2022年暑假滬教版新九年級數(shù)學(xué)-第2講 三角形一邊的平行線（一）

第2講三角形一邊的平行線（一）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

三角形一邊的平行線是九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章第二節(jié)的內(nèi)容，本講主要講解三角形一邊平行線性質(zhì)

定理及推論，重點(diǎn)是掌握該定理及其推論，分清該定理及其推論之間的區(qū)別和聯(lián)系，難點(diǎn)是理解該定理和

推論的推導(dǎo)過程中所蘊(yùn)含的分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，并認(rèn)識“A”字型和“X”字形這兩個(gè)基本圖形，

為后面學(xué)習(xí)相似三角形奠定基礎(chǔ).

【基礎(chǔ)知識】

一、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理

1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應(yīng)線段成比例.

AnAp

如圖，已知AABC,直線〃/8C,且與AB、AC所在直線交于點(diǎn)。和點(diǎn)E,那么一=—.

DBEC

二、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論

1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.

如圖，點(diǎn)。、E分別在AASC的邊他、AC上，

DE〃BC，那磴嘮嘿.

A

B乙---------------------C

2、三角形的重心

定義：三角形三條中線交于一點(diǎn)，三條中線交點(diǎn)叫三角形的重心.

性質(zhì)：三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對邊中點(diǎn)的距離的兩倍.

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：三角形一邊的平行線性質(zhì)定理

例1.如圖，在A/WC中，AB=15,AC=10,DE/IBC,BD=6,求CE.

【難度】★

【答案】4.

【解析】—,代入可得：CE=4.

ABAC

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線的性質(zhì)定理.

?2.陽光通過窗口照在教室內(nèi)，在地面上留下2.7米寬的亮區(qū)（如圖）.已知亮區(qū)一邊到窗下的

墻角距離CE=8.7米，窗口/W=L8米，求窗口底邊離地面的高BC.

【難度】★

【答案】5.8%

【解析】射入的光線平行，則有絲=匕，代入可求得：AC5.8m,BC^AC-AB^4m.

ACCE

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理的應(yīng)用，在路燈、太陽光線中經(jīng)常用到.

列3.在A4BC中，點(diǎn)￡>、E分別在AB、AC的反向延長線上，DE//BC,若A￡>:AB=2:3,

EC=12厘米，則AC=

【難度】★

【答案】7.2cm.

【解析】由DE//BC，可得空=絲=2,故生=3,代入求得AC=7.2cvn.

ACAB3AC3

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線的性質(zhì)定理和比例合比性的綜合應(yīng)用.

》例4.如圖在—中，8平分小女，AC=5厘米，筆

=3:5,求DE的長.

【難度】★

【答案】2cm.

【解析】???DE/ABC,.?.絲=絲=。.

ACAB5

由AC=5a〃，代入可求得：AE=3cm,CE-2cm.

又,；DEHBC,:.AEDC=ZDCB.

又C￡＞平分NACB,:.ZECD^ZDCB.

ZECD=ZEDC,:.DE=CE=1cm.

【總結(jié)】本題中涉及一個(gè)基本圖形，平行線與角平分線一起會(huì)產(chǎn)生等腰三角形,同時(shí)應(yīng)用二角形一邊平行

線的性質(zhì)定理.

ij5.如圖，已知在AABC中，DE//BC,EFUAB,AE=2CE,AB=6,BC=9,求四邊形

的周長.

【難度】★

【答案】16.

AE2CE_1

【解析】???AE=2CE,

AC3fAC~3

又DEMBC,EF//AB,

,ADAE2EFCE1

一益一就一屋益一就一3'

四邊形瓦湖為平行四邊形.

代入可求得：DE=6,EF=2,

C四邊形BOEF=2（￡>￡+￡F）=16.

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用.

1Y1例6.如圖，在A4BC中，AB>AC,AD_L3C于點(diǎn)

點(diǎn)尸是3c中點(diǎn)，過點(diǎn)F作BC的垂線交AB

于點(diǎn)E,BD:DC=3:2,則8E:E4=__________.

A

上

BFDC

【難度】★★

【答案】5:1.

【解析】由8/）:￡>C=3:2,BF=FC,

即得：BF+FD/可得：尤=2.

