2022年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練- 解直角三角形的應(yīng)用（解析版）

2022年中考數(shù)學(xué)改革重點題型專練（重慶專用）

專練八、解直角三角形的應(yīng)用

1.近日，市委、市政府公布了第七批重慶市愛國主義教育基地名單，重慶市育才中學(xué)創(chuàng)辦

的陶行知紀(jì)念館位列其中，如圖，為了測量陶行知紀(jì)念館AB的高度，小李在點C處放

置了高度為1.5米的測角儀C。，測得紀(jì)念館頂端4點的仰角N4OE=51°,然后他沿著

坡度z=l：2.4的斜坡C尸走了6.5米到達(dá)點F,再沿水平方向走4米就到達(dá)了紀(jì)念館底

端點B.（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：sin5果~0.78,cos51°-0.63,tan51°-1.23）

A

（1）求點。到紀(jì)念館AB的水平距離；

（2）求紀(jì)念館AB的高度約為多少米？

【解答】解：（1）如圖，延長AB交水平線于M,過尸作于N,延長。E交4M

于，,

則HM=CD=15米，DH=CM,

在RtaCFN中，i=l：2.4=?-,CF=6.5米，

CN

:.BM=FN=25（米），CN=6（米），

；MN=BF=4米，

；.。，="=6+4=10（米），

答：點D到紀(jì)念館AB的水平距離為10米；

（2）在RtZXAQH中，tan/AOE=妲=tan51°比1.23,

DH

...A4七10X1.23=12.3（米）,

：.AB=AM-BM=AH+HM-BM=12.3+1.5-2.5%11.3（米），

答：紀(jì)念館A8的高度約為11.3米.

2.如圖，在同一剖面內(nèi)，小明在點A處用測角儀測得居民樓的頂端尸的仰角為27°,他水

平向右前進(jìn)了30米來到斜坡的坡腳B處，沿著斜坡BC上行25米到達(dá)C點，用測角儀

測得點F的仰角為54°,然后，水平向右前進(jìn)一段路程來到了居民樓的樓底E處，若斜

坡8c的坡度為3：4,請你求出居民樓EF的高度.

（測角儀的高度忽略不計，計算結(jié)果精確到01米.）

參考數(shù)據(jù)：sin27°七0.45,tan27°^0.51,sin54°^0.81,tan54°弋1.38）

居

民

樓

A------------'----------------------D

【解答】解：如圖，過點C作CGLA。于點G,。于點H,

得矩形CGHE,

：.CE=GH,CG=EH,

在Rt^BCG中，BC=25米，CG：BG=3：4,

.*.CG=E"=15米，8G=20米，

A'BGHD

在RtZXAF”中，AH^AB+BC+GH=30+20+GH=50+CE,

VZMG=27°,

：.FH=AH'Vm21°,

：.EF+\5^(50+CE)X0.51,

在RtAFCE中,

\"ZFCE=54°,

.?.EF=CEXtan54°心1.38CE,

.,.1.38CE+15?=(50+CE)X0.51,

解得CE=1050,

87

?,.M=1.38CEF6.7(米)，

居民樓EF的高度約為16.7米.

3.如圖1,在集美景與科技于一體的重慶融創(chuàng)渝樂小鎮(zhèn)，有一座號稱“山城之光”的摩天

輪建在山體上.如圖2,小北在山體底部A處測得摩天輪頂端。的仰角為52°,然后乘

坐扶梯到達(dá)山體平臺B處，已知AB坡度，=3：4,且AB=80米，BC=50米，CD工BF

于點C(A,B,C,D,E,F均在同一平面內(nèi)，AE//BF).

(1)求平臺上點3到山體底部地面AE的距離；

(2)求摩天輪頂端。到山體平臺的距離CD的長.(精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin52°

心0.8,cos52°心0.6,tan52°七1.3)

【解答】解：(1)過點3作8例，A后于點M,延長OC交AE于G,

D

；斜坡AB的坡度（或坡比）i=3：4,AB=80米，

.?.設(shè)8M=3x（米），則AM=4x（米）.

