2021屆湖南省長沙市某中學高考數(shù)學模擬試卷(二)附答案解析

2021屆湖南省長沙市長郡中學高考數(shù)學模擬試卷（二）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.已知P={a\a=(1,0)+mER].Q={b\b=(1,1)+n(-l,l).nG町是兩個向量集合,

則PCQ=()

A.[(1,1)}B.[(-1.1)}C.[(1,0))D.[(0,1)}

2.復數(shù)z=?i。是虛數(shù)單位)，則|z+l|=()

A.2V2B.3C.4D.8

3.設a,b€R,則“a,b都等于0”的必要不充分條件為()

A.Va24-h2<0B.a2+62>0C.ab0D.a+b=0

4.已知非零向量五，了滿足|卜且（五+3方）1至，則4與方的夾角為（）

D57r九27r

AjB?C.§D,—

5.函數(shù)/（x）=黑荒在［―兀,布的圖象大致是（）

D.

6.已知數(shù)列｛即｝是等差數(shù)列，且。3+%1=20,則2即1-%5=()

A.10B.9C.8D.7

7.雙曲線5-丫2=1(771>0的一條漸近線方程為》+2、=0,那么它的離心率為()

A.V3B.V5C.漁D.在

22

8.過長方體一個頂點的三條棱長分別為1,2,3,則長方體的一條對角線長為()

A.2V3B.V14C.5D.6

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.已知如圖為2020年1月10日至U2月21日我國新型冠狀肺炎累計確認人數(shù)及現(xiàn)有疑似人數(shù)趨勢圖，

則下面結(jié)論正確的是()

8OOOO-----------------------------------------------------------s

/???

6000()/

*■

4(NN)0---------------------------------------尸―-------

KXMM)

0***

1.101.161.221.282.32.92.152.21

A.截至2020年2月15日，我國新型冠狀肺炎累計確診人數(shù)已經(jīng)超過61000人

B.從2月9日至U2月21日，現(xiàn)有疑似人數(shù)超過累計確診人數(shù)

C.從2月9日到2月21日，現(xiàn)有疑似人數(shù)下降幅度一直在增加

D.1月28日與2月3日相比較，累計確診人數(shù)增加超過50%

10,將函數(shù)/(%)=35譏(2%+弱的向左平移5個單位長度得到9(乃的圖象，則下列判斷正確的是()

A.函數(shù)g(x)在區(qū)間或為上單調(diào)遞增

B.函數(shù)g(x)在區(qū)間［一1幣上單調(diào)遞減

C.函數(shù)g(x)圖象關于直線x="對稱

D.函數(shù)g(x)圖象關于點?,0)對稱

11.若函數(shù)/(x)在區(qū)間M上滿足77著=木，則稱/(x)為M上的“a變函數(shù)”，對于a變函數(shù)/(x),

/【兀十/1/\X)

若/(X)Wg(t)有解，則稱滿足條件的唯為“a變函數(shù)/Q)的衍生解”?已知f(x)為(-8,-2]上的

(l-og27-7,(-2<x<-1)

“4變函數(shù)”，且當久6[—2,0)時,/(無)=，1㈤，9?)=：-2,當[―4,—2)

[(|y-1,(-i<x<o)

時，則下列哪些是4變函數(shù)f(x)的衍生解()

A.(0,1)B.[-2,0)C.[l,+oo)D.(-00,-2]

12.已知三棱錐S-48c的頂點均在表面積為8兀的球。的球面上，SA,SB、SC兩兩垂直，SA=2,

SB=V2,則下列結(jié)論中正確的是()

A.球。的半徑為讓B.SC=V2

C.S到平面4BC的距離為在D.。到平面力8c的距離為更

55

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知函數(shù)y=f(x),對任意xeR,都有/(x+2)"(x)=k(k為常數(shù))，且當x6[0,2]時，/(x)=

x2+1,貝葉(2021)=.

