專題13導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-函數(shù)的極值問題5題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測（原卷版+解析版）

專題13導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的極值問題5題型分類1、函數(shù)的極值函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．注：①可導(dǎo)函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導(dǎo)號．②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點；但為的極值點．（一）函數(shù)極值、極值點的辨識解答此類問題要先搞清楚所給的圖象是原函數(shù)還是導(dǎo)函數(shù)的，對于導(dǎo)函數(shù)的圖象，重點考查在哪個區(qū)間上為正，哪個區(qū)間上為負，在哪個點處與x軸相交，在該點附近的導(dǎo)數(shù)值是如何變化的，若是由正值變?yōu)樨撝?，則在該點處取得極大值；若是由負值變?yōu)檎?，則在該點處取得極小值．題型1：函數(shù)極值、極值點的辨識1-1．（2024·遼寧）設(shè)函數(shù)滿足則時，A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知e為自然對數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù),則．A．當k=1時,f(x)在x=1處取到極小值 B．當k=1時,f(x)在x=1處取到極大值C．當k=2時,f(x)在x=1處取到極小值 D．當k=2時,f(x)在x=1處取到極大值1-3．（2024·陜西）設(shè)函數(shù)f（x）=+lnx，則（）A．x=為f(x)的極大值點 B．x=為f(x)的極小值點C．x=2為f(x)的極大值點 D．x=2為f(x)的極小值點題型2：函數(shù)(導(dǎo)函數(shù))的圖象與極值(點)關(guān)系2-1．（2024·重慶）設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是A．函數(shù)有極大值和極小值B．函數(shù)有極大值和極小值C．函數(shù)有極大值和極小值D．函數(shù)有極大值和極小值2-2．（2024高二下·黑龍江鶴崗·期中）函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在內(nèi)極小值點的個數(shù)是（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2-3．（2024高二上·陜西漢中·期末）定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極大值2-4．（2024高三上·四川自貢·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在內(nèi)的極小值有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個（二）求已知函數(shù)的極值、極值點1、因此，在求函數(shù)極值問題中，一定要檢驗方程根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值是否與已知有矛盾．2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時，導(dǎo)函數(shù)正處于零點，歸納起來一句話：原極導(dǎo)零．這個零點必須穿越軸，否則不是極值點．判斷口訣：從左往右找穿越（導(dǎo)函數(shù)與軸的交點）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．注：（1）可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同；（2）若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．題型3：求已知函數(shù)的極值、極值點3-1．（2024·重慶）設(shè)函數(shù)，其中在，曲線在點處的切線垂直于軸（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)極值．3-2．（2024高二下·重慶巫溪·期中）已知函數(shù)．(1)若曲線在點處的切線與x軸平行，求a的值；(2)求函數(shù)的極值．3-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).求的極值；3-4．（2024·廣西南寧·一模）設(shè)函數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)當時，過點作曲線的切線，求切點坐標；(2)若，，且和的零點均在集合中，求的極小值．3-5．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)證明：當時，有唯一的極值點為，并求取最大值時的值；(2)當時，討論極值點的個數(shù)．（三）根據(jù)函數(shù)的極值、極值點求參數(shù)根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進行驗證.題型4：根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)4-1．（2024高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若在上存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；(2)若在區(qū)間上有極小值，求實數(shù)的取值范圍．4-2．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處取得極大值4，則（

）A．8 B． C．2 D．4-3．（2024高三下·貴州·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4-4．（2024·陜西商洛·三模）若函數(shù)無極值，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．4-5．（2024高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上存在極值，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5題型5：根據(jù)函數(shù)的極值點求參數(shù)5-1．（2024高三上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）已知函數(shù)為實數(shù)．(1)時，求的極小值點；(2)若是的極小值點，求的取值范圍．5-2．（2024高三上·河南洛陽·開學(xué)考試）已知函數(shù)(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若是的極大值點，求的取值范圍.5-3．（2024高三上·安徽阜陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)存在唯一的極值點，求實數(shù)a的取值范圍．5-4．（2024高二下·江蘇南通·期末）若x＝a是函數(shù)的極大值點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5-5．（2024高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．一、單選題1．（2024·全國）若是函數(shù)的極值點，則的極小值為．A． B． C． D．2．（2024高二下·安徽亳州·期末）設(shè)函數(shù)一定正確的是（）A． B．C． D．3．（2024高三上·全國·單元測試）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（

）A． B． C． D．4．（2024高三·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)5．（2024·吉林通化·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為k，則函數(shù)在上（

