2021年新教材人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)（六）【含答案】

2021年新教材人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)

一.單選題

1.設(shè)i-z=4-3i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.—4B.4C.-4iD.4/

2.已知在“人〃、小G表示直線，a、B表示平面，若mua,nua,lrc（3,l2c0,

l1nl2=M,貝Ua〃S的一個充分條件是（）

A.m〃0且力/aB.m〃0且？i〃SC.且n〃/2D.m〃k且?1〃%

3.在△ABC中，已知ZB=4C,。為BC邊中點，點。在直線AO上，且近?前=3,

則BC邊的長度為（）

A.V6B.2\[3C.2V6D.6

4.函數(shù)/。）=康]的圖象大致是（）

八?、一、:

-2

5.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知加）。+csinB=4as）BsinC,

〃+。2一@2=8,則的面積為（）

A.立B.氈C.V3D.3

334

6.如圖，在透明塑料制成的長方體48CD-&當(dāng)6。1容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器底面

一邊8c固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個說法：

c,

①水的部分始終呈棱柱狀；

②水面四邊形E尸GH的面積不改變;

③棱&Di始終與水面EFGH平行;

④當(dāng)441時，AE+BF是定值.

其中正確說法的是（）

A.②③④B.①②④c.①③④D.①②③

7.已知平面向量五萬片均為單位向量，且了大=0,則|五+9一碼的取值范圍是（）

A.[V2—1,>/2+1]B.[1,V2]

C.[V2-1,1]D.[V2,V3]

Inx-~,x>0

X則函數(shù)y=/l/（x）+l]的零點個數(shù)是（）

{%2+2x,x<0

A.2B.3C.4D.5

9.在斜三棱柱4BC-4B1G中，乙4cB=90。，ABr1BC,則在底面ABC上的射影

“必在（）

A.直線AC上B.直線3c上C.直線AB上D.△ABC內(nèi)部

多選題

10.如圖所示，4BCD—4當(dāng)62為正方體，給出以下四個結(jié)

論中，正確結(jié)論的序號為（）

A.4cl1平面CBiDi

B.ZG與底面ABC。所成角的正切值是企

C.二面角C-B1D1-C1的正切值是企

D.若點。是8。的中點，則。力J/平面C&D1

11.下列說法中錯誤的為()

A.已知3=(1,2),方=(1,1)且方與五+4方的夾角為銳角，則實數(shù)4的取值范圍是

(-|,+8)

B.向量可=(2,-3),逐=G,一》不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

C.非零向量落K，滿足|磯＞|方|且有與嗣向,則-

D.非零向量方和B，滿足|五|=|方|=|弓—石則有與五+四的夾角為30。

12.已知人b是兩條不重合的直線，a、￡是兩個不重合的平面，則下列命題正確的是

()

A.若a_La,Q±H，貝ija///?

B.若a_La,h1a,則a//b

C.若a_Lb,bLa,a///?,則

D.若?！ㄊ?。與a所成的角和b與/?所成的角相等，貝ija〃匕

三.填空題

13.已知復(fù)數(shù)z=7；^%,則zi=____.

(1-V302

14.在44BC中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為質(zhì),c-a=2,

cosB=:，則b的值為__.

4

15.海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后

遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞.若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A,B兩

點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C,D,測得CO=45m,^ADB=135。,NBOC=

^DCA=15°,乙ACB=120°,則43兩點的距離為m.

16.已知五=(2,3),b=(-2,4).向量五在方上的投影向量____.

17.已知函數(shù)/(%)=gsinx+4cosx,x&R,則函數(shù)/(x)的最大值是,且取到

最大值時x的集合是.

18.在邊長為2的正方體4BCD-481GD1中，點M是該正方體

表面及其內(nèi)部的一動點，且BM//平面4D1C,則動點〃的軌

跡所形成區(qū)域的面積是.

19.已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+8)上單調(diào)遞增.若對任意xeR,不等式

f(a+|x-b\)>/(|x|-2\x-l|)(a,b6R)恒成立，則2a2+爐的最小值是

20.仇章算術(shù)力是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中將四個面均為

直角三角形的三棱錐稱為鱉腌.如圖，三棱錐P-ABC為

鱉嚅，且PA■!"平面ABC,AC=BC=1,PA=y/2,則該

鱉席外接球的表面積為.

