2021年人教版中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練六 閱讀理解型問題

中考專題訓(xùn)練六閱讀理解型問題

重慶名師預(yù)測(cè)

閱讀理解問題以能力立意為目標(biāo)，綜合考核數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，這類題目往往可以考

查出學(xué)生的閱讀能力、分析推理能力，數(shù)據(jù)(信息)處理能力、表達(dá)能力、隨機(jī)應(yīng)變知識(shí)

遷移能力。因此，近些年來，閱讀理解性問題頻頻出現(xiàn)在全國各地點(diǎn)中考試題中，閱讀理解

問題，可以是閱讀某個(gè)知識(shí)或某種方法，展現(xiàn)學(xué)生新知識(shí)應(yīng)用能力：也可以是設(shè)計(jì)一個(gè)新型

的數(shù)學(xué)背景，讓學(xué)生在閱讀的基礎(chǔ)上，理解其中的內(nèi)容方法與思想，然后在把握本質(zhì)、理

解實(shí)質(zhì)的基礎(chǔ)上作答。

第一課時(shí)

中考題型演練

類型--“數(shù)”型閱讀理解

【例11若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字藏去，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的4倍，如果和是13

的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除.如果和太大或心算不易看出是否13的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述

“截尾、倍大、相加”的過程，直到能清楚判斷為止.如判斷1284322能否被13整除：128432+2

X4=128440,12844+0X4=12844,1284+4X4=1300.130013=100.故1284322能被13整除.

⑴根據(jù)題中給定的方法，判斷3673與71461能否被13整除，并寫出驗(yàn)證過程：

(2)若任意一個(gè)三位數(shù)abc的百位、十位、個(gè)位數(shù)字分別為a、b、c,且將個(gè)位數(shù)字截去，再

從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的4倍，和是13的倍數(shù)，試證明這個(gè)三位數(shù)是13的倍數(shù)；

⑶已知一個(gè)四位整數(shù)xl3y(lWxW9,0WyW9)既能被13整除，又能被9整除，求這個(gè)四位

數(shù).解題點(diǎn)撥：閱讀理解問題首先要注意理解所給定實(shí)例的具體意義；其次，在解題時(shí)要學(xué)

會(huì)根據(jù)題意模仿實(shí)例進(jìn)行解題，對(duì)于字母表示數(shù)的問題，必要時(shí)根據(jù)字母的范圍進(jìn)行分析，

從而減少分類討論的情況數(shù)量。

方法總結(jié)：在研窕整除問題時(shí)，如果數(shù)字較大，往往先分離出能整除的部分，進(jìn)而只需研究

剩余部分的整除問題(比如本題第(3)問,先將100x+13+4y分離出能被13整除的104X+13,

從而只需分析4(y-x)能被13整除)；同時(shí)，一個(gè)式或方程中含有多個(gè)未知數(shù)的求值問題，往

往借助未知數(shù)的范圍進(jìn)行分析.

【例2］進(jìn)制也就是進(jìn)位制，是人們規(guī)定的一種進(jìn)位方法，對(duì)于任何一種進(jìn)制一一X進(jìn)制，

就表示某一位置上的數(shù)運(yùn)算時(shí)是逢X進(jìn)一位，十進(jìn)制是逢十進(jìn)一，十六進(jìn)制是逢十六進(jìn)一,

二進(jìn)制就是逢二進(jìn)一，以此類推，X進(jìn)制就是逢X進(jìn)位，為與十進(jìn)制進(jìn)行區(qū)分，我們常把用

X進(jìn)制表示的數(shù)a寫成(a)x.

類比于十進(jìn)制，我們可以知道：X進(jìn)制表示的數(shù)(llll)x,中，右起第一位上的1表示1XX。，

第二位上的1表示lxX,第三位上的1表示1XX2,第四位上的1表示1XX3.故(llll)x=lX

X3+1XX2+1XX'+1XX°,HP：(1111)；轉(zhuǎn)化為了十進(jìn)制表示的數(shù)X、X2+X+X°.如：(1111)

2=1X23+1X22+1X2+1X2°=15,(1111)5=1X53+1X52+1X5'+1X5°=156.