）A．有極大值，無最小值 B．無極大值，有最小值C．有極大值，有最大值 D．無極大值，無最大值6．（2024高二下·河北秦皇島·期末）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)的圖象大致如圖所示，則極值點的個數(shù)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．47．（2024高三上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．是函數(shù)的極小值點B．是函數(shù)的極大值點C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在處的切線斜率小于零8．（2024·陜西）對二次函數(shù)（為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是A．是的零點 B．1是的極值點C．3是的極值 D．點在曲線上9．（2024高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的極小值為（

）A． B． C． D．10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖像如圖所示，，是函數(shù)的兩個極值點，則等于（

）

A． B． C． D．11．（2024高二下·吉林長春·階段練習(xí)）已知實數(shù)成等比數(shù)列，且曲線的極大值點為，極大值為，則等于（

）A．2 B． C． D．112．（2024高二下·新疆昌吉·期末）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：①x=-2是函數(shù)的極值點；②x=1是函數(shù)的極值點；③的圖象在處切線的斜率小于零；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．則正確命題的序號是（

）A．①② B．②④ C．②③ D．①④13．（2024高二下·全國·期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是的極小值點 B．是的極小值點C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．曲線在處的切線斜率小于零14．（2024高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）若函數(shù)存在一個極大值與一個極小值滿足，則至少有（

）個單調(diào)區(qū)間.A．3 B．4 C．5 D．615．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（

）A．B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值D．函數(shù)的最小值為16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則“在上有兩個零點”是“在上有兩個極值點”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件二、多選題17．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）

A．有兩個極值點 B．為函數(shù)的極大值C．有兩個極小值 D．為的極小值18．（2024·全國）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點19．（2024·全國）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．20．（江西省豐城中學(xué)2024屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）如圖所示是的導(dǎo)數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的有（

）

A．的單調(diào)遞增區(qū)間是B．是的極小值點C．在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)D．是的極小值點21．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知函數(shù)和的圖像都是上連續(xù)不斷的曲線，如果，當且僅當時，那么下列情形可能出現(xiàn)的是（

）A．1是的極大值，也是的極大值 B．1是的極大值，也是的極小值C．1是的極小值，也是的極小值 D．1是的極小值，也是的極大值22．（2024高二下·福建廈門·期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）

A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．在處取得極大值C．在區(qū)間上有2個極大值點D．在處取得最大值23．（2024高三上·廣西百色·階段練習(xí)）函數(shù)的兩個極值點分別是，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．24．（2024·全國）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線25．（2024高三上·福建莆田·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．在上有兩個極值點 B．在處取得最小值C．在處取得極小值 D．函數(shù)在上有三個不同的零點26．（2024高三上·福建福州·階段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為函數(shù)的零點 B．為函數(shù)的極小值點C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．是函數(shù)的最大值三、填空題27．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的極大值點和極大值分別為，28．（2024·全國）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是．29．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的極大值為；極小值為.30．（2024高二下·陜西渭南·期末）已知函數(shù)，在時有極大值，則的極大值為31．（2024高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）函數(shù)的極值點的個數(shù)為.32．（安徽省池州市貴池區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)在時有極值為0，則.33．（2024高三上·新疆伊犁·階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍為.四、解答題34．（2024·北京）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．35．（2024高二下·福建龍巖·期中）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函數(shù)（1）求b、c的值．（2）求g（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．36．（2007·安徽）設(shè)函數(shù)，其中．將的最小值記為．(1)求的表達式；(2)討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性并求極值．37．（2024·山東）設(shè)函數(shù)，其中．證明：當時，函數(shù)沒有極值點；當時，函數(shù)有且只有一個極值點，并求出極值．38．（2024·福建）已知函數(shù)的圖象過點，且函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值.39．（2024高三上·遼寧大連·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值.40．（2024高二下·湖南長沙·期中）設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1，（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）求f(x)的極值．41．（2024·全國）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.42．（2024·北京）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.43．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當時，求在上的值域；(2)若的極大值為4，求實數(shù)的值.44．（2024·北京）設(shè)函數(shù)=[]．（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．45．（2024高三上·湖南·開學(xué)考試）已知函數(shù)，．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若存在極值點，且，求的值，并分析是極大值點還是極小值點．46．（2024·廣東）設(shè)，集合（1）求集合D（用區(qū)間表示）（2）求函數(shù)在D內(nèi)的極值點.47．（2024·湖北）設(shè)函數(shù)在處取得極值，試用表示和，并求的單調(diào)區(qū)間．48．（2024·重慶）已知函數(shù)在處取得極值．確定a的值；若，討論的單調(diào)性．49．（2024高三上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）函數(shù)，，已知和分別是函數(shù)的極大值點和極小值點.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)求的取值范圍.50．（2024高二下·重慶長壽·期中）已知函數(shù).(1)設(shè)為偶函數(shù)，當時，，求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，求函數(shù)的極值.51．（2024高二下·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；52．（2024高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知函數(shù)，其中．(1)若，證明：；(2)設(shè)函數(shù)，若為的極大值點，求a的取值范圍．53．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若是的極大值點，求的取值范圍．54．（2024高三上·貴州·開學(xué)考試）定義函數(shù)，其中．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)證明：在區(qū)間上，有且只有兩個不同的極值點．55．（2024高三上·北京西城·開學(xué)考試）已知函數(shù)，．(1)，；(2)的極小值點為，極小值為；(3)的極大值點為，極大值為；(4)畫出函數(shù)的圖象草圖：