BF-FD2FD1

又AD_L6C,EFtBC,

'.EF//AD,

:.BE:EA=BF:FD=5:l.

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用.

例7.如圖，己知ABUCDUEF,Q4=14,AC=16,CE=8,如=12,求08、的長.

o

EZ-------------------*

【難度】★★

21

【答案】OB=—,DF=6.

2

【解析】由AB//CD//EF,

.OAOB

,'AC~~BD

代小入，可-r陽得：O八B門=-1-4-x-1-2=—21.

162

同時(shí)根據(jù)比例的合比性，可得：+=+即生=空，

ACBDACBD

X74-HW4--rzsOCODACBD

又根據(jù)平仃，可得：一=—,一=-.

CEDFCEDF

代入求得：。尸=論空=6.

16

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線定理的變形應(yīng)用，實(shí)際上，任意兩條直線被三條平行線所截得的線段對應(yīng)

成比例.

口□例&如圖'已知是邊長為2的等邊三角形，田gSs-4求EC的長.

【難度】★★

【答案】

2

【解析】?.?△E8和△38為等高三角形，

故,/——DE=^S^EC.D=一3,

BCS^BCD4

由OE7/BC,BC=2,AABC為等邊三角形，

可知△4DE也為等邊三角形,

3

???DE=-,

2

31

:.EC=AC-AE=2——=-.

22

【總結(jié)】平行于等邊三角形一邊截得的三角形也是等邊三角形.

（Y）例9.如圖，P為QABCD對角線皮）上任意一點(diǎn).求證：PQ.PI=PR.PS.

【難度】★★

【答案】略.

【解析】證明：?.?四邊形/WC。為平行四邊形,

:.AB//CD,AD//BC,

:.RBUDI,SDHBQ.

根據(jù)三角形一邊平行線的性質(zhì)定理，則有且=￡2=空

PRPBPQ

:.PQPI=PRPS.

【總結(jié)】初步認(rèn)識相似三角形中的"X”字型，?個(gè)圖形中存在往往不只一個(gè)，可用來進(jìn)行等比例轉(zhuǎn)化.

［例10.如圖，在平行四邊形MCZ）中，CZ）的延長線上有一點(diǎn)E,8E交AC于點(diǎn)F,交4）于點(diǎn)

G.求證：BF~=FG>EF.

【難度】★★

【解析】證明：?.?四邊形/WCD為平行四邊形,

:.ABUCD,AD//BC，

:.AB//CE,AG//BC.

根據(jù)三角形一邊平行線的性質(zhì)定理,

EFCFBF

則有:

而一前一元

BF1=FG.EF.

【總結(jié)】初步認(rèn)識相似三角形中的"X”字型，?個(gè)圖形中存在往往不只一個(gè)，可用來進(jìn)行等比例轉(zhuǎn)化.

11.如圖，點(diǎn)C在線段Afi上，A/VWC和ACBN都是等邊三角形.

MDAM

求證:

~DC~~CN

(2)MD.EB=ME.DC.

【難度】★★

【解析】證明：（1）A4MC和ACBN是等邊三角形,

ZACM=ZNCB=ZAMC=60°.

;點(diǎn)C在線段AB上，

:.ZMCN=\S(f-ZACM-ZNCB=f^°=ZAMC.

…MDAM

/.AM//CN，=-----

DCCN

(2)同(1)易證得CW//3N,則有.=■

EBNB

???AAMC和ACBV是等邊三角形,

:.MC=AM,NB=CN,

MDME

..MD-EB=ME?DC.

~DC~~EB

【總結(jié)】初步認(rèn)識相似三角形中的“X”字型，一個(gè)圖形中存在往往不只一個(gè)，可用來進(jìn)行等比例轉(zhuǎn)化.

考點(diǎn)二：三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論

由例

1.如圖，D、E分別是AABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，魚DE11BC.

(1)如果QE=2,BC=6,AD=3,求他的長;

(2)如果￡)E=2,BC=6,BD=8,求4)、A3的長;

(3)如果絲=3,求匹的值.

