廣東惠州市2025屆數(shù)學高三第一學期期末達標檢測模擬試題含解析_第1頁
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廣東惠州市2025屆數(shù)學高三第一學期期末達標檢測模擬試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知定義在上的函數(shù),若函數(shù)為偶函數(shù),且對任意,,都有,若,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.為了加強“精準扶貧”,實現(xiàn)偉大復興的“中國夢”,某大學派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學參加三個貧困縣的調(diào)研工作,每個縣至少去1人,且甲、乙兩人約定去同一個貧困縣,則不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.643.若集合,,則=()A. B. C. D.4.在復平面內(nèi),復數(shù)(為虛數(shù)單位)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知等差數(shù)列的前n項和為,且,,若(,且),則i的取值集合是()A. B. C. D.6.設,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知集合.為自然數(shù)集,則下列表示不正確的是()A. B. C. D.8.的展開式中各項系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項為A.-40 B.-20 C.20 D.409.若復數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.10.已知函數(shù),若時,恒成立,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.11.若點(2,k)到直線5x-12y+6=0的距離是4,則k的值是()A.1 B.-3 C.1或 D.-3或12.設,命題“存在,使方程有實根”的否定是()A.任意,使方程無實根B.任意,使方程有實根C.存在,使方程無實根D.存在,使方程有實根二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知以x±2y=0為漸近線的雙曲線經(jīng)過點,則該雙曲線的標準方程為________.14.已知點是拋物線的準線上一點,F(xiàn)為拋物線的焦點,P為拋物線上的點,且,若雙曲線C中心在原點,F(xiàn)是它的一個焦點,且過P點,當m取最小值時,雙曲線C的離心率為______.15.如圖,棱長為2的正方體中,點分別為棱的中點,以為圓心,1為半徑,分別在面和面內(nèi)作弧和,并將兩弧各五等分,分點依次為、、、、、以及、、、、、.一只螞蟻欲從點出發(fā),沿正方體的表面爬行至,則其爬行的最短距離為________.參考數(shù)據(jù):;;)16.某班有學生52人,現(xiàn)將所有學生隨機編號,用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個容量為4的樣本,已知5號、31號、44號學生在樣本中,則樣本中還有一個學生的編號是__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,橢圓:的右焦點為(,為常數(shù)),離心率等于0.8,過焦點、傾斜角為的直線交橢圓于、兩點.⑴求橢圓的標準方程;⑵若時,,求實數(shù);⑶試問的值是否與的大小無關,并證明你的結論.18.(12分)在平面直角坐標系中,直線的傾斜角為,且經(jīng)過點.以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線,從原點O作射線交于點M,點N為射線OM上的點,滿足,記點N的軌跡為曲線C.(Ⅰ)求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程;(Ⅱ)設直線與曲線C交于P,Q兩點,求的值.19.(12分)已知函數(shù)的圖象向左平移后與函數(shù)圖象重合.(1)求和的值;(2)若函數(shù),求的單調(diào)遞增區(qū)間及圖象的對稱軸方程.20.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,圓的方程為.(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程;(2)若點坐標為,圓與直線交于兩點,求的值.21.(12分)如圖,點為圓:上一動點,過點分別作軸,軸的垂線,垂足分別為,,連接延長至點,使得,點的軌跡記為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若點,分別位于軸與軸的正半軸上,直線與曲線相交于,兩點,且,試問在曲線上是否存在點,使得四邊形為平行四邊形,若存在,求出直線方程;若不存在,說明理由.22.(10分)如圖,平面四邊形中,,是上的一點,是的中點,以為折痕把折起,使點到達點的位置,且.(1)證明:平面平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)題意,分析可得函數(shù)的圖象關于對稱且在上為減函數(shù),則不等式等價于,解得的取值范圍,即可得答案.【詳解】解:因為函數(shù)為偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關于對稱,因為對任意,,都有,所以函數(shù)在上為減函數(shù),則,解得:.即實數(shù)的取值范圍是.故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應用,涉及不等式的解法,屬于綜合題.2、B【解析】

