【暑假分層作業(yè)】第05練 勾股定理壓軸題型-2022年八年級(jí)數(shù)學(xué)（人教版）（答案及解析）

第05練勾股定理壓軸題型

薯［拓展練

一、單選題

1.如圖，在RAACB和放△OCE中，AC=BC=2,CD=CE,ZCBD=\50,連接AE,BD

交于點(diǎn)F,則B尸的長(zhǎng)為()

A.2忘B.y/2C.2GD.6

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知證得AACEMBCD,進(jìn)而確定AW三個(gè)內(nèi)角的大小，求得3F=；AB,進(jìn)而可得到

答案.

【詳解】

解：?.?ZACB=90。,ZDCE=90°

???ZACB+Z.BCE=ZDCE+/BCE

：.ZACE=NBCD

乂;AC=BCyCD=CE

：?AACE-BCD

：.ZCAE=ZCBD=\5°

???在等腰直角三角形中NAJ5C=4AC=45。

/.ZABF=ZABC+NCBD=60°,ZE4F=ZBAC-ACAE=30°

ZAFB=180o-z^ABF-Z^AF=90°

BF=-AB

2

AB=y/AC2+BC2=2>/2

?*-BF=&

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，正方形488的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E,F分別是邊BC和CQ的中點(diǎn)，連接AE,在AE

上取點(diǎn)G,連接GF,若ZEG"=45。，則GF的長(zhǎng)為（）

A.3不B.3近C.蛔D.啞

55

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件，連接4尸、EF,過點(diǎn)F作垂足為M,構(gòu)造關(guān)于GF的直角三角形,

解直角三角形即可求出G尸的長(zhǎng).

【詳解】

解：如圖，連接AF、EF,過點(diǎn)F作垂足為

?.?正方形A8CO邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E、尸分別是8C、CO的中點(diǎn)，

：.AB=-BC=CD=AD=6,BE=CE=CF=DF=3,

AEMJAB2+BE，=正+乎=3后，EF={CE2+CF2="+32=3夜，

S4AEF~^uABCD~~~^AADF-^ACEF

=62—?x3x6—1x3x6—gx3x3

222

_27

又???S-=gAE?FM

=^X3#>XFM,

即gX36X尸M=2,解得FM=地.

225

ZEGF=45°,

，△尸GM是等腰直角三角形，GM=FM=也，

5

GF=-JGM2+FM-

【點(diǎn)睛】

本題考查直角三角形的相關(guān)計(jì)算，構(gòu)造關(guān)于G尸的直角三角形、利用勾股定理，是解題的關(guān)

鍵.

3.如圖，在四邊形ABCO中，ADLAB,ACLBC,S.AD=CD=AB=2,則8<7為()

A.1B.|石C.1。,自

【答案】B

【解析】

【分析】

過點(diǎn)。作。ELAC于點(diǎn)￡,證明絲△ABC(AAS),由全等三角形的性質(zhì)得出AE=BC,

設(shè)8C=x,則AC=2x,由勾股定理得出(2x)2+x2=22,求出x的值則可得出答案.

【詳解】

過點(diǎn)D作DE1AC于點(diǎn)E,則ZDEA=90°,

"：AD±AB,AC1.BC,

：.ZDAB=ZACB=90°,

：.ZDAE+ZCAB=90°,ZCAB+ZB=90°,

；.NDAE=NB,

又?；AD=AB,ZDEA=ZACB=-90°,

，zM8C(AAS),

：.AE=BC,

"：AD^CD,DELAC,

，A￡=CE,

設(shè)BC=x,則4C=2x,

\'AC2+BC2^AB2,

：.(2x)2+x2=22,

.,.x=|石，即8c=1后，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等，熟練掌握勾股定理

是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，N4Q8=30。，點(diǎn)M、N分別在邊0403上，且OA7=3,ON=5,點(diǎn)P、Q分別在

邊08、上，則MP+PQ+QN的最小值是()

C.734-2D.735-2

【答案】A

【解析】

【分析】

作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)AT,作N關(guān)于。4的對(duì)稱點(diǎn)M,連接MW,即為MP+PQ+QN的最

小值；證出△0NM為等邊三角形，△0MM為等邊三角形，得出/MOAf=90。，由勾股定理

求出WM即可.

【詳解】

解：作M關(guān)于08的對(duì)稱點(diǎn)AT,作N關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)V,如圖所示:

A

a、、：，B

連接WV,即為MP+PQ+QN的最小值.

根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：ON,=ON=5.0M'=0M=3,/NOQ=/M，OB=30。,

???NNOM=60。，NMW60。，

???△ONV為等邊三角形，△OMW為等邊三角形，

；?/NW90。,

；?在RtAATOM中,

MN=M+尋=取.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了軸對(duì)稱-最短路徑問題，根據(jù)軸對(duì)稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形

是解題的關(guān)鍵.

