2023創(chuàng)新設(shè)計(jì)一輪第四課時(shí) 雙變量問題

第四課時(shí)雙變量問題

核心突破?題型剖析

I題型一轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)解決

例1已知函數(shù)/U)=lnx—儀+1,其中。為實(shí)常數(shù).對于函數(shù)圖象上任意不同的兩

點(diǎn)A(X1，?T|)),8(尢2，#初))，直線A8的斜率為A,若X1+九2+k>0恒成立，求。

的取值范圍.

解由題意，4=,(為)一’(尬)，則原不等式化為幻+尬+/(/)—于8>0,

X\-X2X\-XI

不妨設(shè)X|>X2>0,貝(](X1+X2)(X1—X2)+,*X1)一兀6)>0,即才一S+?X1)—Z(X2)>O,

即/(Xl)+xT>,*X2)+《.

設(shè)^(x)=/(x)H-x2=Inx+x2—ar+1,

?.1,2X2—<u+1

貝Ijg'(x)=-+2x-a=-,

由已知，當(dāng)用>光2>0時(shí)，不等式g(Xl)>g(X2)恒成立，則g(x)在(0,+8)上是增

函數(shù).

所以當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)20,即2f—ax+l》0,

即aW專匕L=2X+：恒成立，

因?yàn)?x+：22啦，當(dāng)且僅當(dāng)2x=J,

即尤=乎時(shí)取等號，

所以(2%+；)=272.

Vx/min

故a的取值范圍是(一8,2g

感悟提升此類問題一般是給出含有汨，X2,凡⑴，代⑵的不等式，若能通過變

形，把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)形式相同的代數(shù)式，即轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)，可利用該

函數(shù)單調(diào)性求解.

訓(xùn)練1已知函數(shù)?r)=alnx+%,在其圖象上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)P(x”y),。(也，

”)(汨>X2)，總能使得二'(X2)>2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A|一X2

A.(l,+8)B.[L+8)

C.(l,2)D.[l,2]

答案B

,f(XI)-f(X2)

斛析由>2,xi>%2>0,

X\—X2

/./(JC1)—y(X2)>2x|-2x2,

，於1)—2X1>73)—2X2,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=j(x)—2x=a\nx+^x2—2x,

則g(Xl)>g(X2),

二函數(shù)g(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

由于g，(x)=3+x-2,則g，(x)20對任意的xe(o,+8)恒成立，

由g，(x)=f+x—2N0,

可得a2一/+2x,

當(dāng)x>0時(shí)，則y=-*+2x=-a-l)2+lWl,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號成立，

???。21,因此實(shí)數(shù)。的取值范圍為[1,+8).

|題型二整體代換

例2(2022?德州質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)/U)=f—(a+2)%+alnx,g(x)=2alnx-4x+b,其中

。>0,b￡R.已知。>2,且方程外)=g(x)在(1,十8)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

Xl，X2,求i正：/jl；X2)〉0.

證明方程段)=g(x),即x2—(a—2)x—aln尤=/?,

在(1,+8)上有兩個(gè)不等實(shí)根和及，不妨設(shè)1<加〈12,

則xi—(a—2)x\—a\nx\=MD,

七一(a—2)x2—alnX2=b②,

后+2%i—七一212

①一②得a

xi+lnxi-及―Inxi

22(x—1)

,：a>2,f(x)=2x~(a+2)+^=2X—(a+2)%+q

xx

則/(X)在(1,3上單調(diào)遞減，g,+8)上單調(diào)遞增,

.?.當(dāng)XW(I,§時(shí)，/(x)<o,

當(dāng)+8)時(shí)，/(*)>0,

若證/(守>0,只需證中這

即a<x\+x2^

才+2尢L正一2x2

只需證<X1+X2,

xi+Inx\—X2—InX2

?:x\<X2,Axi+lnxi<X2+lnx2,

即需證才+2xi-2X2>(XI+x2)(xi+lnx\—JQ-InX2),

2(xi-X2)

整理行Inxi-Inx2V.口+,口

Xi

2|

即證InM<一42

尹1

.x\、門2Ct—1)

令，="6(0,1),設(shè)〃⑺=lnr——

(/_1)2

〃(')=777m

顯然/2⑺在(0,1)上單調(diào)遞增.

