比較角的大小，此方法較為直觀，但不精準(zhǔn)，僅適用于角度差別較大的角的大小比較.知1－講特別提醒使用疊合法比較角的大小時(shí)要注意兩點(diǎn)：(1)重合，即頂點(diǎn)重合，一條邊重合；(2)同側(cè)，即另一條邊放在重合邊的同一側(cè).知1－練例1根據(jù)圖6.3－11，完成下列操作：解題秘方：利用角的兩種比較大小的方法比較角的大小.知1－練(1)比較∠FOD與∠BOD的大??；解：∠

FOD

與∠

BOD

有重合邊和重合頂點(diǎn)，且射線OF

在∠

BOD

的內(nèi)部，根據(jù)疊合法可知∠

FOD<∠

BOD.知1－練(2)比較∠AOD與∠BOD的大?。唤猓河蓤D可知，∠

AOD

是鈍角，∠

BOD

是銳角，所以∠

AOD>∠

BOD.知1－練(3)借助量角器比較∠

AOE

與∠DOF的大小.解：用量角器量得∠

AOE=30°，∠

DOF=30°，所以∠

AOE=∠

DOF.知1－練方法點(diǎn)撥：比較角的大小的方法：用疊合法比較角的大小時(shí)，一定要將兩個(gè)角的另一邊落在重合邊的同側(cè)．兩邊都不重合，或有一邊重合但另—邊在重合邊的異側(cè)的兩角，可通過(guò)度量法比較大小.知1－練1-1.如圖，用同樣大小的三角板比較∠

A

和∠

B

的大小，下列判斷正確的是(

)A．∠

A

＞∠

BB．∠

A

＜∠

BC．∠

A

＝∠

BD．沒(méi)有量角器，無(wú)法確定B知2－講知識(shí)點(diǎn)角的和、差2文字描述數(shù)學(xué)語(yǔ)言圖示角的和∠

AOC

是∠

AOB與∠

BOC

的和∠

AOC=∠

AOB＋∠

BOC

角的差∠

AOB

是∠

AOC與∠

COB

的差∠AOB=∠

AOC－∠

COB知2－講特別解讀1.兩個(gè)角的和或差，仍然是一個(gè)角，角的和或差的度數(shù)，就是它們度數(shù)的和或差.2.在計(jì)算兩個(gè)角的和或差時(shí)要將度與度、分與分、秒與秒分別相加或相減，分、秒相加時(shí)逢60要進(jìn)位，相減時(shí)要借1當(dāng)60.知2－練計(jì)算：(1)27°26′＋53°48′；(2)90°－79°18′6″.解題秘方：利用有理數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合角的單位的換算方法和進(jìn)制進(jìn)行計(jì)算.例2解：(1)27°26′＋53°48′=80°74′=81°14′.(2)90°－79°18′6″=89°59′60″－79°18′6″=10°41′54″.知2－練2－1.計(jì)算：(1)33°16′28″＋24°46′37″．(2)180°－(35°54′＋21°33′)．解：33°16′28″＋24°46′37″＝57°62′65″＝58°3′5″；180°－(35°54′＋21°33′)＝179°60′－57°27′＝122°33′.知2－練如圖6.3－12，回答下列問(wèn)題.解題秘方：根據(jù)圖中角的位置關(guān)系得到角的和差關(guān)系.例3知2－練(1)∠

AOC

是哪兩個(gè)角的和？解：∠

AOC=∠

AOB＋

∠

BOC.(2)∠

AOB

是哪兩個(gè)角的差？∠

AOB=∠

AOD－

∠

BOD=∠

AOC－

∠

BOC.知2－練(3)如果∠

AOB=∠

COD，那么∠

AOC

與∠DOB相等嗎？為什么？解：相等.因?yàn)椤?/p>

AOB=∠

COD，所以∠

AOB＋

∠

BOC=∠

COD＋

∠

BOC，即∠

AOC=∠

DOB.知2－練3-1.在所給的：①15°，②65°，③75°，④135°，⑤

145°角中，可以用一副三角尺畫(huà)出來(lái)的是()A.②④⑤

B.①②④C.①③⑤

D.①③④D知2－練如圖6.3－13，將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C

疊放在一起.解題秘方：此題考查角的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是記憶三角尺各角的度數(shù)，把所求的角轉(zhuǎn)化為已知角的和與差.例4知2－練(1)若∠

