山東省藁城市第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析_第1頁(yè)
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山東省藁城市第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平,現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對(duì)二人進(jìn)行了測(cè)驗(yàn),根據(jù)測(cè)驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖(如圖,每項(xiàng)指標(biāo)值滿(mǎn)分為5分,分值高者為優(yōu)),則下面敘述正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B.甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲2.已知三棱錐的外接球半徑為2,且球心為線(xiàn)段的中點(diǎn),則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.3.設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足,則的圖像可能是A. B.C. D.4.如圖,在直三棱柱中,,,點(diǎn)分別是線(xiàn)段的中點(diǎn),,分別記二面角,,的平面角為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.5.設(shè)為的兩個(gè)零點(diǎn),且的最小值為1,則()A. B. C. D.6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則等差數(shù)列公差()A.2 B. C.3 D.47.設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.8.如圖,已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A,B兩點(diǎn),且A、B兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上的投影分別是M,N,若,則的值是()A. B. C. D.9.設(shè)為定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),(為常數(shù)),則不等式的解集為()A. B. C. D.10.設(shè)集合則()A. B. C. D.11.給出下列四個(gè)命題:①若“且”為假命題,則﹑均為假命題;②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角;③若命題,,則命題,;④設(shè)集合,,則“”是“”的必要條件;其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.12.方程的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,如果函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么滿(mǎn)足()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為_(kāi)____________.14.已知函數(shù),若關(guān)于x的方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________.15.已知多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32,則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____.16.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中只有一位獲獎(jiǎng),有人走訪(fǎng)了四位歌手,甲說(shuō)“是乙或丙獲獎(jiǎng).”乙說(shuō):“甲、丙都未獲獎(jiǎng).”丙說(shuō):“我獲獎(jiǎng)了”.丁說(shuō):“是乙獲獎(jiǎng).”四位歌手的話(huà)只有兩句是對(duì)的,則獲獎(jiǎng)的歌手是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且n、、成等差數(shù)列,.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列中去掉數(shù)列的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序組成數(shù)列,求的值.18.(12分)某網(wǎng)絡(luò)商城在年月日開(kāi)展“慶元旦”活動(dòng),當(dāng)天各店鋪銷(xiāo)售額破十億,為了提高各店鋪銷(xiāo)售的積極性,采用搖號(hào)抽獎(jiǎng)的方式,抽取了家店鋪進(jìn)行紅包獎(jiǎng)勵(lì).如圖是抽取的家店鋪元旦當(dāng)天的銷(xiāo)售額(單位:千元)的頻率分布直方圖.(1)求抽取的這家店鋪,元旦當(dāng)天銷(xiāo)售額的平均值;(2)估計(jì)抽取的家店鋪中元旦當(dāng)天銷(xiāo)售額不低于元的有多少家;(3)為了了解抽取的各店鋪的銷(xiāo)售方案,銷(xiāo)售額在和的店鋪中共抽取兩家店鋪進(jìn)行銷(xiāo)售研究,求抽取的店鋪銷(xiāo)售額在中的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若,當(dāng)時(shí),函數(shù),求函數(shù)的最小值.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí).①求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程;②定義其中,求;(2)當(dāng)時(shí),設(shè),(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若對(duì)任意給定的,在上總存在兩個(gè)不同的,使得成立,求的取值范圍.21.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)已知橢圓C:()的左、右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)左焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的A,B兩點(diǎn),若,求直線(xiàn)l的斜率k.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)雷達(dá)圖對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定敘述正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),甲的數(shù)據(jù)分析分,乙的數(shù)據(jù)分析分,甲低于乙,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng),甲的建模素養(yǎng)分,乙的建模素養(yǎng)分,甲低于乙,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng),乙的六大素養(yǎng)中,邏輯推理分,不是最差,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng),甲的總得分分,乙的總得分分,所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲,故D選項(xiàng)正確.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