則AB=5x,

:.5x=80,

解得x=16,

；.BM=48米，AM=64米，

.?.平臺上點B到山體底部地面AE的距離為48米；

（2）?.?四邊形8MGC是矩形，

；.CG=BM=48米，MG=BC=5Q米，

：.AG=AM+MG=64+50=114（米）.

在RtA^DG中，

VZDAG=52°,

/.DG=AG*tan52°^114X1.3=148.2（米），

ADC=DG-CG=148.2-48?=100（米）.

摩天輪頂端D到山體平臺BF的距離CD的長約為100米.

4.翠湖公園中有一四邊形空地，如圖1,已知空地邊緣AB〃C￡>,且48、C。之間的距離

為30米，經(jīng)測量/A=30°,NC=45°,CD長度為42米.（參考數(shù)據(jù)：加七1.41,如

M.73）

（1）求空地邊緣AB的長度；（結(jié)果精確到1米）

（2）為了打造更具觀賞性、娛樂性、參與性的城市名片，如圖2,公園管理處準(zhǔn)備在四

邊形空地內(nèi)修建寬度為2米的園林卵石步道EFGH,其余地面鋪成顆粒塑膠，經(jīng)調(diào)研每

平米卵石步道成本為80元，每平米顆粒塑膠成本為45元，公園目前可用資金有75000

元，請用（1）的結(jié)果計算此次修建費用是否足夠？

D

45°455

EF

圖1圖2

【解答】解：（1）如圖，過。作。KLAB交A8于K,過C作CHLAB交AB的延長線

于H,

'：DK±AB,CHLAB,

.?.N2=/3=/H=90°,

'：AB//CD,

.?.Nl=N3=90°,

；./。。8=/5=45°,

二四邊形DKHC是矩形,

，CQ="K=42米，￡>K=C〃=30米,

在RtaCBH中，NH=90°,

，tanN5=tan45。=^-=1,

Dn

:.CH=BH=3Q米,

：.KB=KH-BH=42-30=12（米）,

在RtZ\AKO中，Z3=90°,

?',tanZA=tan30o

AK3

.-.AK=V3DK=30V3（米），

/.AB=AK+KB=3073+12^64（米）,

答：空地邊緣AB的長度為64米.

（2）由題得，四邊形EFGH為平行四邊形,

.'.S平行四邊形EFGH=E—〃=2X30=60（平方米）,

（CD+AB）-h（42+64）X30

,*S梯形ABQ）='=1590（平方米），

22

:.S型般地面=S梯形ABCD-S平行四邊影EFGH=1590-60=1530（平方米），

二總花費為：60X80+1530X45=73650（元）,

V73650<75000,

圖1

5.重慶移動為了提升網(wǎng)絡(luò)信號，在坡度為i=l：2.4的山坡AD上加裝了信號塔PQ（如圖

所示），信號塔底端Q到坡底A的距離為3.9米.同時為了提醒市民，在距離斜坡底A

點4.4米的水平地面上立了一塊警示牌MN.當(dāng)太陽光線與水平線成53°角時，測得信號

塔PQ落在警示牌上的影子EN長為3米.

（1）求點。所在位置的鉛直高度；

（2）請計算信號塔PQ的高度大約為多少米.（參考數(shù)據(jù)：sin53°=0.80,cos53°-0.60,

tan53°-1.33,結(jié)果精確到0.1米）

【解答】解：（1）過點E作EFLP0于點F,延長尸。交8A于點G,如圖所示:

則QGJ_B4,

：QA=3.9米，QG-.AG=1：2.4,

.,.設(shè)QG=x米，則AG=2.4x米，

在Rt^AGQ中，由勾股定理得：?+（2.4%）2=3.92,

解得：x=l.5（負(fù)值已舍去），

答：點。所在位置的鉛直高度為1.5米：

（2）AG=2.4x=3.6（米），

，EF=NG=AG+AN=3.6+4.4=8（米），

在RtZXPFE中，tan/PEF=E^-,

EF

即tan53°七1.3,

EF8

解得：PF?10.4（米），

'：FQ=EN-QG=3-1.5=1.5（米），

.?.信號塔尸。的高為:Pg5*10.4+1.5=11.9（米）,

答：信號塔的高度大約為1L9米.

