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2021高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測(cè)例題詳解+歷年考情分析
一、三角函數(shù)大題和數(shù)列大題
歷年考情:
在全國(guó)I卷中每年只考一個(gè),不考的那一個(gè)一般用一道或兩道小題代替.三角函
數(shù)大題側(cè)重于考解三角形,重點(diǎn)考查正、余弦定理,小題中側(cè)重于考查三角函數(shù)
的圖象和性質(zhì).數(shù)列一般考求通項(xiàng)、求和.數(shù)列應(yīng)用題已經(jīng)多年不考了,總體來(lái)
說(shuō)數(shù)列的地位已經(jīng)降低,題目難度小。
理科數(shù)學(xué)2016、2017、2018、2019連續(xù)四年沒(méi)有考查數(shù)列解答題,都是以選
擇填空形式出現(xiàn)。
解三角形問(wèn)題除了直接利用正余以定理和三角變換的公式(sin(a+3)=sinC=cos(J+3)=-cosC這類(lèi)
用的較多)需要重點(diǎn)掌握外,還需要了解邊角互化的本質(zhì)(外接圓2及);多個(gè)三角形中利用多次正弦或
余弦定理相結(jié)合(互補(bǔ)角、互余角、比值、加減);作平行線(已知某邊上一點(diǎn)的位置關(guān)系時(shí)候較多);
面枳比值(已知角平分線時(shí)候較多);銳角三角形三個(gè)角都要限制為銳角;鈍角三角形要求最大角的余弦
小于0;題目條件要充分互相結(jié)合進(jìn)行求解,設(shè)未知數(shù)和代換思想很重要。
解三角形中的最值問(wèn)題(bc.b+c,/+J,周長(zhǎng),面積)余弦定理和基本不等式(而<("+6)’4亡三)
42
要相互結(jié)合,解答題不要忘記等號(hào)成立的條件。
等差等比用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)公式,等比問(wèn)題學(xué)會(huì)作比值化簡(jiǎn);構(gòu)造法要掌握類(lèi)型特點(diǎn);證明等差等
比先做差或商,推導(dǎo)常數(shù);先下等差等比的結(jié)論再用等差等比的通項(xiàng)和性質(zhì);特別注意鼠和的關(guān)
系,怎=長(zhǎng)11.、,兩個(gè)方向都可以轉(zhuǎn)化;分組求和'裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法要看清通項(xiàng)的形式;
奇偶項(xiàng)問(wèn)題找清楚項(xiàng)數(shù)很關(guān)鍵,可令,1=2礴〃=2為+1;不等式問(wèn)題可以利用函數(shù)思想,特別注怠
“21;數(shù)列增減問(wèn)題,作差判斷正負(fù),a*i-a.>0(<0)。,
2021高考押題:
3
例82、在△.45。中,內(nèi)角4B、。所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a、b、c,已知。5汕3=兒。5乂,cosB=-.
(1)求cosC的值;(2)苕。=15,。為邊上的點(diǎn),S.2.W=BD,求。?的長(zhǎng).a
(1)—(2):.CD=13^
10
例83、在&4BC中,角H,B,。的對(duì)邊分別為",b,c.已知bsinB-asin4=c.,
(I)求證:=(H)若。=/,C=£,求的面積.e
(1)略(2),S皿=卜。皿5=:)<心;凡岳巴3=當(dāng).”
例84、已知&4BC中,內(nèi)角.4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且2a=3c.~
(I)若tanB=2tanC,求5;(口)若&必。的面積為3后國(guó)4=3道,求的周長(zhǎng).。
"T
(1)8=9…5(2)A/1BC的周長(zhǎng)為a-b-c=5/一VT5.1
例85、在M3C中,角.4,B,C的對(duì)邊分別為eb,"且SWn:?=28s2(H-5)+7.一
(I)求角。的大??;(口)若點(diǎn)。為BC中點(diǎn),且加=2",a=4,求M3C的面積.”
(1)(2)=—^sinC=—X4X4X2^=4-73.“
例86、在213c中,內(nèi)角一4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知皿修-'-我sin(B+當(dāng)=0,
且WnH,sinB,2sinC同港比數(shù)歹(J.”