DCE=35°，求∠

ACB

的度數(shù)；解：由題意得，∠

ACD=90°，∠

ECB=90°.因?yàn)椤?/p>

DCE=35°，∠

ACE=∠

ACD－∠

DCE.所以∠

ACE=55°.又因?yàn)椤?/p>

ACB=∠

ACE＋

∠

ECB，所以∠

ACB=55°＋90°=145°.知2－練(2)若∠

ACB=140°，求∠

DCE

的度數(shù).解：因?yàn)椤?/p>

ACB=∠

DCB＋

∠

ACD=140°，所以∠DCB=140°－90°=50°.又因?yàn)椤螪CE=∠ECB－

∠

DCB，所以∠DCE=90°－50°=40°.知2－練4-1.如圖，已知∠

AOC=∠

BOD=90°，∠

AOD=150°，則∠

BOC

的度數(shù)為(

)A．30°

B．45°C．50°

D．60°A知3－講知識(shí)點(diǎn)角平分線31.角平分線文字語(yǔ)言一般地，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫作這個(gè)角的平分線圖形語(yǔ)言幾何語(yǔ)言判定方法知3－講2.角的n

等分線類(lèi)似角的平分線，從角的頂點(diǎn)引出的射線，將角分成相等的n

個(gè)角，叫作角的n

等分線，例如角的三等分線、四等分線等.知3－講特別解讀1.角平分線的“三要素”：(1)是從角的頂點(diǎn)引出的射線；(2)在角的內(nèi)部；(3)將已知角平分.2.角的平分線只有一條，而角的n等分線有(n－1)條.知3－練如圖6.3－14，OC

是∠

AOD

的平分線，OE

是∠

BOD的平分線.例5解題秘方：利用角平分線的定義及角的和差關(guān)系，將要求的角向已知的角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找出它們之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解答.知3－練(1)如果∠

AOB=130°，那么∠

COE

是多少度？

知3－練(2)在(1)的條件下，如果∠DOC=20°，那么∠

BOE

是多少度？解：由(1)可知∠

COE=65°.因?yàn)椤螪OC=20°，所以∠DOE=∠

COE－

∠DOC=45°.因?yàn)镺E

平分∠

BOD，所以∠

BOE=∠

DOE=45°.知3－練5-1.[期末·北京東城區(qū)]如圖，OC

是∠

AOB

的平分線，∠

COD=20°.知3－練(1)若∠

AOD=30°，求∠

AOB

的度數(shù)；解：因?yàn)椤螩OD＝20°，∠AOD＝30°，所以∠AOC＝∠COD＋∠AOD＝20°＋30°＝50°.因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠AOB＝2∠AOC＝100°.知3－練(2)若∠BOD=2∠

AOD，求∠AOB的度數(shù).知3－練如圖6.3－15，O

為直線AB

上一點(diǎn)，∠

AOC=50°，OD平分∠

AOC，∠EOD=90°例6知3－練(1)求∠BOD的度數(shù)；解題秘方：利用∠

BOD=∠

BOC＋

∠

DOC

求解即可；

知3－練(2)小明發(fā)現(xiàn)OE

平分∠

BOC，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.解題秘方：分別求出∠

COE

和∠

BOE

的度數(shù)即可.解：因?yàn)椤?/p>

DOE=90°，∠

DOC=25°，所以∠COE=∠DOE－∠

DOC=90°－25°=65°.又因?yàn)椤螧OE=∠BOD－∠DOE=155°－90°=65°，所以∠

COE=∠

BOE，即OE

平分∠

BOC.知3－練6-1.如圖，∠1=∠2，∠

3=∠4，則下列結(jié)論正確的有()①

AD

平分∠

BAE；②

AF

平分∠

EAC；③

AE

平分∠

DAF；④

AF

平分∠

BAC；⑤

AE

平分∠

BAC.A.4個(gè)

