2020-2021學(xué)年人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試仿真模擬試卷三（人教A版（2019））解析版

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試仿真模擬試卷三

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.如圖，AOWB'是水平放置的ACMB的直觀圖，O'A=O'B'=2,NAO'8'=45。，則AQW的面積是

（）

B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】由斜二測畫法可知，AOAB的實(shí)物圖如下圖所示:

可知。4=4,OB=2,且NAO3=90"，因此，AOAB的面積為2x4=4.故選：C.

2

2.已知復(fù)數(shù)z=l+i（i為虛數(shù)單位），若方=三，則。+6。2。=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【解析】復(fù)數(shù)z=l+i,所以“+瓦=三=1一i，可得。=l,b=-1,

所以4+〃°2。=1+（_］嚴(yán)2。=2,故選：。

3.在AABC中，及5=2DC,通=麗，則南=（）

1—.5一

A.-AC--ABB.—A.CH—AB

3636

1一1一

C.--AC+-ABD.——AC——AB

3636

【答案】A

【解析】如圖所示:

因?yàn)檐?防，1H5=2DC,

所以=

T麗+1國一利，

1一5一

=-AC--AB,故選：A

36

4.某興趣小組有3名男生和2名女生，現(xiàn)從中選2人參加公益活動(dòng)，則至少選中一名女生的概率為（）

1C3C7r9

A.—B.—C.—D.—

10101010

【答案】C

【解析】由題知從此興趣小組中任選2人參加公益活動(dòng)共有10個(gè)結(jié)果，至少選中一名女生有7個(gè)結(jié)果，所

7

以至少選中一名女生的概率為正.故選：C

5.已知平面和直線/,則下列說法正確的是（）

A.若/〃&,/〃力，則a//月B.若則a//4

C.若則al_/7D.若/J_a,/_!_￡,則aJ■廣

【答案】c

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若/〃a,/〃尸，則a///?或相交，故A選項(xiàng)不正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，若///a,/u￡,則a//月或相交，故B選項(xiàng)不正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，若/_LQ,/U/7,則為面面垂直的判定定理，故C選項(xiàng)正確;

對(duì)于D選項(xiàng)，若??，則a///,故D選項(xiàng)不正確.故選：C.

6.設(shè)4為實(shí)數(shù)，已知向量而=(一1,2),3=(1,4).若石,7,則向量質(zhì)+25與蘇之間的夾角為()

7t兀34

A.—B.—C.----D.—

4334

【答案】A

【解析】由題意由正_Ll,可得-1+22=0,解得4=3，所以乃=(l,g),則慶+2元=(1,3),所以

__(m+2〃)?加—lxl+2x3V2_弓__「八]-??j門一c一

cos<m+2n,m>-r------匕-r=——(=—7^~=——，因?yàn)関m+2/z,m>e0,%，所以向量〃z+2〃

忸+2司?阿V10-V52L」

—?TT

與加之間的夾角為一，故選：A.

4

7.在A43c中，角A所對(duì)應(yīng)的邊分別為a*,c,已知bcosC+ccosB=?,則@=()

h

A.273B.2C.y/2D.1

【答案】B

bc

【解析】由正弦定理：——=——=2R,又》cosC+ccosB=?

sinBsinC

得到sin3cosc+sinCeosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB

在AABC中，A+B+C^TT

故sin(〃一A)=2sin3,即sin4=2sin3

asinA.，…

故一=-----=2故選：B

bsinB

8.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.若四棱錐P-ABCZ)為

陽馬，底面ABC。為矩形，PA_L平面ABC。，AB=2,AD=4,二面角尸一3C-A為60°,則四棱

錐P-ABCD的外接球的表面積為()