四.解答題

21.如圖，在正方形43CD中，點E

是BC邊上中點，點尸在邊CO上.

(1)若點F是CD上靠近C的三等

分點，設(shè)前=4而+〃而，求

A+〃的值.

(2)若2B=2,當(dāng)荏?前=1時，求。尸的長.

22.在A4BC中，角A,B,C所對的邊分別為a,h,c,csinA+VSasinf<C+^)=0,

c=6.

(1)求△ABC外接圓的面積；

(2)若c=gb,AM=^AB,求△ACM的周長.

23.設(shè)函數(shù)/Q)=4sinaixcos^MX--1的最小正周期為兀，其中3>0.

(1)求函數(shù)/(X)的遞增區(qū)間：

(2)若函數(shù)g(%)=/(x)+?n在xe［些,自上有兩個不同的零點力，不，求實數(shù)，”的取

值范圍.

24.已知四棱錐P-4BC￡),PA1PB,PA=PB=五,4。1平

ffi-PAB,BC//AD,BC=SAD,直線C￡)與平面PA8所成

角的大小為5M是線段A3的中點.

(1)求證：CDL平面PDM；

(2)求點M到平面PCQ的距離.

25.如圖所示，摩天輪的半徑為40"。點距地面的高度為50〃z,摩天輪按逆時針方向

作勻速轉(zhuǎn)動，且每2min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點P的起始位置在最高點.

(I)試確定點P距離地面的高度九(單位：m)關(guān)于旋轉(zhuǎn)時間t(單位：min)的函數(shù)關(guān)系

式；

(口)在摩天輪轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，有多長時間尸點距離地面超過70m?

26.如圖所示，將一副三角板拼接，使它們有公共邊8C,且使

兩個三角形所在的平面互相垂直，若4BAC=90°,AB=AC,

乙CBD=90°,Z.BDC=60°,BC=6.

(1)求證：平面力BCJ■平面AC￡＞；

(2)求二面角4-CD-B的平面角的正切值；

(3)求異面直線AD與BC間的距離.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：:i-z=4-3i,

_4-3i_(4-3i)i_4i-3i2

Z—"","—"——-3—43

復(fù)數(shù)Z的虛部為-4,

故選：A.

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后利用復(fù)數(shù)的虛部概念得答案.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的虛部的概念，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查兩個平面平行的判定定理的應(yīng)用，明確已知條件的含義是解題的關(guān)鍵，屬于基

礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，要使a〃夕，只要一個平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個平面平行即可.

【解答】

解：由題意得，加、力是平面a內(nèi)的兩條直線，

人、%是平面夕內(nèi)的兩條相交直線，要使

只要一個平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個平面平行即可，

故選。.

3.【答案】3

【解析】解：在MBC中，由4B=4C,。為BC邊中點，點。在么

直線AO上，且瓦;.布=3，/\

結(jié)合圖象可得|而|?|布|cos＜就，前＞=3，/

即9后?2=3,所以|BC|=詫./|\「

故選：A.

畫出圖形，利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出結(jié)果.

本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義，數(shù)量積公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：函數(shù)的定義域為R,7'(-%)=需品=曲=—f(x)，

即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故可排除選項8,C；

2

當(dāng)XT0+時，sinx>0,ln(x+2)>0)?^^>0,故可排除選項D

故選:A.

由函數(shù)的奇偶性排除選項BC,由函數(shù)值的正負(fù)排除選項D,進(jìn)而得解.

本題考查根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：由正弦定理知，金=急

sinC

???bsinC+csinB=4asinBsinC,

：?sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,§\^2sinBsinC=4sinAsinBsinC,

i

vsinBsinCW0,八sinA=

由余弦定理知，COSA=b2+尸

:-cosA=V1—sin2/l=--

2

...3=立,即be=這，

be23

??.△ABC的面積S=-besinA=-xx-=亞

22323

故選：B.

利用正弦定理化邊為角，可得sin/=g由余弦定理知，cos4=f>0,再結(jié)合同角三

2be

角函數(shù)的關(guān)系式，可得松的值，最后由S=[bcs譏4得解.

本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵，

考查轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

①水的部分始終呈棱柱狀；從棱柱的特征平面判斷即可；

②水面四邊形EFGH的面積改不改變；可以通過EF的變化EH不變判斷正誤;

③棱4D1始終與水面EFG”平行；利用直線與平面平行的判斷定理，推出結(jié)論；

④當(dāng)EC441時，4E+BF是定值.通過水的體積判斷即可.