5.已知點(diǎn)。是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC,△PAB,△PBC,

△PCA的面積分別記為S0,S-邑，S3.若5+邑+53=25。，則線段02長(zhǎng)的最小值是（）

A.延B.也C.班D.氈

222

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)S1+S2+S3=2S0,可得E=gs0,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得△ABC中AB邊上的高

九和△以8中A8邊上的高為的值，當(dāng)P在C。的延長(zhǎng)線時(shí)，OP取得最小值，OP=CP-OC,

過。作0EL8C,求得OC=26,則可求解.

【詳解】

解：如圖，

A

S?=S4PDB+SABDC,S3=S“PDA+Sjoe.

**?S[+S?+S3=S]+(S4PDB+SA3DC)+(SAPDA+

=S]+(S4PDB+SA/VM)+(S4BDC+SAADC)

=S]+S4PAB+SAABC

=S]+S]+s0

=25]+S0=2S0,

設(shè)△ABC中A8邊上的高為九，△RW中A8邊上.的高為也,

則So=；A8?4=(?6叫3%,

S,=^?6./^3他，

3m=—?3九，

2

4=2kl,

,/△ABC是等邊三角形，

；.4=卜§2=3上,

.?.點(diǎn)P在平行于AB,且到AB的距離等于的直線匕

當(dāng)點(diǎn)尸在CO的延長(zhǎng)線上時(shí)，OP取得最小值，

過。作OELBC于E,

CP="+用=|6，

：。是等邊△ABC的中心，OE±BC

：.ZOCE=30°,CE=-BC=3

2

，OC=2OE

OE2+CE2=OC2.

Z.OE2+32=(2OE)2,

解得OE=G，

OC=26,

OP=CP-OC=2百-2月=°6.

22

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，弄清題意，找到P點(diǎn)的

位置是解題的關(guān)鍵.

6.AABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，其中點(diǎn)尸為高AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接2尸，將5尸繞

點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BE,連接PE、DE、CE,則△由組周長(zhǎng)的最小值是()

A.2+2退B.2+6C.4+&D.4+2百

【答案】A

【解析】

【分析】

先證明NBCE=30°,作B關(guān)TCE的對(duì)稱點(diǎn)F,連接ORCF,根據(jù)對(duì)稱性可得△曲周長(zhǎng)

=BD+DE+BE=BD+DE+FE>BD+DF,當(dāng)RE,尸三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，據(jù)此即可

求解.

【詳解】

E

將BP繞點(diǎn)、8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BE,

???△8PE是等邊三角形，

「△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC=4fZBAC=ZABC=60°,

VAD1CB,

：.BD=CD=2tZBAD=ZCAD=^ZBAC=30°t

?.,ZPBE=ZABC=60°,

NABP=/CPE,

?；BA=BC,BP=BE,

:.△ABP"/\CBE(SAS),

：.ZBAP=ZBCE=3001AP=CE

?,?點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線CE(ZBCE=30°),

如圖，作8關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接。

:.CB=CF,/BCE=/FCE=30°,

/.ZBCF=60°,

.?.△3C尸是等邊三角形，

巧

:.DF=—BC=2>/3

2

??4BDE周長(zhǎng)=BD+DE+BE=BD+DE+FENBD+DF

當(dāng)力，瓦廠三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為3。+。/=2+2百

故選A

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段和最短問題，勾股

定理，求得點(diǎn)E的軌跡是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在等邊AABC中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，AC=4,當(dāng)點(diǎn)A在x軸氐半期上

運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是（）

3

A.4B.2+x/3C.3+26D.2+26

【答案】D

【解析】

【分析】

取AC的中點(diǎn)。，連接。。，BD,利用三角形原理，當(dāng)0、D、8三點(diǎn)共線時(shí)0B取得最大值,

且最大值等于0C+8D,計(jì)算出0。，80的長(zhǎng)度即可.

【詳解】

如圖，取AC的中點(diǎn)。，連接?！?gt;,BD,

「△ABC是等邊三角形，/AOC=90。，AC=4,

DO=^AC=2=CD=AD,BD=\IBC2-CD2=273-

?/D0+BD>0B,

：.0B<D0+BD=2+2。

當(dāng)O、D、B三點(diǎn)共線時(shí)08取得最大值，且最大值等72+26，

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系定理，熟練

掌握直角三角形性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在心AABC中，AC=BC,ZACB=90°,。為AB的中點(diǎn)，E為線段上一點(diǎn),

過E點(diǎn)的線段FG交C。的延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，交AC于尸點(diǎn)，且EG=AE.分別延長(zhǎng)CE,BG交

