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文檔簡介
第四課時(shí)雙變量問題
核心突破?題型剖析
I題型一轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)解決
例1已知函數(shù)/U)=lnx—儀+1,其中。為實(shí)常數(shù).對于函數(shù)圖象上任意不同的兩
點(diǎn)A(X1,?T|)),8(尢2,#初)),直線A8的斜率為A,若X1+九2+k>0恒成立,求。
的取值范圍.
解由題意,4=,(為)一’(尬),則原不等式化為幻+尬+/(/)—于8>0,
X\-X2X\-XI
不妨設(shè)X|>X2>0,貝(](X1+X2)(X1—X2)+,*X1)一兀6)>0,即才一S+?X1)—Z(X2)>O,
即/(Xl)+xT>,*X2)+《.
設(shè)^(x)=/(x)H-x2=Inx+x2—ar+1,
?.1,2X2—<u+1
貝Ijg'(x)=-+2x-a=-,
由已知,當(dāng)用>光2>0時(shí),不等式g(Xl)>g(X2)恒成立,則g(x)在(0,+8)上是增
函數(shù).
所以當(dāng)x>0時(shí),g'(x)20,即2f—ax+l》0,
即aW專匕L=2X+:恒成立,
因?yàn)?x+:22啦,當(dāng)且僅當(dāng)2x=J,
即尤=乎時(shí)取等號,
所以(2%+;)=272.
Vx/min
故a的取值范圍是(一8,2g
感悟提升此類問題一般是給出含有汨,X2,凡⑴,代⑵的不等式,若能通過變
形,把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)形式相同的代數(shù)式,即轉(zhuǎn)化為同源函數(shù),可利用該
函數(shù)單調(diào)性求解.
訓(xùn)練1已知函數(shù)?r)=alnx+%,在其圖象上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)P(x”y),。(也,
”)(汨>X2),總能使得二'(X2)>2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()
A|一X2
A.(l,+8)B.[L+8)
C.(l,2)D.[l,2]
答案B
,f(XI)-f(X2)
斛析由>2,xi>%2>0,
X\—X2
/./(JC1)—y(X2)>2x|-2x2,
,於1)—2X1>73)—2X2,
構(gòu)造函數(shù)g(x)=j(x)—2x=a\nx+^x2—2x,
則g(Xl)>g(X2),
二函數(shù)g(x)在(0,+8)上為增函數(shù),
由于g,(x)=3+x-2,則g,(x)20對任意的xe(o,+8)恒成立,
由g,(x)=f+x—2N0,
可得a2一/+2x,
當(dāng)x>0時(shí),則y=-*+2x=-a-l)2+lWl,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí),等號成立,
???。21,因此實(shí)數(shù)。的取值范圍為[1,+8).
|題型二整體代換
例2(2022?德州質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)/U)=f—(a+2)%+alnx,g(x)=2alnx-4x+b,其中
。>0,b£R.已知。>2,且方程外)=g(x)在(1,十8)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
Xl,X2,求i正:/jl;X2)〉0.
證明方程段)=g(x),即x2—(a—2)x—aln尤=/?,
在(1,+8)上有兩個(gè)不等實(shí)根和及,不妨設(shè)1<加〈12,
則xi—(a—2)x\—a\nx\=MD,
七一(a—2)x2—alnX2=b②,
后+2%i—七一212
①一②得a
xi+lnxi-及―Inxi
22(x—1)
,:a>2,f(x)=2x~(a+2)+^=2X—(a+2)%+q
xx
則/(X)在(1,3上單調(diào)遞減,g,+8)上單調(diào)遞增,
.?.當(dāng)XW(I,§時(shí),/(x)<o,
當(dāng)+8)時(shí),/(*)>0,
若證/(守>0,只需證中這
即a<x\+x2^
才+2尢L正一2x2
只需證<X1+X2,
xi+Inx\—X2—InX2
?:x\<X2,Axi+lnxi<X2+lnx2,
即需證才+2xi-2X2>(XI+x2)(xi+lnx\—JQ-InX2),
2(xi-X2)
整理行Inxi-Inx2V.口+,口
Xi
2|
即證InM<一42
尹1
.x\、門2Ct—1)
令,="6(0,1),設(shè)〃⑺=lnr——
(/_1)2
〃(')=777m
顯然/2⑺在(0,1)上單調(diào)遞增.