6.如圖，I號樓在2號樓的南側(cè)，樓間距為AB.冬至日正午，太陽光線與水平面所成的角

為32.3°,1號樓在2號樓墻面上的影高為。；春分日正午，太陽光線與水平面所成的

角為55.7°,1號樓在2號樓墻面上的影高為D4.已知CO=35〃].請求出兩樓之間的距

離AB的長度（結(jié)果保留整數(shù)）

(參考數(shù)據(jù)：sin32.3°40.53,cos32.3°弋0.85,tan32.3°弋0.63,sin55.7°g0.83,

cos55.7°g0.56,tan55.7°?=1.47)

C

2

號

樓

D

【解答】解：過點C作CE_LPB,垂足為E,過點。作。垂足為F,

1rlni______

AB

則NC"=NPFO=90°,

由題意可知：設(shè)A8=x,

在RtZ\PCE中，tan32.3°=患，

X

APE=x*tan32.3°,

同理可得：在RtZ\PD尸中，tan55.7°=里，

x

.*.PF=x?tan55.7°,

由PF-PE=EF=CD=35,

可得x?tan55.7°-x*tan32.3°=35,

解得：x—42.

樓間距AB的長度約為42%

7.校內(nèi)數(shù)學(xué)興趣小組組織了一次測量探究活動.如圖，大樓的頂部豎有一塊廣告牌8,

小明與同學(xué)們在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部。的仰角為53°,沿坡面AB向上走到

B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°,已知山坡A8的坡度i=l：如,48=12米，AE

=24米.（測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：&?1.41,收

1.73,sin53°一當(dāng)cos53°?tan53°.言）

（1）求點B距水平地面AE的高度；

（2）求廣告牌CQ的高度.

【解答】解：（1）如圖，過點B作BMLAE,BNLCE,垂足分別為M、N,

由題意可知，ZCBN=45°,ZDAE=53°,i=\：?，AB=12米，AE=24米，

Vz=l：?=g*=tan/8AM，

AM

AZBAM=30°,

：.BM=^AB=6（米），

2

即點B距水平地面AE的高度為6米；

（2）在RtzXABM中，

：.NE=BM=1AB=6（米），

_2

AM—^-AB—6-\[3（米），

2

：.ME=AM+AE=（673+24）米，

；NCBN=45°,

:.CN=BN=ME=（65/34-24）米，

：.CE=CN+NE=（6V§^30）米，

在RtZ\ADE中，ZDAE=53°,AE=24米，

：.DE=AE'tan53°?=24xA=32（米），

3

：.CD=CE-DE

=6^+30-32

=6“-2

==8.4（米）

答：廣告牌CO的高約8.4米.

8.已知如圖，斜坡AP的坡度為1：2.4,斜坡A尸的水平長度為24米在坡頂A處的同一水

平面上有一座古塔BC在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°,在坡頂A處測得

該塔

的塔頂B的仰角為60。.

求：（1）坡頂A到地面PQ的距離：

（2）古塔8c的高度（結(jié)果保留根號）.