于點(diǎn)H,若EH平分ZA￡G,“。平分NC7/G則下列說法：①NGDH=45。；②GD=ED；

③EF=2DM；?CG^2DE+AE,正確的是（）

H

G

c

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】B

【解析】

【分析】

首先證明AAECWAGEC(SAS),推出C4=CG,/A=NCGE=45。，推出OE=DG,故②正

確，再證明AAOC二AGR7(A4S),推出4O=C/=FG,由AE=EG,推出￡戶=￡應(yīng)，證明

^HDC^^HDB(AAS),推出HC=H8,可得A/TOE=MDG(弘S),推出

/HDG=ZHDE=45。,即可判斷①正確，③錯(cuò)誤，作ET〃AC交C。于T,證明

DE=DT=DG,AE=CT即可判斷④正確.

【詳解】

???AC=BC,ZACB=90°,AD=DB

:.CD_LAB,CD=AD=DB,ZA=ZCBD=45°

,：EH平分Z-AEG

：.ZAHE=ZGEH

???ZAEH+ZAEC=180°,ZGEH+ZCEG=180°

:.ZAEC=ZCEG

???AE=GE,EC=EC

,\AAEC=AGEC(SAS)

CA=CG,ZA=ZCGE=45°

vZEDG=90°

:.ZDEG=ZDGE=45°

.?.DE=DG,ZAEF=/DEG=ZA=45。

故②正確；

ZAFE=NCFG=90。

ZFCG=ZFGC=45°

:.CF=FG

???ZADC=ZGFC=90°,ZACD=ZGCF,AC=GC

:./SADC=^GFC(AAS)

：.AD=CF=FG

\-AE=EG

：.EF=DE

???DE=DG,ZCDE=ZBDG=90°,DC=DB

AEDC"GDB(SAS)

/ECD=/DBG,EC=GB

???4DHC=/DHB/HCD=ZHBD,HD=HD

:.\HDC=\HDB(AAS)

:.HC=HB

：,HE=EG

?.?ZDHE=4DHG,DH=DH

;.\HDEw\HDG(SAS)

.\ZHDG=ZHDE=45°

故①正確；

:.DE=42DM

EF=DE*2DM

故③錯(cuò)誤；

作交8于T,如圖

?/ZDET=ZA=45°,/DTE=ZACD=45°

：.DE=DT=DG

QDA=DC

AE=CT

;.CG=CT+TG=AE+2DG

故④正確；

綜上，正確的是①②④

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正

確尋找全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

二、填空題

9.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=2,ZBAC=120°,M為AB的中點(diǎn)，P為BC

上任意一點(diǎn)，則，=加+總的范圍是.

【答案】>/3<r<>/7+2

【解析】

【分析】

分別求出PM+PA的最大值和最小值即可.

作點(diǎn)M關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)N,垂足為E,連接AN交BC于點(diǎn)P,則此時(shí)f=+最小,

作于點(diǎn)尸，45LBC于點(diǎn)。，可得出四邊形AFED為矩形，再根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形，即可求得AN的值；

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，f=CM+C4最大，作MO_LC4于點(diǎn)D,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及勾

股定理即可得出MC的值，從而得出CM+CN的值，即為所求.

【詳解】

解：如圖(1),作點(diǎn)M關(guān)于8c的對(duì)稱點(diǎn)N,垂足為E,連接AN交于點(diǎn)P,則此時(shí)

f=+最小，且f=4V,作Af_LMV于點(diǎn)尸，A￡>_L8c于點(diǎn)￡>

圖⑴

四邊形AFEC為矩形

VAB=AC=2,ZBAC=\20°,

：.AM=BM=\,ZB=30°

AD=\,ME=NE=>,BE=DE=—

22

AEF=AD=\,AF=DE=—,

2

3

;.NF=EF+EN=-

2

:.t=AN=ylNF°+AF'=g

如圖(2)當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，f=C0+C4最大

作MD_LC4于點(diǎn)O,

?;NBAC=120。

ZAMD=ZBAC-ZMDA=30°

?1.MD=—,AD=^-

22

/.MC=y/l,

=+2,

V3</<>/7+2

故答案為：y/3<t<>/l+2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、，正確作出輔助線

是解答本題的關(guān)鍵.

10.如圖，在Rt^ABC中，NACB=90。，分別以A8,BC,AC邊為直徑作半圓，圖中陰

影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙"，當(dāng)"=10,BC=6時(shí)，陰影部分的面積為

B

【答案】24

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理得到AG=AB2-BC2,先求解AC,再根據(jù)陰影部分的面積等于直角三角形的面

積加上以AC,8c為直徑的半圓面積，再減去以A8為直徑的半圓面積即可.

