2022年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題訓(xùn)練- 解直角三角形的應(yīng)用（解析版）

2022年中考數(shù)學(xué)改革重點(diǎn)題型專(zhuān)練（重慶專(zhuān)用）

專(zhuān)練八、解直角三角形的應(yīng)用

1.近日，市委、市政府公布了第七批重慶市愛(ài)國(guó)主義教育基地名單，重慶市育才中學(xué)創(chuàng)辦

的陶行知紀(jì)念館位列其中，如圖，為了測(cè)量陶行知紀(jì)念館AB的高度，小李在點(diǎn)C處放

置了高度為1.5米的測(cè)角儀C。，測(cè)得紀(jì)念館頂端4點(diǎn)的仰角N4OE=51°,然后他沿著

坡度z=l：2.4的斜坡C尸走了6.5米到達(dá)點(diǎn)F,再沿水平方向走4米就到達(dá)了紀(jì)念館底

端點(diǎn)B.（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：sin5果~0.78,cos51°-0.63,tan51°-1.23）

A

（1）求點(diǎn)。到紀(jì)念館AB的水平距離；

（2）求紀(jì)念館AB的高度約為多少米？

【解答】解：（1）如圖，延長(zhǎng)AB交水平線于M,過(guò)尸作于N,延長(zhǎng)。E交4M

于，,

則HM=CD=15米，DH=CM,

在RtaCFN中，i=l：2.4=?-,CF=6.5米，

CN

:.BM=FN=25（米），CN=6（米），

；MN=BF=4米，

；.。，="=6+4=10（米），

答：點(diǎn)D到紀(jì)念館AB的水平距離為10米；

（2）在RtZXAQH中，tan/AOE=妲=tan51°比1.23,

DH

...A4七10X1.23=12.3（米）,

：.AB=AM-BM=AH+HM-BM=12.3+1.5-2.5%11.3（米），

答：紀(jì)念館A8的高度約為11.3米.

2.如圖，在同一剖面內(nèi)，小明在點(diǎn)A處用測(cè)角儀測(cè)得居民樓的頂端尸的仰角為27°,他水

平向右前進(jìn)了30米來(lái)到斜坡的坡腳B處，沿著斜坡BC上行25米到達(dá)C點(diǎn)，用測(cè)角儀

測(cè)得點(diǎn)F的仰角為54°,然后，水平向右前進(jìn)一段路程來(lái)到了居民樓的樓底E處，若斜

坡8c的坡度為3：4,請(qǐng)你求出居民樓EF的高度.

（測(cè)角儀的高度忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果精確到01米.）

參考數(shù)據(jù)：sin27°七0.45,tan27°^0.51,sin54°^0.81,tan54°弋1.38）

居

民

樓

A------------'----------------------D

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CGLA。于點(diǎn)G,。于點(diǎn)H,

得矩形CGHE,

：.CE=GH,CG=EH,

在Rt^BCG中，BC=25米，CG：BG=3：4,

.*.CG=E"=15米，8G=20米，

A'BGHD

在RtZXAF”中，AH^AB+BC+GH=30+20+GH=50+CE,

VZMG=27°,

：.FH=AH'Vm21°,

：.EF+\5^(50+CE)X0.51,

在RtAFCE中,

\"ZFCE=54°,

.?.EF=CEXtan54°心1.38CE,

.,.1.38CE+15?=(50+CE)X0.51,

解得CE=1050,

87

?,.M=1.38CEF6.7(米)，

居民樓EF的高度約為16.7米.

3.如圖1,在集美景與科技于一體的重慶融創(chuàng)渝樂(lè)小鎮(zhèn)，有一座號(hào)稱(chēng)“山城之光”的摩天

輪建在山體上.如圖2,小北在山體底部A處測(cè)得摩天輪頂端。的仰角為52°,然后乘

坐扶梯到達(dá)山體平臺(tái)B處，已知AB坡度，=3：4,且AB=80米，BC=50米，CD工BF

于點(diǎn)C(A,B,C,D,E,F均在同一平面內(nèi)，AE//BF).

(1)求平臺(tái)上點(diǎn)3到山體底部地面AE的距離；

(2)求摩天輪頂端。到山體平臺(tái)的距離CD的長(zhǎng).(精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin52°

心0.8,cos52°心0.6,tan52°七1.3)

【解答】解：(1)過(guò)點(diǎn)3作8例，A后于點(diǎn)M,延長(zhǎng)OC交AE于G,

D

；斜坡AB的坡度（或坡比）i=3：4,AB=80米，

.?.設(shè)8M=3x（米），則AM=4x（米）.