(5)若方程恰好有2個解，則實數(shù)；(6)若在上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是；(7)若函數(shù)存在極值，則極值點的個數(shù)可能為個．

專題13導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的極值問題5題型分類1、函數(shù)的極值函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．注：①可導(dǎo)函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導(dǎo)號．②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點；但為的極值點．（一）函數(shù)極值、極值點的辨識解答此類問題要先搞清楚所給的圖象是原函數(shù)還是導(dǎo)函數(shù)的，對于導(dǎo)函數(shù)的圖象，重點考查在哪個區(qū)間上為正，哪個區(qū)間上為負，在哪個點處與x軸相交，在該點附近的導(dǎo)數(shù)值是如何變化的，若是由正值變?yōu)樨撝?，則在該點處取得極大值；若是由負值變?yōu)檎?，則在該點處取得極小值．題型1：函數(shù)極值、極值點的辨識1-1．（2024·遼寧）設(shè)函數(shù)滿足則時，A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值【答案】D【詳解】函數(shù)滿足，，令，則，由，得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為.又在單調(diào)遞增，既無極大值也無極小值，故選D.考點：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及函數(shù)的求導(dǎo)法則.【方法點睛】本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的求導(dǎo)法則，屬于難題.求解這類問題一定要耐心讀題、讀懂題，通過對問題的條件和結(jié)論進行類比、聯(lián)想、抽象、概括，準確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點也是難點就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù).本題通過觀察導(dǎo)函數(shù)的“形狀”，聯(lián)想到函數(shù)，再結(jié)合條件判斷出其單調(diào)性，進而得出正確結(jié)論.1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知e為自然對數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù),則．A．當k=1時,f(x)在x=1處取到極小值 B．當k=1時,f(x)在x=1處取到極大值C．當k=2時,f(x)在x=1處取到極小值 D．當k=2時,f(x)在x=1處取到極大值【答案】C【詳解】當k=1時，函數(shù)f(x)=(ex?1)(x?1).求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=ex(x?1)+(ex?1)=(xex?1)f′(1)=e?1≠0，f′(2)=2e2?1≠0，則f(x)在x=1處與在x=2處均取不到極值，當k=2時，函數(shù)f(x)=(ex?1)(x?1)2.求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=ex(x?1)2+2(ex?1)(x?1)=(x?1)(xex+ex?2)∴當x=1，f′(x)=0，且當x>1時，f′(x)>0，當x0<x<1時(x0為極大值點)，f′(x)<0，故函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)；在(x0,1)上是減函數(shù)，從而函數(shù)f(x)在x=1取得極小值．對照選項．故選C.1-3．（2024·陜西）設(shè)函數(shù)f（x）=+lnx，則（）A．x=為f(x)的極大值點 B．x=為f(x)的極小值點C．x=2為f(x)的極大值點 D．x=2為f(x)的極小值點【答案】D【詳解】，由得，又函數(shù)定義域為，當時，，遞減，當時，，遞增，因此是函數(shù)的極小值點．故選D．考點：函數(shù)的極值．題型2：函數(shù)(導(dǎo)函數(shù))的圖象與極值(點)關(guān)系2-1．（2024·重慶）設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是A．函數(shù)有極大值和極小值B．函數(shù)有極大值和極小值C．函數(shù)有極大值和極小值D．函數(shù)有極大值和極小值【答案】D【詳解】則函數(shù)增；則函數(shù)減；則函數(shù)減；則函數(shù)增；選D.【考點定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號，當導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增，當導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減2-2．（2024高二下·黑龍江鶴崗·期中）函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在內(nèi)極小值點的個數(shù)是（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)極值點的定義，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象，即可判斷選項.【詳解】，函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減，由導(dǎo)函數(shù)的圖象知：函數(shù)在內(nèi)，與x軸有四個交點：從左向右看，第一個點處導(dǎo)數(shù)左正右負，是極大值點，第二個點處導(dǎo)數(shù)左負右正，是極小值點，第三個點處導(dǎo)數(shù)左正右正，沒有變號，所以不是極值點，第四個點處導(dǎo)數(shù)左正右負，是極大值點，所以函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極小值點有1個，故選：A2-3．（2024高二上·陜西漢中·期末）定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極大值【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)值的正負的關(guān)系，可判斷A、B；根據(jù)函數(shù)的極值點和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C、D的結(jié)論．【詳解】在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B錯誤；當時，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點，故C錯誤；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，故D錯誤，故選：A.2-4．（2024高三上·四川自貢·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在內(nèi)的極小值有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，進而得到和為極大值，為極小值，從而得到答案.【詳解】在內(nèi)的圖像如下，

