2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第10章概率10.1.4概率的基本性質(zhì)學(xué)案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE10.1.4概率的基本性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.通過實例，理解概率的性質(zhì)．(重點、易混點)2．駕馭隨機(jī)事務(wù)概率的運(yùn)算法則．(難點)1.通過對概率性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過利用隨機(jī)事務(wù)概率的運(yùn)算法則求解隨機(jī)事務(wù)的概率，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).甲、乙兩人下棋，甲不輸?shù)母怕适?.6，兩人下成平局的概率是0.3.問題：甲獲勝的概率是多少？概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對隨意的事務(wù)A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2必定事務(wù)的概率為1，不行能事務(wù)的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.性質(zhì)3假如事務(wù)A與事務(wù)B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性質(zhì)4假如事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性質(zhì)5假如A?B，那么P(A)≤P(B)．性質(zhì)6設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事務(wù)，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．思索1：設(shè)事務(wù)A發(fā)生的概率為P(A)，事務(wù)B發(fā)生的概率為P(B)，那么事務(wù)A∪B發(fā)生的概率是P(A)＋P(B)嗎？[提示]不肯定．當(dāng)事務(wù)A與B互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；當(dāng)事務(wù)A與B不互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．思索2：從某班任選6名同學(xué)作為志愿者參與市運(yùn)動會服務(wù)工作，記“其中至少有3名女同學(xué)”為事務(wù)A，那么事務(wù)A的對立事務(wù)eq\x\to(A)是什么？[提示]事務(wù)A的對立事務(wù)eq\x\to(A)是“其中至多有2名女同學(xué)”．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若A與B為互斥事務(wù)，則P(A)＋P(B)＝1. ()(2)若P(A)＋P(B)＝1，則事務(wù)A與B為對立事務(wù)． ()(3)某班統(tǒng)計同學(xué)們的數(shù)學(xué)測試成果，事務(wù)“全部同學(xué)的成果都在60分以上”的對立事務(wù)為“全部同學(xué)的成果都在60分以下”． ()[提示](1)錯誤．只有當(dāng)A與B為對立事務(wù)時，P(A)＋P(B)＝1.(2)錯誤．(3)錯誤．事務(wù)“全部同學(xué)的成果都在60分以上”的對立事務(wù)為“至少有一個同學(xué)的成果不高于60分”．[答案](1)×(2)×(3)×2．甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動員在一場競賽中甲獲勝的概率是0.2，若不出現(xiàn)平局，那么乙獲勝的概率為()A．0.2 B．0.8C．0.4 D．0.1B[乙獲勝的概率為1－0.2＝0.8.]3．中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參與奧運(yùn)會乒乓球女子單打競賽，甲奪得冠軍的概率為eq\f(3,7)，乙奪得冠軍的概率為eq\f(1,4)，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為________．eq\f(19,28)[由于事務(wù)“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事務(wù)“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”，但這兩個事務(wù)不行能同時發(fā)生，即彼此互斥，所以可按互斥事務(wù)概率的加法公式進(jìn)行計算，即中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).]4．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，則P(A∩B)＝________.0.3[因為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3.]互斥事務(wù)、對立事務(wù)的概率公式及簡潔應(yīng)用【例1】備戰(zhàn)奧運(yùn)會射擊隊的某一選手射擊一次，其命中環(huán)數(shù)的概率如下表：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該選手射擊一次，(1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)至少命中8環(huán)的概率；(3)命中不足8環(huán)的概率．[解]記“射擊一次，命中k環(huán)”為事務(wù)Ak(k＝7,8,9,10)．(1)因為A9與A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)記“至少命中8環(huán)”為事務(wù)B．B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10兩兩互斥，所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)記“命中不足8環(huán)”為事務(wù)C．則事務(wù)C與事務(wù)B是對立事務(wù)．所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.