2021屆人教a版平面向量單元測(cè)試(一)

平面向量

一、單選題

I.式子：①而+麗=0②0?福=0③而-蔗=而④。?配=0其中不正

確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)向量加減法、向量數(shù)乘法則以及向量數(shù)量積定義計(jì)算并判斷選擇.

【詳解】

,,,、,一.—.-uni1_.——._.__

因?yàn)锳8+3A=0H0,0A5=0/0，A8—AC=C8,0-6C=0W0

所以都不正確

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查向量加減法、向量數(shù)乘法則以及向量數(shù)量積定義，考查基本分析求解判斷能力,

屬基礎(chǔ)題.

2.在矩形ABCD中，0是對(duì)角線的交點(diǎn)，若=5比=34一則阮=（）

A.g（5q+3e2）B.g（5q-3e?）C.^（3e2-5eJD.^（5^,-3^）

【答案】A

【解析】

【分析】

【詳解】

因?yàn)榫匦蜛BCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若

BC=5e^,DC=3e^^^BC+DC）^-（AB+AD）=^AC=OC,

即反=，51+3可,故選A

3.已知向量a+/?=（2,-8）,”》=（一8,16）,則a與b夾角的余弦值為（）

6363635

A.——B.---C.±—D.—

65656513

【答案】B

【解析】試題分析：由已知得2M=（—6,8）,2^=（10,-24）,故汗=（一3,4）,

—?1'XO

^=（5,-12）,所以a與b夾角的余弦值cose=/g=H>=—%,選B.

（）\a\-\b\5x1365

考點(diǎn)：1、向量的坐標(biāo)運(yùn)算；2、平面向量的夾角.

4.設(shè)平面向量2=（6,1）,萬(wàn)=（無(wú),一3）,a±h,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.x=6是石的充分不必要條件B.方一很與a的夾角為?

C.網(wǎng)=12D.a-B與〃的夾角為］

11O

【答案】B

【解析】

【分析】

【詳解】

分析：由平面向量￡=（百,1）石=（乂-3）,S.arb,解得x=6,此時(shí)

?=(V3,l),S=(V3,-3),進(jìn)而可判斷選項(xiàng)，得到答案.

詳解：由題意，平面向量Z=(6,1)E=(X,—3),S.a±b，

所以乙Z==0,解得x=J5,此時(shí)。=(6,1),5=(G,-3)

所以x=G是垂直的充要條件，所以選項(xiàng)A不正確；

M=J(V5)2+(_3)2=屈，所以c不正確；

由2=(G,1),5=(^3,—3)，U!)a—b=(0,4),

?(a-h)-a1n

所以向量與［的夾角為。，則cos6=|_qi=3,所以，=一，故選B.

卜一件同23

點(diǎn)睛：本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直的條件，以及向量的模和向量的夾角

公式等知識(shí)點(diǎn)，其中熟記向量的基本概念和基本的運(yùn)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了

分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.

5.如圖，正六邊形ABCDEF中，AB+CD+FE=()

_uucr______

A.0B.ADC.BED.CF

【答案】B

【解析】

由平面向量平行的性質(zhì)知屋=而，由三角形運(yùn)算法則可得通+前+戶后=

AB+BC+CD=AD，故選B.

6.已知向量2及c滿足&+方=不，且同:回:忖=1：上也，貝!12萬(wàn)的夾角為()

【答案】c

【解析】

【分析】

設(shè)的夾角為。，￡+5=￡兩邊平方化簡(jiǎn)即得解.

【詳解】

設(shè)的夾角為。，

a+B=c兩邊平方,得1+2公+,

即+2|?||S|cos^+|&|2=|d2,

又|2|：51：|2|=1：1：播,

所以l+2cos6+l=2,

則cos6=0,

77

所以。=”.

2

故選C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算和向量夾角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的

理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

7.已知向量&=(1,2),5=(2,3)1=(3,4),則用3萬(wàn)表示2為()

A.c=a+bB.c=a+2bC.c=-a+2bD.c=a-2b

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)"=花+〃女人〃eR）,根據(jù)坐標(biāo)列方程組即可計(jì)算得解.

【詳解】

設(shè)工=花+jub(A,〃wR),則(3,4)=2(1,2)+〃(2,3)=(4+2〃,22+3〃),

2+2〃=3A=-1

解得《

22+3〃=4〃=2

；?c=-a+2b-

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)平面向量基本運(yùn)算關(guān)系求解參數(shù)的值，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確建立等量關(guān)系解方程

組.