64

A.16乃B.20萬C.—nD.32n

3

【答案】D

【解析】因?yàn)镻A_L平面A3CZ).底面ABCO為矩形，

所以抬_LBC，AB1BC,所以8C_L平面B鉆，

所以BCLPB,所以NP84即為二面角尸一BC-A的平面角，即ZPB4=60,

所以PA=ABTan60=26，

將該四棱錐補(bǔ)成一個(gè)長、寬、高分別為4、2、26的長方體，如圖,

該長方體外接球的半徑「=’4z+2、（2⑹=,

~2~

所以該球的衣面積S=47/=4%x（2&）=32開，

所以四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為32萬.故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某人退休前后各類支出情況如下，己知退休前工資收入為8000元/月，退休后每月儲(chǔ)蓄的金額比退休前每

月儲(chǔ)蓄的金額少1500元，則下面說法正確的是（）

A.此人退休前每月儲(chǔ)蓄支出2400元

B.此人退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍

C.此人退休工資收入為6000元/月

D.此人退休后的其他支出比退休前的其他支出少

【答案】ACD

【解析】由圖可知此人退休前儲(chǔ)蓄為8000X0.30=2400（JG）,故選項(xiàng)A正確；此人退休前的旅行支出為8000

X0.05=400（ic）,退休后的收入為240°-1500=600。（元）,退休后的旅行支出為6000X0.15=900（元），

0.15

則選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；退休后的其他支出為6000X0.25=1500（元），退休前的其他支出為8000X

0.2=1600（%）,則選項(xiàng)D正確；故選：ACD.

10.對(duì)于AA8C,有如下命題，其中正確的有（）

A.若sin2A=sin2B,則AABC為等腰三角形

B.若sinA=cosB,則AABC為直角三角形

C.若si^A+siVB+cos2c<1，則AA6C為鈍角三角形

D.若AB=G，AC=1,3=30°,則AABC的面積為立或立

42

【答案】CD

【解析】對(duì)于A：?.?sin2A=sin26,.?.ZAuZB或2A+2B=?,

TT

；.A=3或A+B=—,所以AA5c為等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；

2

JF1T

對(duì)于B：?.,sinA=cos5,，A=8+—或4=B,所以ZkABC不一定是直角三角形，故B錯(cuò)誤；

22

對(duì)于C-.-sin2A4-sin2B+cos2C<1，sin2A+sin2B<1-cos2C=sin2C，

/序_2

由正弦定理得又cosC=^—-~—<0,所以角C為鈍角，所以△A6C為鈍角三角形，

2ab

故C正確：

對(duì)于D：?：AB=BAC=1，3=30°,sinC=Sing=—，又AB>AC,

AC2

二。=60°或120，.?.A=90°或30°，.,.SA4M=，A8AC-sinA=^或且，故D正確.

ABC224

故選：CD

11.如圖所示，在長方體ABC。一44G2,若AB=BC,E、尸分別是AB1、8G的中點(diǎn)，則下列結(jié)

論中成立的是（）

A.E尸與垂直B.EE工平面BDRBI

C.EF與G。所成的角為45。D.跖〃平面A與G。

【答案】ABD

對(duì)于A選項(xiàng)，：BB,1平面4181GA，4Gu平面，；?BB]±AG,

?.E、尸分別為43、BQ的中點(diǎn)，則EF//4G，.?.Ef'LBq,A選項(xiàng)正確:

對(duì)于B選項(xiàng)，?.?四邊形4與GQ為正方形，則AC

又4G,84，BRcBB[=B-；.AG-L平面BDD}B],

???Ef7/AG，二所，平面BDD隹，B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，易知AAC。為等邊三角形，則NAC。=60、

?：EF"AC\,則所與CQ所成的角為NAG。=60：,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，???EFHA.C,,Ef平面AAGQ,4。1<=平面44?！恪?，￡尸〃平面4月。1。1，D選

項(xiàng)正確.故選：ABD.