BD5BC

D.E

【難度】★

3

【答案】(1)9；(2)AD=4,AB=\2；(3)

8

【解析】(1)VDEIIBC,-=—=A3=9;

ABBC3

AnJ)F1

(2)?:DE//BC,：------------=-,AAD=4,:.AB=AD+BD=V2；

AD+BDBC3

c"http://AC.DEAD_3_3

BCAB3+58

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線的性質(zhì)定理.

例2.已知小智的身高是CD=1.6米，他在路燈下的影長DE=2米，小智與路燈燈桿的底部8的

距離為。8=3米，則路燈燈泡A距地面的高度AB=米.

【難度】★

【答案】4.

【解析】'：ABHCD,=—：.AB=4m.

ABBE2+35

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線定理的實(shí)際應(yīng)用.

［、2］例3.如圖，一根直立于水平地面的木桿43在燈光下形成影子，當(dāng)木桿繞點(diǎn)A按逆時(shí)針反向旋轉(zhuǎn)

直至到達(dá)地面時(shí)，影子的長度發(fā)生變化.設(shè)/W垂直于地面時(shí)的影子為AC(假定AC>M),影子的最大

值為m,最小值為n,有下列結(jié)論：①m>AC;?m=AC；③〃=A3；④影子的長度先增大后減

小,其中正確的序號是.

B/

【難度】★★

【答案】①③④.

【解析】木桿繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)45與3c光線垂直時(shí)，加最大，則“〉A(chǔ)C,①成立，②不成立;

最小值為他與AC重合，故③成立；由上可知，影子長度先增大后減小，故④成立.

【總結(jié)】找準(zhǔn)臨界值，注意進(jìn)行思維分析.

〔Yl例4已知：MN//PQ，a#b,CNX,則滿足關(guān)系式x=生的圖形是（）

:

xMcPcMbPaMbPaMxP

A.B.C.D.

【難度】★★

【答案】C

【解析】交叉相乘，滿足?=be的是C選項(xiàng).

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)的簡單應(yīng)用.

[']例5.如圖，AABC中，DEHBC,AE=3,DE=4,I

邛=2,C尸=5,求EC的長.

A

BC

【難度】★★

【答案】EC=~.

2

【解析】DE//BC,

DEDFAE2

1SC~~CF~~AC~~5

3

即求得：EC=~.

3+EC52

【總結(jié)】相似三角形中“A”字型和“X”字型的綜合應(yīng)用，可得到相等比例關(guān)系式.

河6.如圖，在平行四邊形5a＞中，點(diǎn)￡在邊。C上，若。E:EC=1:2,則3F:3E=

【難度】★★

【答案】3:5.

【解析】DE-.EC=\:2,可知名=0=2,

CDAB3

npAD3

由CE7//1B,可知一=一=—，故BF;BE=3:5.

EFCE2

【總結(jié)】初步認(rèn)識相似三角形中的“X”字型.

[例7.如圖，在AABC中，BC=6,G是AABC的重心，過G作邊3C的平行線交AC于點(diǎn)〃，求

G”的長.

【難度】★★

【答案】2.

【解析】連結(jié)AG并延長交8c于點(diǎn)。，根據(jù)重心的定義，可知。為8C中點(diǎn)，則。C=,BC=3,

2

A

根據(jù)重心的性質(zhì)，又GHIIDC,可得：-=—=求得G〃=2.

DCAD3

【總結(jié)】考查三角形重心的性質(zhì).

例8.如圖，已處ABUCDUEF.AB=m,CD=n,求EF的長.（用加、〃的代數(shù)式表示）.

【難度】★★

mn

【答案】

m+n

【解析】由ABIICDIIEF、則有——=—,——=——,

ABBCCDBC

即竺+變=1,得EF二型

mnm+n

【總結(jié)】考查相似三角形中“X”字型的綜合應(yīng)用，得到比例關(guān)系.

「、門例以如圖，E為平行四邊形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)，—虛的延長線交8的延長線

I__JEC3

于點(diǎn)G,交于點(diǎn)求的值.

【難度】★★

【答案】1:2.

【解析】由力尸/ABC，可得絲=空=!，即竺=！，故絲=1,由HB//0G,

BCEC3AD3FD2

可得：BF.FG=AF:FD=\:2.

【總結(jié)】考查相似三角形中“X”字型的綜合應(yīng)用，得到比例關(guān)系.