【詳解】

解：由勾股定理得，AC2^AB2-BC2=64,

：.AC=8,

則陰影部分的面積

TA。*。騫AC礴BC靳B

=融8-1p^AC2+BC2-AB2)

=24,

故答案為24.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是勾股定理、半圓面積計(jì)算，掌握勾股定理和半圓面積公式是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，AABC與A￡)EF均為等邊三角形，點(diǎn)E,F在邊8c上，BE=CF=2EF,點(diǎn)D在

△ABC內(nèi)，S.AG=GD=GE=y/19,則AABC的周長(zhǎng)為.

【解析】

【分析】

如圖，連接A。并延長(zhǎng)交8c于連接4E,首先證明AAGE是等邊三角形，求出AE=揚(yáng),

然后設(shè)EM=a,求出,AM=5底i,再在RdAEM中利用勾股定理列式求出a的值即可解決

問題.

【詳解】

解：如圖，連接并延長(zhǎng)交8c于M,連接AE,

,/^ABC與△。瓦'均為等邊三角形且BE=CF,

...點(diǎn)M是ER8c的中點(diǎn)，

：.ZEDM^30°,

：.ZADG+ZEDG=15O°,

AG=GD=GE=M,

：.ZADG=4DAG,NEDG=ZDEG,

：.ZADG+ZEDG+ZDAG+ZDEG=300°,

：.ZAGE=360°-ZADG-NEDG-ZDAG-ZDEG=60°,

.?.△AGE是等邊三角形，

：.AE=4G=M，

設(shè)EM=a,則EF=2a,BE=CF=4a,

??,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

：.AM±BC,NBAM=30。，

:.AM=>^BM=5&i,

在r也4￡知中，有EM2+AM2=AE2,

/./+（5島）2=（炳『,

解得：?=1，

8c=10“=5,

...△ABC的周長(zhǎng)為5x3=15,

故答案為：15.

本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等

知識(shí)，能夠作出合適的輔助線，證明AAGE是等邊三角形是解題的關(guān)犍.

12.如圖，RtAABC,ZC=90°,ZABC=60°,利用尺規(guī)在8C,84上分別截取BE,BD,

使BE=BD；分別以。，E為圓心，大于;。E的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在NCBA內(nèi)交于點(diǎn)尸；

作射線BF交AC于點(diǎn)G.若BG=2,則AABG的面積為.

C

G.

【答案】73

【解析】

【分析】

先根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求出CG,BC,AB的長(zhǎng)，過點(diǎn)G作GHLAB于

點(diǎn)H,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得GH=CG,然后利用三角形的面積公式即可得.

【詳解】

解：由題意可知，BG平分NA8C,

ZGBC=-ZABC=-x60°=30°,

22

?.-ZC=90°,BG=2,

:.CG=-BG=i,BC=ylBG2-CG2=>/3,

2

?.,在中，ZC=90°,ZA=90°-ZAfiC=30°,

AB=28C=26，

如圖，過點(diǎn)G作于點(diǎn)”，

：.GH=CG=I,

則AABG的面枳為,AB-G//=-x2x/3xl=73,

22

故答案為：73.

【點(diǎn)睛】

本題考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握

角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

13.如圖，在RtA4BC中，ZC=90°,BC=6,=，點(diǎn)。在邊BC上，且CD:￡>8=1:2,

E為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，以。E為邊AC上方作等邊三角形OEF,連接8F,設(shè)8尸的長(zhǎng)度為。，

則。的取值范圍為.

B

D

E“

【答案】4<a<2yfl

【解析】

【分析】

由重合利用勾股定理可求8F的最大值；由60。聯(lián)想旋轉(zhuǎn)全等，轉(zhuǎn)換動(dòng)長(zhǎng)為定點(diǎn)到定線的長(zhǎng),

構(gòu)建等邊三角形8OG,利用△"￡>尸gAGDE,轉(zhuǎn)換BF=GE,然后即可求得其最小值.

【詳解】

解：如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，8尸最長(zhǎng).

作用0_LAC于M,

：8C=6,CD：BC=\-.2,

：.CD=2,BD=4,

???△CQF是等邊三角形，

：.DM=CM=\,

，8M=5,

MF=4DF2-FM2=V22-l2=73，

在RMMF中，BF=\lBM2+FM2=卜+=2J7，

：.BF最大是2幣.

以BD為邊作等邊三角形BOG,連接GE,如圖所示：

B

'：&BDG,△力E尸都是等邊三角形，

ZBDG=Z￡DF=60°,BD=GD=BG,DE=DF=EF,ZBDG+ZGFD=ZEDF+ZGFD,即

NBDF=NGDE,

：.4BDg&GDE(SAS)

：.BF=GE

當(dāng)GELAC時(shí)，GE有最小值，如圖所示GE',作?！盝_G￡,

BF=GE=CD+^DB=2+2=4,

最小是4.