12.引入平面向量之間的一種新運(yùn)算"二"如下：對(duì)任意的向量；7=(再,乂)，n=(x2,y2),規(guī)定

m?n-xxx-,-y}y2,則對(duì)于任意的向量￡,h>c>下列說法正確的有()

A.a?b-b?aB.=Z(a0S)

C.a-(b0c)=(a?b)-cD.\a\-\h\>\a?b\

【答案】ABD

【解析】A.因?yàn)?。區(qū))石=玉工2—乂斗石區(qū)^二七西一必兇，所以￡(8)B=B區(qū)￡，故正確；

B.因?yàn)?京(2坂=(石)％2-(犯)%=九卬27]%)=電③磯故正確;

C.a?伍位。)=(”3-必力)4,(。加”=(平2—X%)。，此時(shí)a,僅區(qū)c)=(a麗)-c不恒成立，故錯(cuò)

誤；

D.因?yàn)殁?|可一=(jx；+y2?&+￡)"2g+y2y；+x；y；+Ey2,

\a?b^=片考+y：y；-2xlx2yly2.

所以。3|.|臼)-\a?b『=++2%々乂%=(石％+々X『之。,

所以(|五|向『一|￡加|七0,且淪()，|￡甌2(),所以|入|淪|￡的，故正確，

故選:ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知。為整數(shù)，復(fù)數(shù)z=(l-i)(a-i),復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則忖=.

【答案】0

【解析】復(fù)數(shù)(1一i)(a_i)=a_l_(a+l)i,

a—1<0

若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則〈z八八，解得一1<。<1,

又。為整數(shù)，則a=()，z=(l-?)(-z)=-l-z,|z|=V2o故答案為：加

14.如圖，某種螺帽是由一個(gè)半徑為2的半球體挖去一個(gè)正三棱錐構(gòu)成的幾何體，該正三棱錐的底面三角形

內(nèi)接于半球底面大圓，頂點(diǎn)在半球面上，則被挖去的正三棱錐體積為

【答案】2K

【解析】由題意，某中螺帽是由一個(gè)半徑為R=2的半球體挖去一個(gè)正三棱錐P-ABC構(gòu)成的幾何體,

該正三棱錐P-ABC的底面三角形ABC內(nèi)接于半球底面的大圓，頂點(diǎn)P在半球面上，

設(shè)BC的中點(diǎn)為D,連結(jié)AD,過點(diǎn)P作POJ_平面ABC,交AD于點(diǎn)0,

則A0=P0=R=2,AD=3,AB=BC=28,

所以%8c=gx2百x3=3百，

所以挖去的正三棱錐的體積為=括x2=2g

15.已知AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若，_=二包，A46c的面積S=6,則4=

cosAsinB

;a的最小值為.

【答案】y2

【解析】因?yàn)椋?二包，由正弦定理可得坐A=走吧g=6,即tanA=G，

cosAsinBcosAsinB

71

又由A￡（0,4）,所以A二一,

3

又因?yàn)镾=」%sinA=JL即!兒”走=百，解得bc=4,

222

兀

由余弦定理可得a?=b2+c2-2bccos—=b2+c2-bc>2bc-bc=bc=4,

3

當(dāng)且僅當(dāng)人=c=2時(shí)等號(hào)成立，

所以。2之4,所以a?2.故答案為：2.

16.已知點(diǎn)P在邊長為4的等邊三角形A8C內(nèi)，滿足而=/1而+〃/，且2/1+3〃=1,延長AP交邊8c

于點(diǎn)D,若BD=2DC,則麗?麗的值為.

【答案】一三9

4

【解析】4P，。共線，不妨令赤=3m而，又麗=2反，

.??麗+麗=—2通+2/即通=!而+,正,

又-^―AP=AD，.二AP-mAB+2mAC=AAB+uAC,

3m

1

A--

11

〃=248

--

因此＜=<184

2Z+3//=1-

〃-

4

_______7___1___

則麗=而—/=一麗一一AC,故

84

—-—■1一1—.7—?1一

PA-PB=-(-AB+-ACy(,-AB——AC)

8484

7--23------1―-2731199

=4—AB+—ABAC一一AC]=—--xl6-—xl6x-+—xl6=--.故答案為：一二

641616641621644

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=/-a—2+(。2一3?！?)i(其中awA).

