廣東省東莞市北京師范大學(xué)石竹附屬學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

廣東省東莞市北京師范大學(xué)石竹附屬學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是尺，芒種的日影子長為尺，則冬至的日影子長為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺2．已知點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．則以為直徑的圓除過定點(diǎn)外還過定點(diǎn)（）A. B.C. D.3．下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.4．已知雙曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，其虛軸長為（）A.16 B.8C.2 D.15．下列三個(gè)命題：①“若，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b全不為0，則”；②若事件A與事件B互斥，則；③設(shè)命題p：若m是質(zhì)數(shù)，則m一定是奇數(shù)，那么是真命題；其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.2C.1 D.06．若，則（）A.1 B.0C. D.7．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，過分別作的垂線與軸交于兩點(diǎn)，則A.2 B.3C. D.48．已知關(guān)于x的不等式的解集為空集，則的最小值為（）A. B.2C. D.49．設(shè)雙曲線（）的焦距為12，則（）A.1 B.2C.3 D.410．若、且，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.11．設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A.3 B.1C.0 D.﹣112．如圖，已知正方體，點(diǎn)P是棱中點(diǎn)，設(shè)直線為a，直線為b．對于下列兩個(gè)命題：①過點(diǎn)P有且只有一條直線l與a、b都相交；②過點(diǎn)P有且只有兩條直線l與a、b都成角．以下判斷正確的是（）A.①為真命題，②為真命題 B.①為真命題，②為假命題C.①為假命題，②為真命題 D.①為假命題，②為假命題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1202年意大利數(shù)學(xué)家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數(shù)列”，又稱斐波那契數(shù)列.即該數(shù)列中的數(shù)字被人們稱為神奇數(shù)，在現(xiàn)代物理，化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列各項(xiàng)被3除后的余數(shù)構(gòu)成一新數(shù)列，則數(shù)列的前2022項(xiàng)的和為________.14．已知幾何體如圖所示，其中四邊形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，且邊長為1，點(diǎn)M在DG上，若直線MB與平面BEF所成的角為45°，則___________.15．由曲線圍成的圖形的面積為_______________16．曲線在點(diǎn)處的切線的方程為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱柱中，是上的點(diǎn)，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.18．（12分）設(shè)：實(shí)數(shù)滿足，：實(shí)數(shù)滿足（1）當(dāng)時(shí)，若與均為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．（12分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)（1）求證：平面，并求直線與平面的距離；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值20．（12分）圓心在軸正半軸上、半徑為2的圓與直線相交于兩點(diǎn)且.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線，圓上僅有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，求直線的方程.21．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，（1）若（i）求；（ii）求證數(shù)列成等差數(shù)列（2）若數(shù)列為遞增數(shù)列，且，試求滿足條件的所有正整數(shù)的值22．（10分）已知直線過點(diǎn)，且被兩條平行直線，截得的線段長為.（1）求的最小值；（2）當(dāng)直線與軸平行時(shí)，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，求首項(xiàng).【詳解】設(shè)冬至的日影長為，雨水的日影長為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，芒種的日影長為，，解得：，，所以冬至的日影長為尺.故選：D2、D【解析】設(shè)垂直于直線，可知圓恒過垂足；兩條直線方程聯(lián)立可求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，由圓的性質(zhì)可知：以為直徑的圓恒過點(diǎn)，由得：，以為直徑的圓恒過定點(diǎn).故選：D.3、C【解析】焦點(diǎn)在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C考點(diǎn)：1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)4、C【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程的特點(diǎn)，結(jié)合虛軸長的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，所以，因此該雙曲線的虛軸長為，故選：C5、B【解析】寫出逆否命題可判斷①；根據(jù)互斥事件的概率定義可判斷②；根據(jù)寫出再判斷真假可判斷③.【詳解】對于①，“，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b不全為0，則”，故①錯(cuò)誤；對于②，滿足互斥事件的概率求和的方法，所以②為真命題；③命題p：若m是質(zhì)數(shù)，則m一定是奇數(shù).2是質(zhì)數(shù)，但2是偶數(shù)，命題p是假命題，那么真命題故選：B.6、C【解析】由結(jié)合二項(xiàng)式定理可得出，利用二項(xiàng)式系數(shù)和公式可求得的值.【詳解】，當(dāng)且時(shí)，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)和的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟悉二項(xiàng)式系數(shù)和公式，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】由題意，圓心到直線的距離，∴，∵直線∴直線的傾斜角為，∵過分別作的垂線與軸交于兩點(diǎn)，∴，故選D.8、D【解析】根據(jù)一元二次不等式的解集的情況得出二次項(xiàng)系數(shù)大于零，根的判別式小于零，可得出，再將化為，由和均值不等式可求得最小值.【詳解】由題意可得：，，可以得到，而，可以令，則有，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以的最小值為4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查均值不等式，關(guān)鍵在于由一元二次不等式的解集的情況得出的關(guān)系，再將所求的式子運(yùn)用不等式的性質(zhì)降低元的個(gè)數(shù)，運(yùn)用均值不等式，是中檔題.9、B【解析】根據(jù)可得關(guān)于的方程，解方程即可得答案.