(I)求角8;(II)若&+。=動(dòng)(幺€尺),求2的值.e
⑴二?、瓢撕?一
例87、已知數(shù)列{a〃}滿足上工=1,且@=1.(1)證明:數(shù)列金+1}為等比數(shù)列.(2)求數(shù)列{工+2〃}的前〃項(xiàng)和
On+1an。篦
Sn.l
(1)證明略(2)"(詈),。+產(chǎn)=2〃+1+必2田
例88、已知等比數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S,公比g>l,且q+1為q,%的等差中項(xiàng),S;=14.“
(I)求數(shù)列{aj的通項(xiàng)公式(H)記?=a<og:4,求數(shù)列色)的前”項(xiàng)和3
解:(1)二4=2".(2)7;=(?-1).2**1+2.P
例、設(shè)數(shù)列{嗎的前"項(xiàng)和為已知
89S",q=1,S,.1=4a+2(〃eV),e
(1)設(shè)久=4T-2q,證明數(shù)列也}是等比數(shù)列;⑵求數(shù)列SJ的通項(xiàng)公式.一
解:⑴暗(2)4=(3"1)?2-:(“,『).“
例、設(shè)為數(shù)列{/}的前〃項(xiàng)和,且
90S”4=1,n^1=(n+2)S?+n(n+l)(“
(1)證明:數(shù)列{2+1}為等比數(shù)列;(2)求,=Si+S?+….一
n
(1)略(2)?;=(〃—1)-2,+2-西爐。
,、123n
例91、已知數(shù)列SJ滿足二一口-…一1weJV*.*
2%-1
(I)求數(shù)列MJ的通項(xiàng)公式;(n)令*=s_i):(a_i):,數(shù)列色}的前"項(xiàng)和為了,求證:4<1.
(I)0=〃+1(n)1
例92、已知數(shù)列M}的前〃項(xiàng)和為S,,滿足:a=1,1]-1=S,-4,數(shù)列他}為等比數(shù)列f滿足bi,
a=;<a,??eAr.a
(I)求數(shù)列{4},{2}的通項(xiàng)公式;a
(H)若數(shù)列{_」_}的前"項(xiàng)和為甲,數(shù)列砂}的前〃項(xiàng)和為7,試匕困甲與2的大小.-
解:(I)a,=?;b=(ly;(n)憶<4?“
二、立體幾何大題
歷年考情:
9年高考,每年1題.第1問(wèn)多為證明平行垂直問(wèn)題,第2問(wèn)多為求二面角
或直線與平面所成的角,常用空間向量法求解。
輔助線;建系。
2021高考押題:
例93、如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA1AD,底面四邊形.4BCD為直角梯形,3=zBC,.40/BC,
Z3CD=90°,£為線段PB上一點(diǎn).1
(I)若/=則在線段P5上是否存在點(diǎn)一W,使得平面PCD?若存在,請(qǐng)確定M點(diǎn)的位置;若
不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(口)己知力=2,JD=1,若異面直線21與CD成90°角,二而角5-PC-。的余弦值為求CD
的長(zhǎng).a
【解忻】解:(I)平面PCD.-
理由如下:如圖取CN=gCB,連接AN,AN.可得加!CN,AD=CN,:.四邊形ADCN為平行四邊
形,,W/CD,N分別為尸3,CN的三等分點(diǎn),二亮VR?...面4WV/面PCD,1
二出"/平面PCD.a
(D)如圖,過(guò)工作交3c與N,設(shè)CD=a.i
貝(]/(0,0,0),N(a,0,0),P。,0,2),D(0,1,0)|.C(a,1,0)5P=(0.-l12),DC=(a,0,0),^
Im?DP=-v-r2z=0____
設(shè)面P女的法向班灰r=。=八(°,犯C-T2),CN=(0T。)..
fn?CP=-ax,-v,-2Z]=0
設(shè)面PNC的法向量為為=(x,,儲(chǔ),二J.1=萬(wàn)=(2,0。).《
In,CN="Vj=0
皿向??;^77=^n'=2.二8的長(zhǎng)為2.