【解答】解：（1）作4DLPQ于￡＞，延長8C交P。于E,

則四邊形AOEC為矩形，

：.AD^CE,

?.,斜坡AP的坡度為1：2.4,斜坡AP的水平長度為24米,

：.AD=\0,即坡頂4到地面尸。的距離為10米；

（2）設(shè)BC=x米，

在RtZVIBC中，tan/BAC=里，即?=工，

ACAC

解得，AC=&,

3

在RtZ^BPE中，NBPE=45°,

：.PE=BE,即24+返r=x+10,

3

解得，x=21+7?,

答：古塔BC的高度為（21+7退）米.

9.如圖，線段AB表示一信號塔，OE表示一斜坡，DCVCE.且點8,C,E三點在同一水

平線上，點A,B,C,D,E在同一平面內(nèi)，斜坡OE的坡比為1：V3，OE=42米.某

人站在坡頂D處測得塔頂A點的仰角為37°,站在坡底C處測得塔頂A點的仰角為48°

（人的身高忽略不計），求信號塔的高度AB（結(jié)果精確到1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin37。^1,

5

tan37°七3,sin48°g工，tan48°比里）

10

【解答】解：過點。作。凡LAB于點凡

0E=42米,

設(shè)DC=xm,則CE=

在川△COE中,

,：DC2+CE2=DE2,即/+2=422,解得x=21,

，QC=21米,

；/B=NDFB=/DCB=90°,

二四邊形OF8C是矩形，DF=BC,

：.DC=^BF=2\米,

設(shè)AF=ytn,

在RtZ\AO尸中,

VZADF=37°,

???AF=0尸tan370~旦￡￡

4

/.DF=—ym,

3

在RtAABC中，

VZACB=48°,

.*.AB=BUtan48°七紅。F,

10

：.AF+BF=H.DF,

10

y+21=-ILx—y>

103-

解得y=45,

.,.AF=45米，

：.AB=AF+BF=45+2\^66（米）.

答：信號塔的高度AB約為66米.

10.如圖1,為安全計，某山坡的段斜坡需按如圖2中的方式進(jìn)行“網(wǎng)格化加固”處理.為

此，需進(jìn)行有關(guān)測量.今在樓頂C點測得：斜坡兩端點A,B的俯角分別為45°,67°,

AB中點M的俯角為56°；且已知斜坡底端B點離樓房底端D點的距離為10米.求：（參

考數(shù)據(jù)：tan67°弋」上，sin67°tan56°^―）

5132

□

□

□

□

□

□

□

□

（1）樓高C。的長；

（2）斜坡A8的長.

【解答】解：（1）由題意得，80=10,NCBD=NECB=61°,

在RtABCD中，

C￡）=BO?tanNCBO=IOXtan67°^10x11=24（米），

5

故樓高CD的長約為24米；

（2）作A￡_LC￡>于E,MF_LCD于F,MG_LQH與G,

是AB的中點，

；.G為的中點，ED=2FD,

設(shè)8〃=2x米，則BG=x米，

：.AE=(10+2x)米，MF=(10+A)米，

在RtZ\ACE中，CE=AE=(10+2x)米，

在/中，CF=BD?tanNCMF=(10+x)Xtan56°(10+x)(米)，

2

：.ED=CD-CE=[24-(10+2x)|(米)，F(xiàn)D=CD-CF=[24-(10+x)](米),

2

■:ED=2FD,

.*.24-(10+2x)=2124-(10+x)],解得x=4(米),

2

；.BH=2x=8米，CE=10+2x=18米，

：.AH=EF=24-18=6(米))，

.1.AB=JAH2+BH2=J62+g2-10(米),

故斜坡A8的長約為10米.

11.如圖，某風(fēng)景區(qū)內(nèi)有?一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在與瀑布底端同一水平位置的

點D處測得瀑布頂端4的仰角0為45°,斜坡CD的坡度i=3：4,CD=100米，在觀

景臺C處測得瀑布頂端A的仰角a為37°,若點B、D、E在同一水平線上，求瀑布的

落差A(yù)B.（參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.6,cos37°^0.8,tan37°g0.75）

【解答】解：Vz=3：4=tan/CQE=_21,

DE

:.CE：DE=3：4,

設(shè)CE=3x米，則。E=4x米，

在RtZ\COE中，由勾股定理得：(3x)2+(4x)2=10()2,

解得：x=20(負(fù)值舍去)，

.?.CE=60米，QE=80米，

過C作CFLAB于F,則四邊形CEBF是矩形.