B.3個(gè)C.2個(gè)

D.1個(gè)C知3－練計(jì)算：(1)62°24′17″×4；

(2)107°45′÷5．例7解：62°24′17″×4=248°96′68″=249°37′8″.107°45′÷5=(107°÷5)＋(45′÷5)=21.4°＋9′=21°＋0.4×60′＋9′=21°33′．知3－練7-1.計(jì)算：(1)24°31′×4－62°10′；(2)64°15′÷5＋12°25′×3.解：原式＝96°124′－62°10′＝34°114′＝35°54′；原式＝12°51′＋37°15′＝50°6′.角的比較與運(yùn)算角的比較與運(yùn)算角的比較角的運(yùn)算度量法疊合法角的和差角的平分線如圖6.3－16，已知∠

BOC=2∠

AOC，OD

平分∠

AOB

且∠

AOC=40°，求∠COD的度數(shù).方法直接利用和差倍分關(guān)系計(jì)算角的度數(shù)1例8思路引導(dǎo)：

方法點(diǎn)撥角之間的和差倍分的度數(shù)，就是它們度數(shù)的和差倍分.[期中·

煙臺(tái)萊州市]下列各小題中，都有OE

平分∠

AOC，OF

平分∠

BOC．方法利用整體思想求角的度數(shù)2思路引導(dǎo)：例9(1)如圖6.3－17①，

若點(diǎn)A，O，B

在一條直線上，∠

EOF=______.

90°(4)如圖6.3－17③，若OA

在∠

BOC

的內(nèi)部，∠

AOB

和∠

EOF

還存在上述的數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由.

存在解題策略在求角度的過(guò)程中，若發(fā)現(xiàn)該角分成的幾個(gè)角的度數(shù)無(wú)法直接求出(或直接求出非常復(fù)雜)，可考慮用整體思想，分析要求的角度整體上與已知的角度存在的數(shù)量關(guān)系.模型解讀雙角平分線模型：雙角平分線和型雙角平分線差型OC

是∠

AOB

內(nèi)一條射線OC

是∠

AOB

外一條射線OD，OE

分別為∠

AOC，

∠

BOC

的平分線[期末·

煙臺(tái)棲霞市]如圖6.3－18，已知∠

AOC

∶∠BOC=1∶3，∠AOD：∠BOD=5∶7，若∠COD=15°，求∠

AOB

的度數(shù)．方法利用方程思想求角的度數(shù)3解題秘方：根據(jù)∠

AOD－

∠

AOC=∠

COD=15°

設(shè)出合適未知數(shù)，列方程求解.例10

解題策略當(dāng)很難直接找到已知角和所求角的聯(lián)系時(shí)，可以考慮逆向思維，設(shè)出其中關(guān)鍵角的度數(shù)，以某個(gè)已知角的度數(shù)作為“橋梁”，寫(xiě)出相等關(guān)系，建立方程模型來(lái)解決問(wèn)題.[期末·

新鄉(xiāng)長(zhǎng)垣市]已知O

是直線AB

上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE

平分∠

BOC．方法利用代數(shù)思想探究角的規(guī)律4思路引導(dǎo)：例11初步嘗試：(1)如圖6.3－19①，若∠

AOC

＝30°，求∠DOE的度數(shù).

類(lèi)比探究：(2)在圖6.3－19①中，若∠AOC＝α，求∠DOE的度數(shù)(用含α

的代數(shù)式表示).