三、解析幾何大題
歷年考情:
9年高考,每年1題.特點(diǎn):全國(guó)工卷中,載體用過(guò)拋物線和橢圓!不側(cè)重兩
類(lèi)圓推曲線的整合,只側(cè)重于直線與圓錐曲線的聯(lián)系.圓錐曲線一定過(guò)方法關(guān)、
運(yùn)算關(guān).其實(shí)近幾年的圓錐曲線題目更側(cè)重于運(yùn)算.方法還是比較常規(guī)的.為什
么這樣呢?這與命題人的苦衷有關(guān)系,因?yàn)閳A錐曲線是壓軸題,壓軸題不能簡(jiǎn)單,
簡(jiǎn)單了肯定不行.但太難、或是思維量太大又怕把很多人拒之門(mén)外,所以又不敢
出思維量太大的題目,最后就只剩下運(yùn)算了,誰(shuí)有能耐誰(shuí)就能算出來(lái),沒(méi)有能耐
就算不出來(lái),但不能說(shuō)題目難。
圓錐曲線的定義很重要,性質(zhì)要學(xué)會(huì)聯(lián)系;設(shè)直線聯(lián)立方程,利用根與系數(shù)關(guān)系
(韋達(dá)定理)得出結(jié)論。
2021高考押題:
例94、動(dòng)點(diǎn)尸到定點(diǎn)廠(0J)的距高比它到直線J=-2的距離小1,設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為曲線C過(guò)點(diǎn)下的
直線交曲線C于48兩個(gè)不同的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)48分別作曲線C的切線,且二者相交于點(diǎn)例.-
(1)求曲線C的方程;(2)求證:萬(wàn)防=0;(3)求-例的面積的最小值.1
【解忻】(1)由已知,動(dòng)點(diǎn)尸在直線.1'=-2上方,條件可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)尸到定點(diǎn)?(0J)的距離等于它到
直線J=T距離,二動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以尸(0」)為焦點(diǎn),直淺丁=-1為準(zhǔn)線的拋物線,故其方程為x2=4y.
=4r
(2)證:設(shè)直送.18的方程為:y=&+l,由「,得:/-4"-4=0,〃
V=Ax4-l
設(shè)3(%JB),則與+&=4左,XX=-4.由『=4]-得:j=-■
AB4
二./=《x,二直線的方程為:.①,1
242
11、
38河的方班:j'一Z場(chǎng)2=彳&(z》一出)…②,.
:(右一七)=;(匕-XB)X+!(£-V),即》=:!k^5.=2左,.
將*=*'旦代入=:-%:滬土產(chǎn)廣儲(chǔ),.
1、---/、—,、、
-'y=-xAxB=-1,故M(2左一1),,A£F=(-2£2),.13=(4一打左(與一.0)),n
二^BMF=-2無(wú)(出-n)+2左3一匕)=0,二次一赤.
(3)的由(2)知,點(diǎn)財(cái)?shù)健霰氐木嚯x”=口陽(yáng)=2而淳,,
?■?|-^8|=以同+忸下|=11+n+2=左(a+&)+4=4左:+4,1
二S=4例d=:x4(M+l)x2而淳=4(鋁+爐>4,1
二當(dāng)上=0時(shí),&IBM的面積有最小值4.
例95、已知?jiǎng)又本€‘:)'=%(入+3)伏*0)與丁軸交于點(diǎn)月,過(guò)點(diǎn).4作直線JBL,交'軸于點(diǎn)8,點(diǎn)。滿足
AC=3AB,C的軌跡為E.e
(I)求E的方程;,
(U)已知點(diǎn)尸(1,0),點(diǎn)G(2,0),過(guò)尸作斜率為用的直線交E于時(shí),N兩點(diǎn),延長(zhǎng)A石,NG分別交E于
P,。兩點(diǎn),記直線股的斜率為依,求證:)為定值.,
H-
【解忻】解:⑺動(dòng)直線/:尸/-3)3*0)與丁軸交于點(diǎn)火0,3盼,“
???直線二直線.43的方程為:>=-%+3左,交x軸于點(diǎn)3(39,0).3
設(shè)C(xj),點(diǎn)C滿足胃=3屈,二。,丁-3普=3(3吃-3*)..-.x=9^,產(chǎn)力無(wú).0
消去方可得:/=4x(x*0).即為C的軌跡方程E.,
3)證明:設(shè)M,N,P,。的坐標(biāo)依次為(為,工)。=1,2,3,4).”
?|\=a+1,,“
直線MV的方程為:x=0+l,聯(lián)立。=4x,化為:r-4a'-4=0,:.yi+yi=4tiy,y2=-4,,
?fx=wy+2,
設(shè)直線A站的方程為:、=沖'+2,聯(lián)立]=依,化為:F-8陽(yáng)-8=0,“
88
二.5=-S,二八=——.同理可得:*=——.”
