2025屆山東省青島市即墨區(qū)重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2025屆山東省青島市即墨區(qū)重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，O為平面ABC外一點(diǎn)，且平面ABC中的小方格均為單位正方形，，，則（）A.1 B.C.2 D.2．若圓C與直線(xiàn)：和：都相切，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.3．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.4．圓的圓心坐標(biāo)與半徑分別是（）A. B.C. D.5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C. D.6．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則（）A. B.C. D.7．是橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)到的距離為1，則到的距離為（）A.3 B.4C.5 D.68．直線(xiàn)在軸上的截距為，在軸上的截距為，則有（）A.， B.，C.， D.，9．函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.10．圓的圓心到直線(xiàn)的距離為2，則（）A. B.C. D.211．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上恒成立，則稱(chēng)函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.則下列函數(shù)在上是“凹函數(shù)”的是（）A. B.C. D.12．直線(xiàn)y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為A.相切B.相交但直線(xiàn)不過(guò)圓心C.直線(xiàn)過(guò)圓心D.相離二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以?huà)佄锞€(xiàn)C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于、兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線(xiàn)于、兩點(diǎn).，，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為_(kāi)___.14．已知數(shù)列滿(mǎn)足：，，，則______15．已知曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，則符合條件的的一個(gè)整數(shù)值為_(kāi)_____.16．如圖所示四棱錐，底面ABCD為直角梯形，，，，，是底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），平面MBD，則點(diǎn)O軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）為了調(diào)查某蘋(píng)果園中蘋(píng)果的生長(zhǎng)情況，在蘋(píng)果園中隨機(jī)采摘了個(gè)蘋(píng)果.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，蘋(píng)果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知，.（1）若從蘋(píng)果園中隨機(jī)采摘個(gè)蘋(píng)果，求該蘋(píng)果的重量在內(nèi)的概率；（2）從這個(gè)蘋(píng)果中隨機(jī)挑出個(gè)，這個(gè)蘋(píng)果的重量情況如下.重量范圍（單位：）個(gè)數(shù)為進(jìn)一步了解蘋(píng)果的甜度，從這個(gè)蘋(píng)果中隨機(jī)選出個(gè)，記隨機(jī)選出的個(gè)蘋(píng)果中重量在內(nèi)的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（12分）《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定：機(jī)動(dòng)車(chē)行經(jīng)人行橫道時(shí)，應(yīng)當(dāng)減速慢行；遇行人正在通過(guò)人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車(chē)讓行，俗稱(chēng)“禮讓斑馬線(xiàn)”，其中第90條規(guī)定:對(duì)不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線(xiàn)”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：參考公式：，月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009580（1）請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份x之間的回歸直線(xiàn)方程；（2）預(yù)測(cè)該路口10月份的不“禮讓斑馬線(xiàn)”違章駕駛員人數(shù)；19．（12分）（１）求焦點(diǎn)在x軸上,虛軸長(zhǎng)為12，離心率為的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；20．（12分）在中，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求直線(xiàn)的方程；（2）求的面積.21．（12分）已知雙曲線(xiàn)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)相同，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上一點(diǎn).（1）求雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離是5，求的值.22．（10分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求直線(xiàn)AB與平面所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算，將向量表示為，再根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算可得答案,【詳解】因?yàn)?，所?，故選：B.2、B【解析】首先求出兩平行直線(xiàn)間的距離，即可求出圓的半徑，設(shè)圓心坐標(biāo)為，，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑得到方程，求出的值，即可得解；【詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)：和：的距離，由圓C與直線(xiàn)：和：都相切，所以圓的半徑為，又圓心在軸上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，，所以圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即，所以或（舍去），所以圓心坐標(biāo)為，故圓的方程為；故選：B3、D【解析】，∵函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上恒成立．∴，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴．∴取值范圍是．故選D考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.4、C【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得答案.【詳解】由題可知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑為3，故選.5、C【解析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意，解得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】求導(dǎo)后，令，可求得，再令可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查了求導(dǎo)函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】利用橢圓的定義直接求解【詳解】由題意得，得，因?yàn)椋?