本題屬于中檔題，考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面平行的判斷，棱柱的體積等知識.

【解答】

解：①水的部分始終呈棱柱狀；從棱柱的特征平面44&B平行平面CGDiD即可判斷①

正確；

②水面四邊形EFGH的面積不改變；EF是可以變化的，EH是不變的，所以面積是改

變的，②是不正確的；

③棱AD1始終與水面EFGH平行；由直線與平面平行的判斷定理，可知所

以結(jié)論正確；

④當(dāng)EC時，4E+BF是定值.水的體積是定值，高不變，所以底面面積不變，所

以正確.

故選：C.

7.【答案】A

???設(shè)五=(1,0),b=(0,1)，C=(x,y),則五+加一蕓=(l-x,l-y)，

若下為單位向量，則好+72=1,表示單位圓上的任意一點，

?.\a+b-c\2=7(l-x)2+(l-y)2.

它表示單位圓上的點到定點P(l,l)的距離，

其最大值是PM=r+\OP\=1+&，

最小值是|OP|-r=&-1.

的取值范圍是[挖一1,好+1].

故選：A.

根據(jù)題意，求出丘+石-m的表達(dá)式，分析可得表示單位圓上的點到定點P(l,l)的距離,

由點與圓的位置關(guān)系分析可得答案.

本題考查向量數(shù)量積的計算，關(guān)鍵是涉及向量的坐標(biāo)，分析向量模的幾何意義.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的零點個數(shù)問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

令t=/(x)+l,結(jié)合零點存在定理得出函數(shù)/(t)的零點hW(1,2),12=-2,匕=0,

然后作出函數(shù)t=/(%)+1,直線t=t］、t=—2、t=0的圖象，觀察三條直線與函數(shù)

t=f(x)+l的圖象的交點個數(shù)，由此得出結(jié)論.

【解答】

“f/nx--+l,x>0

解：令A(yù)t=/(x)+1={x,

l(x+l)2,x<0

①當(dāng)t>0時，=則函數(shù)/(t)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

由于/(I)=-1<0,/(2)=Zn2-1>0,

由零點存在定理可知，存在G6(1,2),使得f?i)=0；

2

②當(dāng)tWO時，/(t)=t+2t,由/'(t)=產(chǎn)+2t=0,解得t2=-2,t3=0,

作出函數(shù)1=/。)+1,直線1=11、t=—2、t=0的圖象如下圖所示：

由圖象可知，直線t=公與函數(shù)t=/(x)+1的圖象有兩個交點,

直線t=0與函數(shù)t=/(X)+1的圖象有兩個交點，

直線t=-2與函數(shù)t=/(X)+1的圖象有且僅有一個交點，

綜上所述，函數(shù)y=f，(x)+l］的零點個數(shù)為5.

故選：D.

9.【答案】A

【解析】解：?.?在斜三棱柱4BC-4/G中，

AACB=90°,ABr1BC,

BCLAC,又ACn4當(dāng)=4,

???BC1平面ACBi，BCu平面ABC,

二平面ZCBiJ_平面ABC,

?.Bi在底面ABC上的射影H必在兩平面的交線

AC上.

故選：A.

由題意知要判斷當(dāng)在底面ABC上的射影H,需要看過這個點向底面做射影，觀察射影

的位置，根據(jù)BC與一個平面上的兩條直線垂直，得到BC與兩條直線組成的面垂直，

根據(jù)面面垂直的判斷和性質(zhì)，得到結(jié)果.

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查直線與平面垂直的判定，考查平面與平面垂直的判定,

考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】解：對于A,連結(jié)&Ci，因為8151416,

B1D11AAlt

又&Cin/M]=&,A1C1,u平面"心，

故_L平面44道1，因為4Qu平面4&G，

所以AC11Bn，

同理可證AGLB1C,

又B[D]nB1C=B1，B1D1,B[Cu平面

所以4G_L平面CB/i，

故選項4正確；

對于B,連結(jié)AC,因為CG1平面A8C￡>,則4GAe即為直線AR與平面A8C￡>所成的

角，

故tan/CiAC=攀=

故選項8錯誤：

對于C設(shè)&C1CB1D1=。「連結(jié)。也，則"CQ為二面角8-8/1一式的平面角,

所以tan"。?=能=迎，

故選項C正確;

對于。，因為40J/0C,且4O1=OC,

所以四邊形401。。為平行四邊形，

則04"/C0i，又。4<t平面CO]U平面CBM，

所以04〃平面CBiDi，

故選項D正確.