14.已知(l-2x)n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和是64,則(1-2%產(chǎn)的展開式中，X4的系數(shù)

為.

15.sinx=pxe(0,2兀)，則x=.

16.已知集合4={x\x2-1=0},則下列式子表示正確的有個；

?1eA；②{-1}"；@0￡A；(4){1,-1}CA.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.在△ABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,函數(shù)/'(x)=2cosxsin(x—4)+sin4(xeR)在

"居處取得最大值.

(1)求角4的大小.

(2)若a=7且sinB+s譏C=譬，求AABC■的面積.

18.已知數(shù)列{a"，的=2,點(：即,冊+1+1)在函數(shù)f(x)=2x+3的圖象上.

(1)求數(shù)列{斯}的通項公式；

(2)若數(shù)列垢=2即，求數(shù)列{%}的前n項和

19.為迎接2011“兔”年的到來，某機構(gòu)舉辦猜獎活動，參與者需先后回答兩道選擇題：問題4有

四個選項，問題B有五個選項，但都只有一個選項是正確的，正確回答問題4可獲獎金m元，正

確回答問題B可獲獎金n元.活動規(guī)定：參與者可任意選擇回答問題的順序：如果第一個問題回

答錯誤，則該參與者猜獎活動中止，一個參與者在回答問題前，對這兩個問題都很陌生，因而

準備靠隨機猜測回答問題，試確定回答問題的順序使獲獎金額的期望值較大.

20.如圖，已知正三角形PAD,正方形ZBCD,平面PAD_L平面ABCD,

E為PD的中點.

(1)求證：CD14E；

(2)求證：4E_L平面PCD；

(3)求直線4c與平面PCD所成的角的大小的正弦值.

21.已知曲線廠上的點到點F(0,l)的距離比它到直線y=—3的距離小2.

(1)求曲線「的方程.

(2)曲線r在點P處的切線/與x軸交于點A,直線y=3分別與直線1及y軸交于點M,N.以MN為直

徑作圓C,過點4作圓C的切線，切點為B.試探究：當點P在曲線「上運動(點P與原點不重合)時,

線段4B的長度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.

22.如圖，△ABC的內(nèi)切圓與三邊4B、BC、C4的切點分別為。、E、F,已知B(—四,0),C(夜,0)，

內(nèi)切圓圓心設4點的軌跡為L

(1)求L的方程；

(2)過點C作直線m交曲線L于不同的兩點M、N,問在X軸上是否存在一個異于點C的定點Q.使鬻=

\QM\

需對任意的直線zn都成立？若存在，求出Q的坐標，若不存在，說明理由.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題.

先根據(jù)向量的線性運算化簡集合P，Q，求集合的交集就是尋找這兩個集合的公共元素，通過列方程

組解得.

解：由已知可求得P={(l,m)},Q={(l—n,l+n)},

再由交集的含義，有丁=『=)，

=1+九=1

則PCQ={(1,1)).

故選A.

2.答案：A

解析：解：復數(shù)z=*i=智=l-2i,

II2

???|z+1|=|2-2i|=y/22+(-2)2=2V2.

故選：A.

根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算法則，利用復數(shù)模長公式計算即可.

本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的運算法則與復數(shù)模長的計算問題，是基礎題.

3.答案：D

解析：解：對于4,a=b=O,故A是“a,b都等于0”充要條件，

對于B,a,b至多有一個為0,即不充分也不必要，

對于C：a,b都不為0,即不充分也不必要，

對于D,a=b=0,或a,b都不為0,必要不充分條件

故選：D.

根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)定義進行判斷即可，比較基礎.

4.答案:B

解析：解：設蒼與石的夾角為氏

因為(五+39)1萬，

所以(五+3b),b=0,即石+3片=()?

所以|初-\b\cos9+3\b\2=0

根據(jù)題意，有2遍|石|?|B|cos8+3|B|2=0,

因為|b|力0，所以解得cos。=—=,

即。=口.

