2025屆安徽省舒城龍河中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2025屆安徽省舒城龍河中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在下列四條拋物線中，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1的是（）A. B.C. D.2．橢圓離心率是（）A. B.C. D.3．已知過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2C. D.34．命題“”的一個(gè)充要條件是（）A. B.C. D.5．在長(zhǎng)方體，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.6．若直線與直線垂直，則（）A.6 B.4C. D.7．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則的最小值為（）A. B.0C. D.28．已知函數(shù)在處有極小值，則c的值為（）A.2 B.4C.6 D.2或69．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S7＝28，則a4＝（）A.4 B.7C.8 D.1410．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，則正數(shù)的值是（）A.3 B.4C.9 D.2111．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或12．算盤是中國(guó)古代的一項(xiàng)重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個(gè)位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）．如果撥動(dòng)圖1算盤中的兩枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.8 B.10C.15 D.16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面內(nèi)n條直線兩兩相交，且任意三條直線不過同一點(diǎn)，將其交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為，若規(guī)定，則，，_________，_________，（用含n的式子表示）14．已知直線和互相平行，則實(shí)數(shù)的值為___________.15．有一組數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為3，方差為2，則新的數(shù)據(jù)的方差為________.16．若直線與圓有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn).（1）試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）求證：直線面.18．（12分）立德中學(xué)舉行冬令營(yíng)活動(dòng)期間，對(duì)位參加活動(dòng)的學(xué)生進(jìn)行了文化和體能測(cè)試，滿分為150分，其測(cè)試成績(jī)都在90分和150分之間，成績(jī)?cè)谡J(rèn)定為“一般”，成績(jī)?cè)谡J(rèn)定為“良好”，成績(jī)?cè)谡J(rèn)定為“優(yōu)秀”．成績(jī)統(tǒng)計(jì)人數(shù)如下表：體能文化一般良好優(yōu)秀一般0良好3優(yōu)秀2例如，表中體能成績(jī)良好且文化成績(jī)一般的學(xué)生有2人（1）若從這位參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到文化或體能優(yōu)秀的學(xué)生概率為．求，的值；（2）在（1）的情況下，從體能成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求至少有一個(gè)人文化的成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率；（3）若讓使參加體能測(cè)試的成績(jī)方差最小，寫出的值．（直接寫出答案）19．（12分）已知函數(shù)滿足.（1）求的解析式，并判斷其奇偶性；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且的最小值是1，當(dāng)垂直長(zhǎng)軸時(shí)，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與橢圓相切，且交圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線方程.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，△的三個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn).（1）求△的外接圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作直線平行于直線，判斷直線與圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.22．（10分）設(shè)圓的圓心為﹐直線l過點(diǎn)且與x軸不重合，直線l交圓于A，B兩點(diǎn).過作的平行線交于點(diǎn)P.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，直線l交E于M，N兩點(diǎn)，C在線段上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于C的對(duì)稱點(diǎn)為Q，求四邊形面積的取值范圍；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題意可知，然后分析判斷即可【詳解】由題意知，即可滿足題意，故A，B，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D2、C【解析】將方程轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得a，c，再由離心率公式求得答案.【詳解】解：由得，所以，則，所以橢圓的離心率，故選：C.3、D【解析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達(dá)定理，求得，利用拋物線定義，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，消元后，利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然要滿足題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為聯(lián)立可得，其，設(shè)坐標(biāo)為，顯然，則，，根據(jù)拋物線定義，MF=故=4+4令，故4+4當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考察拋物線中的最值問題，涉及到韋達(dá)定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的關(guān)系，以及拋物線的定義轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，是解決問題的關(guān)鍵.4、D【解析】結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，滿足，推不出，故不充分；B.當(dāng)時(shí)，滿足，推不出，故不充分；C.當(dāng)時(shí)，推不出，故不必要；D.因?yàn)椋食湟?，故選：D5、A【解析】在長(zhǎng)方體中建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得向量，的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式即可求得答案.詳解】如圖，由題意可知DA，DC，兩兩垂直，則以D為原點(diǎn)，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，，從而，故異面直線與所成角的余弦值是，故選：A.6、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.7、A【解析】畫出可行域，令，則，結(jié)合圖形求出最小值，即可得解；【詳解】解：畫出不等式組，表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，由，解得，即，令，則．結(jié)合圖形可知當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，且，即故選：A8、A【解析】根據(jù)求出c，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)極小值的定義判斷答案.