當時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，故為函數(shù)極大值點，為極大值，當時，單調(diào)遞增，故為函數(shù)極小值點，為極小值，當時，單調(diào)遞減，故為函數(shù)極大值點，為極大值，故函數(shù)在內(nèi)的極小值有1個.故選：A（二）求已知函數(shù)的極值、極值點1、因此，在求函數(shù)極值問題中，一定要檢驗方程根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值是否與已知有矛盾．2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時，導(dǎo)函數(shù)正處于零點，歸納起來一句話：原極導(dǎo)零．這個零點必須穿越軸，否則不是極值點．判斷口訣：從左往右找穿越（導(dǎo)函數(shù)與軸的交點）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．注：（1）可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同；（2）若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．題型3：求已知函數(shù)的極值、極值點3-1．（2024·重慶）設(shè)函數(shù)，其中在，曲線在點處的切線垂直于軸（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)極值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）極小值【分析】（Ⅰ）因，故由于曲線在點處的切線垂直于軸，故該切線斜率為0，即，從而，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，解得（因不在定義域內(nèi)，舍去）當時，故在上為減函數(shù)；當時，故在上為增函數(shù)，故在處取得極小值本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、函數(shù)的最值及其幾何意義、兩條直線平行的判定等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力3-2．（2024高二下·重慶巫溪·期中）已知函數(shù)．(1)若曲線在點處的切線與x軸平行，求a的值；(2)求函數(shù)的極值．【答案】(1)(2)當時，函數(shù)無極值；當時，，；當時，，【分析】（1）先由所給函數(shù)的表達式，求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由平行直線的斜率相等列方程求的值即可；（2）對參數(shù)進行分類，先研究的單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)求解在上的極值即可．【詳解】（1）．因為曲線在點處的切線與x軸平行，所以，即，

所以．（2）．

令，則或．

①當，即時，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)無極值點；

②當，即時．+0-0+↗極大值↘極小值↗所以當時，函數(shù)有極大值是，當時，函數(shù)有極小值是；③當，即時．+0-0+↗極大值↘極小值↗所以當時，函數(shù)有極大值是，當時，函數(shù)有極小值是．綜上所述，當時，函數(shù)無極值；當時，，；當時，，．3-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).求的極值；【答案】，沒有極小值.【分析】首先對函數(shù)求導(dǎo)解得，然后結(jié)合的單調(diào)性，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極值；【詳解】因為函數(shù)，所以，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當時，；當時，.又因為對恒成立，所以當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，沒有極小值.3-4．（2024·廣西南寧·一模）設(shè)函數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)當時，過點作曲線的切線，求切點坐標；(2)若，，且和的零點均在集合中，求的極小值．【答案】(1)切點坐標為，；(2).【分析】（1）把代入，求出并設(shè)出切點坐標，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解作答.（2）根據(jù)給定條件，求出和的零點，分類探討求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出極小值作答.【詳解】（1）當時，，求導(dǎo)得，設(shè)過點作曲線的切線的切點為，則，于是切線方程為，即，因為切線過點，即有，解得或，所以切點坐標為，.（2）當，時，，求導(dǎo)得，令，得或，依題意，，都在集合中，且，，當時，，且，則，，，當時，，且，則，，不符合題意，因此，，，，當或時，，當時，，于是函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極小值為.3-5．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)證明：當時，有唯一的極值點為，并求取最大值時的值；(2)當時，討論極值點的個數(shù)．【答案】(1)證明見解析，(2)答案見解析【分析】（1）當，時，求得，得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間及有唯一的極值點為，由，令，設(shè)，求得，得出取得最大值，即可求解；（2）當時，求得，當時，由，得到極值點的個數(shù)為個；當時，設(shè)，分和，兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的單調(diào)性和極值點的概念，即可求解.【詳解】（1）證明：當，時，，可得的定義域為，且，令，解得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，有唯一的極小值，即有唯一的極值點為，由，令，設(shè)，可得，由，解得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以當，即時，有唯一的極大值，即取得最大值，所以當?shù)淖畲笾禃r，.（2）解：當時，的定義域為，且，①當時，時恒成立，此時單調(diào)遞增，所以極值點的個數(shù)為個；②當時，設(shè)，即（i）當，即時，可得，即對恒成立，即在上無變號零點，所以此時極值點的個數(shù)為個；（ii）當，即時，設(shè)的兩零點為，且，，，可得即在上有個變號零點，所以此時極值點的個數(shù)為個；綜上所述，當時，的極值點的個數(shù)為；當時，的極值點的個數(shù)為.（三）根據(jù)函數(shù)的極值、極值點求參數(shù)根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進行驗證.題型4：根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)4-1．（2024高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若在上存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；(2)若在區(qū)間上有極小值，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用在上有解，分離參數(shù)求解作答.（2）由（1）的信息，分析函數(shù)的極值情況，再建立不等式求解作答.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，因為函數(shù)在上存在單調(diào)減區(qū)間，則不等式在上有解，即在上成立，而函數(shù)在上遞減，顯然，于是，所以實數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，，即，解得，當或時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在處取得極小值，于是，即，當時，不等式成立，當時，解得，則，所以實數(shù)的取值范圍是.4-2．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處取得極大值4，則（