.,./?(r)</i(l)=0,故/隹3)>0得證.

感悟提升(1)解此類題的關(guān)鍵是利用代入消元法消去參數(shù)凡得到僅含有汨，X2

的式子.(2)與極值點(diǎn)用，X2有關(guān)的雙變量問題，一般是根據(jù)汨，X2是方程了(?=0

的兩個(gè)根，確定XI,X2的關(guān)系，再通過消元轉(zhuǎn)化為只含有即或X2的關(guān)系式，再

構(gòu)造函數(shù)解題，即把所給條件轉(zhuǎn)化為汨，X2的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于"的函數(shù),

X1

把絲看作一個(gè)變量進(jìn)行整體代換，從而把二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決問題.

訓(xùn)練2設(shè)aWR,函數(shù)/(x)=lnx—ax,若兀r)有兩個(gè)相異零點(diǎn)為，xi,求證：Inxi

+InX2>2.

證明由已知得Inx?-cix1=0,InX2-ciX2=0,

Inxi+ln%2In即一Ini2

所以a=-------------7-------------=-------------------------------,

X\+X2X\—X2

所以lnxi+lnx2>2等價(jià)于軍士當(dāng)n—>2,

X\-X212

-+1

即至一In->2,

XI%2

-It

X2

、nX\2(Ll)

設(shè)X1>X2,令A(yù)g⑺=lnz——不j—,

2

r114(f—1)

貝?g")=7—c+D2>°,

所以g?)>g(l)=o,

2(z—1)

即int>---:-----,

即得—ln，＞2,所以原題得證.

L1

題型三構(gòu)造具體函數(shù)解決雙變量問題

例3（12分）（2021?新高考I卷）已知函數(shù)於）=x（l-lnx）.

⑴討論7U）的單調(diào)性；

（2）設(shè)a,為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且/?lna—HnZ?=a一方，證明：2＜：+*e.

［規(guī)范答題］

(1)解因?yàn)?(x)=x(l—Inx),

所以7U）的定義域?yàn)椋?,+8）,

f\x)=1—Inx+x-—Inx.

當(dāng)尤w（o,1）時(shí)，/（x）＞0；當(dāng)xG（l,+8）時(shí)，/（x）＜0.

所以函數(shù)7U）在（o,i）上單調(diào)遞增，在（1,+8）上單調(diào)遞減............3分

（2）證明由題意，a,。是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且句na—aln6=。一匕，兩邊同時(shí)

…、)InaInb11^Ina+1Inb+1

除以出?，得一一丁=工一一，即-----=1Z-,即wri

abbaab

令》=!，X2=/,.................5分

由(1)知危)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+8)上單調(diào)遞減，且當(dāng)0<x<e時(shí)，危)>0,

當(dāng)x>e時(shí)，7(x)<0,

不妨設(shè)X|<X2,則。4|<1<X2<e.

要證2<(+/<e,即證2al+x2<e..................6分

先證X1+X2>2:

要證Xl+X2>2,即證X2>2—X1,

因?yàn)?ai<l〈T2<e,

所以只要證X2>2—X1>1,

又於)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以即證7(X2)勺(2—X1),

又於1)=加2),

所以即證人用)勺(2—xi),

即證當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，40—五2—x)<0.

構(gòu)造函數(shù)F(x)=j(x)—fi2—x),

則F'(x)=f(x)+f(2-x)

=—Inx—ln(2—x)=-ln[x(2-x)],

當(dāng)04<1時(shí)，x(2—x)<l,

則一ln[x(2—x)]〉0,

即當(dāng)04<1時(shí)，F(xiàn)'(x)>0,

所以尸(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)0令<1時(shí)，F(xiàn)(x)<F(l)=0,

所以當(dāng)04<1時(shí)，1》)一/(2—x)<0成立，

所以汨+32>2成立................9分

再證xi+x2<e：

由⑴知,7(x)的極大值點(diǎn)為尤=1,八尤)的極大值為人1)=1,

過點(diǎn)(0,0),(1,1)的直線方程為y=x,

設(shè)式Xl)=/(X2)=m,

當(dāng)xW(O,1)時(shí)，/(x)=x(l—Inx)>無，

直線y=x與直線y=m的交點(diǎn)坐標(biāo)為("%"?),則xi</n.