6

故選：B.

通過向量的垂直關系，利用下和方的數(shù)量積，求得兩向量的夾角.

本題考查對平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，需要靈活掌握數(shù)量積與向量夾角的變形，屬于基礎題.

5.答案：C

解析：解：?."(())=?=—1,.??排除選項8和。；

令g(x)=xsinx-1,則g(0)=-1<0,g(])=^-1>0,

?g(o)?里)<o，

存在久oe(0弓)，使得g(&)=0,即/(g)=0,

二排除選項A.

故選：C.

由/(0)=-1,可排除選項8和D；比較選項A和C,只需考慮f(無)的零點問題,于是令g(x)=xsinx-1,

再結(jié)合零點存在性定理進行判斷即可作出選擇.

本題考查函數(shù)圖象的識別，一般可從函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、零點個數(shù)問題或特殊點處的函數(shù)值等

方面著手思考，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題.

6.答案：A

解析：解：數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，且。3+%1=20,

則a1+2d+a1+10d=20,

即a1+6d=10,

則2ali—a15=2al+20d—-14d=a1+6d=10,

故選：A.

根據(jù)通項公式求出由+6d=10,再根據(jù)通項公式可得2ali-a15=ar+6d=10.

本題考查等差數(shù)列的通項公式的合理運用，解題時要認真審題，仔細解答，屬于基礎題.

7.答案：D

解析：解：???雙曲線5-y2=i(7n>c)的一條漸近線方程為x+2y=0,

可得高=也二巾=4,

???雙曲線的離心率e=￡=叱.

a2

故選：D.

根據(jù)雙曲線5-y2=l(m>c)的一條漸近線方程為x+2y=0,列出方程，求出m的值即可.

本題考查了雙曲線離心率，屬于中檔題.

8.答案：B

解析：解：???長方體從同一頂點出發(fā)的三條棱的長分別為1、2、3,

二長方體的對角線長為：Vl2+22+32=V14

故選：B.

直接用長方體的對角線的公式，求出長方體的對角線長即可.

本題給出長方體的長、寬、高，求長方體體對角線長的問題，屬于基礎題.

9.答案：ABD

解析：解：由折線圖可知，截至2020年2月15日，我國新型冠狀肺炎累計確診人數(shù)已經(jīng)超過61000人，

故選項A正確；

由折線圖可知，從2月9日到2月21IL現(xiàn)有疑似人數(shù)超過累計確診人數(shù)，故選項B正確；

由折線圖可知，2月15日到2月21日降幅度在減小，故選項C錯誤；

由折線圖可知，1月28日累計確診人數(shù)不超過10000人，2月3日累計確診人數(shù)超過20000人，

所以計確診人數(shù)增加超過50%,故選項。正確.

故選：ABD.

利用題中折線圖中的數(shù)據(jù)信息以及變化趨勢，對四個選項逐一分析判斷即可.

本題考查了折線圖的應用，讀懂統(tǒng)計圖并能從統(tǒng)計圖得到必要的信息是解決問題的關鍵，屬于基礎

題.

10.答案:ACD

解析：解：函數(shù)f。)=3sin(2x+$的向左平移5個單位長度得到g(x)=3sin(2x+兀+$=

-3sin(2x+》的圖象，

對于4由于xe*苧，則+"尊象所以函數(shù)g(x)在區(qū)間吟穹上單調(diào)遞增，故A正確；

對于B：由于xw[一三勺，則2"+小[0,捫，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[―%勺上先減后增，故B錯誤；

對于C：當％=工時，9(工)=3,故C正確；

對于D：當x=g時，9?)=0,故。正確；

故選：ACD.

直接利用三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用判斷4、8、C、。的結(jié)論.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用，主要考查學生的運

算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題.