根據(jù)材料，完成以下問題：

⑴把下列進(jìn)制表示的數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制表示的數(shù)：

(101011)2=；(302)4=；(257)7=；

⑵若一個(gè)五進(jìn)制三位數(shù)(a4b),與八進(jìn)制三位數(shù)(ba4)。之和能被13整除(l<a<5,lWb<5,

且a、b均為整數(shù))，求a的值；

⑶若一個(gè)六進(jìn)制數(shù)與一個(gè)八進(jìn)制數(shù)之和為666,則稱這兩個(gè)數(shù)互為“如意數(shù)”.試判斷(mml)。

與(nn5)。是否為互為“如意數(shù)”，若是，求出這兩個(gè)數(shù)，若不是，說明理由。

解題點(diǎn)撥：正確理解進(jìn)制表達(dá)的意義是本題解題的關(guān)鍵，而對(duì)于整除問題，分離較大的常數(shù)

從而減少分析的難度是常見解題策略.

方法總結(jié)：對(duì)于不定方程的整數(shù)解問題，根據(jù)數(shù)字特點(diǎn)分析字母的值，或者將一個(gè)未知數(shù)表

示另一個(gè)未知數(shù)再分析整除問題，是常用的解題策略.

中考達(dá)標(biāo)訓(xùn)練

1.若A是一個(gè)三位或三位以上的整數(shù)分成左、中、右三個(gè)數(shù)后滿足：

①中間數(shù)=左邊數(shù)的平方減去右邊數(shù)的平方差的絕對(duì)值，則我們稱A是“平方差數(shù)”；

②中間數(shù)=左邊數(shù)與右邊數(shù)的和，則我們稱A是“和數(shù)”.

如:381,5212是“平方差數(shù)”,275,9134是“和數(shù)”.

(1)若一個(gè)三位“平方差數(shù)”的中間數(shù)為5,則這個(gè)數(shù)是；若一個(gè)五位“和數(shù)”

的中間數(shù)11,則這個(gè)數(shù)可能是;

⑵若一個(gè)三位“和數(shù)”的百位、個(gè)位數(shù)字分別為a、b（0<aW9,且b〈a）能被13整除，求

所有滿足條件的“和數(shù)”

⑶一個(gè)三位“平方差數(shù)”與一個(gè)三位“和數(shù)”的百位數(shù)字均為m,個(gè)位數(shù)字均為n,且這個(gè)

“平方差數(shù)"比“和數(shù)”大60,求滿足條件的“平方差數(shù)”

2.任意寫一個(gè)個(gè)位數(shù)字不為零的正整數(shù)A,將該正整數(shù)A的各位數(shù)字順序顛倒過來，得到正

整數(shù)B,則稱A和B為一對(duì)“回文數(shù)”.

例如A=205,B=502,則A和B就是一對(duì)“回文數(shù)”，現(xiàn)將這個(gè)三位數(shù)A的回文數(shù)B接在A

的后面組成一個(gè)六位數(shù)C,并在C的數(shù)字中，從左往右，依次順取四個(gè)數(shù)字組成一個(gè)新數(shù),

在組成四位新數(shù)時(shí)，如遇最高位數(shù)字為零，則去掉最高位數(shù)字，由剩下的三個(gè)（或兩個(gè)或一

個(gè)）數(shù)字組成新數(shù)，將得到的所有新數(shù)求和，把這個(gè)和稱為A、B的“回文四位和”.例如：

A=205,B=502,則C=205502,C中從左往右依次順取四個(gè)數(shù)字組成的新數(shù)分別為：2055,

550,5502.它們的和為:2055+550+5502=8107,把8107稱為205、502的“回文四位和”.

⑴請(qǐng)分別寫出7102、138的回文數(shù)：、；證明任意一個(gè)個(gè)位不是零的

三位正整數(shù)A與A的回文數(shù)B的“回文四位和”能被11整除；

⑵已知一個(gè)兩位數(shù)M表示為mn（lWmW9,1WnW5,且m、n為整數(shù)），M的回文數(shù)為

N.若M、N的“回文三位和”能被11整除，請(qǐng)求出所有符合條件的M.