，BF=CE=60米，CF=BE.

在RtZViOB中，ZADB=45°,

...△A8。是等腰直角三角形，

：.AB=BD,

設(shè)A8=8O=y米.

在RtZXAC/中，ZACF=31°,

Vtan/4。尸=迎*0.75=3,

CF4

：.AF^^-CF,

4

60七國(y+80),

解得：yg480.

答：瀑布的落差約為480米.

12.某小區(qū)門口安裝了汽車出入道閘.道閘關(guān)閉時，如圖1,四邊形ABCD為矩形，AB長

3米，AO長1米，點。距地面為0.2米.道閘打開的過程中，邊AO固定，連桿A8,

C。分別繞點A，D轉(zhuǎn)動,且邊BC始終與邊44平行.

(1)如圖2,當(dāng)?shù)篱l打開至NAOC=45°時，邊CD上一點P到地面的距離PE為1.2

米，求點P到MN的距離PF的長.

（2）一輛轎車過道閘，已知轎車寬1.8米，高1.6米.當(dāng)?shù)篱l打開至NAQC=36°時,

轎車能否駛?cè)胄^(qū)？請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：sin36°弋0.59,cos36°^0.81,tan36°?

0.73）

圖1圖2

【解答】解：（1）如圖，過點。作。Q_LPE,垂足為。，由題意可知，ZADC=45°,

PE=1.2米，QE=0.2米,

在RtZ\P￡>Q中，ZPDQ=45°,PQ=1.2-0.2=1米,

：.DQ=PQ=\（米）,

：.PF=AB-DQ=3-1=2（米）,

（2）當(dāng)NAOC=36°,PE=L6米時,則>0PQ=36°,PQ=L6-0.2=14（米）,

.,.￡）Q=P0tan36°弋1.4X0.73=1.022（米）,

：.PF=3-1.022F.98（米）,

V1.98>1.8,

.?.能通過.

V

Q

E

13.如圖1,2分別是某款籃球架的實物圖與示意圖，已知AB,8c于點B,底座BC的長

為1米，底座BC與支架AC所成的角/ACB=60°,點〃在支架AF上，籃板底部支架

EH//BC,EFLEH于點E,己知A"長米，HF長加米，HE長1米.

(1)求籃板底部支架HE與支架AF所成的角/FHE的度數(shù).

(2)求籃板底部點E到地面的距離.(結(jié)果保留根號)

F

【解答】解：(1)在RtZ\￡77/中，cos/FHE=理工=返

HFV22

；.NFHE=45°,

答：籃板底部支架4E與支架AF所成的角NFHE的度數(shù)為45°：

(2)延長FE交CB的延長線于M,過點A作AGJ_FM于G,過點H作HNLAG于N,

則四邊形ABMG和四邊形HNGE是矩形,

：.GM=AB,HN=EG,

在RtAABC中，Vtan/ACB=9

BC

."B=BCtan60°=1X?=?,

:.GM=AB=M，

在RtZiAN”中，NFAN=NFHE=45°,

：.HN=AHsin45a=返義返=JL,

222

.,.EM=EG+GM=2+F，

2

答：籃板底部點E到地面的距離是（工+逐）米.

2

14.圖1是一款折疊式跑步機，由支桿4E（點A、E固定），滑動桿PF和底座A。組成,

AC為滑槽，圖2是其側(cè)面簡化示意圖，忽略跑步機的厚度，已知AE=60。"，AC^120cm,

收納時，當(dāng)滑動端點P向右滑至點C時，滑動桿P『恰好與滑槽4c重合.