2025屆安徽省舒城龍河中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆安徽省舒城龍河中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在下列四條拋物線中,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1的是()A. B.C. D.2.橢圓離心率是()A. B.C. D.3.已知過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn),則的最小值為()A. B.2C. D.34.命題“”的一個(gè)充要條件是()A. B.C. D.5.在長(zhǎng)方體,,則異面直線與所成角的余弦值是()A. B.C. D.6.若直線與直線垂直,則()A.6 B.4C. D.7.若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組,則的最小值為()A. B.0C. D.28.已知函數(shù)在處有極小值,則c的值為()A.2 B.4C.6 D.2或69.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S7=28,則a4=()A.4 B.7C.8 D.1410.已知橢圓的右焦點(diǎn)為,則正數(shù)的值是()A.3 B.4C.9 D.2111.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則()A. B.8C.1或 D.或12.算盤是中國(guó)古代的一項(xiàng)重要發(fā)明.現(xiàn)有一種算盤(如圖1),共兩檔,自右向左分別表示個(gè)位和十位,檔中橫以梁,梁上一珠撥下,記作數(shù)字5,梁下五珠,上撥一珠記作數(shù)字1(如圖2中算盤表示整數(shù)51).如果撥動(dòng)圖1算盤中的兩枚算珠,可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.8 B.10C.15 D.16二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.平面內(nèi)n條直線兩兩相交,且任意三條直線不過同一點(diǎn),將其交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為,若規(guī)定,則,,_________,_________,(用含n的式子表示)14.已知直線和互相平行,則實(shí)數(shù)的值為___________.15.有一組數(shù)據(jù),其平均數(shù)為3,方差為2,則新的數(shù)據(jù)的方差為________.16.若直線與圓有公共點(diǎn),則b的取值范圍是_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在正方體中,是棱的中點(diǎn).(1)試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)求證:直線面.18.(12分)立德中學(xué)舉行冬令營(yíng)活動(dòng)期間,對(duì)位參加活動(dòng)的學(xué)生進(jìn)行了文化和體能測(cè)試,滿分為150分,其測(cè)試成績(jī)都在90分和150分之間,成績(jī)?cè)谡J(rèn)定為“一般”,成績(jī)?cè)谡J(rèn)定為“良好”,成績(jī)?cè)谡J(rèn)定為“優(yōu)秀”.成績(jī)統(tǒng)計(jì)人數(shù)如下表:體能文化一般良好優(yōu)秀一般0良好3優(yōu)秀2例如,表中體能成績(jī)良好且文化成績(jī)一般的學(xué)生有2人(1)若從這位參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位,抽到文化或體能優(yōu)秀的學(xué)生概率為.求,的值;(2)在(1)的情況下,從體能成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中,隨機(jī)抽取2人,求至少有一個(gè)人文化的成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率;(3)若讓使參加體能測(cè)試的成績(jī)方差最小,寫出的值.(直接寫出答案)19.(12分)已知函數(shù)滿足.(1)求的解析式,并判斷其奇偶性;(2)若對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20.(12分)已知橢圓的右焦點(diǎn)是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn),且的最小值是1,當(dāng)垂直長(zhǎng)軸時(shí),.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線與橢圓相切,且交圓于兩點(diǎn),求面積的最大值,并求此時(shí)直線方程.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,△的三個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn).(1)求△的外接圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)作直線平行于直線,判斷直線與圓O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.22.(10分)設(shè)圓的圓心為﹐直線l過點(diǎn)且與x軸不重合,直線l交圓于A,B兩點(diǎn).過作的平行線交于點(diǎn)P.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E,直線l交E于M,N兩點(diǎn),C在線段上運(yùn)動(dòng),原點(diǎn)O關(guān)于C的對(duì)稱點(diǎn)為Q,求四邊形面積的取值范圍;