互斥事務(wù)、對立事務(wù)的概率公式的應(yīng)用(1)互斥事務(wù)的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一個特別重要的公式，運(yùn)用該公式解題時，首先要分清事務(wù)間是否互斥，同時要學(xué)會把一個事務(wù)分拆為幾個互斥事務(wù)，然后求出各事務(wù)的概率，用加法公式得出結(jié)果．(2)當(dāng)干脆計算符合條件的事務(wù)個數(shù)比較煩瑣時，可間接地先計算出其對立事務(wù)的個數(shù)，求得對立事務(wù)的概率，然后利用對立事務(wù)的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合條件的事務(wù)的概率．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．在數(shù)學(xué)考試中，小王的成果在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：(1)小王在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上(含80分)成果的概率；(2)小王數(shù)學(xué)考試及格的概率．(60分以上為合格，包含60分)．[解]設(shè)小王的成果在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分別為事務(wù)A，B，C，且A，B，C兩兩互斥．(1)設(shè)小王的成果在80分以上(含80分)為事務(wù)D，則D＝A＋B，所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)設(shè)小王數(shù)學(xué)考試及格為事務(wù)E，由于事務(wù)E與事務(wù)C為對立事務(wù)，所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93.互斥事務(wù)、對立事務(wù)的概率公式的綜合應(yīng)用[探究問題]1．若事務(wù)A和事務(wù)B為互斥事務(wù)，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么關(guān)系？[提示]P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．若事務(wù)A和事務(wù)B不是互斥事務(wù)，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么關(guān)系？[提示]P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．3．若事務(wù)A和事務(wù)B是對立事務(wù)，那么P(A)，P(B)有什么關(guān)系？[提示]P(A)＋P(B)＝1.【例2】有A，B，C，D四位貴賓，應(yīng)分別坐在a，b，c，d四個席位上，現(xiàn)在這四人均未留意，在四個席位上隨意就座時，(1)求這四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求這四人恰好都沒坐在自己的席位上的概率．[思路探究]eq\x(利用樹狀圖法列舉事務(wù))→eq\x(計算樣本點個數(shù))→eq\x(利用古典概型概率公式計算概率)[解]將A，B，C，D四位貴賓就座狀況用下面圖形表示出來：如圖所示，本題中的樣本點的總數(shù)為24.(1)設(shè)事務(wù)A為“這四人恰好都坐在自己的席位上”，則事務(wù)A只包含1個樣本點，所以P(A)＝eq\f(1,24).(2)設(shè)事務(wù)B為“這四個人恰好都沒有坐在自己席位上”，則事務(wù)B包含9個樣本點，所以P(B)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8).1．求這四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．[解]由本例解析可知，設(shè)事務(wù)C為“這四個人恰有1位坐在自己席位上”，則事務(wù)C包含8個樣本點，所以P(C)＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).2．求這四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率．[解]法一：設(shè)事務(wù)D為“這四人中至少有2人坐在自己的席位上”，事務(wù)E為“這四人中有2人坐在自己的席位上”，則事務(wù)E包含6個樣本點，則D＝A＋E,且事務(wù)A與E為互斥事務(wù)，所以P(D)＝P(A＋E)＝P(A)＋P(E)＝eq\f(1,24)＋eq\f(6,24)＝eq\f(7,24).法二：設(shè)事務(wù)D為“這四人中至少有2人坐在自己的席位上”，則eq\x\to(D)＝B＋C，所以P(D)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－eq\f(3,8)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,24).1．當(dāng)事務(wù)個數(shù)沒有很明顯的規(guī)律，并且涉及的樣本點又不是太多時，我們可借助樹狀圖法直觀地將其表示出來，這是進(jìn)行列舉的常用方法．樹狀圖可以清楚精確地列出全部的樣本點，并且畫出一個樹枝之后可猜想其余的狀況．2．在求概率時，若事務(wù)可以表示成有序數(shù)對的形式，則可以把全體樣本點用平面直角坐標(biāo)系中的點表示，即采納圖表的形式可以精確地找出樣本點的個數(shù)．故采納數(shù)形結(jié)合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀，給問題的解決帶來便利．概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用問題【例3】已知國家某5A級大型景區(qū)對擁擠等級與每日游客數(shù)量n(單位：百人)的關(guān)系有如下規(guī)定：當(dāng)n∈[0,100)時，擁擠等級為“優(yōu)”；當(dāng)n∈[100,200)時，擁擠等級為“良”；當(dāng)n∈[200,300)時，擁擠等級為“擁擠”；當(dāng)n≥300時，擁擠等級為“嚴(yán)峻擁擠”．該景區(qū)對6月份的游客數(shù)量作出如圖的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：(1)下面是依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到的頻率分布表，求出a，b的值，并估計該景區(qū)6月份游客人數(shù)的平均值．