【詳解】因?yàn)榭苫癁?，所以，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查已知雙曲線的焦距求參數(shù)的值，考查函數(shù)與方程思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷AB選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對于AB選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?、且，則，即，A錯(cuò)B對；對于CD選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在上不單調(diào)，無法確定與的大小關(guān)系，故CD都錯(cuò).故選：B.11、C【解析】線性規(guī)劃問題，作出可行域后，根據(jù)幾何意義求解【詳解】作出可行域如圖所示，，數(shù)形結(jié)合知過時(shí)取最小值故選：C12、A【解析】①由正方形的性質(zhì)，可以延伸正方形，再利用兩條平行線確定一個(gè)平面即可；②一組鄰邊與對角面夾角相等，在平面內(nèi)繞P轉(zhuǎn)動，可以得到二條直線與a、b的夾角都等于.【詳解】如下圖所示，在側(cè)面正方形和再延伸一個(gè)正方形和，則平面和在同一個(gè)平面內(nèi)，所以過點(diǎn)P，有且只有一條直線l，即與a、b相交，故①為真命題；取中點(diǎn)N，連PN，由于a、b為異面直線，a、b的夾角等于與b的夾角.由于平面，平面，，所以平面，所以與與b的夾角都為.又因?yàn)槠矫?，所以與與b的夾角都為，而，所以過點(diǎn)P，在平面內(nèi)存在一條直線，使得與與b的夾角都為，同理可得，過點(diǎn)P，在平面內(nèi)存在一條直線，使得與與的夾角都為；故②為真命題.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由數(shù)列各項(xiàng)除以3的余數(shù)，可得為，知是周期為8的數(shù)列，即可求出數(shù)列的前2022項(xiàng)的和.【詳解】由數(shù)列各項(xiàng)除以3的余數(shù)，可得為，是周期為8的數(shù)列，一個(gè)周期中八項(xiàng)和為，又，數(shù)列的前2022項(xiàng)的和.故答案為：.14、##【解析】把該幾何體補(bǔ)成一個(gè)正方體，如圖，利用正方體的性質(zhì)證明面面垂直得出直線MB與平面BEF所成的角，然后計(jì)算可得【詳解】把該幾何體補(bǔ)成一個(gè)正方體，如圖，，連接，由平面，平面，得，同理，又正方形中，，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，所以平面內(nèi)的直線在平面上的射影是，即是直線MB與平面BEF所成的角，，，，故答案為：15、【解析】當(dāng)時(shí)，曲線表示的圖形為以為圓心，以為半徑的圓在第一象限的部分，所以面積為，根據(jù)對稱性，可知由曲線圍成的圖形的面積為考點(diǎn)：本小題主要考查曲線表示的平面圖形的面積的求法，考查學(xué)生分類討論思想的運(yùn)用和運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評：解決此題的關(guān)鍵是看出所求圖形在四個(gè)象限內(nèi)是相同的，然后求出在一個(gè)象限內(nèi)的圖形的面積即可解決問題.16、【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，得切線斜率后可得切線方程【詳解】，∴切線斜率為，切線方程為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意證明，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明問題；（2）結(jié)合（1），進(jìn)而利用等體積法求得答案.【小問1詳解】由題意，，為等邊三角形，，∵平面ABCD，∴，則，即為中點(diǎn).連接，∵平面，平面，∴，易得，則，又，于是，即，同理，即，又平面.【小問2詳解】設(shè)M到平面的距離為d，，∴.易得，取BD的中點(diǎn)N，連接，則，所以，，所以，，.即M到平面的距離為1.18、（1）；（2）.【解析】（1）將代入，解一元二次不等式求兩集合的交集即可求解.（2）求出：，根據(jù)題意可得轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，：，：或.因?yàn)?，中都是真命題.所以所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，：，：或，所以：，因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19、（1）證明見解析，直線與平面的距離為（2）【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可證得平面，以及求得直線與平面的距離；（2）利用空間向量法可求得平面與平面所成夾角的余弦值【小問1詳解】解：因?yàn)槠矫妫倪呅螢榫匦?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、、，，，，，所以，，，所以，，，又因?yàn)?，因此，平?所以，平面的一個(gè)法向量為，，平面，平面，則平面，所以，直線到平面的距離為.【小問2詳解】解：若，則、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，.因此，平面與平面所成夾角的余弦值為.20、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)圓的弦長公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.小問1詳解】因?yàn)閳A的圓心在軸正半軸上、半徑為2，所以設(shè)方程為：，圓心，設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)?，所以有，或舍去，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由（1）可知：，圓的半徑為，因?yàn)橹本€，所以設(shè)直線的方程為，因?yàn)閳A上僅有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，所以直線與該圓相離，當(dāng)兩平行線間的距離為，于是有：，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為：，符合題意；當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為：：，不符合題意，此時(shí)直線的方程為.當(dāng)兩平行線間的距離為，于是有：，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為：，不符合題意；當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為：：，不符合題意，此時(shí)直線的方程為.故直線方程為或.21、（1）；詳見解析；（2）5.【解析】（1）由題可得，由條件可依次求各項(xiàng)，即得；猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明即得；（2）設(shè)，由題可得，進(jìn)而可得，結(jié)合條件即求.【小問1詳解】（i）∵，且，，，∴，，，∴，，，又，，，∴，∴，解得，，解得，，解得，，解得，∴；（ii）由，，，，猜想數(shù)列是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，，成立；假設(shè)時(shí)，等式成立，即，則時(shí)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，等式也成立，∴，∴數(shù)列