(1)若復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，求〃的值；

(2)若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求〃的值；

(3)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)。=一1或4；(2)a=2；(3)(2,4)

【解析】(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，所以下一3。一4=()，

所以。=一1或4；

a2-a-2=0

(2)因?yàn)閺?fù)數(shù)z為純虛數(shù)，所以＜

cT—3。-4w0

所以a=2

a2-a-2>Q

(3)因?yàn)閦對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以《

a2-3a—4<0

解不等式組得，2<a<4,

即。的取值范圍是(2,4).

18.已知弓,02是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，A&=2^+02,屁=-q+丸02，石。=一24+02，且A,E,

C三點(diǎn)共線.

(1)求實(shí)數(shù)入的值；

(2)若q=(2,1)/=(2,-2),求脛的坐標(biāo)；

(3)已知。(3,5),在(2)的條件下，若A,8,C,Q四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

3

【答案】(1)/=--；(2)(-7,-2)；(3)(10,7).

【解析】(1)AE=AB+BE=(2q+e,)+(―弓++(1+.

因?yàn)锳,E,C三點(diǎn)共線，

所以存在實(shí)數(shù)k,使得彳后=4沅,

即q+(1+A)e2=k^—2ei+^2),得(l+2A)q=(/r—1—.

因?yàn)镠是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，

1+2%=0解得左=-_1,入=一3

所以《

1—4=022

(2)+EC=-3^-1e；'=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).

(3)因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，所以標(biāo)=元.

設(shè)4(x,y),則AD=(3—x,5—y),

3—x=—7x=10

因?yàn)檎?(-7,—2),所以'-一.解得<

[5-x=-2y=7

即點(diǎn)4的坐標(biāo)為(10,7).

19.如圖，在四棱錐P-A8CZ)中，底面A8C拉是平行四邊形，ZBCL>=120\側(cè)面附8J_底面A8C。,

PB=2>/2，AB=AC=PA=2.

p

M

（1）求證：3。平面尸AC

（2）過AC的平面交尸。于點(diǎn)M,若與_pAc=g%_Aco，求三棱錐P—AMB的體積.

【答案】（1）見解析；（2）昱.

3

【解析】（1）證明：由題意PA2+AB2=PBT，

所以N84P=90°，則B4_LAB，

又側(cè)面PABL底面ABC。，面D4Bc面ABCD=AB，P4u血P48，

則Q4_L面ABCD.

BDu面ABC￡＞，則P4_LBr＞，又因?yàn)镹BCD=120'，ABC。為平行四邊形，

則ZABC=60，又AB=AC,

則AABC為等邊三角形，則4?8為菱形，則8。，4。.

又A4f!AC=A,則8￡＞_L面P4c.

（2）由乙.姑。=：%_48,則MPB中點(diǎn)，

由AB=AC=2,NBCD=120°，得BD=26

囚此^p-AMH=^M-PAti=T^D-PAB=~^P-ABD=-x-x^3x2=.

20.21.為了貫徹落實(shí)中央、省、市關(guān)于新型冠狀病毒肺炎疫情防控工作要求，積極應(yīng)對(duì)新型冠狀病毒疫情，

切實(shí)做好2020年春季開學(xué)工作，保障校園安全穩(wěn)定，普及防控知識(shí)，確保師生生命安全和身體健康.某校

開學(xué)前，組織高三年級(jí)800名學(xué)生參加了“疫情防控”網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競賽（滿分150分）.已知這800名學(xué)生的成

績均不低于90分，將這800名學(xué)生的成績分組如下:第一組［90,100），第二組［100,110）,第三組［110,120）,

第四組［120,130）,第五組［130,140）,第六組［140,150］,得到的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求a的值并估計(jì)這800名學(xué)生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）該校“群防群控”督查組為更好地督促高三學(xué)生的“個(gè)人防控”，準(zhǔn)備從這800名學(xué)生中取2名學(xué)生

參與督查工作，其取辦法是：先在第二組、第五組、第六組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生，再從這6名學(xué)

生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生.記這2名學(xué)生的競賽成績分別為X、y.求事件卜一y|<20的概率.