，所以，故選：C8、B【解析】將直線(xiàn)方程的一般形式化為截距式，由此可得其在x軸和y軸上的截距.【詳解】直線(xiàn)方程化成截距式為，所以，故選：B.9、A【解析】由得出函數(shù)是奇函數(shù)，再求得，，運(yùn)用排除法可得選項(xiàng).【詳解】法一：由函數(shù)，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以排除B；因?yàn)?，所以排除D；因?yàn)?，所以排除C，故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.10、B【解析】配方求出圓心坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式計(jì)算【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，∴，解得故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，屬于基礎(chǔ)題11、B【解析】根據(jù)“凹函數(shù)”的定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可解出【詳解】對(duì)A，，當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，，在上恒成立，所以B正確；對(duì)C，，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，因?yàn)椋訢錯(cuò)誤故選：B12、B【解析】求出圓心到直線(xiàn)的距離d，與圓的半徑r比較大小即可判斷出直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，同時(shí)判斷圓心是否在直線(xiàn)上，即可得到正確答案解：由圓的方程得到圓心坐標(biāo)（0，0），半徑r=1則圓心（0，0）到直線(xiàn)y=x+1的距離d==＜r=1，把（0，0）代入直線(xiàn)方程左右兩邊不相等，得到直線(xiàn)不過(guò)圓心所以直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是相交但直線(xiàn)不過(guò)圓心故選B考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】畫(huà)出圖形，設(shè)出拋物線(xiàn)方程，利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即可.【詳解】解：設(shè)拋物線(xiàn)為y2＝2px，如圖：，又，解得，設(shè)圓的半徑為，，解得：p＝2，即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為：2.故答案為：2.14、.【解析】運(yùn)用累和法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，有，因此有：，即，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以，故答案為：.15、.(答案不唯一)【解析】給出一個(gè)符合條件的值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，故答案為：.(答案不唯一)16、【解析】繪出如圖所示的輔助線(xiàn)，然后通過(guò)平面平面得出點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段，最后通過(guò)求出、的長(zhǎng)度即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使且，連接，取上點(diǎn)，使得，作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，又，所以，，因?yàn)?，，，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，面，所以點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，，所以，因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪?，所以，，，，故答案為?三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】（1）利用正態(tài)密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合已知條件可求得的值；（2）分析可知，隨機(jī)變量的所有可能取值為、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)一步可求得的值.【小問(wèn)1詳解】解：已知蘋(píng)果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可知，，所以從蘋(píng)果園中隨機(jī)采摘個(gè)蘋(píng)果，該蘋(píng)果的重量在內(nèi)的概率為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意可知，隨機(jī)變量的所有可能取值為、、，，；，所以，隨機(jī)變量的分布列為：所以18、（1）；（2）37【解析】（1）將題干數(shù)據(jù)代入公式求出與，進(jìn)而求出回歸直線(xiàn)方程；（2）再第一問(wèn)的基礎(chǔ)上代入求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】，，則，，所以回歸直線(xiàn)方程；【小問(wèn)2詳解】令得：，故該路口10月份的不“禮讓斑馬線(xiàn)”違章駕駛員人數(shù)為37.19、（1）；（2）或.【解析】（1）由虛軸長(zhǎng)是12求出半虛軸b，根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)c2=a2+b2以及離心率，求出a2，寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出拋物線(xiàn)方程，利用經(jīng)過(guò)，求出拋物線(xiàn)中的參數(shù)，即可得到拋物線(xiàn)方程【詳解】焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為=1（a>0,b>0）由題意，得解得b=6,解得，所以焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)的方程為（2）由于點(diǎn)P在第三象限，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程可設(shè)為：或（p>0）當(dāng)方程為，將點(diǎn)代入得16=4p，即p=4,拋物線(xiàn)方程為：；當(dāng)方程為，將點(diǎn)代入得4=8p，即p=,拋物線(xiàn)方程為：；20、（1）（2）【解析】（1）先求出AB的斜率，再利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程即可；（2）先求出，再求出C到AB的距離即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】由已知，，所以直線(xiàn)的方程為，即.【小問(wèn)2詳解】，C到直線(xiàn)AB的距離為，所以的面積為.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程求出即得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先求出的值，再解方程得解.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線(xiàn)的方程為，所以.所以.所以.所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為.（2）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)相同，所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2，0)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，所以點(diǎn)到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離.因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離是5，即，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查拋物線(xiàn)的定義和幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）由線(xiàn)面垂直、等腰三角