根據(jù)題意,有兩種分配方案,一是,二是,然后各自全排列,再求和.【詳解】當按照進行分配時,則有種不同的方案;當按照進行分配,則有種不同的方案.故共有36種不同的派遣方案,故選:B.【點睛】本題考查排列組合、數(shù)學文化,還考查數(shù)學建模能力以及分類討論思想,屬于中檔題.3、C【解析】試題分析:化簡集合故選C.考點:集合的運算.4、C【解析】

化簡復數(shù)為、的形式,可以確定對應的點位于的象限.【詳解】解:復數(shù)故復數(shù)對應的坐標為位于第三象限故選:.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的運算,復數(shù)和復平面內(nèi)點的對應關系,屬于基礎題.5、C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差,然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設公差為d,由題知,,解得,,所以數(shù)列為,故.故選:C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解,屬于基礎題.6、B【解析】

先解不等式化簡兩個條件,利用集合法判斷充分必要條件即可【詳解】解不等式可得,解絕對值不等式可得,由于為的子集,據(jù)此可知“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點睛】本題考查了必要不充分條件的判定,考查了學生數(shù)學運算,邏輯推理能力,屬于基礎題.7、D【解析】

集合.為自然數(shù)集,由此能求出結果.【詳解】解:集合.為自然數(shù)集,在A中,,正確;在B中,,正確;在C中,,正確;在D中,不是的子集,故D錯誤.故選:D.【點睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關系、集合與集合的關系等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.8、D【解析】令x=1得a=1.故原式=.的通項,由5-2r=1得r=2,對應的常數(shù)項=80,由5-2r=-1得r=3,對應的常數(shù)項=-40,故所求的常數(shù)項為40,選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘,若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x,選3個提出;若第1個括號提出,從余下的括號中選2個提出,選3個提出x.故常數(shù)項==-40+80=409、A【解析】

由得,然后分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù)可得復數(shù),從而可得的虛部.【詳解】因為,所以,所以復數(shù)的虛部為.故選A.【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算和復數(shù)的概念,屬于基礎題.復數(shù)除法運算的方法是分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù),轉(zhuǎn)化為乘法運算.10、D【解析】

通過分析函數(shù)與的圖象,得到兩函數(shù)必須有相同的零點,解方程組即得解.【詳解】如圖所示,函數(shù)與的圖象,因為時,恒成立,于是兩函數(shù)必須有相同的零點,所以,解得.故選:D【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應用和函數(shù)的零點問題,考查不等式的恒成立問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.11、D【解析】

由題得,解方程即得k的值.【詳解】由題得,解方程即得k=-3或.故答案為:D【點睛】(1)本題主要考查點到直線的距離公式,意在考查學生對該知識的掌握水平和計算推理能力.(2)點到直線的距離.12、A【解析】

只需將“存在”改成“任意”,有實根改成無實根即可.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題,知“存在,使方程有實根”的否定是“任意,使方程無實根”.故選:A【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定,此類問題要注意在兩個方面作出變化:1.量詞,2.結論,是一道基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

設雙曲線方程為,代入點,計算得到答案.【詳解】雙曲線漸近線為,則設雙曲線方程為:,代入點,則.故雙曲線方程為:.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)漸近線求雙曲線,設雙曲線方程為是解題的關鍵.14、【解析】

由點坐標可確定拋物線方程,由此得到坐標和準線方程;過作準線的垂線,垂足為,根據(jù)拋物線定義可得,可知當直線與拋物線相切時,取得最小值;利用拋物線切線的求解方法可求得點坐標,根據(jù)雙曲線定義得到實軸長,結合焦距可求得所求的離心率.【詳解】是拋物線準線上的一點拋物線方程為,準線方程為過作準線的垂線,垂足為,則設直線的傾斜角為,則當取得最小值時,最小,此時直線與拋物線相切設直線的方程為,代入得:,解得:或雙曲線的實軸長為,焦距為雙曲線的離心率故答案為:【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解問題,涉及到拋物線定義和標準方程的應用、雙曲線定義的應用;關鍵是能夠確定當取得最小值時,直線與拋物線相切,進而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得點坐標.15、【解析】