故填：4<a<2>/7.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是由60。聯(lián)想旋轉(zhuǎn)

全等，轉(zhuǎn)換動(dòng)長(zhǎng)為定點(diǎn)到定線的長(zhǎng).

14.如圖，“BC中，A8=4,N8AC=30。，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N使BM+MN的

值最小，則這個(gè)最小值為.

【答案】

【解析】

【分析】

作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B,過B作B'N±AB于M交AC于例.此時(shí)BM+MN的值最小.通

過證明△5/8是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解.

【詳解】

：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)8,過9作于N,交AC于M.此時(shí)BM+MN的

值最小.

B'

C

ANB

BM+MN=B'N.

丁點(diǎn)方與點(diǎn)8關(guān)于AC對(duì)稱，

f

：.AB=AB9

又???N3AC=30。，

，/8718=60。，

???△8X8是等邊三角形，

r

BB=AB=4fNB，BN=60。,

乂丁B，NtAB,

：.B'N=^-B'B=2y/3.

2

故答案為：2G.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，難度較大.

15.如圖，在矩形A8CO中，AB=4,BC=6,M是AB邊上的中點(diǎn)，N是B邊上的一動(dòng)

點(diǎn).連接MN,將AfiMN沿MN折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,連接EC.當(dāng)AENC為直角三

角形時(shí)，BN的長(zhǎng)為________.

A__________________D

【答案】2或2M-2

3

【解析】

【分析】

分情況討論：當(dāng)NENC=90。時(shí)，當(dāng)N/VEC=90。時(shí)，當(dāng)/ECN=90。時(shí)三種情況下，分別利

用勾股定理和翻折的性質(zhì)可得到答案.

【詳解】

解：當(dāng)為直角三角形時(shí)，可有：

①當(dāng)NE7VC=9O。時(shí)，如圖1,

AD

此時(shí)/8%七=180。一/七%。=90。，

由折疊性質(zhì)可知，NBNM=/ENM=；/BNE=45。,

*/ZB=90°,

/.ZBMN=4NM=45。,

BN=BM=-AB=-x4=2-

22

②當(dāng)N/VEC=90。時(shí)，如圖2,

由折疊性質(zhì)可知，ZNEM=90°,BN=EN,BM=EM=-AB=2,

2

：.ZNEC=ZNEM=9Q°,即例、E、C三點(diǎn)共線，

'設(shè)BN=EN=x,則CN=8C-BN=6—x,

在R￡BCM中,CM=4BM2+BC2=VF+67=2而，

CE=CM-EM=2屈-2,

在RMNEC中,有EN2+CE?=CM,

即/+（2屈-2）2=（6-工）2,解得X=2?-2,

3

即叫巫Z,

3

③當(dāng)NEC7V=9O。時(shí)，點(diǎn)E在直線CO上，此時(shí)故此種情況不符合題意.

綜上所述，滿足條件的BN的長(zhǎng)為2或2河-2

3

故答案為：2或2叱2.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了翻折的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)題意畫出圖形并分情況討論是解題關(guān)

健.

16.已知：在AABC中，NACB=90。，AC=BC=3?，點(diǎn)D,E都在邊A8上，且A/)=8E,

過點(diǎn)。作DF_LAC于點(diǎn)尸，連接CQ,CE,若%°E=6,則線段CF的長(zhǎng)為.

【答案】述或立

22

【解析】

【分析】

分兩種情況：①如圖1,過C作CGJL回于G,先根據(jù)三角形面積計(jì)算。E的長(zhǎng)為4,可得

AO的長(zhǎng)，根據(jù)A4FD是等腰直角三角形，計(jì)算AF的長(zhǎng)，從而得CF的長(zhǎng).

②如圖2,同理可得OE的長(zhǎng)，計(jì)算即的長(zhǎng)，根據(jù)ABZ羽是等腰直角三角形可得C尸的長(zhǎng).

【詳解】

解：分兩種情況：

如圖1,?.?ZAC8=90°,AC=BC=30，

圖1

/.AB=6,ZA=ZB=45°,

過C作CGL■于G,

AG=BG,

:.CG=-AB=3

2f

，.，S&CDE=；DE￡G=6,

-DEx3=6,

2

DE=4,

6-4

AD=BE=——=1,

2

v￡>F±AC,

二.M加是等腰直角三角形，

“1歷

??.AF=忖丁

.\CF=3>/2--=—.

22

如圖2,過0作。6_1_/15于G,過。作于，,

4

圖2

?;AD=BE,

BD=AE，

同理得：DE=4,BD=1,

RtABDH中，ZB=45°,

,是等腰直角三角形，

:.DH=CF=—,

2

綜匕。尸的長(zhǎng)是：逆或正.