.,./?(r)</i(l)=0,故/隹3)>0得證.
感悟提升(1)解此類題的關(guān)鍵是利用代入消元法消去參數(shù)凡得到僅含有汨,X2
的式子.(2)與極值點(diǎn)用,X2有關(guān)的雙變量問題,一般是根據(jù)汨,X2是方程了(?=0
的兩個(gè)根,確定XI,X2的關(guān)系,再通過消元轉(zhuǎn)化為只含有即或X2的關(guān)系式,再
構(gòu)造函數(shù)解題,即把所給條件轉(zhuǎn)化為汨,X2的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于"的函數(shù),
X1
把絲看作一個(gè)變量進(jìn)行整體代換,從而把二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決問題.
訓(xùn)練2設(shè)aWR,函數(shù)/(x)=lnx—ax,若兀r)有兩個(gè)相異零點(diǎn)為,xi,求證:Inxi
+InX2>2.
證明由已知得Inx?-cix1=0,InX2-ciX2=0,
Inxi+ln%2In即一Ini2
所以a=-------------7-------------=-------------------------------,
X\+X2X\—X2
所以lnxi+lnx2>2等價(jià)于軍士當(dāng)n—>2,
X\-X212
-+1
即至一In->2,
XI%2
-It
X2
、nX\2(Ll)
設(shè)X1>X2,令A(yù)g⑺=lnz——不j—,
2
r114(f—1)
貝?g")=7—c+D2>°,
所以g?)>g(l)=o,
2(z—1)
即int>---:-----,
即得—ln,>2,所以原題得證.
L1
題型三構(gòu)造具體函數(shù)解決雙變量問題
例3(12分)(2021?新高考I卷)已知函數(shù)於)=x(l-lnx).
⑴討論7U)的單調(diào)性;
(2)設(shè)a,為兩個(gè)不相等的正數(shù),且/?lna—HnZ?=a一方,證明:2<:+*e.
[規(guī)范答題]
(1)解因?yàn)?(x)=x(l—Inx),
所以7U)的定義域?yàn)椋?,+8),
f\x)=1—Inx+x-—Inx.
當(dāng)尤w(o,1)時(shí),/(x)>0;當(dāng)xG(l,+8)時(shí),/(x)<0.
所以函數(shù)7U)在(o,i)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減............3分
(2)證明由題意,a,。是兩個(gè)不相等的正數(shù),且句na—aln6=。一匕,兩邊同時(shí)
…、)InaInb11^Ina+1Inb+1
除以出?,得一一丁=工一一,即-----=1Z-,即wri
abbaab
令》=!,X2=/,.................5分
由(1)知危)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減,且當(dāng)0<x<e時(shí),危)>0,
當(dāng)x>e時(shí),7(x)<0,
不妨設(shè)X|<X2,則。4|<1<X2<e.
要證2<(+/<e,即證2al+x2<e..................6分
先證X1+X2>2:
要證Xl+X2>2,即證X2>2—X1,
因?yàn)?ai<l〈T2<e,
所以只要證X2>2—X1>1,
又於)在(1,+8)上單調(diào)遞減,
所以即證7(X2)勺(2—X1),
又於1)=加2),
所以即證人用)勺(2—xi),
即證當(dāng)x£(0,1)時(shí),40—五2—x)<0.
構(gòu)造函數(shù)F(x)=j(x)—fi2—x),
則F'(x)=f(x)+f(2-x)
=—Inx—ln(2—x)=-ln[x(2-x)],
當(dāng)04<1時(shí),x(2—x)<l,
則一ln[x(2—x)]〉0,
即當(dāng)04<1時(shí),F(xiàn)'(x)>0,
所以尸(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)0令<1時(shí),F(xiàn)(x)<F(l)=0,
所以當(dāng)04<1時(shí),1》)一/(2—x)<0成立,
所以汨+32>2成立................9分
再證xi+x2<e:
由⑴知,7(x)的極大值點(diǎn)為尤=1,八尤)的極大值為人1)=1,
過點(diǎn)(0,0),(1,1)的直線方程為y=x,
設(shè)式Xl)=/(X2)=m,
當(dāng)xW(O,1)時(shí),/(x)=x(l—Inx)>無,
直線y=x與直線y=m的交點(diǎn)坐標(biāo)為("%"?),則xi</n.