7

【答案】（1）?=0.035.120：（2）—

15

【解析】（1）由頻率分布直方圖可知（0.010x2+0.025+4+0.015+0.005）x10=1,

解得a=0.035,

這800名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為：

95x0.010x10+1（）5x（）.010x10+115x（）.025x10

+125x0.035x10+135x0.015x10+145x0.005x10=120；

（2）由題意可知：第二組抽取2名學(xué)生，其成績記為A，B,則100<A,

第五組抽取3名學(xué)生，其成績記為C,D，E,則130WC,D,E<140；

第六組抽取1名學(xué)生，其成績記為尸，則1404戶4150；

現(xiàn)從這6名學(xué)生中抽取2名學(xué)生的成績的基本事件為：

（AB）.（AC）,（AD）,（AE）,（A,F）,（B,C）,

(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(C尸),(瓦尸)共15個(gè).

其中事件,一丁區(qū)20包含的基本事件為；（AB）,（C,。），（C,￡）,（C,F）,（D,F）,（E,F）

共7個(gè);

其中,一y|42。”為事件M，則尸（M）=^.

記“這2名學(xué)生的競賽成績分別為x、）',

21.在①tan8=2tanC,（2）3b2-a2=12,③Z?cosC=2ccosB三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題

中的橫線上，并解決該問題.

問題：已知AABC的內(nèi)角A,B,C及其對(duì)邊a/,c,若c=2,且滿足，求AABC的面積的最大

值(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)

【答案】條件選擇見解析；最大值為3.

【解析】選擇條件①：因?yàn)閠anB=2tanC，所以5由385。=2$畝。853,

根據(jù)正弦定理可得力cosC=2ccos3.

小乍I<^2+b2-C2-a2+c2-b~

由余弦定理得：bx------------------------=2cx-------------------------,

lab2ac

又由c=2,可得3>2_儲(chǔ)=12，

序*2_2o_L2

根據(jù)余弦定理得cosA=——二巴2,

2bc2b

劇.“「、-------FT,G")2120bH4

人」sinA=vl-cosA=\1-----------------------------，

\4b22h

所以1....，20y-人64J-(〃-10)-+36

SMBC=]bcsinA=bx-----------------='--------------------

所以當(dāng)且僅當(dāng)〃=io時(shí)，AABC面積取得最大值，最大值為3.

選擇條件②：因?yàn)?〃一/=12，

由余弦定理得cosA="+c一—=女立

所以當(dāng)且僅當(dāng)從=io時(shí)，AABC面積取得最大值，最大值為3.

選擇條件③：因?yàn)?cosc=2ccosB,

由余弦定理得：bx^+'-c-=2cx+-+/一.

2ab2ac

因?yàn)閏=2,可得3/-。2=12,

又由余弦定理得：COSAM'+C?-/

2bc2b

所以迎-u,

V4/2b

c1,..,j20"L-64J-伊-1。）+36

SMBC=5力csinA=Z?x-------------=△----------------

所以當(dāng)且僅當(dāng)廿=10時(shí)，AA8C面積取得最大值，最大值為3.

22.如圖，已知長方體A6CO—AAG2,43=2,Ad=1,直線30與平面A4Bf所成的角為30。，AE

垂直BO于￡.

（1）若F為棱44上的動(dòng)點(diǎn)，試確定F的位置使得AE〃平面8GF,并說明理由；

（2）若F為棱44上的中點(diǎn)；求點(diǎn)A到平面尸