11.答案：BC

解析：

本題考查的是新定義問題，解決此類問題，關鍵是讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概

念、法則、運算化歸到常規(guī)的數(shù)學背景中，運用相關的數(shù)學公式、定理、性質(zhì)進行解答即可.

利用f(x)為(一8,-2]上的“4變函數(shù)”，得到/(x)=：f(x+2),然后求出/(x)的解析式，分xe

[-4,-3),xe[-3,-2)兩段來研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性以及最值，把問題轉(zhuǎn)化為/(x)機譏Wg(t)向小

從而得到關于t的不等式，求出t的范圍，再根據(jù)選項中給出的范圍進行判斷即可.

解：因為人乃為(―%—2]上的“4變函數(shù)”，

41

所以而筋二兩’

故/(x)=；/(x+2),

當％6[—4,-2)時，X+2E[—2,0),

(1/1。以西1-4"W,-O3

所以/(%)=：/(%+2)=，

J-(1)X+\-3<X<-2

①當xe[―4,-3)時，/(X)=9log2&=；log2

因為y=，og2t和￡=■-全都是單調(diào)遞增,

故函數(shù)“X)單調(diào)遞增，

所以/OOmin=/(-4)=[log2=一；,

/(%)</(-3)=/。92米=0,

②當％e[-3,-2)時，f(x)=[?G)x+1是單調(diào)遞減函數(shù),

此時/(x)>f(-2)="(}-2+1=2

fWmax=，(-3)=；X(|)-3+1=1,

若/(X)<有解，則有/(X)min<9?min，

所以一三整理可得今二20,

此+f4t>0_f4t<0

故由U+t_2z0或e1尸+t_2V0,

解得t>1或一2<t<0,

故t的取值范圍為[—2,0)U[l,+00).

故選：BC.

12.答案：ABD

解析：解：設球。的半徑為R,由4兀/?2=8兀，得R=&,故A正確;

將三棱錐S-4BC放置在長體中，

由2R=2夜=y/SA2+SB2+SC2,

得2&=V4+2+SC2,解得SC=夜，故B正確；

???SA=2,SB=SC=V2.AB=AC=V6，BC=2,

△48c的面積為；x2X訪二7=V5,

設S到平面ABC的距離為d「由等體積法可得

ixixV2xV2x2=1xV5xd1,

得S到平面ABC的距離山=型，故C錯誤；

在AABC中，cos/B4C=短梟=|,sinNB4C=圣

設△ABC外接圓的半徑為r,則「=―?—=運,

2sinLBAC5

又外接球的半徑R=近，二球心。到平面力BC的距離為d2=2-2=吏,

AI55

故。正確.

故選：ABD.

由球的表面積公式求出球的半徑判斷4再由分割補形法求得長方體的對角線長求解SC判斷B；由等

體積法求S到平面4BC的距離判斷C；求出三角形4BC外接圓的半徑，利用勾股定理求得。到平面4BC

的距離判斷C.

本題考查空間中點、線、面間的距離計算，考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與

思維能力，考查運算求解能力，是中檔題.

13.答案：2

解析：解：因為對任意X6R,都有f(x+2)"(x)=々為常數(shù)，

所以f(x+4)?/Q+2)=k,從而/(x+4)=/(x),

即的周期為4,

所以“2021)=/(1)=2,

故答案為：2.

根據(jù)/?(x+2)"(x)=k,求出/(x)是周期為4的周期函數(shù)，從而求出函數(shù)值即可.

本題考查了函數(shù)的周期性，考查函數(shù)求值問題，是一道基礎題.

14.答案:560

解析：解：由題意可得2時1=64=26,.-.n=7,由于1—2x＞的展開式的通項公式為T』［=的?

(-2)r-xr,

令r=4,可得44的系數(shù)為C??(―=560,

故答案為：560.

由條件利用二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求得展開式中X，的系數(shù).

本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題.

15.答案：*或:

解析：解：TsinxE，

又xe(0,2兀),

九一457r

???X=二或

o6

故答案為：時或號.