欲證xi+%2<e,即證x\+x2<m+x2=fixi)+%2<e,
即證當(dāng)l〈x<e時(shí),fix)+x<e.
構(gòu)造函數(shù)/?(x)=/(x)+x,
則h'(x)=1—Inx,
當(dāng)la<e時(shí),廳(x)>0,所以函數(shù)/?(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)1<x<e時(shí),/?(x)</?(e)=*e)+e=e,
即?x)+x<e成立,所以xi+x2<e成立.
綜上可知,2<5+5<e成立................12分
答題模板
第一步分析題意,探究兩變量的關(guān)系
第二步合二為一,變?yōu)閱巫兞坎坏仁?/p>
第三步構(gòu)造函數(shù)
第四步判斷新函數(shù)的單調(diào)性或求新函數(shù)的最值,進(jìn)而解決問題
第五步反思回顧解題過程,規(guī)范解題步驟
訓(xùn)練3已知函數(shù)/U)=2or+bx-1—21nx(a^R).當(dāng)尤>y>e—1時(shí),求證:e'ln(y
+l)>evln(x+l).
證明'.'x>y>e—1,/.x+1>y+1>e,
即ln(x+l)>lnCr+l)>l,
欲證e'ln(y+l)>evln(x+1).
即證明?,心,
In(x十1)In(y十1)
令ga)=ln(元+1),
eAIn(x+1)-1]
則g'(x)=]n2(x+J,
顯然函數(shù)〃(x)=ln(x+l)—±Y在(e—1,+8)上單調(diào)遞增,
.,./?(%)>1-1>0,即g,(x)>0,
,g(x)在(e—1,+8)上單調(diào)遞增,
Vx>j>e—1時(shí),g(x)>g(y),
e-re)‘
即In(x+1)>ln(y+1)'
:.當(dāng)x>y>e~\時(shí),e'ln&+l)>evin(x+l)成立.
微點(diǎn)突破/極值點(diǎn)偏移
(1)極值點(diǎn)不偏移
已知函數(shù)7U)圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是極值點(diǎn)X0,若/U)=C的兩根的中點(diǎn)剛好滿
足色衛(wèi)=xo,即極值點(diǎn)在兩根的正中間,也就是說極值點(diǎn)沒有偏移.此時(shí)函數(shù)人X)
在x=xo兩側(cè),函數(shù)值變化快慢相同,如圖(1).
圖(1)
(無偏移,左右對稱,二次函數(shù))若兀¥|)=兀¥2),則第+及=2九0.
(2)極值點(diǎn)偏移
若生產(chǎn)Wxo,則極值點(diǎn)偏移,此時(shí)函數(shù)_/U)在尤=回兩側(cè),函數(shù)值變化快慢不同,
如圖(2)(3).
圖⑵
(左陡右緩,極值點(diǎn)向左偏移)若兀XI)=/(X2),則X1+九2>2XO;
圖⑶
(左緩右陡,極值點(diǎn)向右偏移)若加1)=於2),則為十及<2*0.
(3)極值點(diǎn)偏移問題的常見解法
①(對稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù):對結(jié)論XI+X2>2XO型,構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)一
filXQ—X)',對結(jié)論型,構(gòu)造函數(shù)網(wǎng)的可/一乂^),通過研究產(chǎn)(X)的單調(diào)
性獲得不等式.
②(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量
的函數(shù)不等式,利用函數(shù)單調(diào)性證明.
例已知函數(shù).*x)=xer,如果尤1WX2,且.*為)=於2),求證:X1+X2>2.