欲證xi+%2<e,即證x\+x2<m+x2=fixi)+%2<e,

即證當(dāng)l〈x<e時(shí)，fix)+x<e.

構(gòu)造函數(shù)/?(x)=/(x)+x,

則h'(x)=1—Inx,

當(dāng)la<e時(shí)，廳(x)>0,所以函數(shù)/?(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)1<x<e時(shí)，/?(x)</?(e)=*e)+e=e,

即?x)+x<e成立，所以xi+x2<e成立.

綜上可知，2<5+5<e成立................12分

答題模板

第一步分析題意，探究兩變量的關(guān)系

第二步合二為一，變?yōu)閱巫兞坎坏仁?/p>

第三步構(gòu)造函數(shù)

第四步判斷新函數(shù)的單調(diào)性或求新函數(shù)的最值，進(jìn)而解決問題

第五步反思回顧解題過程，規(guī)范解題步驟

訓(xùn)練3已知函數(shù)/U)=2or+bx-1—21nx(a^R).當(dāng)尤>y>e—1時(shí)，求證：e'ln(y

+l)>evln(x+l).

證明'.'x>y>e—1,/.x+1>y+1>e,

即ln(x+l)>lnCr+l)>l,

欲證e'ln(y+l)>evln(x+1).

即證明?，心,

In(x十1)In(y十1)

令ga)=ln(元+1)，

eAIn(x+1)-1]

則g'(x)=]n2(x+J,

顯然函數(shù)〃(x)=ln(x+l)—±Y在(e—1,+8)上單調(diào)遞增，

.,./?(%)>1-1>0,即g，(x)>0,

，g(x)在(e—1,+8)上單調(diào)遞增,

Vx>j>e—1時(shí)，g(x)>g(y),

e-re)‘

即In(x+1)>ln(y+1)'

：.當(dāng)x>y>e~\時(shí)，e'ln&+l)>evin(x+l)成立.

微點(diǎn)突破/極值點(diǎn)偏移

(1)極值點(diǎn)不偏移

已知函數(shù)7U)圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是極值點(diǎn)X0,若/U)=C的兩根的中點(diǎn)剛好滿

足色衛(wèi)=xo,即極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是說極值點(diǎn)沒有偏移.此時(shí)函數(shù)人X)

在x=xo兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，如圖(1).

圖(1)

(無偏移，左右對稱，二次函數(shù))若兀￥|)=兀￥2),則第+及=2九0.

(2)極值點(diǎn)偏移

若生產(chǎn)Wxo,則極值點(diǎn)偏移，此時(shí)函數(shù)_/U)在尤=回兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢不同,

如圖(2)(3).

圖⑵

(左陡右緩，極值點(diǎn)向左偏移)若兀XI)=/(X2),則X1+九2>2XO；

圖⑶

(左緩右陡，極值點(diǎn)向右偏移)若加1)=於2),則為十及<2*0.

(3)極值點(diǎn)偏移問題的常見解法

①(對稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對結(jié)論XI+X2>2XO型，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)一

filXQ—X)',對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)網(wǎng)的可/一乂^)，通過研究產(chǎn)(X)的單調(diào)

性獲得不等式.

②(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量

的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明.

例已知函數(shù).*x)=xer,如果尤1WX2,且.*為)=於2),求證：X1+X2>2.

