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文檔簡介
甘肅省寧縣2025屆數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù).若存在實數(shù),且,使得,則實數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.2.已知點是拋物線:的焦點,點為拋物線的對稱軸與其準(zhǔn)線的交點,過作拋物線的切線,切點為,若點恰好在以,為焦點的雙曲線上,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.已知函數(shù),則方程的實數(shù)根的個數(shù)是()A. B. C. D.4.若復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.5.已知,,為圓上的動點,,過點作與垂直的直線交直線于點,若點的橫坐標(biāo)為,則的取值范圍是()A. B. C. D.6.1777年,法國科學(xué)家蒲豐在宴請客人時,在地上鋪了一張白紙,上面畫著一條條等距離的平行線,而他給每個客人發(fā)許多等質(zhì)量的,長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針,讓他們隨意投放.事后,蒲豐對針落地的位置進(jìn)行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)共投針2212枚,與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計數(shù)據(jù),若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針,則針落地后與直線相交的概率約為()A. B. C. D.7.已知向量,,,若,則()A. B. C. D.8.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計劃去三個不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動,每人只能去一個社區(qū),每個社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū),乙不去社區(qū),則不同的安排方法種數(shù)為()A.8 B.7 C.6 D.59.已知數(shù)列的首項,且,其中,,,下列敘述正確的是()A.若是等差數(shù)列,則一定有 B.若是等比數(shù)列,則一定有C.若不是等差數(shù)列,則一定有 D.若不是等比數(shù)列,則一定有10.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細(xì)算相還.”意思為有一個人要走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛,每天走的路程為前一天的一半,走了六天恰好到達(dá)目的地,請問第二天比第四天多走了()A.96里 B.72里 C.48里 D.24里11.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.12.雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的展開式中,常數(shù)項為________.(用數(shù)字作答)14.已知雙曲線的左右焦點分別為,過的直線與雙曲線左支交于兩點,,的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo)為,則雙曲線的離心率為________.15.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,,則不等式的解集用區(qū)間表示為__________.16.已知向量,,,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時,求不等式的解集;(Ⅱ)若不等式對任意實數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù)(I)當(dāng)時,解不等式.(II)若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍19.(12分)已知函數(shù)u(x)=xlnx,v(x)x﹣1,m∈R.(1)令m=2,求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)令f(x)=u(x)﹣v(x),若函數(shù)f(x)恰有兩個極值點x1,x2,且滿足1e(e為自然對數(shù)的底數(shù))求x1?x2的最大值.20.(12分)設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,其前項和為,,若,,成等比數(shù)列.(1)求及;(2)設(shè),設(shè)數(shù)列的前項和,證明:.21.(12分)在某社區(qū)舉行的2020迎春晚會上,張明和王慧夫妻倆參加該社區(qū)的“夫妻蒙眼擊鼓”游戲,每輪游戲中張明和王慧各蒙眼擊鼓一次,每個人擊中鼓則得積分100分,沒有擊中鼓則扣積分50分,最終積分以家庭為單位計分.已知張明每次擊中鼓的概率為,王慧每次擊中鼓的概率為;每輪游戲中張明和王慧擊中與否互不影響,假設(shè)張明和王慧他們家庭參加兩輪蒙眼擊鼓游戲.(1)若家庭最終積分超過200分時,這個家庭就可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機,問張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機的概率是多少?(2)張明和王慧他們家庭兩輪游戲得積分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.22.(10分)設(shè)函數(shù),,.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個零點,().(i)求的取值范圍;(ii)求證:隨著的增大而增大.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