例10.如圖，/,//l2,AF:FB=2:58C:8=4:1,求AE:EC的值.

【難度】★★

【答案】2:1.

【解析】由/,///,,得：-=—=-,又BC:CD=4:1,可得任=2,故他：￡：。=46:。/)=2:1.

BDFB5CD1

【總結(jié)】考查相似三角形中“X”字型的綜合應(yīng)用，得到比例關(guān)系.

如圖，在梯形/WCZ)中，AD//BC,對角線AC、加交于點(diǎn)。，點(diǎn)￡在AB上，且EO//3C,

已知A￡>=3,BC=6.求EO的長.

【難度】★★

【答案】2.

【解析】由AQ〃8C，可得：—=—=-=1,

COBC62

故絲=1,由EO//8C,—,求得￡0=2.

AC3BCAC3

【總結(jié)】相似三角形中“A”字型和“X”字型的綜合應(yīng)用，可得到相等比例關(guān)系式.

12.如圖，在梯形ABC￡＞中，AD//BC,AD=3,BC=5,E、F是兩腰上的點(diǎn)，且

EF//AD,AE:EB=\:2,求功的長.

AD

BC

【難度】★★

【答案】--

3

【解析】過點(diǎn)A作AH//OC交3c「”，交EF丁G，

則有8=FG=4）=3,BH=2,又EG11BH,

可得：――=――——,解得：EG=—?故EF=EG+GF=—.

BHAB333

【總結(jié)】兩條直線被三條平行線所截得的線段長對應(yīng)成比例.

【真題演練】

一、單選題

1.（2021?上海九年級專題練習(xí)）如圖，在AABC中，MN//BC,ON//MC,下列結(jié)論正確的是（）

AMAMAD_DNAMANDNMN

D.----=----

NCABDMMCMBACMCBC

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)，即可解答.

【詳解】'.-MN//BC

.AN_MN

~AC^~BC

'：DN//MC

ANDN

"~AC~lvic

,DNMN

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)得到線段的比例關(guān)系.

2.（2021?上海九年級專題練習(xí)）如圖,DE//BC,EF//AB,則下列式子中成立的是（）

ADBFABDEC空二如ADBF

A.=B.---=----D.=

DBECBCACABCEDBFC

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)，即可解答.

【詳解】?/DE//BC

.ADAE

"~DB~~EC

EF//AB

BFAE

"~FC~~EC

ADBF

"~DB~~FC

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)得到線段的比例關(guān)系.

3.（2021?上海九年級一模）如圖，已知BD與CE相交于點(diǎn)A,DE〃BC,如果AD=2,AB=3,AC=6,那

么AE等于（）

E

，D

C

1218

A.——B.—C.4D.9

55

【答案】C

［分析］根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：：ED〃BC,

.ABAC

??---=----，

ADAE

即，，

2AE

，AE=4,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的運(yùn)用，注意：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩

邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.

An2

4.（2020?上海市西南模范中學(xué)九年級月考）如圖，在AABC中，DE//BC,若一=一，則

DB3

等于（）

A.2:15B.4:15C.4:9D.3:15

【答案】B

【分析】由DE//BC,證明￡=普=3,再證明聲些=］，合皿=］，設(shè)SAA”=2W,再求解

DBEC31.BDE3、.BEC3

15/7?

S.8Ec=-yr從而可得答案?

AD2

【詳解】解：???DE//BC,—=一，

DB3

ADAE2

---==一,

DBEC3

設(shè)L°E=2，"，則凡的=3加，

5m2

?*,SABEC

Si_2m=4

S“BEC包15

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例，三角形的面積比，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

Ar

5.（2020.上海市金山初級中學(xué)九年級月考）如圖，在△A8C中，DE//BC,且40=03=3,則一的

值為（

【答案】A

ApAn

［分析］根據(jù)平行可以得到—=——.

ECDB

【詳解】解：：DE〃8C,

.AEAD3,

??==-=].

ECDB3

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查線段成比例，解題的關(guān)鍵是掌握根據(jù)平行線得到對應(yīng)的線段成比例的方法.