Jl必
..七―】44_A_A
''七一均J;v-v,^=7TT-二色_心一久一?。阂?_。為定值.”
——---2;Jj+"T""-----------------------------------/
四、概率統(tǒng)計(jì)大題
歷年考情:
9年高考,每年1題.第1問(wèn)多為統(tǒng)計(jì)問(wèn)題,第2問(wèn)多為分布列、期望計(jì)算
問(wèn)題;特點(diǎn):實(shí)際生活背景在加強(qiáng).頻率分布直方圖、莖葉圖、回歸分析、獨(dú)立
性檢驗(yàn)、正態(tài)分布等都有可能考。以往概率統(tǒng)計(jì)大題一般在第18題或19題考,
2018年放在第20題考與導(dǎo)數(shù)結(jié)合,2019年放在第21題考與數(shù)列結(jié)合,這是
一個(gè)信號(hào)。
線性回歸的公式要理解含義學(xué)會(huì)代入數(shù)據(jù),?正態(tài)分布要理解對(duì)稱性;二項(xiàng)分布和
超幾何分布要區(qū)別開(kāi);二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望和方差可以直接用公式求解。
2021高考押題:
例96、某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品,這些產(chǎn)品每箱100件,以箱為單位銷(xiāo)售,已知這批產(chǎn)品中每箱出現(xiàn)的
廢品率只有兩種可能10%或者20%,兩種可能對(duì)應(yīng)的概率均為0.5.假設(shè)該產(chǎn)品正品每件市場(chǎng)價(jià)格為100
元,廢品不值錢(qián).現(xiàn)處理價(jià)格為每箱8400元,遇到廢品不予更換,以一箱產(chǎn)品中正品的價(jià)格期望值作為
決策依據(jù).”
(I)在不開(kāi)箱檢驗(yàn)的情況下,判斷是否可以購(gòu)買(mǎi);~
(口)現(xiàn)允許開(kāi)箱,有放回地隨機(jī)從一箱中抽取2件產(chǎn)品迸行檢驗(yàn).1
⑺若此箱出現(xiàn)的廢品率為20%,記抽到的展品數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
5)若已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中,其中恰有T牛是廢品,判斷是否可以購(gòu)買(mǎi).
【解忻】解:(I)在不開(kāi)箱檢瞼的情況下,一箱產(chǎn)品中正品的價(jià)格期望值為:a
^=100x(1-02)x100x05-100x(1-0.1)x100x0.5=8500>8400,二在不開(kāi)箱檢驗(yàn)的情況下,可以購(gòu)買(mǎi),―
(口)⑺X的可能取值為0,1,2,a
P(X=0)?C?x0.2°x0.8:=0.64,P(X=1)=C:x0-2!x0-8!=032,P(X=2)=C:x0-8:x0?2°=0.04,
二X的分布列為:一
V2
pa
0.64-0.32Q0.0*
£(^)=0x0.64-1x0.32*2x0.04=0.4,
(”)設(shè)事件乂:發(fā)現(xiàn)在抽取檢險(xiǎn)的2件產(chǎn)品中,其中恰有一件是廢品,一
貝(J尸(A)=x02x0.8x0.5-C;x0.1x0.9x0.5=0251-
一箱產(chǎn)品中,設(shè)正品的價(jià)格的期望值為V,貝曠7=8000,9000,=
nP(AR)CJx0.2x0.8x0.5
事件耳:抽取的廢品率為20%的一箱,則P(〃=8000)=P(5|H)=F^=I—K-----=0工4,」
P(A)
_P(AB-)C(x0.1x0.9x0.5
事件紇:抽取的廢品率為10%的一箱,則P(〃=900)=P(房|閻=^^=一—------=0.36,,
r\A)U.Z>
/.£(7)=8000x0.64-9000x0.36=8360<8400,(
.已發(fā)現(xiàn)在抽取檢臉的2件產(chǎn)品中,其中恰有一件是廢品,不可以購(gòu)買(mǎi).~
例97、袋中裝有黑色球和白色球共7個(gè),從中任取2個(gè)球都是白色球的廨為:.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中
輪流摸出1個(gè)球,甲先摸,乙后摸,然后甲再摸_____摸后均不放回,直到有一人摸到白色球后終止.每
個(gè)球在每一次被摸出的機(jī)會(huì)都是等可能的,用-Y表示摸球終止時(shí)所需摸球的次數(shù).1
(1)求隨機(jī)變量X的分布列和均值E(X);(2)求甲摸到白色球的概率.一
、C'1
【解析】解:設(shè)袋中白色球共有I個(gè),xeN?且x》2,則依題意知==亍,“
x(x-l)
所以即/一x—6=0,解彳導(dǎo)x=3(x=-2舍去).”