由題可推斷出和都是直角三角形,設(shè)球心為,要使三棱錐的體積最大,則需滿(mǎn)足,結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫(huà)出圖形,由球心到各點(diǎn)距離相等可得,,故是直角三角形,設(shè),則有,又,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值4,要使三棱錐體積最大,則需使高,此時(shí),故選:C【點(diǎn)睛】本題考查由三棱錐外接球半徑,半徑與球心位置求解錐體體積最值問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題3、B【解析】根據(jù)題意,確定函數(shù)的性質(zhì),再判斷哪一個(gè)圖像具有這些性質(zhì).由得是偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),可知B,D符合;由得是周期為2的周期函數(shù),選項(xiàng)D的圖像的最小正周期是4,不符合,選項(xiàng)B的圖像的最小正周期是2,符合,故選B.4、D【解析】

過(guò)點(diǎn)作,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解二面角的余弦值得答案.【詳解】解:因?yàn)?,,所以,即過(guò)點(diǎn)作,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,,,,0,,,1,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,取,得,同理可求平面的法向量,平面的法向量,平面的法向量.,,..故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查二面角的大小的判斷,考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.5、A【解析】

先化簡(jiǎn)已知得,再根據(jù)題意得出f(x)的最小值正周期T為1×2,再求出ω的值.【詳解】由題得,設(shè)x1,x2為f(x)=2sin(ωx﹣)(ω>0)的兩個(gè)零點(diǎn),且的最小值為1,∴=1,解得T=2;∴=2,解得ω=π.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.7、C【解析】

恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則恰有兩個(gè)不同的解,求出可確定是它的一個(gè)解,另一個(gè)解由方程確定,令通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個(gè)不是1的解時(shí)t應(yīng)滿(mǎn)足的條件.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?因?yàn)榍∮袃蓚€(gè)極值點(diǎn),所以恰有兩個(gè)不同的解,顯然是它的一個(gè)解,另一個(gè)解由方程確定,且這個(gè)解不等于1.令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,從而,且.所以,當(dāng)且時(shí),恰有兩個(gè)極值點(diǎn),即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,函數(shù)與方程的應(yīng)用,屬于中檔題.8、C【解析】

直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn),由此推導(dǎo)出,由此能求出點(diǎn)的坐標(biāo),從而能求出的值.【詳解】設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為,直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn),如圖過(guò)A、B分別作于M,于N,由,則,點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB,則,∴,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為,把代入直線(xiàn),解得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)中參數(shù)的求法,考查拋物線(xiàn)的性質(zhì),是中檔題,解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用,屬于中檔題.9、D【解析】

由可得,所以,由為定義在上的奇函數(shù)結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),可知在上單調(diào)遞增,注意到,再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.【詳解】因?yàn)樵谏鲜瞧婧瘮?shù).所以,解得,所以當(dāng)時(shí),,且時(shí),單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,故有,解?故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式,考查學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用能力,是一道中檔題.10、C【解析】

直接求交集得到答案.【詳解】集合,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題.11、B【解析】

①利用真假表來(lái)判斷,②考慮內(nèi)角為,③利用特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題判斷,④利用集合間的包含關(guān)系判斷.【詳解】若“且”為假命題,則﹑中至少有一個(gè)是假命題,故①錯(cuò)誤;當(dāng)內(nèi)角為時(shí),不是象限角,故②錯(cuò)誤;由特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題知③正確;因?yàn)椋?,所以“”是“”的必要條件,故④正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的問(wèn)題,涉及到“且”命題、特稱(chēng)命題的否定、象限角、必要條件等知識(shí),是一道基礎(chǔ)題.12、D【解析】

由題設(shè)中所給的定義,方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可求出的大致范圍【詳解】解:由題意方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,對(duì)于函數(shù),由于,,設(shè),該函數(shù)在為增函數(shù),,,在上有零點(diǎn),故函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么故選:.【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)新定義的題,理解定義,分別建立方程解出存在范圍是解題的關(guān)鍵,本題考查了推理判斷的能力,屬于基礎(chǔ)題..二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),由此能求出概率.【詳解】解:從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),分別為:,,,,,,,.所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

畫(huà)出函數(shù)的圖象,再畫(huà)的圖象,求出一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的的值,然后平行移動(dòng)可得有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的的范圍.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示:因?yàn)榉匠逃星抑挥袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以圖象與直線(xiàn)有且只有兩個(gè)交點(diǎn)即可,當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)兩個(gè)函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn),即時(shí),與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn),由圖象可知,直線(xiàn)向下平移后有兩個(gè)交點(diǎn),可得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的跟與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合的思想,屬于中檔題.15、【解析】