證明法一(對稱化構(gòu)造法)
由題意知,J(x)=xe~x,/(x)=e-*(l—x),
令/(x)=0,解得x=L
當(dāng)x變化時(shí),/(x),7U)的變化情況如下表:
X(一8,1)1(1,+°°)
f(x)+0—
1
於)e
由X1#X2,不妨設(shè)X1>X2,
根據(jù)犬汨)=兀m),
結(jié)合圖象可知X|>1,X2<\,
令F(x)=/a)—A2—x),XG(1,+8),
則F'(x)=(x—l)(e2t~2—l)e-\
Vx>l,2x-2>Q,
.?.e2v-2-l>0,則尸口)>0,
.?.F(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,
,當(dāng)x>l時(shí),F(xiàn)(x)>F(l)=O,
即當(dāng)尤>1時(shí),/x)>>(2-x),
則_/UD>y(2—汨).
又??7(制)=於2),
.??/2)>洲2—元]).
Vxi>l,/.2-xi<l,
?'?X2,2—?£(—8,1),
。外)在(一8,1)上是增函數(shù),
「?12>2-x\,Axi+X2>2.
法二(比值代換法)
設(shè)0V為V1VX2,人為)=於2),
x\e~x\=X2e~x2,
取對數(shù)得Inxi—xi=lnx2~X2.
令r=->1,貝!]X2—tx\,代入上式得Inx\-xi=lnt+\nx]—tx\,
冗i
Intrlnt
侍加=二7’“2=二?
(z+1)Inz2(/—1)
C.x\+x2=■~~;>2=lnt—i-;>0,
t—1t-v1
2(z—1)
設(shè)g⑺=lnt--下一(z>l),
.,12(r+1)-2(z-1)(z-1)2
*H⑺=1(f+1)2=f(f+1)2〉。,
.?.當(dāng)時(shí),g(。單調(diào)遞增,
???g”)>g(l)=0,
故Xl+%2>2.
拓展視野/指數(shù)、對數(shù)均值不等式
極值點(diǎn)偏移問題是近幾年高考的熱點(diǎn)問題,求解此類問題的一個(gè)重要工具就是指
數(shù)均值不等式和對數(shù)均值不等式.
一'對數(shù)均值不等式
結(jié)論1對任意的a,Z?>0(aW"),有\(zhòng)!ab、na_inb<2.
證明不妨設(shè)a>/?>0(0VaVb時(shí)同理可得)
首先,由----等價(jià)于Ina-In8V一芹,
'Ina—Inb7ab
T-1
即In太,
\lb
令X=7Z>T,只要證In,〈[―,
即證2xlnx—J^+KO.
令危)=2xlnx—f+l(x>1),
2
貝iJ/(x)=21nx+2—2x,/r(x)=--2<0,/(處在(1,+8)單調(diào)遞減,/(x)</(l)=
0,於)在(1,+8)單調(diào)遞減,即人幻vyu)=o.
故麗V產(chǎn)沁
vIna-Inb
.ae罰、十2(x—1)
令x=]>l,只要證lnx>——,
即證(x+l)lnx—2x+2>0.
設(shè)g(x)=(x+l)lnx—2工+2。>1),
同理可證g(X)在(1,+8)單調(diào)遞增,
有g(shù)a)>g(i)=o.
..a-ba+b
故^----
In6z-Inb2
二、指數(shù)均值不等式
〃?+〃e'"—e〃e'"+e〃
結(jié)論2對任意實(shí)數(shù)相,〃(m#〃),有e三-V<---
2m—n2
證明在指數(shù)均值不等式中,令d"=a、e"=b,則m=lna,〃=ln。,從而可得
對數(shù)均值不等式.需注意的是,在實(shí)際解題過程中,凡涉及這兩個(gè)不等式的都需
給出證明,以確??荚嚥槐豢鄯?,但本文以下的例題省略該過程.
例(1)若函數(shù)/(X)=ln尤一0X(。為常數(shù))有兩個(gè)不同的零點(diǎn)九1,了2,請證明:X\X2>
證明借助。作為媒介,構(gòu)造對數(shù)均值不等式.
依題意,Inxi—axi=O,InjQ-3=0.
兩式相減,得InXi—InX2=a(xi—xi),
加Inxi-InX2v卜?.