）A．8 B． C．2 D．【答案】B【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把極值點代入導(dǎo)數(shù)則可等于0，再把極值點代入原函數(shù)則可得到極值，解方程組即可得到，從而算出的值.【詳解】因為，所以，所以，解得，經(jīng)檢驗，符合題意，所以.故選：B4-3．（2024高三下·貴州·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合已知條件和導(dǎo)函數(shù)的零點即可判斷.【詳解】因為函數(shù)，則，要使函數(shù)在處取得極小值，則，故選：B.4-4．（2024·陜西商洛·三模）若函數(shù)無極值，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接對函數(shù)求導(dǎo)，再利用極值的定義即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，因為無極值，所以，解得，所以a的取值范圍為．故選：A.4-5．（2024高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上存在極值，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和極值即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，，令，，所以當時，，當時，，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，又因為當時，則，，所以存在唯一，使得，所以函數(shù)在時，時，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以要使函數(shù)在區(qū)間上存在極值，所以的最大值為3，故選:B.題型5：根據(jù)函數(shù)的極值點求參數(shù)5-1．（2024高三上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）已知函數(shù)為實數(shù)．(1)時，求的極小值點；(2)若是的極小值點，求的取值范圍．【答案】(1)0(2)【分析】（1）將代入求得的解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性即可求得極小值點為0；（2）根據(jù)解析式求導(dǎo)，對參數(shù)的取值進行分情況討論，分別判斷出不同情況下的單調(diào)性，求出滿足題意的情況即可得出的取值范圍．.【詳解】（1）時，令，解得，所以在上單調(diào)遞增；時，，所以在上單調(diào)遞減，所以的極小值點為0（也可寫）（2）易知，且，令，則，且，①時，也即在上單調(diào)遞增，所以當，單調(diào)遞減，同理當，單調(diào)遞增是的極小值點，符合題意②時，令，解得，當時，單調(diào)遞增，且，時，，即，所以單調(diào)遞減，，即，所以單調(diào)遞增，是的極小值點，符合題意③時，，，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，這與是的極小值點矛盾，舍去④時，，令，則；單調(diào)遞增，，此時單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，也是最小值，即當，可得在上單調(diào)遞增，此時不是的極小值點，舍去綜上可知，的取值范圍為【點睛】關(guān)鍵點點睛：在求解的取值范圍時，關(guān)鍵是求得以后進行構(gòu)造函數(shù)再重新求導(dǎo)，對參數(shù)的取值根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的特點進行合理分類討論，解出符合題意的的取值范圍即可.5-2．（2024高三上·河南洛陽·開學(xué)考試）已知函數(shù)(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若是的極大值點，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，結(jié)合可得切線方程；（2）將問題轉(zhuǎn)化為存在，使得當時，；當時，；令，可求得，分別討論、和的情況，結(jié)合的正負可得的單調(diào)性，結(jié)合可確定的正負，從而確定單調(diào)性，由此可得到符合題意的范圍.【詳解】（1）當時，，則，，又，在點處的切線為：，即.（2）由題意知：，恒成立；是的極大值點，存在，使得當時，；當時，；令，則，.；①若，即時，存在，使得當時，，在上單調(diào)遞增，則當時，，在上單調(diào)遞增，不合題意；②若，即時，；令，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；又，當時，，在上單調(diào)遞減，，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意；③若，即時，存在，使得當時，，在上單調(diào)遞減，，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義、根據(jù)極值點定義求解參數(shù)范圍的問題；本題求解參數(shù)范圍的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為對于函數(shù)在左右兩側(cè)的單調(diào)性的討論問題，進而再次轉(zhuǎn)化為關(guān)于在左右兩側(cè)的正負的討論問題.5-3．（2024高三上·安徽阜陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)存在唯一的極值點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用分解因式整理導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與零的大小關(guān)系，可得答案；（2）由函數(shù)存在為唯一極值點，可得導(dǎo)數(shù)等于存在唯一零解，根據(jù)分解因式的結(jié)果，討論各個因式與零的大小關(guān)系，可得答案.【詳解】（1）的定義域是，，當時，，令得或者，令，，，所以只有一個實根.當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.綜上所述，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）函數(shù)有唯一的極值點時，導(dǎo)數(shù)有唯一的正實根，且在兩邊取值正負號相反.所以或者在上恒成立．顯然時，符合要求.當時，，等價于，令，，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，時取最大值，因此.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題的解題關(guān)鍵在于熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系這一知識點，對于導(dǎo)數(shù)的整理方法一般分為分解因式以及再次求導(dǎo)研究其單調(diào)性兩種方法.5-4．（2024高二下·江蘇南通·期末）若x＝a是函數(shù)的極大值點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)后，得導(dǎo)函數(shù)的零點，比較兩數(shù)的大小，分別判斷在兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號，確定函數(shù)單調(diào)性，從而確定是否在處取到極大值，即可求得的范圍．【詳解】解：，令，得：當，即此時在區(qū)間單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，符合x＝a是函數(shù)的極大值點，反之，當，即，此時在區(qū)間單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，x＝a是函數(shù)的極小值點，不符合題意；當，即，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點.綜上得：.故選：A.5-5．（2024高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用多次求導(dǎo)的方法，列不等式來求得的取值范圍.【詳解】的定義域是，，令，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.要使有兩個極值點，則，此時，構(gòu)造函數(shù)，所以在上遞增，所以，所以，所以實數(shù)a的取值范圍.故選：D【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點，當一次求導(dǎo)無法求得函數(shù)的單調(diào)性時，可利用二次求導(dǎo)的方法來進行求解.在求解的過程中，要注意原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系.一、單選題1．（2024·全國）若是函數(shù)的極值點，則的極小值為．A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題可得，因為，所以，，故，令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為，故選A．【名師點睛】（1）可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同；（2）若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．2．（2024高二下·安徽亳州·期末）設(shè)函數(shù)一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A選項函數(shù)的極大值不一定是函數(shù)的最大值，所以錯；對于B中的是將的圖象關(guān)于y軸對稱，所以是其極大值點,錯誤；對于C中的是將的圖象關(guān)x軸對稱，所以才是其極小值點，錯誤；而對于D中的是將的圖象關(guān)原點對稱，故是其極小值點，正確.故選D.3．（2024高三上·全國·單元測試）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，a為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.4．（2024高三·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)【答案】B【詳解】函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個零點，等價于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點，在同一個坐標系中作出它們的圖象（如圖）當a=時，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，由圖可知，當0＜a＜時，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點．則實數(shù)a的取值范圍是（0，）．故選B．5．（2024·吉林通化·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為k，則函數(shù)在上（

