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2025屆西藏拉薩市拉薩中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見(jiàn)次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為:有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地,請(qǐng)問(wèn)第二天走了()A192
里 B.96
里C.48
里 D.24
里2.將一張坐標(biāo)紙折疊一次,使點(diǎn)與重合,求折痕所在直線是()A. B.C. D.3.已知過(guò)點(diǎn)的直線l與圓相交于A,B兩點(diǎn),則的取值范圍是()A. B.C. D.4.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)的直線與橢圓C相交P,Q兩點(diǎn),若,且,則橢圓C的離心率為()A. B.C. D.5.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6等于()A.40 B.42C.43 D.456.在正方體中中,,若點(diǎn)P在側(cè)面(不含邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng),,且點(diǎn)P到底面的距離為3,則異面直線與所成角的余弦值是()A. B.C. D.7.已知直線的方向向量為,則直線l的傾斜角為()A.30° B.60°C.120° D.150°8.設(shè)aR,則“a=1”是“直線l1:ax+2y-1=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.若,則()A B.C. D.10.某家庭準(zhǔn)備晚上在餐館吃飯,他們查看了兩個(gè)網(wǎng)站關(guān)于四家餐館的好評(píng)率,如下表所示,考慮每家餐館的總好評(píng)率,他們應(yīng)選擇()網(wǎng)站①評(píng)價(jià)人數(shù)網(wǎng)站①好評(píng)率網(wǎng)站②評(píng)價(jià)人數(shù)網(wǎng)站②好評(píng)率餐館甲100095%100085%餐館乙1000100%200080%餐館丙100090%100090%餐館丁200095%100085%A.餐館甲 B.餐館乙C.餐館丙 D.餐館丁11.在正方體中,分別是線段的中點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離是()A. B.C. D.12.圓:與圓:的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切 B.外切C.相交 D.相離二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,某建筑物的高度,一架無(wú)人機(jī)上的儀器觀測(cè)到建筑物頂部的仰角為,地面某處的俯角為,且,則此無(wú)人機(jī)距離地面的高度為_(kāi)_______14.設(shè)函數(shù)(1)求的最小正周期和的最大值;(2)已知銳角的內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若,且,求的面積.15.如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體的平面展開(kāi)圖,在這個(gè)正方體中,則下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是___________.①直線與直線垂直;②直線與直線相交;③直線與直線平行;④直線與直線異面;16.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)和,設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為,,P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若,則的取值范圍是______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知等差數(shù)列滿足,(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,,求滿足的n的最大值18.(12分)已知橢圓過(guò)點(diǎn),且離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)作斜率分別為的兩條直線,分別交橢圓于點(diǎn),且,證明:直線過(guò)定點(diǎn).19.(12分)已知直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí),求;(2)是否存在實(shí)數(shù),使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.20.(12分)已知是等差數(shù)列,是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,,再?gòu)蘑?;②;③這三個(gè)條件中選擇___________,___________兩個(gè)作為已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)經(jīng)觀測(cè),某公路段在某時(shí)段內(nèi)的車流量(千輛/小時(shí))與汽車的平均速度(千米/小時(shí))之間有函數(shù)關(guān)系:(1)在該時(shí)段內(nèi),當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)車流量最大?最大車流量為多少?(精確到)(2)為保證在該時(shí)段內(nèi)車流量至少為千輛/小時(shí),則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?22.(10分)已知圓C:,直線l:.(1)當(dāng)a為何值時(shí),直線l與圓C相切;(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=時(shí),求直線l的方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列,根據(jù)求和公式求出首項(xiàng)可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列,由題意和等比數(shù)列的求和公式可得,解得,第此人第二天走里.故選:B2、D【解析】設(shè),,則折痕所在直線是線段AB的垂直平分線,故求出AB中點(diǎn)坐標(biāo),折痕與直線AB垂直,進(jìn)而求出斜率,用點(diǎn)斜式求出折痕所在直線方程.