由題意sinx的值結(jié)合范圍xG(0,271),即可求得x的值.

本題主要考查三角方程的解法，特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎題.

16.答案：3

解析：解：因為A=(x\x2—1=0),

???A={-1,1},

對于①，leA顯然正確；

對于②，{一是集合與集合之間的關系，顯然用e不對；

對于③，0QA,根據(jù)集合與集合之間的關系易知正確；

對于④，{1,一1}u4.同上可知正確.

故答案是：3.

本題考查的是集合元素與集合的關系問題.在解答時，可以先將集合4的元素進行確定.然后根據(jù)元

素的具體情況進行逐一判斷即可.

本題考查的是集合元素與集合的關系問題.在解答的過程當中充分體現(xiàn)了解方程的思想、逐一驗證

的技巧以及元素的特征等知識.值得同學們體會反思.

17.答案：解：(1)在AABC中，/(%)=2cosx(sinxcosA-cosxsinA)+sinA

=2sinxcosxcosA—2cos2xsinA+sinA=sin2xcosA—cos2xsinA=sin(2x—A),

在",處取得最大值，O居-4=2而+5kez,即4=r2k7r,keZ.

VAE(o,7i),???4=

(2)由正弦定理號=七=三得sinB+sinC=—sinA,

sinAsinBsinCa

即改=^x攻，:b+c=13.

1472

222

由余弦定理小=b+c-2bccosA得cP=(b+c)—2bc—2bccosAf即49=169-3bc,??.be=40,

???S?ABC=|bcsinA=|x40x=10V3.

解析：(1)在△ABC中，利用三角函數(shù)的恒等變化化簡/(%)的解析式為/(x)=sin(2x—A),youf(x)

在％=工處取得最大值，可得2X工一/=2"+梟fcGz,結(jié)合/￡(0,兀)，可得4的值.

(2)由正弦定理二三=-AT==一得sinB+sinC=—sinA化簡可得b+c=13.由余弦定理小=

''sinAsinBsinCaf

h24-c2-2bccosA,可得be=40,由此求得S-B。=/bcsinA的值.

本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的對稱性，正弦定理、余弦定理的應用，屬于中檔題.

18.答案：解：(1)由點6M,冊+1+1)在函數(shù)/(%)=2%+3的圖象上，

則Qn+i+1=2x1an+3,

an+l一qn=2，

數(shù)列｛%｝是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，an=2+2(n—l)=2n；

:?數(shù)列｛an｝的通項公式即=2n；

(2)數(shù)列為=2?=22n=4",

數(shù)列｛砥｝是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，

數(shù)列也｝的前n項和〃，^=^=2=^p=^(4n-l),

數(shù)列｛b｝的前n項和7；

解析：⑴由點(”?,即+1+1)在函數(shù)/(x)=2x+3的圖象上，代入可知：an+1-an=2,數(shù)列｛冊｝是

以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，即可求得數(shù)列｛aj的通項公式；

(2)數(shù)列垢=2/=22n=空，數(shù)列｛%｝是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項和，

即可求得數(shù)列｛%｝的前n項和葛.

本題考查等比數(shù)列通項公式及前n項和公式，考查計算能力，屬于中檔題.

19.答案：解：隨機猜對問題4的概率A=；,隨機猜對問題B的概率「2=也

回答問題的順序有兩種，分別討論如下：

(1)先回答問題4再回答問題B.

參與者獲獎金額f可取0,m,zn+n,則

4141

P(f=0)=1-P】=Z，P(f=m)=P1(1-P2)=-x-=-,

P(f=m+n)=PiP2=;X1=點.