AE

6.（2021?上海九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE〃BC,走f—?jiǎng)t=等于（）

DB3EC

A

BC

1223

A.-B.-C.一D.-

3535

【答案】C

試題解析：：VDE/7BC,

.AEAD_2

故選C.

考點(diǎn)：平行線分線段成比例.

c,求作線段*=-，下列作法中.

7.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）已知線段a、b、

的是（）

人上二c/

[DAX"

cxcx/rax

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可.

ahhe

【詳解】由A得，一=一，則*=一，A錯(cuò)誤；

cxa

baac…

由B得，—=—,則*=丁"，B錯(cuò)慶；

cxb

V）xhe

由C得，一=一，則x=一，C錯(cuò)誤；

aca

cbcih

由D得，一二一，則乂=一，D正確.

axc

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理，找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

8.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，DE〃BC,DF〃AC,則下列比例式中正確的是

()

cAECF

B.=

ECBCECFB

、DEDF、FCEC

-=------D.一

BCACBCAC

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線所截線段成比例直接判斷即可.

【詳解】如圖：；DE//BC,DF//AC

AE_ADBDBF

FC-~BD'~FC

AE_AD_CF

~EC~~BD~~FB

只有B選項(xiàng)符合，A、C、D都錯(cuò)誤.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線所截線段成比例，關(guān)鍵是根據(jù)題意及結(jié)合圖形得到相應(yīng)線段成比例即可.

9.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，AB〃CD,AD與BC交于點(diǎn)O,則下列比例式

中正確的是（）

AB

OCOAOCODBCAD

A.-----B.C/_弛D.------------

0DOBAD一BC■BCADOB0A

【答案】D

【分析】利用AB//CD,得到對應(yīng)線段成比例，再逐一分析即可得到答案.

【詳解】解：?.-AB//CD,

0A0B

0D次’故4錯(cuò)員

?/AB//CD,

OD0C“

---------,故5錯(cuò)慶;

ADBC

?/AB//CD,

AB//CD,

BCAD

故。正確,

~OB~~OA

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

10.（2019?上海民辦桃李園實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級月考）如圖，己知在中，DE//BC,EF//AB,AE=2CE,

AB=6,8c=9,那么四邊形BOEF的周長是.

【答案】16

【分析】由平行線分線段成比例得出比例式，求出B尸和8。的長度即可.

【詳解】解：?JAE=2CE,

AE_2

"AC-3

DEIIBC,

ADDEAE2

"AB~BC~AC~3'

'：AB=6,8c=9,

,-.AD=4,DE=6,

：.BD=2,

?：DE〃BC,EF〃AB,

：.BD=EF=2,DE=BF=6,

四邊形BDEF的周長是2+2+6+6=16；

故答案為：16.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例和平行四邊形的性質(zhì)；掌握平行線分線段中的線段對應(yīng)成比例

是解題的關(guān)鍵，注意線段的對應(yīng)關(guān)系.

DA|

11.（2019?上海民辦桃李園實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級月考）如圖，DE//BC,——=-,BC=9,那么

BA3

ED=.

DADF1

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)得到一進(jìn)而可求解.

BABC3

【詳解】解：???OE〃8C

.DADE]

：8C=9,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，熟練掌握平行線分線段成比例的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

12.（2020?上海九年級月考）如圖，△ABC中，D、F在AB邊上，E、G在AC邊上，DE//FG//BC,

且AD：DF：FB=3：2：1,若AG=15,則EC的長為.

【答案】9

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理和已知條件得出AD：DF：FB=AE：EG：GC=3：2：1,設(shè)AE=

3x,則EG=2x,GC=x,根據(jù)AG=15得到方程3x+2x=15,求x,再求出答案即可.

【詳解】解：：DE〃FG〃BC,

AAD：DF：FB=AE：EG：GC,

VAD：DF：FB=3：2：I,

AAE：EG：GC=3：2：1,

設(shè)AE=3x,則EG=2x,GC=x,

VAG=15,

/.3x+2x=15,

解得：x=3,

/.AE=9,EG=6,GC=3,

.?.EC=EG+GC=6+3=9,

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理得到比例式，并設(shè)元求出各段的長是解題關(guān)

鍵.