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題意可知,然后分析判斷即可【詳解】由題意知,即可滿足題意,故A,B,C錯(cuò)誤,D正確.故選:D2、C【解析】將方程轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求得a,c,再由離心率公式求得答案.【詳解】解:由得,所以,則,所以橢圓的離心率,故選:C.3、D【解析】設(shè)出直線方程,聯(lián)立拋物線方程,得到韋達(dá)定理,求得,利用拋物線定義,將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式,消元后,利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,顯然要滿足題意,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為聯(lián)立可得,其,設(shè)坐標(biāo)為,顯然,則,,根據(jù)拋物線定義,MF=故=4+4令,故4+4當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得最小值.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考察拋物線中的最值問題,涉及到韋達(dá)定理的使用,基本不等式的使用;其中利用的關(guān)系,以及拋物線的定義轉(zhuǎn)化目標(biāo)式,是解決問題的關(guān)鍵.4、D【解析】結(jié)合不等式的基本性質(zhì),利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】A.當(dāng)時(shí),滿足,推不出,故不充分;B.當(dāng)時(shí),滿足,推不出,故不充分;C.當(dāng)時(shí),推不出,故不必要;D.因?yàn)椋食湟?,故選:D5、A【解析】在長(zhǎng)方體中建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得向量,的坐標(biāo),利用向量的夾角公式即可求得答案.詳解】如圖,由題意可知DA,DC,兩兩垂直,則以D為原點(diǎn),,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,,,,,,從而,故異面直線與所成角的余弦值是,故選:A.6、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知,即故選:A.7、A【解析】畫出可行域,令,則,結(jié)合圖形求出最小值,即可得解;【詳解】解:畫出不等式組,表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示,由,解得,即,令,則.結(jié)合圖形可知當(dāng)過點(diǎn)時(shí),取得最小值,且,即故選:A8、A【解析】根據(jù)求出c,進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性,然后根據(jù)極小值的定義判斷答案.【詳解】由題意,,則,所以或.若c=2,則,時(shí),,單調(diào)遞增,時(shí),,單調(diào)遞減,時(shí),,單調(diào)遞增.函數(shù)在處有極小值,滿足題意;若c=6,則,函數(shù)R上單調(diào)遞增,不合題意.綜上:c=2.故選:A.9、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,再代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解.【詳解】數(shù)列{an}是等差數(shù)列,,那么,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和,屬于基礎(chǔ)題型.10、A【解析】由直接可得.【詳解】由題知,所以,因?yàn)椋?故選:A11、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則因?yàn)?,所以,即,解得或,所以?故選:C.12、A【解析】根據(jù)給定條件分類探求出撥動(dòng)兩枚算珠的結(jié)果計(jì)算得解.【詳解】撥動(dòng)圖1算盤中的兩枚算珠,有兩類辦法,由于撥動(dòng)一枚算珠有梁上、梁下之分,則只在一個(gè)檔撥動(dòng)兩枚算珠共有4種方法,在每一個(gè)檔各撥動(dòng)一枚算珠共有4種方法,由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有8種方法,所以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為8.故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①.6;②..【解析】利用第條直線與前條直線相交有個(gè)交點(diǎn)得出與的關(guān)系后可得結(jié)論【詳解】第4條直線與前三條直線有3個(gè)交點(diǎn),因此,同理,由此得到第條直線與前條直線相交有個(gè)交點(diǎn),所以,即所以故答案為:6;14、【解析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出實(shí)數(shù)的值.詳解】由直線和互相平行,得,即.故答案為:.15、2【解析】由已知得,,然后計(jì)算的平均數(shù)和方差可得答案.【詳解】由已知得,,所以,.故答案為:2.16、【解析】直線與圓有交點(diǎn),則圓心到直線的距離小于或等于半徑.【詳解】直線即,圓的圓心為,半徑為,若直線與圓有交點(diǎn),則,解得,故實(shí)數(shù)取值范圍是.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、(1)平面AEC,理由見解析(2)證明見解析【解析】(1)以線面平行的判定定理去證明直線與平面平行即可;(2)以線面垂直的判定定理去證明直線面即可.