【詳解】,,所以與的中點(diǎn)坐標(biāo)為,又,所以折痕所在直線的斜率為1,故折痕所在直線是,即.故選:D3、D【解析】經(jīng)判斷點(diǎn)在圓內(nèi),與半徑相連,所以與垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短,最長(zhǎng)為直徑【詳解】將代入圓方程得:,所以點(diǎn)在圓內(nèi),連接,當(dāng)時(shí),弦長(zhǎng)最短,,所以弦長(zhǎng),當(dāng)過(guò)圓心時(shí),最長(zhǎng)等于直徑8,所以的取值范圍是故選:D4、B【解析】設(shè),由橢圓的定義及,結(jié)合勾股定理求參數(shù)m,進(jìn)而由勾股定理構(gòu)造橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.【詳解】設(shè),橢圓的焦距為,則,由,有,解得,所以,故得:故選:B.5、B【解析】根據(jù)已知求出公差即可得出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)?,,所以,則.故選:B.6、A【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系,先由,且點(diǎn)P到底面的距離為3,確定點(diǎn)P的位置,然后利用空間向量求解即可【詳解】如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在的直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,所以,所以,所以,因?yàn)?所以平面,因?yàn)槠矫嫫矫?,點(diǎn)P在側(cè)面(不含邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng),,所以,因?yàn)辄c(diǎn)P到底面的距離為3,所以,所以,因?yàn)?,所以異面直線與所成角的余弦值為,故選:A7、B【解析】利用直線的方向向量求出其斜率,進(jìn)而求出傾斜角作答.【詳解】因直線的方向向量為,則直線l的斜率,直線l的傾斜角,于是得,解得,所以直線l的傾斜角為.故選:B8、A【解析】運(yùn)用兩直線平行的充要條件得出l1與l2平行時(shí)a的值,而后運(yùn)用充分必要條件的知識(shí)來(lái)解決即可解:∵當(dāng)a=1時(shí),直線l1:x+2y﹣1=0與直線l2:x+2y+4=0,兩條直線的斜率都是﹣,截距不相等,得到兩條直線平行,故前者是后者的充分條件,∵當(dāng)兩條直線平行時(shí),得到,解得a=﹣2,a=1,∴后者不能推出前者,∴前者是后者的充分不必要條件故選A考點(diǎn):必要條件、充分條件與充要條件的判斷;直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系9、D【解析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可【詳解】因?yàn)椋?,故選:D10、D【解析】根據(jù)給定條件求出各餐館總好評(píng)率,再比較大小作答.【詳解】餐館甲的總好評(píng)率為:,餐館乙的總好評(píng)率為:,餐館丙的好評(píng)率為:,餐館丁的好評(píng)率為:,顯然,所以餐館丁的總好評(píng)率最高.故選:D11、A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,然后,列出計(jì)算公式進(jìn)行求解即可【詳解】如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?,所以,所以,則點(diǎn)到直線的距離故選:A12、A【解析】先計(jì)算兩圓心之間的距離,判斷距離和半徑和、半徑差之間的關(guān)系即可.【詳解】圓圓心,半徑,圓圓心,半徑,兩圓心之間的距離,故兩圓內(nèi)切.故選:A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、200【解析】在Rt△ABC中求得AC的值,△ACQ中由正弦定理求得AQ的值,在Rt△APQ中求得PQ的值【詳解】根據(jù)題意,可得Rt△ABC中,∠BAC=60°,BC=300,∴AC200;△ACQ中,∠AQC=45°+15°=60°,∠QAC=180°﹣45°﹣60°=75°,∴∠QCA=180°﹣∠AQC﹣∠QAC=45°,由正弦定理,得,解得AQ200,在Rt△APQ中,PQ=AQsin45°=200200m故答案為200【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形的應(yīng)用問(wèn)題,考查正弦定理,三角形內(nèi)角和問(wèn)題,考查轉(zhuǎn)化化歸能力,是基礎(chǔ)題14、(1)的最小正周期為,的最大值為1(2)【解析】(1)直接根據(jù)的表達(dá)式和正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到的最小正周期和最大值;(2)先根據(jù)求得角的大小為,然后在中利用余弦定理求得,最后根據(jù)三角形的面積公式即可【小問(wèn)1詳解】已知?jiǎng)t的最小正周期為:則的最大值為:【小問(wèn)2詳解】由可得:()或()又為銳角,則可得:.在中,由余弦定理可得:,即又,解得:則的面積為:15、①④【解析】畫出正方體,,,故,①正確,根據(jù)相交推出矛盾得到②錯(cuò)誤,根據(jù),與相交得到③錯(cuò)誤,排除共面的情況得到④正確,得到答案.【詳解】如圖所示的正方體中,,,故,①正確;若直線與直線相交,則四點(diǎn)共面,即在平面內(nèi),不成立,②錯(cuò)誤;,與相交,故直線與直線不平行,③錯(cuò)誤;,與不平行,故與不平行,若與相交,則四點(diǎn)共面,在平面內(nèi),不成立,故直線與直線異面,④正確;故答案為:①④.16、【解析】設(shè)出半焦距c,用表示出橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng),由可得為直角三角形,由此建立關(guān)系即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為,它們的半焦距為c,于是得,,由橢圓及雙曲線的對(duì)稱性知,不妨令焦點(diǎn)和在x軸上,點(diǎn)P在y軸右側(cè),由橢圓及雙曲線定義得:,解得,,因,即,而O是線段的中點(diǎn),因此有,則有,即,整理得:,從而有,即有,又,則有,即,解得,所以的取值范圍是.