2^1
(1)袋中的7個(gè)球,3白4黑,隨機(jī)變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.
P(Jf=l)=4=1,P(X=2)=舉=£p(x=3)=竽=假p(》=4)=號(hào).,式
47'Ar7/d3),⑷3〉,
父人1
P(X=5)=于=方.隨機(jī)變量X的分布列為J
X7
12Q324^5~
P0A
尹35
所以E(J0=lx2-2X2-3X9-4X_L+5X_L=2.
所以77353535
(2)記事件/為“甲摸到白色球”,則事件H包括以下三個(gè)互斥事件:。
4="甲第1次摸球時(shí)摸出白色球";4="甲第2次摸球時(shí)摸出白色球”;,
4="甲第3次摸球時(shí)摸出白色球”.。
D/,、及3D/,、4461
依題意知,"4)=下=7,=-3~=35/=77~=351衛(wèi)
所以甲摸到白色球的概率為P(A)=P(4)-P(W)-P(4)=,+盤(pán)-宗=11.e
例98、某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效,對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行一次安全意識(shí)測(cè)試,根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定
"合格"、"不合格”兩個(gè)等級(jí),同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化:"合格"記5分,"不合格”記0分.現(xiàn)隨
機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī),統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示:?
等級(jí)不合格-合格-
得分[20,40)*[40,60)4[60,80)[80r100)
xP*
殿:6g24^
(I)若測(cè)試的同學(xué)中,分?jǐn)?shù)段[20,40)、[40,60)、[60,80)、[80,100]內(nèi)女生的人數(shù)分別為2人、
8人、16人、4A,完成2x2列聯(lián)表,并判斷:是否有90%以上的把握認(rèn)為性^與安全意識(shí)有關(guān)?一
(H)用分層抽樣的方法,從評(píng)定等級(jí)為"合格"和"不合格”的學(xué)生中,共選取10人進(jìn)行座談,現(xiàn)再
從這10人中任選4人,記所選4人的量化總分為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X);」
(皿)某評(píng)估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)瓦石,其中5X)表示X的方差)來(lái)評(píng)估該校安全教育活動(dòng)的成效,若
刊對(duì).7,則認(rèn)定教育活動(dòng)是有效的;否則認(rèn)定教育活動(dòng)無(wú)效,應(yīng)調(diào)整安全教育方亳在(H)的條件下,
判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案?
附表及公式:小尹署哉修,其中』—.
P位,k0)Q0.1510.1020.05P0.025^0.01(P
2.072^2.7063.841Q5.024-6.635a
是否合格做卜不合格-合格-總計(jì)二
男生」9
女生口P
總計(jì)49
VA??
£jm
0.02------
0.C15------
0.01—
0204。6c8010Cx
【解折】解:(I)由頻率分布直方圖可知,得分在RO,40)的頻率為0905x20=0」,故抽取的學(xué)生答
卷總數(shù)為六=60,.-1=60x0.2=12/x-18,~
性別與合格情況的2x2列聯(lián)表為:-
是否合格,不合格-合格-小計(jì)~
性別一
男生214^16330二
女生Q220730。
小計(jì)224-36-60二
^^60x(14x20-10x16/=10<2706
30x30x24x369
即超循誤概率不超過(guò)兜%的前提下,不能認(rèn)為性SU與安全測(cè)試是否合格有關(guān).....-
(口)"不合格"和"合格"的人數(shù)比例為X&:36=2:3,因此抽取的10人中“不合格"有4人,”合
格"有6人,所以X可能的取值為20、15、10、5、0,“
P(X=20)噌$尸-1>=簧哈Pg0)=警V
P(丫=5)=等=5,9(工=0)=3=擊
1010.X的分布列為:。
2(P1531U5Q(p
IPIPAP
1421735210
KU1E<5=20XA-15XA-10X2-5XA-0XJ_=12
所以-1421735210
(in)由(n)知:”
:::::
Z)(A9=(20-12)xl,(15-12)xA-(10-12)x1-(5-12)x_L-(0-12)x5L=16
E⑶123
Al=-----=—=—>U.Z
D8164.故我們認(rèn)為該校的安全教育活動(dòng)是有效的,不需要調(diào)整安全教育方案.........