13.（2020?上海上外附中）如圖，在梯形A8CO中，AD//BC.AD=3,BC=5,E,尸是兩腰上的點(diǎn)，且

EF//AD,AE:EB=\:2,則EF=

【分析】過點(diǎn)A作AG〃CD交EF于H,交BC于G,易證四邊形AHFD、AGCD均為平行四邊形，則有

FHAF1

CG=HF=AD=3,BG=2,再由平行線分線段成比例可得——=—=—,可求得EH,進(jìn)而可求得EF的長.

BGAB3

【詳解】解：過點(diǎn)A作AG〃CD交EF于H,交BC于G,

：AD〃BC〃EF,

/.四邊形AHFD、AGCD均為平行四邊形，

；.CG=HF=AD=3,

?,.BG=BC-CG=2,

EF//AD,AE:EB=1:2,

.EHAEI

??--------——,

BGAB3

12

.".EH=-BG=-,

33

.211

EF=EH+HF=-+3o=—,

33

故答案為：—.

3

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例，將梯形問題通過作輔助平行線轉(zhuǎn)化為

三角形問題是解答的關(guān)鍵.

14.（2020?上海炫學(xué)培訓(xùn)學(xué)校有限公司）△ABC中，AB=AC=10,重心G到底邊BC的距離為2,那么

AG=.

【答案】4

AGAF

【分析】過點(diǎn)D作DEHBF交AC于點(diǎn)E,首先利用重心的概念和平行線分線段成比例得出——=——=2,

GDEF

然后代入計(jì)算即可.

【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DE//BF交AC于點(diǎn)E,

A

AAD,BF都是△ABC的中線，

：.AF=CF,BD=DC.

DE//BF,

：.CE=EF=-CF,

2

:.AF=2EF.

?/DE//BF,

-A-G=-A-F=2-.

GDEF

,:GD=2,

AG=4，

故答案為:4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握重心的概念和平行線分線段成比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)O是△ABC的重心，過點(diǎn)。作EF〃BC,

分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,若BC=6,則EF=.

【答案】4

【分析】連接AO并延長交BC于Q,利用重心性質(zhì)得AO：OQ=2：1,貝I」AO：AQ=2：3,再證明△AEF^AABC,

△AEO-AABQ,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解.

【詳解】解：???連接AO并延長交BC于Q,

A

???O是△ABC的重心,

AAO：0Q=2：1,

AAO：AQ=2：3,

：EF〃BC,

.".△AEO^AABQ,△AEF^AABC,

?_E__F___A__E___A__O___2

?,BC~AB~AQ~3

VBC=6,

EF=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn).重心到頂點(diǎn)的距離與重心到

對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.也考查了相似三角形的判定與性質(zhì).

BE

16.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖,G為&ABC的重心,GE〃AB,則——=

CE

輾

【答案嗎

AQ2

【分析】根據(jù)重心的概念和性質(zhì)得到=CM,——=一，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到

AM3

BE2

—即可得到答案.

~BMAM3

【詳解】解析：為△ABC的重心,

AG2

/.BM=CM,-=-

AM3

：GE〃AB,

.BEAG2

"AM"3

.BE2

"~CE~^~2

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的重心的概念和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，掌握三角形的重心是三條

中線的交點(diǎn)、重心到頂點(diǎn)的距離等于它到中點(diǎn)的距離的2倍是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

17.（2019.上海民辦桃李園實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級月考）如圖，在AABC中，點(diǎn)￡>,E分別在BC、AC上，BE平

分NA8C,DE//BA,如果CE=24,AE=26,A8=45,求。E和C￡>的長.

【分析】根據(jù)平行線截線段成比例的性質(zhì)求解.

【詳解】解：：DE〃BA,

DECE

'AB-AC

匹=一些

4524+265

■:DE//BA,

：.NABE=NDEB.

???8E平分NA8C,

???NABE二NDBE,

：.ZDBE=ZDEBf

???BD=DE喈

'：DE//BA,

.CDCE

,BC-AC5

CD24

即0。+108=24+26

5

喑

【點(diǎn)睛】本題考查成比例線段的應(yīng)用，熟練掌握平行線截線段成比例定理是解題關(guān)鍵.

18.（2021.上海九年級專題練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AD〃8C,對角線AC、BD交于點(diǎn)0,BE//CD

交C4延長線與，求證：OC2=OAOE.