3.能被7（或11或13）整除的特征：如果一個(gè)自然數(shù)末三位所表示的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所

表示的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）是7（或11或13）的倍數(shù)，則這個(gè)數(shù)就能被7（或11或13）整除.

如：456533,533-456=77,77是7的11倍,所以，456533能被7整除.又如：345548214,

345548-214=345334,345-334=11,11是11的1倍，所以，345548214能被11整除.

⑴用材料中的方法驗(yàn)證67822615是7的倍數(shù)（寫明驗(yàn)證過程）；

⑵若對(duì)任意一個(gè)七位數(shù)，末三位所表示的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大數(shù)減小

數(shù)）是11的倍數(shù)，證明這個(gè)七位數(shù)一定能被11整除；

⑶已知一個(gè)六位整數(shù)4m321n（OWmW4,OWnW9）能被13整除，求所有符合條件的六位

數(shù).

4.觀察下列等式：

12X231=132X21,14X451=154X41,32X253=352X23,........

以上每個(gè)式子中兩邊數(shù)字是分別對(duì)稱的，且每個(gè)等式中組成兩位數(shù)與三位數(shù)的數(shù)字之間有相

同規(guī)律，我們稱這類式子為“對(duì)稱等式”.

⑴根據(jù)上述規(guī)律填空，使式子成為“對(duì)稱等式”：

34X=X43;X682=286X；

設(shè)這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a,個(gè)位數(shù)字為b,且2WaW9,寫出表示“對(duì)稱等

式”一般規(guī)律的式子（含a、b）,并證明.

⑵設(shè)“對(duì)稱等式”左邊的兩位數(shù)的十位數(shù)字為m,個(gè)位數(shù)字為n,且2Wm+nW9,并

把“對(duì)稱等式”左邊的兩位數(shù)與三位數(shù)的乘積記為K,若K既能被11整除又能被10整除,

求所有符合條件的“對(duì)稱等式”左邊的兩位數(shù).

第二課時(shí)

中考題型演練

類型二“式”型閱讀理解

【例3】1742年6月7日，德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫在寫給著名數(shù)學(xué)家歐拉的一封信中，提出

了兩個(gè)大膽的猜想，其他不小于7的奇數(shù)，都可以表示為三個(gè)質(zhì)數(shù)之和“稱為“弱哥德巴赫

猜想”，并已經(jīng)得到了成功的證明。

根據(jù)“弱哥德巴赫猜想”，任意一個(gè)不小于7的奇數(shù)m,都可以進(jìn)行這樣的拆分：

m=a+b+c(a、b、c均為質(zhì)數(shù)，且a，b2c),在m的所有這種拆分中，如果a、c兩數(shù)之差a-c

最小，我們就稱a+b+c是m的最優(yōu)拆分，并規(guī)定：P(m)=a-c.例如9可以分解成2+2+5,3+3+3,

因?yàn)?-2>3-3,所以3+3+3是9的最優(yōu)拆分，且P(9)=0.

(1)由上述條件，可得：P(ll)=；若P(n)=L則廿；若P(n)=O,證明

n必定能被3整除；

(2)t是一個(gè)兩位正整數(shù)，且t的十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字分別為x、y(lWxWyW9,x、y為整

數(shù)).若t的十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字和的8倍加上t所得的和為99,則我們稱這個(gè)數(shù)：為“期吩

數(shù)”，求所有“期盼數(shù)”中P(t)的最大值。

解題點(diǎn)撥：對(duì)于含有“式”的閱讀理解，一定要正確理解式的意義，同時(shí)參照給定具體的實(shí)

例加深對(duì)“式”的理解，以便順利解題.