則AB=5x,

:.5x=80,

解得x=16,

；.BM=48米，AM=64米，

.?.平臺(tái)上點(diǎn)B到山體底部地面AE的距離為48米；

（2）?.?四邊形8MGC是矩形，

；.CG=BM=48米，MG=BC=5Q米，

：.AG=AM+MG=64+50=114（米）.

在RtA^DG中，

VZDAG=52°,

/.DG=AG*tan52°^114X1.3=148.2（米），

ADC=DG-CG=148.2-48?=100（米）.

摩天輪頂端D到山體平臺(tái)BF的距離CD的長(zhǎng)約為100米.

4.翠湖公園中有一四邊形空地，如圖1,已知空地邊緣AB〃C￡>,且48、C。之間的距離

為30米，經(jīng)測(cè)量/A=30°,NC=45°,CD長(zhǎng)度為42米.（參考數(shù)據(jù)：加七1.41,如

M.73）

（1）求空地邊緣AB的長(zhǎng)度；（結(jié)果精確到1米）

（2）為了打造更具觀賞性、娛樂(lè)性、參與性的城市名片，如圖2,公園管理處準(zhǔn)備在四

邊形空地內(nèi)修建寬度為2米的園林卵石步道EFGH,其余地面鋪成顆粒塑膠，經(jīng)調(diào)研每

平米卵石步道成本為80元，每平米顆粒塑膠成本為45元，公園目前可用資金有75000

元，請(qǐng)用（1）的結(jié)果計(jì)算此次修建費(fèi)用是否足夠？

D

45°455

EF

圖1圖2

【解答】解：（1）如圖，過(guò)。作。KLAB交A8于K,過(guò)C作CHLAB交AB的延長(zhǎng)線

于H,

'：DK±AB,CHLAB,

.?.N2=/3=/H=90°,

'：AB//CD,

.?.Nl=N3=90°,

；./。。8=/5=45°,

二四邊形DKHC是矩形,

，CQ="K=42米，￡>K=C〃=30米,

在RtaCBH中，NH=90°,

，tanN5=tan45。=^-=1,

Dn

:.CH=BH=3Q米,

：.KB=KH-BH=42-30=12（米）,

在RtZ\AKO中，Z3=90°,

?',tanZA=tan30o

AK3

.-.AK=V3DK=30V3（米），

/.AB=AK+KB=3073+12^64（米）,

答：空地邊緣AB的長(zhǎng)度為64米.

（2）由題得，四邊形EFGH為平行四邊形,

.'.S平行四邊形EFGH=E—〃=2X30=60（平方米）,

（CD+AB）-h（42+64）X30

,*S梯形ABQ）='=1590（平方米），

22

:.S型般地面=S梯形ABCD-S平行四邊影EFGH=1590-60=1530（平方米），

二總花費(fèi)為：60X80+1530X45=73650（元）,

V73650<75000,

圖1

5.重慶移動(dòng)為了提升網(wǎng)絡(luò)信號(hào)，在坡度為i=l：2.4的山坡AD上加裝了信號(hào)塔PQ（如圖

所示），信號(hào)塔底端Q到坡底A的距離為3.9米.同時(shí)為了提醒市民，在距離斜坡底A

點(diǎn)4.4米的水平地面上立了一塊警示牌MN.當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線成53°角時(shí)，測(cè)得信號(hào)

塔PQ落在警示牌上的影子EN長(zhǎng)為3米.

（1）求點(diǎn)。所在位置的鉛直高度；

（2）請(qǐng)計(jì)算信號(hào)塔PQ的高度大約為多少米.（參考數(shù)據(jù)：sin53°=0.80,cos53°-0.60,

tan53°-1.33,結(jié)果精確到0.1米）

【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EFLP0于點(diǎn)F,延長(zhǎng)尸。交8A于點(diǎn)G,如圖所示:

則QGJ_B4,

：QA=3.9米，QG-.AG=1：2.4,

.,.設(shè)QG=x米，則AG=2.4x米，

在Rt^AGQ中，由勾股定理得：?+（2.4%）2=3.92,

解得：x=l.5（負(fù)值已舍去），

答：點(diǎn)。所在位置的鉛直高度為1.5米：

（2）AG=2.4x=3.6（米），

，EF=NG=AG+AN=3.6+4.4=8（米），

在RtZXPFE中，tan/PEF=E^-,

EF

即tan53°七1.3,

EF8

解得：PF?10.4（米），

'：FQ=EN-QG=3-1.5=1.5（米），

.?.信號(hào)塔尸。的高為:Pg5*10.4+1.5=11.9（米）,

答：信號(hào)塔的高度大約為1L9米.