令可得各項(xiàng)系數(shù)和為,得出,根據(jù)第一個(gè)因式展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)與第二個(gè)因式的展開(kāi)式含一次項(xiàng)的積與第一個(gè)因式展開(kāi)式含x的一次項(xiàng)與第二個(gè)因式常數(shù)項(xiàng)的積的和即為展開(kāi)式中含項(xiàng),可得解.【詳解】令,則得,解得,所以展開(kāi)式中含項(xiàng)為:,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和,二項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng),賦值法,屬于中檔題.16、丙【解析】若甲獲獎(jiǎng),則甲、乙、丙、丁說(shuō)的都是錯(cuò)的,同理可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況,可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙.考點(diǎn):反證法在推理中的應(yīng)用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析,;(2)11202.【解析】

(1)由n,,成等差數(shù)列,可得,,兩式相減,由等比數(shù)列的定義可得是等比數(shù)列,可求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)中的可求出,根據(jù)和求出數(shù)列,中的公共項(xiàng),分組求和,結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式,可得答案.【詳解】(1)證明:因?yàn)閚,,成等差數(shù)列,所以,①所以.②①-②,得,所以.又當(dāng)時(shí),,所以,所以,故數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以,即.(2)根據(jù)(1)求解知,,,所以,所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.又因?yàn)?,,,,,,,,,,,所?【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義,考查分組求和,屬于中檔題.18、(1)元;(2)32家;(3)分布列見(jiàn)解析;【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出各組頻率,再由平均數(shù)公式,即可求解;(2)求出的頻率即可;(3)中的個(gè)數(shù)的所有可能取值為,,,求出可能值的概率,得到分布列,由期望公式即可求解.【詳解】(1)頻率分布直方圖銷(xiāo)售額的平均值為千元,所以銷(xiāo)售額的平均值為元;(2)不低于元的有家(3)銷(xiāo)售額在的店鋪有家,銷(xiāo)售額在的店鋪有家.選取兩家,設(shè)銷(xiāo)售額在的有家.則的所有可能取值為,,.,,所以的分布列為數(shù)學(xué)期望【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用頻率分布直方圖求平均數(shù)和頻數(shù),考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)見(jiàn)解析(2)的最小值為【解析】

(1)由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?,,?dāng)時(shí),,令,可得;令,可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),令,可得;令,可得或,所以函數(shù)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)方法一:當(dāng)時(shí),,,設(shè),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).當(dāng)時(shí),設(shè),則,所以,設(shè),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,且,,所以存在,使得,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因?yàn)?,,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,且,故函數(shù)的最小值為.方法二:當(dāng)時(shí),,,則,令,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,所以存在,使得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),恒成立,所以當(dāng)時(shí),恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以函數(shù)的最小值為.20、(1)①;②8079;(2).【解析】

(1)①時(shí),,,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)在處的切線(xiàn)方程.②由,得,由此能求出的值.(2)根據(jù)若對(duì)任意給定的,,在區(qū)間,上總存在兩個(gè)不同的,使得成立,得到函數(shù)在區(qū)間,上不單調(diào),從而求得的取值范圍.【詳解】(1)①∵,∴∴,∴,∵,所以切線(xiàn)方程為.②,.令,則,.因?yàn)棰?所以②,由①+②得,所以.所以.(2),當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減∵,,所以,函數(shù)在上的值域?yàn)?因?yàn)?,,故,,①此時(shí),當(dāng)變化時(shí)、的變化情況如下:—0+單調(diào)減最小值單調(diào)增∵,,∴對(duì)任意給定的,在區(qū)間上總存在兩個(gè)不同的,使得成立,當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足下列條件,即令,,,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減所以,對(duì)任意,有,即②對(duì)任意恒成立.由③式解得:④綜合①④可知,當(dāng)時(shí),對(duì)任意給定的,在上總存在兩個(gè)不同的,使成立.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值問(wèn)題,會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)根據(jù)函

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