【分析】通過AZ>〃BCuJ得到一=—，再根據(jù)班〃C￡>可得到一=—,從而得到答案;

OAODOCOD

【詳解】證明：：A￡>〃8C,

.OCOB

??---一---，

OAOD

又???BE//CD.

.OEOB

^OC~^D

.OCOE

~OA~OC

???OC2=OAOE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，準(zhǔn)確證明是解題的關(guān)鍵.

19.（2020?上海九年級月考）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC±,DE//BC.

（1）若SAADE=2,SABCE=7.5,求SABDE;

（2）若SABDE=m,SABCE=n,求SAABC（用m、n表示）.

A

【答案】(1)3(2)--------

n-m

SS

【分析】(l)根據(jù)有公共頂點(diǎn)，底邊共線的兩個(gè)三角形面積比為底的比，可以得到《巫=74，設(shè)SABDE

、.BDE3Ase￡

=x,再將X的值代入即可得出答案；

SS

(2)由(1)知個(gè)"匹=飛△"一,設(shè)S^ADE=y,又S^BDE=m,SABCE=n,從而得出y與m、n的函數(shù)關(guān)系

式，即可表示出三角形ABC的面積.

【詳解】解：(I)設(shè)SABDE=X.

S.nFADSABFAE

?S~BD'SB”-EC

VDE〃BC,

.ADAE

??_—_一___，

BDEC

q

?^q^ADE_0^ABE

??s--一飛

°ABDE。ABCE

,**SAADE=2,SABCE=7.5,

.2_2+x

??二,

x7.5

解得：xi=-5（舍），X2=3.經(jīng)檢驗(yàn)x=3是此題的解,

?**SABDE=3；

qq

（2）山（1）知瞪匹■二個(gè)建，

、ABDE,ABCE

設(shè)S^ADE=y，XSABDE=m,BCE=n,

.y_

??—=-y-+--m.

mn

解得y=*_

n-m

nrrr

=m+n-\--------=--------

n-mn-m

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理以及等高三角形的面積比，利用平行線分線段成比例定理得

出面積比之間的相等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

【過關(guān)檢測】

1.已知線段a、in、”，且依=〃1",求作x,作法正確的是（)

【難度】★

【答案】C

【解析】考查三角形一邊平行線的性質(zhì)定理，變形即為可知c選項(xiàng)滿足題意.

mx

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線的性質(zhì)定理，進(jìn)行簡單的變形應(yīng)用，可知線段錯(cuò)位相乘滿足題意的即為所

求選項(xiàng).

2.如圖，EFUAB,DEHBC,下列各式正確的是（)

ADBF/c、AECE

BDCFEDBC

AEBD/24〃A8

ECADEDBC

【難度】★

【答案】A

【解析】根據(jù)三角形邊平行線的性質(zhì)進(jìn)行比例線段轉(zhuǎn)化可

知A選項(xiàng)正確；B、C、D錯(cuò)誤.

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線的性質(zhì)的應(yīng)用.

3.如圖，AABC中，—=DE//AC,求的值.

BEECAC3

【難度】★

【答案】8:5.

,ABACAB5

【解析】ill——=——----=―，可得些=3,根據(jù)比

BEECAC3EC3

例的合比性質(zhì)，可得照=3,由OE//AC,

BC8

可得AB:8￡>=5C:8￡=8:5.

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

4.如圖，在AABC,DE//BC,DE與邊AB、AC分別交于點(diǎn)。、E.

(1)已知A￡>=6,B￡>=8,AE=4,求CE、AC的長;

(2)已知AE:AC=2:5,AB=\O,求AD的長.

【難度】★

【答案】(1)AE^—,CE=—;(2)4.

33

【解析】(1)；￡>E〃8C,...空=絲，CE=S；

CEDB3

(2)'：DEHBC,AE:AC=2:5,

.ADAE2

，AD=4.

"Afi-7C-5

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線的性質(zhì).

5.如圖，菱形內(nèi)接于AABC,AB=16,BC=14,AC=12,求BE的長.

【難度】★

【答案】8.

DEBEEFCE-

【解析】根據(jù)三角形一邊平行線的性質(zhì),—=—,—=—