6.如圖，I號(hào)樓在2號(hào)樓的南側(cè)，樓間距為AB.冬至日正午，太陽(yáng)光線與水平面所成的角

為32.3°,1號(hào)樓在2號(hào)樓墻面上的影高為。；春分日正午，太陽(yáng)光線與水平面所成的

角為55.7°,1號(hào)樓在2號(hào)樓墻面上的影高為D4.已知CO=35〃].請(qǐng)求出兩樓之間的距

離AB的長(zhǎng)度（結(jié)果保留整數(shù)）

(參考數(shù)據(jù)：sin32.3°40.53,cos32.3°弋0.85,tan32.3°弋0.63,sin55.7°g0.83,

cos55.7°g0.56,tan55.7°?=1.47)

C

2

號(hào)

樓

D

【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE_LPB,垂足為E,過(guò)點(diǎn)。作。垂足為F,

1rlni______

AB

則NC"=NPFO=90°,

由題意可知：設(shè)A8=x,

在RtZ\PCE中，tan32.3°=患，

X

APE=x*tan32.3°,

同理可得：在RtZ\PD尸中，tan55.7°=里，

x

.*.PF=x?tan55.7°,

由PF-PE=EF=CD=35,

可得x?tan55.7°-x*tan32.3°=35,

解得：x—42.

樓間距AB的長(zhǎng)度約為42%

7.校內(nèi)數(shù)學(xué)興趣小組組織了一次測(cè)量探究活動(dòng).如圖，大樓的頂部豎有一塊廣告牌8,

小明與同學(xué)們?cè)谏狡碌钠履_A處測(cè)得廣告牌底部。的仰角為53°,沿坡面AB向上走到

B處測(cè)得廣告牌頂部C的仰角為45°,已知山坡A8的坡度i=l：如,48=12米，AE

=24米.（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：&?1.41,收

1.73,sin53°一當(dāng)cos53°?tan53°.言）

（1）求點(diǎn)B距水平地面AE的高度；

（2）求廣告牌CQ的高度.

【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BMLAE,BNLCE,垂足分別為M、N,

由題意可知，ZCBN=45°,ZDAE=53°,i=\：?，AB=12米，AE=24米，

Vz=l：?=g*=tan/8AM，

AM

AZBAM=30°,

：.BM=^AB=6（米），

2

即點(diǎn)B距水平地面AE的高度為6米；

（2）在RtzXABM中，

：.NE=BM=1AB=6（米），

_2

AM—^-AB—6-\[3（米），

2

：.ME=AM+AE=（673+24）米，

；NCBN=45°,

:.CN=BN=ME=（65/34-24）米，

：.CE=CN+NE=（6V§^30）米，

在RtZ\ADE中，ZDAE=53°,AE=24米，

：.DE=AE'tan53°?=24xA=32（米），

3

：.CD=CE-DE

=6^+30-32

=6“-2

==8.4（米）

答：廣告牌CO的高約8.4米.

8.已知如圖，斜坡AP的坡度為1：2.4,斜坡A尸的水平長(zhǎng)度為24米在坡頂A處的同一水

平面上有一座古塔BC在斜坡底P處測(cè)得該塔的塔頂B的仰角為45°,在坡頂A處測(cè)得

該塔

的塔頂B的仰角為60。.

求：（1）坡頂A到地面PQ的距離：

（2）古塔8c的高度（結(jié)果保留根號(hào)）.

【解答】解：（1）作4DLPQ于￡＞，延長(zhǎng)8C交P。于E,

則四邊形AOEC為矩形，

：.AD^CE,

?.,斜坡AP的坡度為1：2.4,斜坡AP的水平長(zhǎng)度為24米,

：.AD=\0,即坡頂4到地面尸。的距離為10米；

（2）設(shè)BC=x米，

在RtZVIBC中，tan/BAC=里，即?=工，

ACAC

解得，AC=&,

3

在RtZ^BPE中，NBPE=45°,

：.PE=BE,即24+返r=x+10,

3

解得，x=21+7?,

答：古塔BC的高度為（21+7退）米.