(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)游客數(shù)量(單位：百人)[0,100)[100,200)[200,300)[300,400]天數(shù)a1041頻率beq\f(1,3)eq\f(2,15)eq\f(1,30)(2)某人選擇在6月1日至6月5日這5天中任選2天到該景區(qū)游玩，求他這2天遇到的游客擁擠等級均為“優(yōu)”的概率．[解](1)游客人數(shù)在[0,100)范圍內(nèi)的天數(shù)共有15天，故a＝15，b＝eq\f(15,30)＝eq\f(1,2)，游客人數(shù)的平均值為50×eq\f(1,2)＋150×eq\f(1,3)＋250×eq\f(2,15)＋350×eq\f(1,30)＝120(百人)．(2)從5天中任選2天，試驗的樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共10個樣本點，其中游客擁擠等級均為“優(yōu)”的有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3個，故所求概率為eq\f(3,10).解決與古典概型交匯命題的問題時，把相關(guān)的學(xué)問轉(zhuǎn)化為事務(wù)，列舉基本領(lǐng)件，求出基本領(lǐng)件和隨機(jī)事務(wù)的個數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式進(jìn)行計算.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．某校高三學(xué)生體檢后，為了解高三學(xué)生的視力狀況，該校從高三六個班的300名學(xué)生中以班為單位(每班學(xué)生50人)，每班按隨機(jī)抽樣方法抽取了8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)．其中高三(1)班抽取的8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)與人數(shù)見下表：視力數(shù)據(jù)4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.95.05.15.25.3人數(shù)22211(1)用上述樣本數(shù)據(jù)估計高三(1)班學(xué)生視力的平均值．(2)已知其余五個班學(xué)生視力的平均值分別為4.3,4.4,4.5,4.6,4.8.若從這六個班中隨意抽取兩個班學(xué)生視力的平均值作比較，求抽取的兩個班學(xué)生視力的平均值之差的肯定值不小于0.2的概率．[解](1)高三(1)班8名學(xué)生視力的平均值為eq\f(4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.1,8)＝4.7，故用上述樣本數(shù)據(jù)估計高三(1)班學(xué)生視力的平均值為4.7.(2)從這六個班中隨意抽取兩個班學(xué)生視力的平均值作比較，全部的取法共有15種，而滿意抽取的兩個班學(xué)生視力的平均值之差的肯定值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4，4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10種，故抽取的兩個班學(xué)生視力的平均值之差的肯定值不小于0.2的概率為P＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).一、學(xué)問必備1．多個互斥事務(wù)的概率公式假如事務(wù)A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事務(wù)和的概率等于概率和．2．性質(zhì)6中公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)適用于一個隨機(jī)試驗中的隨意兩個事務(wù)，也適用于A，B為互斥事務(wù)的狀況，因為互斥事務(wù)滿意P(A∩B)＝0，此時公式變?yōu)镻(A∪B)＝P(A)＋P(B)，這就是互斥事務(wù)的概率加法公式．二、方法必備1．運(yùn)用互斥事務(wù)的概率加法公式解題時，首先要分清事務(wù)之間是否互斥，同時要學(xué)會把一個事務(wù)分拆為幾個互斥事務(wù)，做到不重不漏，分別求出各個事務(wù)的概率，然后用加法公式求出結(jié)果．2．求困難事務(wù)的概率通常有兩種方法：一是將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事務(wù)的和；二是先求其對立事務(wù)的概率，然后再運(yùn)用公式求解．假如采納方法一，肯定要將事務(wù)分拆成若干互斥的事務(wù)，不能重復(fù)和遺漏；假如采納方法二，肯定要找準(zhǔn)其對立事務(wù)，否則簡潔出現(xiàn)錯誤．1．從集合{a，b，c，d，e}的全部子集中任取一個，若這個子集不是集合{a，b，c}的子集的概率是eq\f(3,4)，則該子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率是()A．eq\f(3,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,8)C[該子集恰是{a，b，c}的子集的概率為P＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4).]2．甲、乙兩隊進(jìn)行足球競賽，若兩隊?wèi)?zhàn)平的概率是eq\f(1,4)，乙隊勝的概率是eq\f(1,3)，則甲隊勝的概率是________．eq\f(5,12)[記甲隊勝為事務(wù)A，則P(A)＝1－eq\f(1,4)－eq\f(1,3)＝eq\f(5,12).]3．如圖所示，靶子由一個中心圓面Ⅰ和兩個同心圓環(huán)Ⅱ、Ⅲ構(gòu)成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別為0.35,0.30,0.25，則不命中靶的概率是________．0.10[“射手命中圓面Ⅰ”為事務(wù)A，“命中圓環(huán)Ⅱ”為事務(wù)B，“命中圓環(huán)Ⅲ”為事務(wù)C，“不中靶”為事務(wù)D，則A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率為P(A∪B∪C)＝