證明法一(對稱化構(gòu)造法)

由題意知，J(x)=xe~x,/(x)=e-*(l—x),

令/(x)=0,解得x=L

當(dāng)x變化時(shí)，/(x),7U)的變化情況如下表：

X(一8，1)1(1,+°°)

f(x)+0—

1

於)e

由X1#X2,不妨設(shè)X1>X2,

根據(jù)犬汨)=兀m)，

結(jié)合圖象可知X|>1,X2<\,

令F(x)=/a)—A2—x),XG(1,+8),

則F'(x)=(x—l)(e2t~2—l)e-\

Vx>l,2x-2>Q,

.?.e2v-2-l>0,則尸口)>0,

.?.F(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

,當(dāng)x>l時(shí)，F(xiàn)(x)>F(l)=O,

即當(dāng)尤>1時(shí)，/x)>>(2-x),

則_/UD>y(2—汨).

又??7(制)=於2),

.??/2)>洲2—元］).

Vxi>l,/.2-xi<l,

?'?X2,2—?￡(—8,1),

。外)在(一8,1)上是增函數(shù),

「?12>2-x\,Axi+X2>2.

法二(比值代換法)

設(shè)0V為V1VX2,人為)=於2),

x\e~x\=X2e~x2,

取對數(shù)得Inxi—xi=lnx2~X2.

令r=->1,貝！]X2—tx\,代入上式得Inx\-xi=lnt+\nx]—tx\,

冗i

Intrlnt

侍加=二7’“2=二?

(z+1)Inz2(/—1)

C.x\+x2=■~~;>2=lnt—i-;>0,

t—1t-v1

2(z—1)

設(shè)g⑺=lnt--下一(z>l),

.,12(r+1)-2(z-1)(z-1)2

*H⑺=1(f+1)2=f(f+1)2〉。，

.?.當(dāng)時(shí)，g(。單調(diào)遞增，

???g”)>g(l)=0,

故Xl+%2>2.

拓展視野/指數(shù)、對數(shù)均值不等式

極值點(diǎn)偏移問題是近幾年高考的熱點(diǎn)問題，求解此類問題的一個(gè)重要工具就是指

數(shù)均值不等式和對數(shù)均值不等式.

一'對數(shù)均值不等式

結(jié)論1對任意的a,Z?>0(aW"),有\(zhòng)!ab、na_inb<2.

證明不妨設(shè)a>/?>0(0VaVb時(shí)同理可得)

首先，由----等價(jià)于Ina-In8V一芹，

'Ina—Inb7ab

T-1

即In太，

\lb

令X=7Z>T,只要證In，〈［―,

即證2xlnx—J^+KO.

令危)=2xlnx—f+l(x>1),

2

貝iJ/(x)=21nx+2—2x,/r(x)=--2<0,/(處在(1,+8)單調(diào)遞減，/(x)</(l)=

0,於)在(1,+8)單調(diào)遞減，即人幻vyu)=o.

故麗V產(chǎn)沁

vIna-Inb

.ae罰、十2(x—1)

令x=]>l,只要證lnx>——,

即證(x+l)lnx—2x+2>0.

設(shè)g(x)=(x+l)lnx—2工+2。>1),

同理可證g(X)在(1,+8)單調(diào)遞增，

有g(shù)a)>g(i)=o.

..a-ba+b

故^----

In6z-Inb2

二、指數(shù)均值不等式

〃?+〃e'"—e〃e'"+e〃

結(jié)論2對任意實(shí)數(shù)相，〃(m#〃)，有e三-V<---

2m—n2

證明在指數(shù)均值不等式中，令d"=a、e"=b,則m=lna,〃=ln。，從而可得

對數(shù)均值不等式.需注意的是，在實(shí)際解題過程中，凡涉及這兩個(gè)不等式的都需

給出證明，以確?？荚嚥槐豢鄯?，但本文以下的例題省略該過程.

例(1)若函數(shù)/(X)=ln尤一0X(。為常數(shù))有兩個(gè)不同的零點(diǎn)九1，了2，請證明：X\X2>

證明借助。作為媒介，構(gòu)造對數(shù)均值不等式.

依題意，Inxi—axi=O,InjQ-3=0.

兩式相減，得InXi—InX2=a(xi—xi),

加Inxi-InX2v卜?.

即Q=---------,兩式相加，

X\~X2

得Inxi+lnX2=a(x\+%2).