故選：ACD

利用線面垂直的性質(zhì)定理證明4cli當(dāng)久，AC,1BtC,即可判斷選項A；利用異面直

線所成角的定義得到NC1AC即為直線4C1與平面A8C。所成的角，求解即可判斷選項8；

利用二面角的平面角的定義得到4coic1為二面角C-&D1-G的平面角，求解即可判

斷選項C；利用線面平行的判定定理即可判斷選項D

本題以命題的真假判斷為載體，考查了空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的

位置關(guān)系，空間角的計算等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能

力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于中檔題.

11.【答案】AC

【解析】解：對于A,0+4區(qū))=34+5>0，且440，所以A不正確；

對于8,向量可=(2,—3),宅=?,_$,滿足國=4石，兩個向量共線，所以不能作

為平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以8正確；

對于C,向量是有方向的量，不能比較大小，所以C不正確；

對于。，非零向量五和石，滿足|五|=|石|=同—石所以以向量五和石的長度為邊，構(gòu)

造菱形，滿足日與3+方的夾角為30。，所以。正確；

故選：AC.

利用斜率的數(shù)量積，求解實數(shù)4的取值范圍判斷4判斷斜率是否共線，判斷以利用

向量的定義判斷C；利用向量的平行四邊形法則判斷D即可.

本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，向量的基本定理以及向量共線，平行四邊形法則的

應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

12.【答案】AB

【解析】解：對于A,若ala,alB，由直線與平面垂直的性質(zhì)可得0〃，故A正確；

對于B,若a，a,bla,由直線與平面垂直的性質(zhì)可得a〃山故8正確；

對于C,若aJLb,a〃B，則〃與0不一定垂直，而bJ.a,則a與6不一定平行，故C錯

誤；

對于，若a〃氏a與a所成的角和6與0所成的角相等，可得。與a所成的角和〃與a所

成的角相等，

則。與b的位置關(guān)系可能平行、可能相交、也可能異面，故。錯誤.

故選:AB.

由直線與平面垂直的性質(zhì)判斷A與B；由空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系判

斷C；由直線與平面所成角判斷D

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象

能力與思維能力，是中檔題.

13.【答案】；

4

|遙+甲

【解析】解：Z-Z=\z\2=6+i__4__1

(1一倔/|-2-2廚2—16-4

故答案為：

4

利用復(fù)數(shù)與共粗復(fù)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)模的運算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

本題考查了復(fù)數(shù)與共扼復(fù)數(shù)的應(yīng)用，復(fù)數(shù)模的運算性質(zhì)的應(yīng)用，考查了運算能力與轉(zhuǎn)化

化歸能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】4

【解析】解：因為cosB=；,

4

所以sinB=V1—cos2B=—?

4

因為△4BC的面積為■/記=jacsinB=|acx等，解得ac=8,

又c—a=2,

由余弦定理可得臺2=a2+c2-2accosB=a24-c2—^CLC=(c—a)2+2ac—|ac=

4+16-4=16,

解得b=4.

故答案為：4.

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值，根據(jù)三角形的面積公式可求ac的

值，結(jié)合已知利用余弦定理可求b的值.

本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中

的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】45V5

【解析】解：如圖所示:

D

△BCD中,CD=45,^BDC=15°,/.BCD=/.ACB+Z.DCA=120°+15°=135°,

Z.CBD=30°,由正弦定理，得一^=聾；；，解得BD=45位，

snil35°sinSO0

△2CD中，CD=45,/.DCA=15°,

^ADC=/-ADB+乙BDC=135°+15°=150°,

A.CAD=15°,AAD=CD=45,

△ABC中，由余弓玄定理，^AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cos^ADB

=452+(45aA-2x45x4572xcosl35°

=452x5,

：.AB=45V5，即A,B兩點間的距離為45遍，

故答案為：45V5.

根據(jù)題意畫出圖形，△BCD中利用正弦定理求出8。的值，△4CD中利用等角對等邊求

出AD的值，再在△4BD中由余弦定理求出AB的值.