8.已知1是不共線向量，則下列各組向量中是共線向量的有（）

—??>—?[---?]---?—???___—?|??—?.—?

e

①a=5q,Z?=7e1；@2a--e]~~2>b=3et—2e2；?a=et+e2,h=3ex-3e2

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量共線的條件對(duì)①②③逐一分析，由此確定共線的向量.

【詳解】

--f1-1_

①中，a與B顯然共線；②中，因?yàn)槿?3耳-2/=6-e,--e2\=6a,故“與坂共

I/3)

線;

__/一一、3=k

③中，設(shè)B=3q-3e2=Zq+e,,得《.，，無(wú)解，故々與B不共線.

'7[-3=K

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查向量共線的條件，屬于基礎(chǔ)題.

9.已知向量9=（1,-1）,6=（-2,3）,且打倒+mb）,則m=（）

221

A.-B.--C.0D.-

【答案】A

【解析】

【分析】

結(jié)合向量垂直滿足數(shù)量積為0,代入坐標(biāo)，建立等式，計(jì)算參數(shù)，即可.

【詳解】

互+癡=（1,-1）+（-2加,3/"）=（1-2n3加-1）,結(jié)合向量垂直判定，建立方程，可得

2

1—2加一3/%+1=0,解得/〃=不，故選A.

【點(diǎn)睛】

考查了向量垂直的判定，考查了向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，難度中等.

10.在AA6C中，角A、B、。所對(duì)的邊分別為。、。、c.D、E是線段上滿足

條件①=g（C月+屈），屈=；（&5+①）的點(diǎn)，若①.區(qū):幾。？，則當(dāng)角c為

鈍角時(shí)，4的取值范圍是（）

【答案】A

【解析】

依題意知D,E分別是線段AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

__2__1____1__2__

則有。=—CB+—CE=-CB+-CA,

3333

______2a22b25___________________a2+b2-c2

9992

??2a22b°5.,2、［，z182+5a2+b2

則nillCD?CE=——+——+—(a-2+b-2-c)=Ac'.得a-------=——：—

99189c2

2222

由。為鈍角知"+方<cn"￥<1,又/+〃2>-(a+b)>—c=>

c222

“1182+5,1,2,…

則有5V---<1=^<2<-,故選A.

點(diǎn)睛：本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算和三角形中正、余弦定理的應(yīng)用，對(duì)于平

面向量中有關(guān)最值問(wèn)題的求解通常有兩種思路：一是“形化”，即利用平面向量的幾何

意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面兒何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行

判斷；二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與

值域、不等式的解集、方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)

解決.

11.若次=(7,4),麗=(4,0),則與向量麗同向的單位向量是()

【答案】A

【解析】

【分析】

容易求出麗，,小，從而可求出與向量麗同向的單位向量.

【詳解】

解：由已知得而=礪—礪=(7,4)—(4,0)=(3,4),則|麗卜5,

BA(3,

...與向量而同向的單位向量是:

面

故選：A.

【點(diǎn)睛】

考查向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度的方法，以及單位向量的定義及

求法，是基礎(chǔ)題.

12.如圖，四邊形A8CD是正方形，延長(zhǎng)CO至E,使得?！?CD,若點(diǎn)尸為CD的

中點(diǎn)，S.AP=AAB+^AE,則4+〃=()

A.3B.-C.2D.1

2

【答案】B

【解析】

【分析】

以向量而，正為基底，將麗，通用基底表示，即可得到入〃的方程，求解即可.

【詳解】

?.?P為8的中點(diǎn)，DE=CD

AP=AXB+^iAE=AAB+/.i(AD-AB)

=(2-/Z)AB+/ZA/5=|AB+AZ5

%一〃=一

2,/J幾+〃=于

/J-11〃=1

故選;B.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的線性運(yùn)算、向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

13.已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,。為面ABC。內(nèi)一點(diǎn)，貝!1（序+而）?（定+所）

的最小值為.

【答案】-1

【解析】

【分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題處理可得結(jié)果.

【詳解】

如圖，以3為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

則4(0,1),5(0,0),C(l,0),0(1,1).

設(shè)尸(x,y),則而—PB=(-x,-y),PC=(l-x,-y),

PD=(l-x,l-y),

.".（PA+P5）-（PC+PD）=（-2x,l-2y）（2（l-x）,l-2y）=（l-2y）2-4（l-x）x

=（l-2y）2+（2x-l）2-l,

.?.當(dāng)x=g,y=；時(shí)，而）.（定+"）有最小值，且最小值為—1.

【點(diǎn)睛】

在平面向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算中，若給出的圖形適合建立平面直角坐標(biāo)系，可建立坐標(biāo)

系，求出向量的坐標(biāo)，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算法則求得，體現(xiàn)了向量具有數(shù)形兩方面性質(zhì)的特

點(diǎn).