9.如圖，線段AB表示一信號(hào)塔，OE表示一斜坡，DCVCE.且點(diǎn)8,C,E三點(diǎn)在同一水

平線上，點(diǎn)A,B,C,D,E在同一平面內(nèi)，斜坡OE的坡比為1：V3，OE=42米.某

人站在坡頂D處測(cè)得塔頂A點(diǎn)的仰角為37°,站在坡底C處測(cè)得塔頂A點(diǎn)的仰角為48°

（人的身高忽略不計(jì)），求信號(hào)塔的高度AB（結(jié)果精確到1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin37。^1,

5

tan37°七3,sin48°g工，tan48°比里）

10

【解答】解：過(guò)點(diǎn)。作。凡LAB于點(diǎn)凡

0E=42米,

設(shè)DC=xm,則CE=

在川△COE中,

,：DC2+CE2=DE2,即/+2=422,解得x=21,

，QC=21米,

；/B=NDFB=/DCB=90°,

二四邊形OF8C是矩形，DF=BC,

：.DC=^BF=2\米,

設(shè)AF=ytn,

在RtZ\AO尸中,

VZADF=37°,

???AF=0尸tan370~旦￡￡

4

/.DF=—ym,

3

在RtAABC中，

VZACB=48°,

.*.AB=BUtan48°七紅。F,

10

：.AF+BF=H.DF,

10

y+21=-ILx—y>

103-

解得y=45,

.,.AF=45米，

：.AB=AF+BF=45+2\^66（米）.

答：信號(hào)塔的高度AB約為66米.

10.如圖1,為安全計(jì)，某山坡的段斜坡需按如圖2中的方式進(jìn)行“網(wǎng)格化加固”處理.為

此，需進(jìn)行有關(guān)測(cè)量.今在樓頂C點(diǎn)測(cè)得：斜坡兩端點(diǎn)A,B的俯角分別為45°,67°,

AB中點(diǎn)M的俯角為56°；且已知斜坡底端B點(diǎn)離樓房底端D點(diǎn)的距離為10米.求：（參

考數(shù)據(jù)：tan67°弋」上，sin67°tan56°^―）

5132

□

□

□

□

□

□

□

□

（1）樓高C。的長(zhǎng)；

（2）斜坡A8的長(zhǎng).

【解答】解：（1）由題意得，80=10,NCBD=NECB=61°,

在RtABCD中，

C￡）=BO?tanNCBO=IOXtan67°^10x11=24（米），

5

故樓高CD的長(zhǎng)約為24米；

（2）作A￡_LC￡>于E,MF_LCD于F,MG_LQH與G,

是AB的中點(diǎn)，

；.G為的中點(diǎn)，ED=2FD,

設(shè)8〃=2x米，則BG=x米，

：.AE=(10+2x)米，MF=(10+A)米，

在RtZ\ACE中，CE=AE=(10+2x)米，

在/中，CF=BD?tanNCMF=(10+x)Xtan56°(10+x)(米)，

2

：.ED=CD-CE=[24-(10+2x)|(米)，F(xiàn)D=CD-CF=[24-(10+x)](米),

2

■:ED=2FD,

.*.24-(10+2x)=2124-(10+x)],解得x=4(米),

2

；.BH=2x=8米，CE=10+2x=18米，

：.AH=EF=24-18=6(米))，

.1.AB=JAH2+BH2=J62+g2-10(米),

故斜坡A8的長(zhǎng)約為10米.

11.如圖，某風(fēng)景區(qū)內(nèi)有?一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在與瀑布底端同一水平位置的

點(diǎn)D處測(cè)得瀑布頂端4的仰角0為45°,斜坡CD的坡度i=3：4,CD=100米，在觀

景臺(tái)C處測(cè)得瀑布頂端A的仰角a為37°,若點(diǎn)B、D、E在同一水平線上，求瀑布的

落差A(yù)B.（參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.6,cos37°^0.8,tan37°g0.75）

【解答】解：Vz=3：4=tan/CQE=_21,

DE

:.CE：DE=3：4,

設(shè)CE=3x米，則。E=4x米，

在RtZ\COE中，由勾股定理得：(3x)2+(4x)2=10()2,

解得：x=20(負(fù)值舍去)，

.?.CE=60米，QE=80米，

過(guò)C作CFLAB于F,則四邊形CEBF是矩形.