首先對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的符號分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值,根據(jù)題意,列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系,求得結(jié)果.【詳解】,令,得,.其單調(diào)性及極值情況如下:x0+0_0+極大值極小值若存在,使得,則(如圖1)或(如圖2).(圖1)(圖2)于是可得,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題,涉及到的知識點有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,畫出圖象數(shù)形結(jié)合,屬于較難題目.2、D【解析】
根據(jù)拋物線的性質(zhì),設(shè)出直線方程,代入拋物線方程,求得k的值,設(shè)出雙曲線方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用雙曲線的離心率公式求得e.【詳解】直線F2A的直線方程為:y=kx,F(xiàn)1(0,),F(xiàn)2(0,),代入拋物線C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),設(shè)雙曲線方程為:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴離心率e1,故選:D.【點睛】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查計算能力,屬于中檔題.3、D【解析】
畫出函數(shù),將方程看作交點個數(shù),運用圖象判斷根的個數(shù).【詳解】畫出函數(shù)令有兩解,則分別有3個,2個解,故方程的實數(shù)根的個數(shù)是3+2=5個故選:D【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運用,分類思想的運用,數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根,難度較大,屬于中檔題.4、A【解析】
由得,然后分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)可得復(fù)數(shù),從而可得的虛部.【詳解】因為,所以,所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)除法運算的方法是分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù),轉(zhuǎn)化為乘法運算.5、A【解析】
由題意得,即可得點M的軌跡為以A,B為左、右焦點,的雙曲線,根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖,連接OP,AM,由題意得,點M的軌跡為以A,B為左、右焦點,的雙曲線,.故選:A.【點睛】本題考查了雙曲線定義的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于中檔題.6、D【解析】
根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),求出頻率,用以估計概率.【詳解】.故選:D.【點睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景,考查利用頻率估計概率,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
根據(jù)向量坐標(biāo)運算求得,由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】,,解得:故選:【點睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題,涉及到平面向量的坐標(biāo)運算;關(guān)鍵是明確若兩向量平行,則.8、B【解析】根據(jù)題意滿足條件的安排為:A(甲,乙)B(丙)C(?。?;A(甲,乙)B(?。〤(丙);A(甲,丙)B(?。〤(乙);A(甲,丁)B(丙)C(乙);A(甲)B(丙,?。〤(乙);A(甲)B(?。〤(乙,丙);A(甲)B(丙)C(丁,乙);共7種,選B.9、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:當(dāng)時,,顯然符合是等差數(shù)列,但是此時不成立,故本說法不正確;B:當(dāng)時,,顯然符合是等比數(shù)列,但是此時不成立,故本說法不正確;C:當(dāng)時,因此有常數(shù),因此是等差數(shù)列,因此當(dāng)不是等差數(shù)列時,一定有,故本說法正確;D:當(dāng)時,若時,顯然數(shù)列是等比數(shù)列,故本說法不正確.故選:C【點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義,考查了推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設(shè)此人第一天走的路程為,計算,代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設(shè)此人第一天走的路程為,則,解得,從而可得,故.故選:.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.11、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則,可得,然后利用復(fù)數(shù)模的概念,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:由,所以所以故選:A【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算,考驗計算,屬基礎(chǔ)題.12、A【解析】
將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,其漸近線方程為,化簡整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得,則其漸近線方程為,整理得.故選:A【點睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