五、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)大題
歷年考情:
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)大題9年高考,每年1題.函數(shù)載體上:對(duì)數(shù)函數(shù)很受"器重"!
指數(shù)函數(shù)也較多出現(xiàn)!兩種函數(shù)也會(huì)同時(shí)出現(xiàn)!但是,無(wú)論怎么考,討論單調(diào)性
永遠(yuǎn)是考杳的重點(diǎn),而且緊緊圍繞分類(lèi)整合思想的考查.在考查分離參數(shù)還是考
查不分離參數(shù)上,命題者會(huì)大做文章!分離(分參)還是不分離(部參),的確
是一個(gè)問(wèn)題??!一般說(shuō)來(lái),主要考杳不分離問(wèn)題(部參)。
另外,函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化也不容忽視,如函數(shù)零點(diǎn)的討論.函數(shù)題設(shè)問(wèn)靈活,多
數(shù)考生做到此題,時(shí)間緊,若能分類(lèi)整合,搶一點(diǎn)分就很好了.還有,靈活性問(wèn)
題:有些情況下函數(shù)性質(zhì)是不用導(dǎo)數(shù)就可以"看出"的,如增函數(shù)+增函數(shù)=增
函數(shù),復(fù)合函數(shù)單調(diào)性,顯然成立的不等式,放縮法等等,總之,導(dǎo)數(shù)是很重要,
但是有些解題環(huán)節(jié),不要"吊死"在導(dǎo)數(shù)上,不要過(guò)于按部就班!還有,數(shù)形結(jié)
合有時(shí)也是可以較快得到答案的,雖然應(yīng)為表達(dá)不嚴(yán)謹(jǐn)不得滿分,但是在時(shí)間緊
的情況下可以適當(dāng)使用.
導(dǎo)數(shù)題強(qiáng)調(diào)用,用就是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,即用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值.主要
包括:導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題、
恒成立問(wèn)題、分離參數(shù)以及式子的變形與調(diào)整、構(gòu)造函數(shù)等等.在命題的載體上,
即使用何種函數(shù)上,命題者的函數(shù)是如何構(gòu)造出來(lái)的?首先確定是多項(xiàng)式函數(shù)、
還是指對(duì)函數(shù)、分式函數(shù)、根式函數(shù),指對(duì)函數(shù)是單獨(dú)的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù),
還是指對(duì)函數(shù)組合在一起,一個(gè)省份往往是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)交替出現(xiàn).在很
大程度上是先有的導(dǎo)函數(shù),再有是原函數(shù).再把原函數(shù)適當(dāng)調(diào)整,這樣就出現(xiàn)了
式子的調(diào)整與變形.調(diào)整變形是最難的一個(gè)環(huán)節(jié)??!分離參數(shù)是從方法的需要,
式子的調(diào)整是在原函數(shù)的基礎(chǔ)上適當(dāng)變形所致。
2021高考押題:
例99、已知函數(shù)加)=七.一
(1)當(dāng)時(shí),求曲線八x)在(0,{0))處的切線方程;(2)求函數(shù)人x)的單調(diào)區(qū)間.-
【解析】解:當(dāng)。=1時(shí),八2=三,則"x)=*^.又/(0)=B=-l,"°)=3等=-2,“
所以/x)在(0,八0))處的切線方程為J'-(T)=-2(x-0),即j=-2x-l;*
(2)由函數(shù)八x)=m,得:/(x)=」
當(dāng)。=0時(shí),八幻=舟<0,又函數(shù)的定義域?yàn)楹?D,所以"x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一力(Wo)..