）A．有極大值，無最小值 B．無極大值，有最小值C．有極大值，有最大值 D．無極大值，無最大值【答案】D【分析】利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間最值求得，進而判斷在上的單調(diào)性，即可得答案.【詳解】由，則時，時，所以在上遞增，上遞減，而，在上的最大值為k，所以，即，此時在上遞減，且無極大值和最大值.故選：D6．（2024高二下·河北秦皇島·期末）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)的圖象大致如圖所示，則極值點的個數(shù)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得到的取值情況，即可得到的單調(diào)性，即可得到極值點數(shù).【詳解】由圖可知，當時，，即在上單調(diào)遞減；當時，，即在上單調(diào)遞增；當時，，即在上單調(diào)遞增；當時，，即在上單調(diào)遞減.所以在處取得極小值，在處取得極大值，故極值點的個數(shù)為.故選：B7．（2024高三上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．是函數(shù)的極小值點B．是函數(shù)的極大值點C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在處的切線斜率小于零【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，求得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值點定義，即可容易判斷選擇.【詳解】由圖象得時，，時，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，即選項A、B錯誤，C正確；對選項D：顯然，故D錯誤.故選：C．8．（2024·陜西）對二次函數(shù)（為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是A．是的零點 B．1是的極值點C．3是的極值 D．點在曲線上【答案】A【詳解】若選項A錯誤時，選項B、C、D正確，，因為是的極值點，是的極值，所以，即，解得：，因為點在曲線上，所以，即，解得：，所以，，所以，因為，所以不是的零點，所以選項A錯誤，選項B、C、D正確，故選A．【考點定位】1、函數(shù)的零點；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．9．（2024高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的極小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極小值作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，，，則由，得或，由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當時，取得極小值，所以函數(shù)的極小值為.故選：A10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖像如圖所示，，是函數(shù)的兩個極值點，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，再求得，將已知條件，是函數(shù)的兩個極值點轉(zhuǎn)化為，是的兩個根，再根據(jù)韋達定理求解即可．【詳解】因為函數(shù)的圖像過原點，所以．又，即，解得，所以，則，又，是函數(shù)的兩個極值點，所以，是的兩個根，所以，，所以．故選：C．11．（2024高二下·吉林長春·階段練習(xí)）已知實數(shù)成等比數(shù)列，且曲線的極大值點為，極大值為，則等于（