【詳解】由題意，，則，所以或.若c=2，則，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.函數(shù)在處有極小值，滿足題意；若c=6，則，函數(shù)R上單調(diào)遞增，不合題意.綜上：c=2.故選：A.9、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，再代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解.【詳解】數(shù)列{an}是等差數(shù)列，，那么，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題型.10、A【解析】由直接可得.【詳解】由題知，所以，因?yàn)椋?故選：A11、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則因?yàn)?，所以，即，解得或，所以?故選：C.12、A【解析】根據(jù)給定條件分類探求出撥動(dòng)兩枚算珠的結(jié)果計(jì)算得解.【詳解】撥動(dòng)圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類辦法，由于撥動(dòng)一枚算珠有梁上、梁下之分，則只在一個(gè)檔撥動(dòng)兩枚算珠共有4種方法，在每一個(gè)檔各撥動(dòng)一枚算珠共有4種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有8種方法，所以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為8.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.6；②..【解析】利用第條直線與前條直線相交有個(gè)交點(diǎn)得出與的關(guān)系后可得結(jié)論【詳解】第4條直線與前三條直線有3個(gè)交點(diǎn)，因此，同理，由此得到第條直線與前條直線相交有個(gè)交點(diǎn)，所以，即所以故答案為：6；14、【解析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出實(shí)數(shù)的值.詳解】由直線和互相平行，得，即.故答案為：.15、2【解析】由已知得，，然后計(jì)算的平均數(shù)和方差可得答案.【詳解】由已知得，，所以，.故答案為：2.16、【解析】直線與圓有交點(diǎn)，則圓心到直線的距離小于或等于半徑.【詳解】直線即，圓的圓心為，半徑為，若直線與圓有交點(diǎn)，則，解得,故實(shí)數(shù)取值范圍是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）平面AEC，理由見解析（2）證明見解析【解析】（1）以線面平行的判定定理去證明直線與平面平行即可；（2）以線面垂直的判定定理去證明直線面即可.【小問1詳解】連接BD，設(shè)，連接OE.在中，O、E分別是BD、的中點(diǎn)，則.因?yàn)橹本€OE在平面AEC上，而直線不在平面AEC上，根據(jù)直線與平面平行的判定定理，得到直線平面AEC.【小問2詳解】正方體中，故，又，故同理故，又，故又根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，得直線平面.18、（1），；（2）；（3）.【解析】（1）由題設(shè)可得求參數(shù)a，結(jié)合表格數(shù)據(jù)及已知總學(xué)生人數(shù)求參數(shù)b.（2）應(yīng)用列舉法求古典概型的概率.（3）應(yīng)用表格數(shù)據(jù)及方差公式可得且，即可確定成績(jī)方差最小對(duì)應(yīng)的值.【小問1詳解】設(shè)事件：從位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到文化或體能優(yōu)秀的學(xué)生由題意知，體能或文化優(yōu)秀的學(xué)生共有人，則，解得所以；【小問2詳解】體能成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有5人，在這5人中，文化成績(jī)一般的人記為；文化成績(jī)良好的人記為；文化成績(jī)優(yōu)秀的人記為從文化成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人的樣本空間，設(shè)事件：至少有一個(gè)人文化的成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀，，所以，體能成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，至少有一個(gè)人文化成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率是；【小問3詳解】由題設(shè)知：體能測(cè)試成績(jī)，{一般，良好，優(yōu)秀}人數(shù)分別為{5，，}，對(duì)應(yīng)平均分為{100,120,140}，所以體能測(cè)試平均成績(jī)，所以，而所以當(dāng)時(shí)最小.19、（1），是奇函數(shù)（2）【解析】(1)由求出，進(jìn)而求得的解析式，利用奇偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性即可；(2)根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)任意使得恒成立即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所?所以.的定義城為，且，所以是奇函數(shù).【小問2詳解】因?yàn)?，在上均為增函?shù)，所以在上增函數(shù)，所以.對(duì)任意，不等式恒成立，則，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范固為.20、（1）；（2），.【解析】（1）由的最小值為1，得到，再由，結(jié)合，求得的值，即可求得橢圓的方程.（2）設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與橢圓相切，求得，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長(zhǎng)公式，求得的面積的表示，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由題意，點(diǎn)橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且的最小值是1，得，因?yàn)楫?dāng)垂直長(zhǎng)軸時(shí)，可得，所以，即，又由，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意知切線的斜率一定存在，否則不能形成，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立，整理得，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，化簡(jiǎn)得，則，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以，即，故的面積為，因?yàn)椋傻?，即，函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，即面積的最大值為.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以直線的方程為.【點(diǎn)睛】對(duì)于直線與橢圓的位置關(guān)系的處理方法：1、判定與應(yīng)用直線與橢圓的位置關(guān)系，一把轉(zhuǎn)化為研究直線方程與橢圓組成的方程組的解得個(gè)數(shù)，結(jié)合判別式求解；2、對(duì)于過定點(diǎn)的直線，也可以通過定點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上，判定直線與橢圓的位置關(guān)系.21、（1）；（2）直線與圓O相切，理由見解析.【解析】（1）法1：設(shè)外接圓為，由點(diǎn)在圓上，將其代入方程求參數(shù)，即可得圓的方程；法2：利用斜率的兩點(diǎn)式易得，則是△外接圓的直徑，進(jìn)而求圓心坐標(biāo)、半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由題設(shè)有直線垂直于x軸，根據(jù)直線平行于直線及所過的點(diǎn)寫出直線l的方程，求圓O的圓心與直線距離，并與半徑比大小，即可確定它們的位置關(guān)系.【小問1詳解】法1：設(shè)過三點(diǎn)的圓的方程為，則，解得，所求圓的方程為，即.法2：因，所以，則是△外接圓的直徑，圓心，所以所求圓的方程為.