即Q=---------,兩式相加,
X\~X2
得Inxi+lnX2=a(x\+%2).
故欲證xiX2>e2,
即證Inxi+lnx2>2,
即證a(x[+xi)>2,
“—Inxi—lnx2、2
即證>;.
X\~X2X\+X2
由對數(shù)均值不等式知上式顯然成立.
綜上,為X2>e2成立.
(2)已知函數(shù)?¥)=_¥—為常數(shù))有兩個(gè)不同的零點(diǎn)尢1,X2,證明:Xl+X2>2.
證明借助。作為媒介,構(gòu)造指數(shù)均值不等式.
依題意,%i=ae*i,X2=a^2.
兩式相加、減,得為+X2=。(。\+爐2),x\-X2=a(ex\—ex2).
故欲證XI+X2>2,即證6z(eri+ex2)>2,
即證/:_;2七,+e、2)>2,
eAi+ev2evi-ex2
即證「一>------.
2X\—X2
由指數(shù)均值不等式(結(jié)論2)知上式顯然成立,因此為十松>2成立.
I分層訓(xùn)練?鞏固提升
1.已知函數(shù),*x)=lnx+f—龍-2a+l.若函數(shù)兀r)有兩個(gè)極值點(diǎn)xi,X2,求證:,*xi)
+/X2)<0.
證明佗尸二二“二%>0),
??丁仁)有兩個(gè)極值點(diǎn)XI,X2,
故為,X2為方程一/+無一a=0的兩個(gè)不等正實(shí)根,
/=1-4。>0,
X\+12=1,/.0<a<1,
/1%2=。>0,
.,a(xi+x2)
?(%2)=mxix+-—(xi+%2)-4tz+2—Ina-4。+2,
2人|人2
令g(a)=lna—4a+2(Q<a<^,
1-4。
則g"0=F—>0,
g(a)在(0,J上單調(diào)遞增,
故g(a)Vg(£|=ln1+1<0,
...加|)+/(X2)V0.
2.(2022?武漢質(zhì)檢節(jié)選)已知函數(shù)/0)=。-2)砂+。。-1)2有兩個(gè)零點(diǎn)工>0,設(shè)為,
%2是7U)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:X1+九2V2.
證明求導(dǎo)得了(x)=(x—l)e+2a),
所以函數(shù)7U)的極小值點(diǎn)為x=L
,.了3)=7(無2)=0,不妨設(shè)X1V1V九2,
要證X|+X2<2,即證X2<2一汨.
若2—XI和X2屬于某一個(gè)單調(diào)區(qū)間,那么只需要比較7(2—X。和/(X2)的大小,
即探求人2—尤)一/(x)的正負(fù)性.
于是構(gòu)造輔助函數(shù)
Rx)=/(2—九)一/U),尤VI,
代入整理得F(x)=-xe~x+2-(x-2)-ex.
求導(dǎo)得F'(x)=(l-x)(ex-e~x+2).
當(dāng)xVl時(shí),F(xiàn)(x)<0,
則函數(shù)F(x)是(一8,1)上的單調(diào)減函數(shù).
于是F(x)>F(l)=O,
則人2—尤)一/(x)>0,
即犬2—x)>>(x)(xVl).
將汨代入上述不等式中,
則7(X2)=AXI)P(2一汨),
即兀⑵中2—汨).
又函數(shù)“X)是(1,+8)上的單調(diào)增函數(shù),且X2,2—x)e(l,4-00),
所以X2<l—X\.
故X|+X2<2得證.
3.已知危)=2x+l—e"(aWR).若為,檢為方程外)=1的兩個(gè)相異的實(shí)根,求證:
2
X\+X2>—a.
證明XI,X2為方程/U)=l的兩個(gè)相異的實(shí)根,
則Xi,X2為方程2%一產(chǎn)=0的兩個(gè)相異的實(shí)根,
即用,X2為方程ox=ln(2x)的兩個(gè)相異的實(shí)根,
=ln(2xi),O¥2=ln(2x2).
不妨設(shè)》>X2>0.
I1n-汨
,X1anX2
/.a(x\-X7)=\n—,即a=.
X2X\—X2
22
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