）A．2 B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)實數(shù)成等比數(shù)列，可得．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，進而得出結(jié)論．【詳解】因為實數(shù)成等比數(shù)列，所以，由，得，令，解得，當或時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞減．所以時，函數(shù)取得極小值，時，函數(shù)取得極大值．因為曲線的極大值點為，極大值為，所以，，即．所以，所以，故選：A．12．（2024高二下·新疆昌吉·期末）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：①x=-2是函數(shù)的極值點；②x=1是函數(shù)的極值點；③的圖象在處切線的斜率小于零；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．則正確命題的序號是（

）A．①② B．②④ C．②③ D．①④【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，與函數(shù)的單調(diào)性，極值點的關(guān)系，結(jié)合圖象即可作出判斷.【詳解】對于①，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像可知，-2是導(dǎo)函數(shù)的零點，且-2的左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值符號異號，故-2是極值點，故①正確；對于②，1不是極值點，因為1的左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)符號一致，故②錯誤；對于③，0處的導(dǎo)函數(shù)值即為此點的切線斜率顯然為正值，故③錯誤；對于④，導(dǎo)函數(shù)在恒大等于零，故為函數(shù)的增區(qū)間，故④正確.故選：D【點睛】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的關(guān)系很容易分析單調(diào)性，然后要注意對極值點的理解，極值點除了是導(dǎo)函數(shù)得解還一定要保證在導(dǎo)函數(shù)值在此點兩側(cè)異號.13．（2024高二下·全國·期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是的極小值點 B．是的極小值點C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．曲線在處的切線斜率小于零【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像，求得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值點定義，即可判斷ABC選項，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義即判斷D選項，從而得出答案.【詳解】由圖像知，當或時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以在區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，是的極大值點，3是的極小值點，故ABC錯誤；又因為，所以曲線在處切線斜率小于零，故D正確.故選：D.14．（2024高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）若函數(shù)存在一個極大值與一個極小值滿足，則至少有（

）個單調(diào)區(qū)間.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)單調(diào)性與極值之間的關(guān)系分析判斷.【詳解】若函數(shù)存在一個極大值與一個極小值，則至少有3個單調(diào)區(qū)間，若有3個單調(diào)區(qū)間，不妨設(shè)的定義域為，若，其中可以為，可以為，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（若定義域為內(nèi)不連續(xù)不影響總體單調(diào)性），故，不合題意，若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有，不合題意；若有4個單調(diào)區(qū)間，例如的定義域為，則，令，解得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)存在一個極大值與一個極小值，且，滿足題意，此時有4個單調(diào)區(qū)間，綜上所述：至少有4個單調(diào)區(qū)間.故選：B.15．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（

）A．B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值D．函數(shù)的最小值為【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定的單調(diào)性，從而比較函數(shù)值的大小及極值情況，對四個選項作出判斷.【詳解】由題圖可知，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又a<b<c，所以，故A不正確．因為，，且當時，；當c<x<e時，；當x>e時，．所以函數(shù)在x＝c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x＝e處取得極小值，不一定是最小值，故B不正確，C正確．由題圖可知，當時，，所以函數(shù)在[d，e]上單調(diào)遞減，從而，所以D不正確．故選：C．16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則“在上有兩個零點”是“在上有兩個極值點”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】結(jié)合充分、必要條件定義及極值點的概念即可可判斷.【詳解】只有當在上有兩個變號零點時，在上才有兩個極值點，故充分性不成立；若在上有兩個極值點，則在上有兩個變號零點，則在上至少有兩個零點，故必要性不成立.綜上，“在上有兩個零點”是“在上有兩個極值點”的既不充分也不必要條件，故選：D.二、多選題17．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）

A．有兩個極值點 B．為函數(shù)的極大值C．有兩個極小值 D．為的極小值【答案】BC【分析】利用函數(shù)圖象判斷符號，從而判斷的單調(diào)性，進而根據(jù)極值點、極值的概念判斷即可.【詳解】由題圖知，當時，，所以，當時，，所以，當時，，所以，當時，，所以.所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以有三個極值點，為函數(shù)的極大值，和為的極小值.故AD錯誤，BC正確.故選：BC18．（2024·全國）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點【答案】ABC【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進行判斷即可.【詳解】方法一：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故錯誤.方法二：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，故可以設(shè)，則，當肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時是的極大值，故D錯誤.故選：.19．（2024·全國）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD20．（江西省豐城中學(xué)2024屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）如圖所示是的導(dǎo)數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的有（