【小問1詳解】連接BD,設(shè),連接OE.在中,O、E分別是BD、的中點(diǎn),則.因?yàn)橹本€OE在平面AEC上,而直線不在平面AEC上,根據(jù)直線與平面平行的判定定理,得到直線平面AEC.【小問2詳解】正方體中,故,又,故同理故,又,故又根據(jù)直線與平面垂直的判定定理,得直線平面.18、(1),;(2);(3).【解析】(1)由題設(shè)可得求參數(shù)a,結(jié)合表格數(shù)據(jù)及已知總學(xué)生人數(shù)求參數(shù)b.(2)應(yīng)用列舉法求古典概型的概率.(3)應(yīng)用表格數(shù)據(jù)及方差公式可得且,即可確定成績(jī)方差最小對(duì)應(yīng)的值.【小問1詳解】設(shè)事件:從位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位,抽到文化或體能優(yōu)秀的學(xué)生由題意知,體能或文化優(yōu)秀的學(xué)生共有人,則,解得所以;【小問2詳解】體能成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有5人,在這5人中,文化成績(jī)一般的人記為;文化成績(jī)良好的人記為;文化成績(jī)優(yōu)秀的人記為從文化成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中,隨機(jī)抽取2人的樣本空間,設(shè)事件:至少有一個(gè)人文化的成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀,,所以,體能成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中,隨機(jī)抽取2人,至少有一個(gè)人文化成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率是;【小問3詳解】由題設(shè)知:體能測(cè)試成績(jī),{一般,良好,優(yōu)秀}人數(shù)分別為{5,,},對(duì)應(yīng)平均分為{100,120,140},所以體能測(cè)試平均成績(jī),所以,而所以當(dāng)時(shí)最小.19、(1),是奇函數(shù)(2)【解析】(1)由求出,進(jìn)而求得的解析式,利用奇偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性即可;(2)根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值,將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)任意使得恒成立即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?,所?所以.的定義城為,且,所以是奇函數(shù).【小問2詳解】因?yàn)?,在上均為增函?shù),所以在上增函數(shù),所以.對(duì)任意,不等式恒成立,則,所以,即實(shí)數(shù)a的取值范固為.20、(1);(2),.【解析】(1)由的最小值為1,得到,再由,結(jié)合,求得的值,即可求得橢圓的方程.(2)設(shè)切線的方程為,聯(lián)立方程組,根據(jù)直線與橢圓相切,求得,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長(zhǎng)公式,求得的面積的表示,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,即可求解.【詳解】(1)由題意,點(diǎn)橢圓上的一動(dòng)點(diǎn),且的最小值是1,得,因?yàn)楫?dāng)垂直長(zhǎng)軸時(shí),可得,所以,即,又由,解得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由題意知切線的斜率一定存在,否則不能形成,設(shè)切線的方程為,聯(lián)立,整理得,因?yàn)橹本€與橢圓相切,所以,化簡(jiǎn)得,則,因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離,所以,即,故的面積為,因?yàn)椋傻?,即,函?shù)在上單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時(shí)取等號(hào),則,即面積的最大值為.當(dāng)時(shí),此時(shí),所以直線的方程為.【點(diǎn)睛】對(duì)于直線與橢圓的位置關(guān)系的處理方法:1、判定與應(yīng)用直線與橢圓的位置關(guān)系,一把轉(zhuǎn)化為研究直線方程與橢圓組成的方程組的解得個(gè)數(shù),結(jié)合判別式求解;2、對(duì)于過定點(diǎn)的直線,也可以通過定點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上,判定直線與橢圓的位置關(guān)系.21、(1);(2)直線與圓O相切,理由見解析.【解析】(1)法1:設(shè)外接圓為,由點(diǎn)在圓上,將其代入方程求參數(shù),即可得圓的方程;法2:利用斜率的兩點(diǎn)式易得,則是△外接圓的直徑,進(jìn)而求圓心坐標(biāo)、半徑,即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由題設(shè)有直線垂直于x軸,根據(jù)直線平行于直線及所過的點(diǎn)寫出直線l的方程,求圓O的圓心與直線距離,并與半徑比大小,即可確定它們的位置關(guān)系.【小問1詳解】法1:設(shè)過三點(diǎn)的圓的方程為,則,解得,所求圓的方程為,即.法2:因,所以,則是△外接圓的直徑,圓心,所以所求圓的方程為.

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