，BF=CE=60米，CF=BE.

在RtZViOB中，ZADB=45°,

...△A8。是等腰直角三角形，

：.AB=BD,

設(shè)A8=8O=y米.

在RtZXAC/中，ZACF=31°,

Vtan/4。尸=迎*0.75=3,

CF4

：.AF^^-CF,

4

60七國(guó)(y+80),

解得：yg480.

答：瀑布的落差約為480米.

12.某小區(qū)門(mén)口安裝了汽車(chē)出入道閘.道閘關(guān)閉時(shí)，如圖1,四邊形ABCD為矩形，AB長(zhǎng)

3米，AO長(zhǎng)1米，點(diǎn)。距地面為0.2米.道閘打開(kāi)的過(guò)程中，邊AO固定，連桿A8,

C。分別繞點(diǎn)A，D轉(zhuǎn)動(dòng),且邊BC始終與邊44平行.

(1)如圖2,當(dāng)?shù)篱l打開(kāi)至NAOC=45°時(shí)，邊CD上一點(diǎn)P到地面的距離PE為1.2

米，求點(diǎn)P到MN的距離PF的長(zhǎng).

（2）一輛轎車(chē)過(guò)道閘，已知轎車(chē)寬1.8米，高1.6米.當(dāng)?shù)篱l打開(kāi)至NAQC=36°時(shí),

轎車(chē)能否駛?cè)胄^(qū)？請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：sin36°弋0.59,cos36°^0.81,tan36°?

0.73）

圖1圖2

【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)。作。Q_LPE,垂足為。，由題意可知，ZADC=45°,

PE=1.2米，QE=0.2米,

在RtZ\P￡>Q中，ZPDQ=45°,PQ=1.2-0.2=1米,

：.DQ=PQ=\（米）,

：.PF=AB-DQ=3-1=2（米）,

（2）當(dāng)NAOC=36°,PE=L6米時(shí),則>0PQ=36°,PQ=L6-0.2=14（米）,

.,.￡）Q=P0tan36°弋1.4X0.73=1.022（米）,

：.PF=3-1.022F.98（米）,

V1.98>1.8,

.?.能通過(guò).

V

Q

E

13.如圖1,2分別是某款籃球架的實(shí)物圖與示意圖，已知AB,8c于點(diǎn)B,底座BC的長(zhǎng)

為1米，底座BC與支架AC所成的角/ACB=60°,點(diǎn)〃在支架AF上，籃板底部支架

EH//BC,EFLEH于點(diǎn)E,己知A"長(zhǎng)米，HF長(zhǎng)加米，HE長(zhǎng)1米.

(1)求籃板底部支架HE與支架AF所成的角/FHE的度數(shù).

(2)求籃板底部點(diǎn)E到地面的距離.(結(jié)果保留根號(hào))

F

【解答】解：(1)在RtZ\￡77/中，cos/FHE=理工=返

HFV22

；.NFHE=45°,

答：籃板底部支架4E與支架AF所成的角NFHE的度數(shù)為45°：

(2)延長(zhǎng)FE交CB的延長(zhǎng)線于M,過(guò)點(diǎn)A作AGJ_FM于G,過(guò)點(diǎn)H作HNLAG于N,

則四邊形ABMG和四邊形HNGE是矩形,

：.GM=AB,HN=EG,

在RtAABC中，Vtan/ACB=9

BC

."B=BCtan60°=1X?=?,

:.GM=AB=M，

在RtZiAN”中，NFAN=NFHE=45°,

：.HN=AHsin45a=返義返=JL,

222

.,.EM=EG+GM=2+F，

2

答：籃板底部點(diǎn)E到地面的距離是（工+逐）米.

2

14.圖1是一款折疊式跑步機(jī)，由支桿4E（點(diǎn)A、E固定），滑動(dòng)桿PF和底座A。組成,

AC為滑槽，圖2是其側(cè)面簡(jiǎn)化示意圖，忽略跑步機(jī)的厚度，已知AE=60。"，AC^120cm,

收納時(shí)，當(dāng)滑動(dòng)端點(diǎn)P向右滑至點(diǎn)C時(shí)，滑動(dòng)桿P『恰好與滑槽4c重合.