當(dāng)a,0時(shí),令<(》)=0,即。_0_1)=0,解得x=”,P
當(dāng)a>0時(shí),.v=—>1,所以_T(x),八x)隨K的變化情況如下表
n
(-x,l)Q
1-(1,—(----.+00)-
aaa
-p-P一Q
無(wú)定義.04
/(X)P
減函數(shù),二’減因數(shù)」極小值-增函數(shù)」
所以以X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(TO]),(1,—),單調(diào)遞增區(qū)間為(佇上”),1
aa
當(dāng)。<0時(shí),A=—<1,所以所以7\x),/(x)隨X的變化情況如下表1
/4+1、、(5)。
(f——)-3
aa
八x)Q-P一7
(P無(wú)定義」
加)一
增函數(shù)」極大值」減函數(shù)」減函數(shù)」
所以與X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-應(yīng)文口),單調(diào)遞減區(qū)間為(生11,1),(1,^00).1
aa
例100、已知因數(shù),(x)=J-a(x-ln?.。
X
(1)當(dāng)。<0時(shí),試求/(X)的單調(diào)區(qū)間;(2)若/(X)在(0,1)內(nèi)有極值,試求。的取值范圍.
1、e^x-l)1e'(x-l)-ox(x-l)(ex-or)(x-l)
1)f(x)=---———aQ-一)=-------------------=----------------?
X"XX*XT
當(dāng)大。時(shí),對(duì)于Vxe?+8),e*一辦>0恒成立,
所以/''(x)>0,x>l}f(x)<0,0<x<l.
所以單調(diào)熠區(qū)間為(L+x),單調(diào)減區(qū)間為(0:1).
(2)若/(x)在(0」)內(nèi)有極值,貝在xe(0」)內(nèi)有解.〃
令/"(x)=^——?空D=0,x-ov=0,a=J.設(shè)g(x)=3xe(0,l),,
XeXX
所以g'(x)=1':二",當(dāng)xe(0」)時(shí),g<x)<0伽位,所以g(x)單調(diào)遞減.”
又因?yàn)間(D=e,又當(dāng)xf0時(shí),gCOf+<?,即g(x)在xe(0,l)上的值域?yàn)?e,楨),
所以當(dāng)a>e時(shí),一呼—)。。有解..
設(shè)H(x)=e-ax,則目'(x)=e、-a<0xe((H),所以E(x)在xe(0」)單調(diào)遞減.,
因?yàn)镠(0)=l>0,HQ)=e-a<0,,
所以H(x)=e'ax在xe(0,l)有唯一解與.一
所以有:一
X/(0,與)。而Q(%1)3
H(x)>+?0~-P
-P(P+S
/劍極小值-
所以當(dāng)a>e時(shí),/(x)在(01)內(nèi)有極值且唯一.3
當(dāng)Xe時(shí),當(dāng)xe(0」)時(shí),/(x)>0恒成立,/(x)單調(diào)遞置不成立.一
綜上,a的取值范圍為(e,M).*
例101、設(shè)圖數(shù)/(x)=B--x-瓦(x-3-x:).*
(I)求函數(shù)八X)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù);1
【解忻】解:(I)???/(X)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故只需考慮xe(0,~°)上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),
nA()=(1x(x-*Xx_亭
/W=------.----,*-、)、,ft(x)=-----7―
/十廠也十X:
故xe(Q§時(shí),力'。)<0,3)遞減,xw咚,xo)時(shí),介'。)>0,〃。)遞胤故介電〈用0)=0,
取1=質(zhì),3@="-1>0,故在(《,一)上存在唯一的I使得。8,)=0,一
故7W在(0劣)遞減,在8,?)遞增,又八X)是奇函數(shù),1
故八X)在(一?-。)遞增,在(一兀,%)遞減,在(L,+切遞胤故八X)的極值點(diǎn)共2個(gè);1
六、選修4-4和選修4-5
歷年考情:
9年高考,是作為2個(gè)選做大題之一出現(xiàn)的,選修4-4主要考查兩個(gè)方面:一是
極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,二是極坐標(biāo)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用,難度較小。選修
4-5主要考絕對(duì)值不等式的解法(出現(xiàn)頻率太高了,應(yīng)當(dāng)高度重視),偶爾也考
基本不等式.全國(guó)卷很少考不等式小題,如果說(shuō)考的話,可以認(rèn)為在其它小題中
考一些解法之類(lèi)的問(wèn)題.不等式作為一種工具,解題經(jīng)常用到,不單獨(dú)命小題顯
然也是合理的.不等式的證明一般考在函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合題中出現(xiàn)。
求不等式解集要分類(lèi)討論;研究含參的最值或恒成立問(wèn)題要學(xué)會(huì)分段函數(shù)思想,最好結(jié)合分段函數(shù)的圖像
(折線圉);可以用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)時(shí),可以直接求最值或范圍(料-例4k±6區(qū)同+即;最值
問(wèn)題要看形式?jīng)Q定可不可以用基本不等式。
2021高考押題:
例102、已知.一
(1)當(dāng)。=1時(shí),求不等式/。)>1的解集;(2)若xe(0」)時(shí)不等式"x)>x成立,求。的取值范圍.