本題考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生邏輯推理能力和運算求解

能力，屬于中檔題.

16.【答案】(一級)

【解析［解：五與挪夾角仇向量方在「上的投影向量為噌.總=(—2,4)=

網(wǎng)\b\(-2)，+4，

故答案為：(―3，》.

有與石的夾角0,向量行在了上的投影向量計算方法為噌?親，依據(jù)此法可解決此題.

網(wǎng)網(wǎng)

本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運算、投影向量計算方法，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

17.【答案】1[x\x=2kn+1,k&Z}

o

【解析】解：/(%)=[sin%+,cosx=sin(%+》

則當(dāng)sin(%+$=l時,函數(shù)取得最大值1,此時％+”2"+今kEZf

即x=2/czr+m，kGZ,即對應(yīng)集合為{久|%=2/CTT+￡,/c￡Z},

6o

故答案為：1，{x|x=2/OT+%keZ}.

o

利用輔助角公式結(jié)合兩角和差的三角公式，結(jié)合三角函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)值的求解，利用輔助角公式結(jié)合三角函數(shù)的最值性質(zhì)是解決本題

的關(guān)鍵.是基礎(chǔ)題.

18.【答案】2V3

【解析】解：因為平面B&C]〃平面4CD1，點M是該正方體表面

及其內(nèi)部的一動點，且BM〃平面也c,4,|^―

所以點M的軌跡是△&GB三角形及其內(nèi)部，卜

所以△&BG的面積為S=yx(2V2)2=2V3.""

故答案為：2a.

根據(jù)平面B4C1〃平面AC。],可得點"的軌跡是AAiCiB三角形及其內(nèi)部，然后利用正

三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.

本題主要考查了面面平行的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，同時考查了轉(zhuǎn)化思想和運算

求解的能力，屬于中檔題.

19.【答案】I

【解析】解：如圖，作出函數(shù)y=||"|一

的圖象,

???/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且在

[0,+8)上單調(diào)遞增,f(a+\x-b[)>

f[\x\-2|x-l|)(a,6eR)恒成立，

y=|cz+|x-b||的圖象始終在y=

|閔-2|尤-1||的上方,

??.x=0時，。+聞22且620,所以{￡：力'2,

2a2+b2>2(2-b)2+爐=3爐—8b+8=3(b-1)2+1>|,當(dāng)且僅當(dāng)“a=

|,b=g”時取等號.

故答案為：|.

由題意，y=|a+|x—b||的圖象始終在y=||x|-2|久一1||的上方，結(jié)合圖象可知，

{￡；歸2,進(jìn)而得解.

本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

20.【答案】4兀

【解析】解：PA1平面ABC,AB,BCu平面ABC,AB1PA,BC1PA,

又△ABC是直角三角形，AC=BC=1,BC1AC,又P4n4C=4

PA,ACu平面PAC,：.BC_L平面PAC,又PCu平面PAC,：.BC1PC,

???該鱉腌外接球的球心為PB的中點，則(2R)2=PA2+AC2+BC2,

4R2=1+1+2=4,

二該鱉喘外接球的表面積為4TTR2=47r.

故答案為：47r.

利用已知條件求出幾何體的外接球的位置，求解外接球的半徑，然后求解外接球表面積.

本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，判斷幾何體的形狀，求解外接球的半徑是解

題的關(guān)鍵，是中檔題.

21.【答案】解：(I)、?點E是8c邊上中點，點尸是8上靠近C的三等分點，

—111，1If,-i—f1,1一

ACF=--DC=--AB,EC=-BC=-AD,

3322

^EF=EC^~CF=--AB^-AD,

32

AA=—R=L

3^2

故a+M=~~+1=

oZO

⑵設(shè)加=4而，則/=就+#=而-;l而，又近=荏+爐=而+：而，AB-

而=0，

—一■—?1…―一-一—?一一〉—■—>21——?2

/.AE-BF=(AB+?(AD-XAB)=-XAB=—42+2=1,

故a=p

4

2

???OF=(1-A)x2=p

【解析】(1)用而,而表示出品，得出;I,〃的值即可得出4+〃的值；

(2)設(shè)方=入而,用荏，而表示出荏，前,根據(jù)荏-BF=1計算九從而可得DF的長.

本題考查平面向量的基本定理，平面向量的數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題.