22

故答案為：巫或叵.

22

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是運(yùn)用等腰直角三角

形的判定，本題容易丟解，要注意=時(shí)，E有兩個(gè)位置.

三、解答題

17.(1)如圖①，在四邊形A8C。中，ZB=ZC=90°,P是BC上一點(diǎn)，PA=PD,ZAPD=90°.求

證：AB+CD=BC.

(2)如圖②，在四邊形A5CD中，ZB=ZC=45°,P是5c上一點(diǎn)，PA=PD,ZAPD=90°.求

AB+CD/土

的值?

A

B

圖①

72

【答案】(I)見詳解；(2)

2

【解析】

【分析】

(1)證ABAP=SPC(A4S)即可求證;

(2)作A￡，3C,DF±BC,由(1)步驟可證AAEPM,即可求解;

【詳解】

解：(1)VZB=ZC=90°,ZAPD=90°

：.NBAP=NDPC

在反外爐和ADPC中

ZB=ZC

NBAP=ZDPC

PA=PD

AABAP^ACPD(A45)

/.BP=CD,AB=PC

：.BC=BP+PC=AB+CD-.

(2)如圖，作AE_LBC,DFYBC

D

?/ZAPD=90°

???山（1）步驟可證AA￡P(guān)二APFlMAAS）

:?AE=PF,DF=PE

XVZB=ZC=45°

:?AE=BE,DF=FC

：.BC=2（AE+DF）

VAB=42AE,CD=42DF

???AE+DF=3（AB+CD）

???BC=2-（AB+CD）

,AB+CDV2

??-------=—

BC2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角形的全等證明、勾股定理，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

18.已知：在6x6的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度.

1-r?-1

____C」_：一人

I4L____Tu_A?___

V\C?一\...

----?■-T

1

1B二士

1

r----———---r.一一一一—

i

iDB；C

L___L____L___?___J

1|

I1

11

U---I__-------」___-—「_」--」----

修11圖2自13

⑴【背景呈現(xiàn)1]如修1,點(diǎn)/LB,C都心E格，點(diǎn)上直接寫出N8AC的度差〔.

⑵【,可題解法如佟]2,點(diǎn)力,B,CD都在的讓,AB與CZB汗,點(diǎn)E,求ZAEC的度

數(shù).

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3,點(diǎn)A,B都在格點(diǎn)上，點(diǎn)C在格線上，若/BAC=45。，求線段BC

的長(zhǎng)度.

【答案】(1)/847=45°

⑵NAEC=45°

⑶8c=2.5

【解析】

【分析】

(1)連接8C,運(yùn)用勾股定理求出AB,BC,AC的長(zhǎng)，判斷A4BC是等腰直角三角形即可

得出結(jié)論；

(2)過點(diǎn)A作AF//C￡>,KAF=CD,則NAEC=NE4B,連接陽，證明匈B是等腰直角三

角形即可；

(3)延長(zhǎng)AC交格點(diǎn)于點(diǎn)。，連接8D可證明△物是等腰直角三角形，根據(jù)

S岫BD=^MBC+SgCD可求出BC的長(zhǎng).

(1)

連接BC,如圖，

?.?每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為I個(gè)單位長(zhǎng)度，

/.AB-=22+12=5,BC2=22+12=5,AC2=32+12=10,

AB2+BC2=AC2，且AB=BC,

；?A48C是等腰直角三角形，

?*.NBAC=45°；

(2)

如圖，過點(diǎn)A作AF//C。，且4F=CD,則NAEC=/E4B,連接FB,

由勾股定理得，A尸=32+12=10,BF2=32+l2=10,AB2=42+22=20,

AF2+BF2=AB2>^.AF=BF

尸是等腰直角三角形，

，N8AF=45°,

ZA￡C=45°；

(3)

延長(zhǎng)AC交格點(diǎn)于點(diǎn)D連接BD,

由勾股定理得,AF-=32+l2=10,BD2=32+l2=10,AD2=4、+22=20,

AB2+BD2=AD2，且AB=比>，

，是等腰直角三角形，

S,ABC=；AB'?BD=1x獷=10,

又虱A2=W+；BC=BC,

/.2BC=5,

，BC-2.5

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，正確作圖是解答本題的

關(guān)鍵.

19.已知“OB和△MON都是等腰直角三角形^OA<OM=ON\,

ZAOB=ZMON=90。.

AAA

OB

M

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,連AM,BN,求證:△AQM%ABON；

⑵若將Z^MON繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn),

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)N恰好在AB邊上時(shí)，求證：BN2+AN2=2ON2;

②當(dāng)點(diǎn)A,M,N在同一條直線上時(shí)，若03=4,0N=3,請(qǐng)直接寫出線段3N的長(zhǎng).