2?x>1
當(dāng)。=1時(shí),/(x)=|x-l|-|x-l|=^2x-iCx^l,由/G)>1,二
【解析】解:(1)
{%L或空;
-23X<-1
解彳導(dǎo)x>g,故的解9(g,?),/
(2)當(dāng)xe(0,l)時(shí)桎式/x)>x的,二x>0,即x-1-|a-l|-x>0,即
222-
/.-1<ax-1<1/.0<ot<2,vx6(0,1),/.a>0,0<x<-,。<二??,一>2,0<小2,一
4''''a9xx*'
故0的取值范圍為(0,2],
例103、已知函數(shù)〃x)=|3x+2|.”
(1)|^^/(x)<4-|x-l|;i
(2)已知物+“=1(皿〃>0),若k-a|-/(x)<L+L(a>0)恒成立,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.
mn
【解析】⑴不等式/?(刈<4-卜一1|可化為:|3x+2|+|x-l|<40.
242
當(dāng)xv-j時(shí),?JV9-3x-2-x+l<4,解得一£<x<一§j
當(dāng)_:<:<1,①式為3x+2-x+l<4,解得一:4x
當(dāng)x>】時(shí),①式為3x+2+x-l<4,無(wú)解.
綜上所述,不等式〃x)<4一|x-l|的解集為
(2)解:—+-=—+-|(w+n)=2+—+—>4,u
mn\mnJmn
■$-^(x)=|x-a|-/(x)=|x-a|-|3x+2|='
222/
二X=一:時(shí),gd)+a,期根式頓立,只需g(x)ax=1+V4,1
/10,<101
即on<W<,二實(shí)數(shù)取值范圍是J,二.一
例104、已知不等式山一1|+|2*-2。-3的解集是.4.1
(I)求集管a;(H)設(shè)X,.1'€避,對(duì)任意。€五,求證:^(||x-a|-|v-a||)<x:-r.
[Or]解:(I)當(dāng)時(shí),棺式哪為l-2x-2-2x<x-3,解得0<x<g;-
當(dāng);時(shí),根為2x-l-2-2x<x-3,曲導(dǎo)上咫;一
當(dāng)x>l時(shí),不等j餓形為2x-l-2x-2<x-3,解得l<x<2;a
練上得以=住1°<、<2}.~
(口)",ywH,.?.0<x,J<2,?Rx-3-4-a”(ia-a)-G+a)Hx-yl,一
」0<x,j<2,—><2,中_],|<2,二""-"1"'—"*?,d
..二工》2區(qū)L2Xy,,
二l|x—a|Tj'_a||<《一',即邛(|x+a|-|j-aD<x:+y:.d
'yx\yx
例105、已知函數(shù)/(x)=|x-刑Hx-2刑的最大值為九其中加>0.~
db'
(I)求加的值;(口)若JbeR,曲>0,出+廣=?M,求證:—+—>1.e
Da
f-37M.x^m
[解答]解:
(I)?.?m>Q,:./(x)=|x-m|-|x+2?M|=';-2x-m,-2m<x<m(
|3mfX4-2?M
當(dāng)-2小時(shí),TTx)取得最大值3洲.Aw=l.d
crbla,一04(a:^b2)-2crb21_,
(II)證明:由(I)得,cf^b1=1,--------------;—=--------;---------^—-lab.v
baababab
?:<r=X^lab,當(dāng)且僅當(dāng)a=°時(shí)等號(hào)成立.二0<。欠3,令力(/)=:-%,°<%;,貝!I%)在(0,芻
上單調(diào)遞減,二咐》七)=1,二當(dāng)。<限!時(shí),3-為除1,二
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