故答案:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)10【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d,根據(jù)已知條件列關(guān)于和d的方程組即可求解;(2)設(shè)等比數(shù)列公比為q,根據(jù)已知條件求出和q,根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求出,再解關(guān)于n的不等式即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得,解得,∴【小問(wèn)2詳解】∵,,又,∴,公比,∴,令,得,令,所以n的最大值為1018、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)由離心率、過(guò)點(diǎn)和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程求得,由此可得橢圓方程;(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),表示出兩點(diǎn)坐標(biāo),由兩點(diǎn)連線斜率公式表示出,整理可得直線為;當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè),與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式,代入中整理可得,由此可得直線所過(guò)定點(diǎn);綜合兩種情況可得直線過(guò)定點(diǎn).【詳解】(1)橢圓過(guò)點(diǎn),即,;,又,,橢圓的方程為:.(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),設(shè)直線方程為,則,則,,解得:,直線方程為;當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為,聯(lián)立方程組得:,設(shè),則,(*),則,將*式代入化簡(jiǎn)可得:,即,整理得:,代入直線方程得:,即,聯(lián)立方程組,解得:,,直線恒過(guò)定點(diǎn);綜上所述:直線恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解,求解此類問(wèn)題的基本思路如下:①假設(shè)直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式;②利用求得變量的取值范圍,得到韋達(dá)定理的形式;③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系,代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系,從而化簡(jiǎn)直線方程;④根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.19、(1);(2)不存在,理由見(jiàn)解析.【解析】(1)當(dāng)時(shí),將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,利用弦長(zhǎng)公式可求得;(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù),使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)、,將直線與雙曲線的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,由已知可得出,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合韋達(dá)定理可得出,即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解:設(shè)點(diǎn)、,當(dāng)時(shí),聯(lián)立,可得,,由韋達(dá)定理可得,,所以,.【小問(wèn)2詳解】解:假設(shè)存在實(shí)數(shù),使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)、,聯(lián)立得,由題意可得,解得且,由韋達(dá)定理可知,因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),則,所以,,整理可得,該方程無(wú)實(shí)解,故不存在.20、答案見(jiàn)解析【解析】(1)根據(jù)題設(shè)條件可得關(guān)于基本量的方程組,求解后可得的通項(xiàng)公式.(2)利用公式法可求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解:選擇條件①和條件②(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,∴解得:,.∴,.(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為,,∴解得,.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,∴.選擇條件①和條件③:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,∴解得:,.∴.(2),設(shè)等比數(shù)列的公比為,.∴,解得,.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,∴.選擇條件②和條件③:(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為,,∴,解得,,.設(shè)等差數(shù)列的公差為,∴,又,故.∴.(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,由(1)可知.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:等差數(shù)列或等比數(shù)列的處理有兩類基本方法:(1)利用基本量即把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于基本量的方程或方程組,再運(yùn)用基本量解決與數(shù)列相關(guān)的問(wèn)題;(2)利用數(shù)列的性質(zhì)求解即通過(guò)觀察下標(biāo)的特征和數(shù)列和式的特征選擇合適的數(shù)列性質(zhì)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題21、(1)當(dāng)(千米/小時(shí))時(shí),車流量最大,最大值約為千輛/小時(shí);(2)汽車的平均速度應(yīng)控制在這個(gè)范圍內(nèi)(單位:千米/小時(shí)).【解析】(1)利用基本不等式可求得的最大值,及其對(duì)應(yīng)的值,即可得出結(jié)論;(2)解不等式即可得解.【小問(wèn)1詳解】解:,
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