解決問(wèn)題：(3)如圖6.3－19②，O

是直線AB

上的一點(diǎn)，∠

COD

是直角，OE

平分∠

BOC，探究∠

AOC

和∠

DOE

的度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.解：因?yàn)镺E

平分∠

BOC，所以∠

COB=2∠

COE，所以∠

AOC=180°

－

∠

COB=180°

－2∠

COE=2(90°－

∠COE).因?yàn)椤?/p>

COD

是直角，所以∠

DOE=90°－

∠COE，所以∠

AOC=2∠

DOE．方法點(diǎn)撥所謂“代數(shù)思想”，如本題在探究幾何問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用角平分線的定義及角的和差關(guān)系直接探究較復(fù)雜，而將角的和差關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的整式運(yùn)算去解決則變得很簡(jiǎn)單，我們把這種解題思想稱(chēng)為“代數(shù)思想”.易錯(cuò)點(diǎn)忽視角的位置關(guān)系而出錯(cuò)在平面內(nèi)，已知∠

AOB=70°，∠

BOC=40°，求∠

AOC

的度數(shù).例12錯(cuò)解：∠AOC=∠AOB＋∠BOC=70°＋40°=110°.正解：分兩種情況進(jìn)行討論：(1)當(dāng)∠

BOC

在∠

AOB

的外部時(shí)，

如圖6.3－20①，∠

AOC=∠

AOB＋

∠

BOC=70°＋40°=110°；(2)當(dāng)∠

BOC

在∠

AOB

的內(nèi)部時(shí)，

如圖6.3－20②，∠

AOC=∠

AOB－

∠

BOC=70°－40°=30°.綜上，∠

AOC

的度數(shù)為110°或30°.診誤區(qū)：1.通常具有公共邊的兩個(gè)不相等的角的位置關(guān)系有兩種：(1)較小的角在較大的角的內(nèi)部；(2)較小的角在較大的角的外部.2.在無(wú)圖的題中，畫(huà)圖時(shí)切記要考慮圖形可能出現(xiàn)的各種情形.考法利用角平分線求角的度數(shù)1[中考·樂(lè)山]如圖6.3－21，點(diǎn)O在直線AB

上，OD

是∠

BOC

的平分線，若∠

AOC=140°，則∠

BOD

的度數(shù)為_(kāi)______.20°例13試題評(píng)析：本題考查角的運(yùn)算，掌握平角及角平分線定義是解題關(guān)鍵.

考法利用方程思想求角的度數(shù)2

例14試題評(píng)析：本題考查利用方程思想求角的度數(shù)，解題的關(guān)鍵是利用圖形中角的關(guān)系列出方程.

1.[期末·泰安岱岳區(qū)]在∠

AOB

內(nèi)取一點(diǎn)C，作射線OC，則下列結(jié)論一定成立的是(

)A.∠

AOC=∠

BOCB.∠

AOC

＞∠

BOCC.∠

BOC

＞∠

AOCD.∠

AOB

＞∠

AOCD2.[期末·

襄陽(yáng)襄城區(qū)]如圖，點(diǎn)O

在直線AB

上，

射線OC

平分∠

DOB.若∠

COB=35°，則∠

AOD

等于(

)A.110°B.145°C.35°D.70°A3.如圖，將一副三角尺的直角頂點(diǎn)重合放置于A

點(diǎn)處(兩塊三角尺看成在同一平面內(nèi))，下列結(jié)論一定成立的是(

)A.∠

BAE－

∠

CAD=90°B.∠

EAC

≠∠

BADC.∠

BAD=∠

CAED.∠

BAE＋

∠

CAD=90°C4.[期末·南京秦淮區(qū)]如圖，將三個(gè)大小相同的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，則α

，β

，γ

三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為(

)A.α

＋β

＋γ=90°B.α

＋β

－γ=90°C.α

－β

＋γ=90°D.α

＋2β

－γ=90°C5.如圖，已知M是直線AB

上一點(diǎn)，∠

AMC=54°48′，∠BMD=64°19′，則∠CMD=_______.60°53′

457.計(jì)算：(1)53°39′38″＋26°28′17″；(2)53°25′3″×5.解：53°3