【答案】(1)見詳解

(2)①見詳解

②BN="?戈

22

【解析】

【分析】

(I)利用SAS定理證明△A0MTA80N即可;

(2)①連接AM,證明△AOM絲△20N,即可證

②當(dāng)點(diǎn)N在線段AM上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)M在線段AN上時(shí)兩種情況討論即可求得.

(1)

證明:如圖,

A

M

?.*ZAOB=NMON=900,

：./AOM=/BON,

*：AO=BOfOM=ON,

:.△AOMWABON(SAS).

(2)

①證明：如圖2中，連接AM.

,/NAOB=/MON=90。,

：.ZMON-ZAON=ZAOB-ZAON,

即/AO歷=/BON,

???△MON和ZA08是等腰直角三角形，

,OM=ON,OA=OB,NOAB=N08A=45。，

，&AOMmABON,

:.AM=BN,ZOAM=ZB=45°,

；/。48=/8=45。，

；.NMAN=NOAM+NOAB=90°,

MN2=AN2+AM2,

；△MON是等腰直角三角形，

，MNe=2ON2,

BN2+AN2=2ON2.

②當(dāng)點(diǎn)N在線段AM上時(shí)，如圖，設(shè)OA交BNTJ,過點(diǎn)。作H.

&A0MQ4B0N,

：.AM=BN,NOAM=NOBN,

ZAJN=NBJO,

：.NANJ=NJOB=90°,

?；OM=ON=3,NMON=90。,0HLMN,

：.MN=372.MH=HN=OH=^^,

A"=^Ofic-OH-=卜2-（半丫=華

BN=AM=MH+AH=巫鎧近；

2

當(dāng)點(diǎn)M在線段AN上時(shí)，如圖，

同法可證AM=BN=麻&

2

綜上可知，BN=屈+W或廊-3、

22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題.

20.已知：在KSA8C中，ZC=90°,ZB=30°,BC=6,左右作平行移動(dòng)的等邊三角形

OE尸的兩個(gè)頂點(diǎn)E、尸始終在邊BC上，DE、。尸分別與AB相交于點(diǎn)G、H.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)。恰好在斜邊AB上，求△〃￡：產(chǎn)的周長(zhǎng)；

(2)如圖2,在AOEF作平行移動(dòng)的過程中，圖中是否存在與線段CF始終相等的線段？如果

存在，請(qǐng)指出這條線段，并加以證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)假設(shè)C點(diǎn)與F點(diǎn)的距離為x,AOEF與aABC的重疊部分的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)

系式，并寫出定義域.

【答案】(1)9；

⑵存在，CF=DG,證明見解析；

⑶尸苧一段(0"43)?

【解析】

【分析】

(1)利用勾股定理求出AC=2有，再證明CO=^AC=3，即可求出AOEF的周長(zhǎng)：

2

(2)由(I)可知：EF=DF=DE=3,進(jìn)一步得到B+BE=BC—EF=6—3=3,再證明EG=BE,

利用EG+DG=CF+BE=3,即可證明CF=DG；

(3)求出S4DEF=9?，S0H=X。,利用y=SAOEF-S^DHG,即可求出

產(chǎn)哈和(1分

(1)

解：?.?在RQABC中，ZC=90°,ZB=30°,BC=6,

AC=2y/3,乙4=60。，

?.?△力E尸是等邊三角形，

ZDCE=60°,

：.ZACD=30°,

ZADC=90°,

CD=BAC=3，

2

，△。所的周長(zhǎng)為9；

(2)

解：結(jié)論：CF=DG.

理由：..,8C=6,由(1)可知：EF=DF=DE=3,

JCF+BE=BC—EF=6—3=3,

/是等邊三角形，

，ZD￡F=60°,

???NDEF=NB+NEGB,

：.ZB=ZEGB=ZDGE=30°,

:?EG=BE,

EG+DG=CF+BE=3,

：.CF=DG；

(3)

解：:S,、DEF=x32=9百,S=-GH?DH=-x-x^^-x=-^-x2，

△DEF44AD6H22228

?八o_96￡2pn_96G2〃"",

??y=S^DEF-S^DHG=----—X，即y=—-------—x(0<x<3).

4o4o

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，動(dòng)點(diǎn)問題，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，等邊三角形性質(zhì).