的展開式的通項為,取計算得到答案.【詳解】的展開式的通項為:,取得到常數(shù)項.故答案為:.【點睛】本題考查了二項式定理,意在考查學(xué)生的計算能力.14、2【解析】
由題意畫出圖形,設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,圓分別切于,可得四邊形為正方形,再由圓的切線的性質(zhì)結(jié)臺雙曲線的定義,求得的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo),結(jié)合已知列式,即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,圓分別切于,連接,則,故四邊形為正方形,邊長為圓的半徑,由,,得,與重合,,,即——①,——②聯(lián)立①②解得:,又因圓心的縱坐標(biāo)為,.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力,屬于中檔題.15、【解析】設(shè),則,由題意可得故當(dāng)時,由不等式,可得,或求得,或故答案為(16、3【解析】
由題意得,,再代入中,計算即可得答案.【詳解】由題意可得,,∴,解得,∴.故答案為:.【點睛】本題考查向量模的計算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運算求解能力,求解時注意向量數(shù)量積公式的運用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)分三種情況討論,分別求解不等式組,然后求并集即可得不等式的解集;(Ⅱ)根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)可得,不等式對任意實數(shù)恒成立,等價于,解不等式即可求的取值范圍.試題解析:(Ⅰ)當(dāng)時,即,①當(dāng)時,得,所以;②當(dāng)時,得,即,所以;③當(dāng)時,得成立,所以.故不等式的解集為.(Ⅱ)因為,由題意得,則,解得,故的取值范圍是.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)根據(jù)零點分區(qū)間法,去掉絕對值解不等式;(2)根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)得,因此將問題轉(zhuǎn)化為恒成立,借此不等式即可.試題解析:(Ⅰ)由得,,或,或解得:所以原不等式的解集為.(Ⅱ)由不等式的性質(zhì)得:,要使不等式恒成立,則當(dāng)時,不等式恒成立;當(dāng)時,解不等式得.綜上.所以實數(shù)的取值范圍為.19、(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間是(e,+∞)(2)【解析】
(1)化簡函數(shù)h(x),求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出(2)函數(shù)f(x)恰有兩個極值點x1,x2,則f′(x)=lnx﹣mx=0有兩個正根,由此得到m(x2﹣x1)=lnx2﹣lnx1,m(x2+x1)=lnx2+lnx1,消參數(shù)m化簡整理可得ln(x1x2)=ln?,設(shè)t,構(gòu)造函數(shù)g(t)=()lnt,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值即可求出x1?x2的最大值.【詳解】(1)令m=2,函數(shù)h(x),∴h′(x),令h′(x)=0,解得x=e,∴當(dāng)x∈(0,e)時,h′(x)>0,當(dāng)x∈(e,+∞)時,h′(x)<0,∴函數(shù)h(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間是(e,+∞)(2)f(x)=u(x)﹣v(x)=xlnxx+1,∴f′(x)=1+lnx﹣mx﹣1=lnx﹣mx,∵函數(shù)f(x)恰有兩個極值點x1,x2,∴f′(x)=lnx﹣mx=0有兩個不等正根,∴l(xiāng)nx1﹣mx1=0,lnx2﹣mx2=0,兩式相減可得lnx2﹣lnx1=m(x2﹣x1),兩式相加可得m(x2+x1)=lnx2+lnx1,∴∴l(xiāng)n(x1x2)=ln?,設(shè)t,∵1e,∴1<t≤e,設(shè)g(t)=()lnt,∴g′(t),令φ(t)=t2﹣1﹣2tlnt,∴φ′(t)=2t﹣2(1+lnt)=2(t﹣1﹣lnt),再令p(t)=t﹣1﹣lnt,∴p′(t)=10恒成立,∴p(t)在(1,e]單調(diào)遞增,∴φ′(t)=p(t)>p(1)=1﹣1﹣ln1=0,∴φ(t)在(1,e]單調(diào)遞增,∴g′(t)=φ(t)>φ(1)=1﹣1﹣2ln1=0,∴g(t)在(1,e]單調(diào)遞增,∴g(t)max=g(e),∴l(xiāng)n(x1x2),∴x1x2故x1?x2的最大值為.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和最值,考查了函數(shù)與方程的思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于難題20、(1),;(2)證明見解析.【解析】
(1)根據(jù)題中條件求出等差數(shù)列的首項和公差,然后根據(jù)首項和公差即可求出數(shù)列的通項和前項和;(2)根據(jù)裂項求和求出,根據(jù)的表達(dá)式即可證明.【詳解】(1)設(shè)的公差為,由題意有,且,所以,;(2)因為,所以,.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列基本量的求解,裂項求和法,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)(2)詳見解析【解析】
(1)要積分超過分,則需兩人共擊中次,或者擊中次,由此利用相互獨立事件概率計算公式,計算出所求概率.(2)求得的所有可能取值,根據(jù)相互獨立事件概率計算公式,計算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題意,當(dāng)家庭最終積分超過200分時,這個家庭就可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機,所以要想領(lǐng)取一臺全自動洗
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