故欲證xiX2>e2,

即證Inxi+lnx2>2,

即證a(x[+xi)>2,

“—Inxi—lnx2、2

即證>;.

X\~X2X\+X2

由對數(shù)均值不等式知上式顯然成立.

綜上，為X2>e2成立.

(2)已知函數(shù)?￥)=_￥—為常數(shù))有兩個(gè)不同的零點(diǎn)尢1，X2，證明：Xl+X2>2.

證明借助。作為媒介，構(gòu)造指數(shù)均值不等式.

依題意，%i=ae*i,X2=a^2.

兩式相加、減，得為+X2=。(。\+爐2),x\-X2=a(ex\—ex2).

故欲證XI+X2>2,即證6z(eri+ex2)>2,

即證/：_；2七，+e、2)>2,

eAi+ev2evi-ex2

即證「一>------.

2X\—X2

由指數(shù)均值不等式(結(jié)論2)知上式顯然成立，因此為十松>2成立.

I分層訓(xùn)練?鞏固提升

1.已知函數(shù),*x)=lnx+f—龍-2a+l.若函數(shù)兀r)有兩個(gè)極值點(diǎn)xi，X2,求證：,*xi)

+/X2)<0.

證明佗尸二二“二%>0),

??丁仁)有兩個(gè)極值點(diǎn)XI,X2,

故為，X2為方程一/+無一a=0的兩個(gè)不等正實(shí)根,

/=1-4。>0,

X\+12=1,/.0<a<1,

/1%2=。>0,

.,a(xi+x2)

?(%2)=mxix+-—(xi+%2)-4tz+2—Ina-4。+2,

2人|人2

令g(a)=lna—4a+2(Q<a<^,

1-4。

則g"0=F—>0,

g(a)在(0,J上單調(diào)遞增,

故g(a)Vg(￡|=ln1+1<0,

...加|)+/(X2)V0.

2.(2022?武漢質(zhì)檢節(jié)選)已知函數(shù)/0)=。-2)砂+。。-1)2有兩個(gè)零點(diǎn)工>0,設(shè)為,

%2是7U)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：X1+九2V2.

證明求導(dǎo)得了(x)=(x—l)e+2a),

所以函數(shù)7U)的極小值點(diǎn)為x=L

,.了3)=7(無2)=0,不妨設(shè)X1V1V九2,

要證X|+X2<2,即證X2<2一汨.

若2—XI和X2屬于某一個(gè)單調(diào)區(qū)間，那么只需要比較7(2—X。和/(X2)的大小,

即探求人2—尤)一/(x)的正負(fù)性.

于是構(gòu)造輔助函數(shù)

Rx)=/(2—九)一/U),尤VI,

代入整理得F(x)=-xe~x+2-(x-2)-ex.

求導(dǎo)得F'(x)=(l-x)(ex-e~x+2).

當(dāng)xVl時(shí)，F(xiàn)(x)<0,

則函數(shù)F(x)是(一8,1)上的單調(diào)減函數(shù).

于是F(x)>F(l)=O,

則人2—尤)一/(x)>0,

即犬2—x)>>(x)(xVl).

將汨代入上述不等式中，

則7(X2)=AXI)P(2一汨)，

即兀⑵中2—汨).

又函數(shù)“X)是(1,+8)上的單調(diào)增函數(shù)，且X2,2—x)e(l,4-00),

所以X2<l—X\.

故X|+X2<2得證.

3.已知危)=2x+l—e"(aWR).若為，檢為方程外)=1的兩個(gè)相異的實(shí)根，求證:

2

X\+X2>—a.

證明XI,X2為方程/U)=l的兩個(gè)相異的實(shí)根，

則Xi,X2為方程2%一產(chǎn)=0的兩個(gè)相異的實(shí)根，

即用，X2為方程ox=ln(2x)的兩個(gè)相異的實(shí)根，

=ln(2xi),O￥2=ln(2x2).

不妨設(shè)》>X2>0.

I1n-汨

,X1anX2

/.a(x\-X7)=\n—,即a=.

X2X\—X2

22

要證