22.【答案】解：⑴"csinA+Hasin(C+^)=0,

???csinA+\[3acosC=0-

???sinCsinA+\/3sinAcosC=0>

vsinA00,

???tanC=一遮，

v0<C<7T,

??.C=季

zBc外接圓的半徑R=r^=lxi=2A

2

ABC外接圓的面積為127r.

(2)由正弦定理得，§/8=史處=強=匕

c\[3b2

V0<B<P

D

??A=TI—B—C=-

6f

.?.在△4CM中，由余弦定理得，CM2=AM2+AC2-2AM-AC-cosA,解得CM=2,

則△ACM的周長為4+2V3.

【解析】(1)利用誘導(dǎo)公式，正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡已知等式可得tanC

的值，結(jié)合0<C<TT,可求C的值，利用正弦定理，圓的面積公式即可求解.

(2)由已知利用正弦定理可求sinB的值，結(jié)合0<8<不可求B,利用三角形內(nèi)角和定

理可求A,在AACM中，由余弦定理可求CM的值，即可求出△ACM的周長的值.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式，正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形內(nèi)角和定理，

余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

23.【答案】解:(1)依題意,/(%)=\[3sin2cox-cos2a)x=2sin(2(ox-》

???/(%)的最小正周期為江，且3>0,??.茄=7T,解得3=1,

???f(x)=2sin(2x—^),設(shè)“=2x—

?.?函數(shù)y=sirm的遞增區(qū)間是[2k7r-]2/CTT+WZ),

由2/czr—W2x—2W2/CTTH—(kGZ),

262

63

???函數(shù)/(%)的遞增區(qū)間是[而一/時+白(k€Z)；

(2)當(dāng)x6玲時，u=2x-|e[0,刑.令尸(a)=2sinu,則%)=F督)=1,

???F(u)=2sinu^Eu&[0,自上遞增，在uG生中上遞減.

???FMmax=尸?=2,

?.?函數(shù)g(x)=f(x)+ni在x6吟，自上有兩個不同的零點，

?函數(shù)y=/(x)與y=-ni兩圖像在xG哈，勺上有兩個不同的交點，

二函數(shù)y=F(a)與y=-m兩圖像在“6[0,1]上有兩個不同的交點，

6

:.1<—m<2,解得一2<znS-1

二實數(shù)機的取值范圍是(一2,—1].

【解析】本題考查了三角函數(shù)的解析式，單調(diào)性以及圖像性質(zhì)，涉及到倍角公式以及輔

助角公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算推理能力，屬于中檔題.

(1)根據(jù)余弦的差角公式以及倍角公式，輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，利用周期求出3

的值，然后利用整體代換思想以及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解；

(2)先求出函數(shù)/(x)在已知定義域上的值域，然后將己知問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=

-譏兩圖像在xG[卷，自上有兩個不同的交點，根據(jù)函數(shù)fQ)的值域即可求解.

24.【答案】解：(1)因為4。_L平面PAB,PMu平面PAB,

所以ZD1PM,

因為24=PB=夜,M是線段AB的中點，所以PM1AB,

5LADC\AB=A,40u平面ABC￡>,4Bu平面ABC。，

所以PM1平面ABC。，

又CDu平面ABCCD,所以PM1CD.

取CB上點E,使得CE=)B,連接AE,所以4D〃CE且4。=CE,

所以四邊形4EC。為平行四邊形，所以CD〃4E,

所以直線CD與平面PAB所成角的大小等于直線AE與平面PAB所成角的大小,

又4D1平面尸48,BC//AD,所以BC1平面PA8,

所以4EAB為直線AE與平面PAB所成的角，

所以NE4B=f,所以BE=AB,

因為P4=PB=&，PA1PB,所以AB=2=BE,

所以4。=1,BC=3,CD=2V2,

所以DM=VLCM=VlO.

所以+。。2=c“2,所以CDIOM,

因為DMClPM=M,DM,PMu平面POM,

所以C。_L平面PDM.

⑵由⑴可知CDJ?平面PDM,所以△COM和ACDP均為直角三角形，

又PD=V3.設(shè)點M到平面PCD的距離為d,

則%-CDM=VM-PCD>BpiCDDM-PM=^CDDP-d,

化簡得-PM=DP-d,解得

DMd=—3,

所以點M到平面PCD的距離為在.

3

【解析】⑴