21.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(a,0),B(b,c),且(a-8)2+\b-3\+

(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)和線段AB的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,點(diǎn)P是射線A。上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP,將AABP沿著直線8P翻折至△Q8P,當(dāng)

PQ〃AB時(shí)，求點(diǎn)P和點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)在(2)的情況下，如圖3,點(diǎn)尸是線段4P延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BR將AABF沿著直

線BF翻折至AMBF,連接MQ.當(dāng)M尸〃8P時(shí)，試探究NQMF,/QBF與NMQB之間的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)A(8,0),B(3,3),48=后

⑵P(8-后，0)；。(3-后，3)

(3)NMQB=2NQBF-NQMF,見解析

【解析】

【分析】

(1)由(a-8)2+\b-3\+y/3^=0,可得a=8,h=3,c=3,故A(8,0),B(3,3),

又A82=(a-b)2+c2,即得AB?=(8-3)2+32=34,BPAB—>/34；

(2)由AB〃尸Q,^ZBPQ=ZABP,根據(jù)△ABP沿著直線BP翻折至△Q2P,即得

=NQBP,BQ//AP,而A8=BQ=南，8(3,3),故。(3-扃，3),5LAB//PQ,BQ//AP,

即得尸(8-取，0)；

(3)由BQ//AP,得NAFB=NQBF,又MF〃BP,得NMFB=NPBF.由折疊可得：NMFB

=ZAFB,即得ZQBP=2ZQBF,過點(diǎn)。作直線C￡)〃MF,可得

CD//MF//BP,可得NCQB=NQBP,NCQM=NQMF,即可得NMQ8=2NQ8F-N0A/F.

(1)

解：,/(。-8)2+族-31+5^7=0,

又???(a-8)2>0,\b-3|>0,行二加，

.\a-8=0,b-3=0,c-3=0,

.,.?=8,0=3,c=3,

???A(8,0),B(3,3),

：.AB2=(8-3)2+32=3%即AB=#?；

(2)

ZBPQ=ZABP,

?.?將△A8P沿著直線8P翻折至△Q8P,

：.ZBPQ=ZBPAtNABP=NQBP,

：.ZBPA=ZQBPt

：.BQ//AP,

乂AB=BQ=4,B(3,3),

：.Q(3-扃，3),

又A8〃PQ,BQ//AP,

???5Q可看作將AP平移所得，

由平移的性質(zhì)得BQ=AP=?\/34，

又A(8,0),

：.P(8-南，0)；

(3)

解：數(shù)量關(guān)系：/MQB=2/QBF-NQMF.理由如下:

■:BQ〃AP,

：.ZAFB=ZQBF；

,:MF〃BP,

:?/MFB=NPBF,

由折疊可得：/MFB=/AFB,

：?NQBF=NPBF,

；?/QBP=2/QBF,

過點(diǎn)Q作直線?！ㄈ鐖D所示：

YMF"BP,

：.CD//MF//BP,

：.NCQB=NQBP,/CQM=/QMF,

又/MQB=NCQB-NCQM,

:?/MQB=/QBP-/QMF,

又/QBP=2/QBF,

：.ZMQB=2ZQBF-/QMF.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形綜合知識(shí)，涉及非負(fù)式的和為0的條件、圖像的折疊、平行線的性質(zhì)等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)：折疊前后圖形形狀、大小不變.

22.重溫定理：

(1)我們?cè)诎四昙?jí)上冊(cè)學(xué)過三角形內(nèi)角和定理，大家還記得定理內(nèi)容嗎？

三角形內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180。.

我們?cè)谔骄孔C明“三角形內(nèi)角和定理”時(shí)，"奮進(jìn)組”進(jìn)行了撕紙拼湊的探究活動(dòng)，小麗撕下三

角形紙片的一個(gè)角拼成圖1即可證明，你能否按以上操作完成探究證明?試寫證明過程；

A

A

圖1

方法類比：

(2)如圖2,在四邊形A8CO中，NABC與N49C互余，小明發(fā)現(xiàn)四邊形A8CO中這對(duì)互余

的角可類比(1)中思路進(jìn)行拼合：先作=再過點(diǎn)C作CE_LOF于點(diǎn)E,你

發(fā)現(xiàn)AD,DE,AE之間的數(shù)量關(guān)系是,試探究說明；

實(shí)踐應(yīng)用：

(3)如圖3,在四邊形ABCO中，連接AC,NBAC=90。，點(diǎn)。是△AC。兩邊垂直平分線的交

點(diǎn)，連接04,若/OAC=/ABC.

試證明：ZABC+ZADC=90°,

A

B

Dz^

c

圖3

【答案】(1)見解析.

(2)AD2+DE2=AE2,說明見解析.

(3)見解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)拼圖可求得NA=NDCF；

(2)根據(jù)NABC與/ADC互余求得N4D尸=/AOC+NCOE=90。，利用勾股定理即可求解;

(3)點(diǎn)0是AAC。兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，證得OA=O￡>=OC,推出

2ZOAC+2ZODC+2ZODA=180°,得到NOAC+/4OC=90。，即可求解.

(1)

解：如圖1中，

證明如下：由撕紙可得：