Ef=mx|+(m+n)xi=^+^

(2)先回答問題B,再回答問題A,

參與者獲獎金額〃可取0,n,m+n,

則PS=0)=1—P2=柒pQl=n)=P2(l-Pi)=|x|=^,

l4,3,,、1m,n

En=0x-+nx——F(zm+n)x—=——F

1520V720205

球f=￡+^Y+*誓

于是，當友>3時,Ef>E?7,先回答問題4,再回答問題B,獲獎的期望值較大;

當?=1時,Ef=E小兩種順序獲獎的期望值相等；

當時,Ef<E力先回答問題B,再回答問題4獲獎的期望值較大.

解析：隨機猜對問題4的概率B=；,隨機猜對問題B的概率22=2.回答問題的順序有兩種，分別討

論如下：先回答問題4再回答問題B.先回答問題B,再回答問題4做出兩種情況下的獲勝的期望，

進行比較，分類討論.

期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數(shù)，學習期望將為今后

學習概率統(tǒng)計知識做鋪墊.同時，它在市場預測，經(jīng)濟統(tǒng)計，風險與決策等領域有著廣泛的應用，

為今后學習數(shù)學及相關學科產(chǎn)生深遠的影響.

20.答案：（1）證明：取4D的中點。，由正APAD可得PO14D,

???平面24。1平面4BCD,平面PADn平面4BCD=AD,POu平面P4D,

PO1平面ABCD,

???CDu平面4BCD,???PO1CD.

又?.?C0J.4D,POC^AD=0,PO、4。u平面PAD,

???CD1平面P/D,

???AEu平面pan,

???CD1AE.

（2）證明:由（1）可知：CD1AE.

???E為正三角形PAD的邊PC的中點，AE1PD.

vCDCPD=D,CD、PDu平面PCD,

■■■AEJL平面PCD.

(3)解：由(2)可知：4E1平面PCD.

???2CE即為直線"與平面PCD所成的角.

不妨設4。=2.

則4E=百，AC=2V2.

.,4八廠4Ey/6

sinZ.i4Cis=—=—?

AC4

.??直線AC與平面PCD所成的角的大小的正弦值為"

4

解析：本題考查線面、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、正三角形的性質(zhì)、線面角的定義，屬于中

檔題.

(1)利用線面、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明;

(2)利用(1)的結(jié)論和正三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理即可證明;

(3)利用(2)的結(jié)論和線面角的定義即可知道乙4CE即為所求的線面角.

21.答案：解：(1)設S(x,y)曲線「上的任意一點，

由題意可得：點S到尸(0,1)的距離與它到直線y=-1的距離相等，

曲線r是以尸為焦點直線y=-1為準線的拋物線，

???曲線「的方程為：x2=4y；

(2)當點P在曲線r上運動(點P與原點不重合)時，線段4B的長度不變,

證明如下：由(1)可知拋物線的方程為y=

設P(xo，yo)(x()=0)則=[端，

,x

由y'=1%得切線，的斜率k=y\x=x0=|o>

二切線，的方程為：y-%=-殉)，

即y=；&刀一評.

由｛1表?！耙慌频妹吲c⑼，

由?二不。尢-海得M(1°+33),

又N(0,3),

所以圓心定1出+2/,3),半徑r=1^|MN|=|1次+23，

4XQL4XQ

|陰=川恒2-浮=礙。一(沁+])K+32_()。+，=瓜

???點P在曲線「上運動(點P與原點不重合)時，線段48的長度不變.

解析：本題考查軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關系的應用，圓的方程，函數(shù)的導數(shù)等的應

用，屬于較難題.

(1)設S(x,y)為曲線「上的任意一點，利用拋物線的定義，判斷S滿足拋物線的定義，即可求曲線「的

方程；

(2)通過拋物線方程利用函數(shù)的導數(shù)求出切線方程，求出4、M的坐標，N的坐標，以MN為直徑作圓

C,求出圓心坐標，半徑，即可證明當點P在曲線r上運動(點P與原點不重合)時，線段ZB的長度不

變.

22.答案:解：（1）由題意=|4F|.|BD|=|BE|,|CE|=