14.AABC的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為〃八0,若/+/一/?2=碇，c=2,點(diǎn)

G滿足|而卜，且+比），貝I」sinA=.

【答案】-----

14

【解析】由余弦定理有cos8==Z=!,B為三角形內(nèi)角，所以8=工，取AC

2ac23

中點(diǎn)E,連BE,則詼=；（序+及），而由已知,所以有=，|而卜半，

由BE=^（BA+BC）,兩邊平方，化簡(jiǎn)有a=3,由余弦定理有

〃=4+。2—2accosB=9+4-6=7,所以6=J7，由正弦定理有，一=-^—,

sinAsinB

.3721

所rcM以sinA4=----.

14

點(diǎn)睛：本題主要考查解三角形，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量運(yùn)算，正弦定理和余弦定理，

屬于中檔題.關(guān)鍵的地方是由已知條件求出AC邊的中線BE的長(zhǎng)度，將

礪=；（而+兩邊平方化簡(jiǎn)求出a的長(zhǎng)，再用余弦定理和正弦定理算出結(jié)果.

15.矩形ABC。中，AB=2,AD=\,P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且AP=1.設(shè)NQ45=。，

AP=AAB+pAD^,p&R）,則2X+?取得最大值時(shí)，角。的值為.

【答案】y

【解析】

【分析】

LILIUUlUlUUUI

作出圖形，根據(jù)題意可知4、〃>0,根據(jù)條件對(duì)AP=/L43+"A。兩邊平方，進(jìn)行

數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)，利用三角代換以及兩角和與差的三角函數(shù)，從而便可得出22+?

的最大值.

【詳解】

如下圖，依題意知2>0,〃>0,根據(jù)條件

1=AP2+-22AB2+2^AB-AD+//2AD2=422+//2,

兀1

?/Z.PAB=9,則0＜8＜一,A=-cos0,〃=sin。，

22

24+6〃=cos夕+若sine=2sin[e+?）,

八八九「、71八7127r

,.?（）＜，＜一,則一＜e4—＜—,

2663

所以，當(dāng)。+夕=】時(shí)，即當(dāng)e=g時(shí)，2/i+?取得最大值2.

623

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用向量的數(shù)量積計(jì)算向量的模，同時(shí)也考查了三角代換的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思

想以及計(jì)算能力，屬于中等題.

16.已知向量2=（-1,2）,b=（m,1）.若向量2+萬(wàn)與￡平行，則小

【答案】一

2

【解析】

向量=（—1,2）,=（加,1）.若向量汗+/;與不平行，

1

可得：3m--l+m,解得rn=-.?

1

即答案為m=-

三、解答題

17.已知向量a=Q，2）,3=（—2,x）.

（I）當(dāng)時(shí)，求尤的值；

（II）若向量公與（4。+為的夾角是銳角，，求出?的取值范圍.

【答案】（I）1；（II）Q，”）；

【解析】

試題分析：（I）根據(jù)平面向量數(shù)量積可得；（II）由題意得7（4￡+B）＞0,本題需要

注意排除a和+坂共線的情況。

試題解析：（I）解：I%」*-2）+2*=（）,即有彳=1.

（H）解：依題意4%+B=（2,8+x）.與（垢+"夾角是銳角

...a<4a+B)>°,且￡和4￡+B不能同向

由a-(4a+&>°得2+i6+2x>0,解得尤>—9①

若￡和4￡+日共線時(shí)，2X2=1X(8+X),解得X=-4,此時(shí)有而+B=(2,4)=2j

滿足￡和4￡+B同向，則要使々和43+5不能同向，必須有xw-4②

由①、②得x>—9且x/T

又...㈤=j4+f,因?yàn)閤〉_9且XH—4,則有/20所以南歸2,+8)

考點(diǎn)：L平面向量數(shù)量積；2.向量的夾角；

18.已知Z=(LO)石=(L2),當(dāng)向量￡+忘與石的夾角為鈍角時(shí)，求;I的取值

范圍.

【答案】(-3-2^,T)U(T-3+2e)

【解析】

?.i=(LO)萬(wàn)=(L2),

.?.￡+忘=(1+22磯位+石=(Z+L2).

:向量3+疝與ZG+石的夾角為鈍角,

即(1+4+4；1<0,

,?^2+6^+1<0)解得一3—訪<2<—3+班.

當(dāng)3+點(diǎn)與ZG+1反向時(shí),Z=T，此時(shí)二者夾角不是鈍角.

JL的取值范圍是(一3—2戊,-1)U(-L—3+20).

考點(diǎn):平面向量的夾角問(wèn)題.