根據(jù)空間位置關系,將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點在同一平面內(nèi),結合角的關系即可求得兩點間距離的三角函數(shù)表達式.根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)即可得解.【詳解】棱長為2的正方體中,點分別為棱的中點,以為圓心,1為半徑,分別在面和面內(nèi)作弧和.將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,將繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;因為,且由誘導公式可得,所以最短距離為,故答案為:.【點睛】本題考查了空間幾何體中最短距離的求法,注意將空間幾何體展開至同一平面內(nèi)求解的方法,三角函數(shù)誘導公式的應用,綜合性強,屬于難題.16、18【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個個體的編號求出另一個個體的編號.【詳解】解:根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,已知其中三個個體的編號為5,31,44,故還有一個抽取的個體的編號為18,故答案為:18【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡單題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)(3)為定值【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法可得,橢圓方程為;(2)我們要知道=的條件應用,在于直線交橢圓兩交點M,N的橫坐標為,這樣代入橢圓方程,容易得到,從而解得;(3)需討論斜率是否存在.一方面斜率不存在即=時,由(2)得;另一方面,當斜率存在即時,可設直線的斜率為,得直線MN:,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達定理和焦半徑公式,就能得到,所以為定值,與直線的傾斜角的大小無關試題解析:(1),得:,橢圓方程為(2)當時,,得:,于是當=時,,于是,得到(3)①當=時,由(2)知②當時,設直線的斜率為,,則直線MN:聯(lián)立橢圓方程有,,,=+==得綜上,為定值,與直線的傾斜角的大小無關考點:(1)待定系數(shù)求橢圓方程;(2)橢圓簡單的幾何性質(zhì);(3)直線與圓錐曲線18、(Ⅰ)(t為參數(shù)),;(Ⅱ)1.【解析】

(Ⅰ)直接由已知寫出直線l1的參數(shù)方程,設N(ρ,θ),M(ρ1,θ1),(ρ>0,ρ1>0),由題意可得,即ρ=4cosθ,然后化為普通方程;(Ⅱ)將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程中,得到關于t的一元二次方程,再由參數(shù)t的幾何意義可得|AP|?|AQ|的值.【詳解】(Ⅰ)直線l1的參數(shù)方程為,(t為參數(shù))即(t為參數(shù)).設N(ρ,θ),M(ρ1,θ1),(ρ>0,ρ1>0),則,即,即ρ=4cosθ,∴曲線C的直角坐標方程為x2-4x+y2=0(x≠0).(Ⅱ)將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程中,得,即,t1,t2為方程的兩個根,∴t1t2=-1,∴|AP|?|AQ|=|t1t2|=|-1|=1.【點睛】本題考查簡單曲線的極坐標方程,考查直角坐標方程與直角坐標方程的互化,訓練了直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義的應用,是中檔題.19、(1),;(2),,.【解析】

(1)直接利用同角三角函數(shù)關系式的變換的應用求出結果.(2)首先把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù),進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用求出結果.【詳解】(1)由題意得,,(2)由,解得,所以對稱軸為,.由,解得,所以單調(diào)遞增區(qū)間為.,【點睛】本題考查的知識要點:三角函數(shù)關系式的恒等變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用,主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎題型.20、(1)(2)【解析】試題分析:(1)由加減消元得直線的普通方程,由得圓的直角坐標方程;(2)把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程,由直線參數(shù)方程幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根據(jù)韋達定理可得結果試題解析:解:(Ⅰ)由得直線l的普通方程為x+y﹣3﹣=0又由得ρ2=2ρsinθ,化為直角坐標方程為x2+(y﹣)2=5;(Ⅱ)把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程,得(3﹣t)2+(t)2=5,即t2﹣3t+4=0設t1,t2是上述方程的兩實數(shù)根,所以t1+t2=3又直線l過點P,A、B兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.21、(1)(2)不存在;詳見解析【解析】

(1)設,,,通過,即為的中點,轉(zhuǎn)化求解,點的軌跡的方程.(2)設直線的方程為,先根據(jù),可得,①,再根據(jù)韋達定理,點在橢圓上可得,②,將①代入②可得,該方程無解,問題得以解決【詳解】(1)設,,則,,由題意知,所以為中點,由中點坐標公式得,即,又點在圓:上,故滿足,得.曲線的方程.(2)

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