【例4】密碼與我們的生活緊密相連，密不可分，然而諸如“123456”、生日等簡(jiǎn)單密碼又

容易被破解，因此利用簡(jiǎn)單方法產(chǎn)生一組容易記憶的密碼就很有必要了.有一種用“因式分

解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，其原理是：將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，如多項(xiàng)式：X3-4x2-4x+16

因式分解的結(jié)果為(x-48x-2乂x+2),當(dāng)x=13時(shí),x-4=9,x-2=ll,x+2=15(當(dāng)因式運(yùn)算結(jié)果為負(fù)

數(shù)時(shí)，取其絕對(duì)值)，將數(shù)字9,11,15按從小到大順序排列后，得到數(shù)91115.當(dāng)所得數(shù)少

于6位時(shí)，在該數(shù)的最前面加若干個(gè)0,補(bǔ)成六位密碼，則稱該密碼為“最佳密碼”.因此，

91115補(bǔ)0后得到“最佳密碼”：091115.

⑴根據(jù)上述方法，求當(dāng)x=8,y=9時(shí)，多項(xiàng)式W-xy2分解因式后的“最佳密碼”；

(2)若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的差是4,斜邊長(zhǎng)為2J京，其中兩條直角邊分別為x、y,

(x>y)求出一個(gè)由多項(xiàng)式x3y+xy3分解因式后得到的“最佳密碼”；

⑶若多項(xiàng)式x3+(m+n)x2-mx-21因式分解后，利用本題的方法，當(dāng)x=21時(shí)得到“最佳密碼”

為182228,求m、n的值。

中考達(dá)標(biāo)訓(xùn)練

對(duì)于一個(gè)兩位正整數(shù)t=xy(OWyWxW9.且x、y為正整數(shù))，我們把十位上的數(shù)與個(gè)位上的

數(shù)的平方和叫做t的"平方和數(shù)"，把十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的平方差叫做t的"平方差數(shù)"，

例如:對(duì)數(shù)字62來說,62+22=40,621=32,所以40和32就分別是62的"平方和數(shù)"與"平

方差數(shù)"，

(1)75的"平方和數(shù)”是,5可以是(寫出一個(gè)數(shù)即可)的“平方

差數(shù)"；若一個(gè)數(shù)的"平方和數(shù)”為10,它的"平方差數(shù)"為8,則這個(gè)數(shù)是。

(2)求證：當(dāng)xW9,yW8時(shí)，t的2倍減去t的"平方差數(shù)"再減去99所得結(jié)果也是另一個(gè)數(shù)

的“平方差數(shù)

⑶將數(shù)t十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)交換得到數(shù)已若t與t的"平方和數(shù)"之和等于V與V的"平

方差數(shù)"之和，求to

2.將一個(gè)三位正整數(shù)n各數(shù)位上的數(shù)字重新排列后(含n本身)得到新三位數(shù)，"c(a<c),在所

有重新排列中,當(dāng)理+c-排|最小時(shí),我們稱"C是n的"調(diào)和優(yōu)選數(shù)"，并規(guī)定F(n)方-ac.例

如215可以重新排列為125、152、215.因?yàn)閨l+5-2x2|=2,|l+2-2x5|=7,|2+5-2xl|=5,且

2<5<7,所以125是215的"調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，F(xiàn)(215)=22-lx5=-l.

(1)F(236)=

⑵如果在正整數(shù)n三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字中，有一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，求證：F(n)是一

個(gè)完全平方數(shù)；

⑶設(shè)三位自然數(shù)t=100x+60+y(l<xW9,lWyW9,x,y為自然數(shù))，交換其個(gè)位上的數(shù)字與

百位上的數(shù)字得到數(shù)匕若tt=693,那么我們稱t為"和順數(shù)"，求所有"和順數(shù)"中F(t)的最

大值.

3.在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替(即換元)，不僅

可以簡(jiǎn)化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察出如何進(jìn)行因式

分解，這種方法就是換元法。

例如：分解因式(x+D(x+2)(x+3"x+6)+X2時(shí)，可以先將原式中的(x+l)(x+6)、(x+2)(x+3)分別計(jì)算

得：x2+5x+6,x2+7X+6,觀察后設(shè)x?+5x+6=A,則：

原式=(A+2x)A+x2=A2+2Ax+x2=(A+x)2=(x2+6x+6)2

又如：分解因式4xtl2x3+17x