19.已知AOAB中，點(diǎn)D在線段OB上，且OD=2DB,延長(zhǎng)BA到C,使

（1）用昆B表示向量而反;

（2）若向量前與礪+攵配共線，求女的值.

__5-3

【答案】（1）OC-2a—b,DC—2a——b；（2）—

【解析】

【分析】

（1）由向量的線性運(yùn)算，即可得出結(jié)果；

（2）先由（1）得醞+%加再由oe與oz+女。。共線，設(shè)

OC=A（OA+kDC）,列出方程組求解即可.

【詳解】

解：（1）?.?A為5。的中點(diǎn)，：.OX=g（。豆+花），

可得反=2礪一0月=2日一5，

而=流一O方=oC——OB=2a--b

33

（2）由（1）得OA+kDC—（2k+——kb,

???萬(wàn)與況+k詼共線，設(shè)花=4（函+左前）

即2?！??=4（2k+1）QH——Akb,

’2=4(2攵+1)

根據(jù)平面向量基本定理，得<-i二-2幾左

I3

3

解之得，y

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的線性運(yùn)算，以及平面向量的基本定理，熟記定理即可，屬于?？碱}

型.

20.已知向量。=(2sinMGCOSX),b=(-sinx,2sinx),函數(shù)/'(%)=a石.

(1)求/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間

(2)在A4BC中，c分別是角A，B,C的對(duì)邊且/'(C)=1,c=1,次;=，

a>h,求a,匕的值.

JIJIa=2

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是k7T--,-+k7T,k&Z.(2)<

_36_b=V3

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)函數(shù)利用向量坐標(biāo)關(guān)系即可求解/(x)化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)

即可求解(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間

(2)根據(jù)/(c)=l,求解C,結(jié)合余弦定理，c=l,ab=2百，a>b,即可求解a,

匕的值.

【詳解】

解：⑴由/(x)=a*b=-2sin2x+2-^3sinxcosx=sin2x+cos2x-1=2sin(2x+—)-1；

令,

得：k4—轟心—卜kji,kwZ.

36

TTTT

???/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k7u--，-+k7T,keZ.

36

(2)由(1)可得/(C)=2sin(2C+^)-l=l

6

TT

即sin(2C+-)=l,

\0<C<7T

c-兀兀

2cH—=—,

62

71

可得：c=-.

6

由余弦定理：cosgl-

6lab

可得：6=/+序—1……①

ah=2y(3.......②，

4=2

由①@解得：8一百.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，向量坐標(biāo)的運(yùn)算，余弦定理的應(yīng)用，利用三

角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

21.若平面向量，筋滿足卜卜Q，W=2,(萬(wàn)—5)1a

(1)求々與坂的夾角；

(2)求R]+4.

【答案】⑴他刀=?(2)26

【解析】

試題分析：（1）可得W-B）五=（）,再根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，計(jì)算

向量3與坂的夾角即可；（2）忸+同=,儂+5）2，，根據(jù)已知，利用平面向量的

數(shù)量積公式即可得結(jié)果.

試題解析：（1）

他一=同2-同忖cos僅,日）=0.-.2-2&cos?=0,cos（a,b^=—,

又R,5）e[0,萬(wàn)所以

（2）|25+^|=V4o2+Aba+b'~yISa2+b2=J16+4=2^5

622

22.如圖，K，K是離心率為學(xué)的橢圓C：*+*=l（a>〃>0）的左、右焦點(diǎn)，

直線/:x=-正，將線段耳，K分成兩段，其長(zhǎng)度之比為1:3,設(shè)A8是。上的兩

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段的中垂線與橢圓C交于RQ兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線/上.

（1）求橢圓。的方程；

（2）求哥的取值范圍.

2

丫2v1?5

【答案】（1）二'+H=1；（2）[-8,不~）

16829

【解析】

【分析】

（1）設(shè)K（c,0）,由線段長(zhǎng)度之比可列出等式求出c,代入離心率公式求得“，再求出

兒即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)當(dāng)直線A8斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=_JL

求出P、Q坐標(biāo)直接求哥.月。；當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立可

得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出七+看、可求得哥?豆0的關(guān)于

m的表達(dá)式，根據(jù)題意求出m的范圍即可求得哥?碰的范圍.

【詳解】

(1)設(shè)瑪(c,0),因?yàn)橹本€l：x=-O,將線段K，F(xiàn)2分成兩段，其長(zhǎng)度之比為1:3,

所以三^==3,解得c=20，

C->J2

5______

又離心率6==—,所以Q=J^C=4，貝U匕=J/_=2叵，

2a

22

所以橢圓C的方程為：工