）

A．的單調(diào)遞增區(qū)間是B．是的極小值點C．在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)D．是的極小值點【答案】ABC【分析】A.利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負的關(guān)系判斷；B.利用極小值點的定義判斷；C.利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負的關(guān)系判斷；D.利用極小值點的定義判斷；【詳解】解：根據(jù)圖象知當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．故A、C正確；當時，取得極小值，是的極小值點，故B正確；當時，取得是極大值，不是的極小值點，故D錯誤．故選：ABC．21．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知函數(shù)和的圖像都是上連續(xù)不斷的曲線，如果，當且僅當時，那么下列情形可能出現(xiàn)的是（

）A．1是的極大值，也是的極大值 B．1是的極大值，也是的極小值C．1是的極小值，也是的極小值 D．1是的極小值，也是的極大值【答案】ABC【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)圖象滿足題干依次判定選項即可.【詳解】對于A選項，構(gòu)造如圖所示圖象，則A選項正確；

對于B選項，構(gòu)造如圖所示圖象，則B選項正確；

對于C選項，構(gòu)造如圖所示圖象，則C選項正確；

對于D選項，因為1是的極小值，則在1的附近存在，使得，又1也是的極大值，則在1的附近存在，使得，所以在1的附近存在與，使得，不合題意，故D錯誤.故選：ABC.22．（2024高二下·福建廈門·期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）

A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．在處取得極大值C．在區(qū)間上有2個極大值點D．在處取得最大值【答案】AB【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可分析出的單調(diào)性，進而可判斷各選項.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增.故A，B正確，C，D錯誤.故選：AB23．（2024高三上·廣西百色·階段練習(xí)）函數(shù)的兩個極值點分別是，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)極值點個數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為方程在有兩個不等實根，由一元二次方程根的分布可構(gòu)造不等式組求得A正確；利用韋達定理和的范圍可確定BC正確；構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)可求得，由此可確定D正確.【詳解】對于A，的定義域為，，有兩個極值點等價于方程在有兩個不等實根，，解得：，A正確；對于B，，，，又，，即，B錯誤；對于C，，，，C正確；對于D，；令，則，令，則，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，，，，D正確.故選：ACD.【點睛】思路點睛：本題考查根據(jù)函數(shù)極值點個數(shù)求解參數(shù)范圍、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題；本題求解參數(shù)范圍的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)變號零點個數(shù)問題的求解，根據(jù)方程根的分布來構(gòu)造不等關(guān)系；本題證明不等式的關(guān)鍵是能夠?qū)㈦p變量的問題轉(zhuǎn)化為單一變量的問題，從而構(gòu)造關(guān)于單一變量的函數(shù)來求解.24．（2024·全國）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC【分析】利用極值點的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點，當時，，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC.25．（2024高三上·福建莆田·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．在上有兩個極值點 B．在處取得最小值C．在處取得極小值 D．函數(shù)在上有三個不同的零點【答案】AC【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，結(jié)合極值可作出的圖象，結(jié)合圖象依次判斷各個選項即可.【詳解】定義域為，，當時，；當時，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為，極小值為，當時，，，恒成立；可作出圖象如下圖所示，

對于A，的極大值點為，極小值點為，A正確；對于B，不是的最小值，B錯誤；對于C，在處取得極小值，C正確；對于D，由圖象可知，有且僅有兩個不同的零點，D錯誤.故選：AC.26．（2024高三上·福建福州·階段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為函數(shù)的零點 B．為函數(shù)的極小值點C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．是函數(shù)的最大值【答案】BC【分析】由已知，根據(jù)題意給出的的圖像可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及其極大值和極小值點，故可選出正確選項B，C，而選項A不能判斷，選項D極小值一定不是最大值.【詳解】由已知，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像可知，在時，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；在時，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；在時，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；在時，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；所以和為函數(shù)的極小值點，為函數(shù)的極大值點，所以，選項A，并不能確定為函數(shù)的零點；選項B，正確；選項C，正確；選項D，是函數(shù)的極小值，一定不是最大值，故不正確.故選：BC.三、填空題27．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的極大值點和極大值分別為，【答案】【分析】運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進而求得函數(shù)的極大值點與極大值.【詳解】函數(shù)的定義域為，，令，則，，所以當x變化時，與的變化情況如下表：x（0，e）e（e，＋∞）＋0－單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以，函數(shù)的極大值點為，極大值為.故答案為：；.28．（2024·全國）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是．【答案】【分析】法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點因為，所以方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當時，，即圖象在上方當時，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個根為因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．29．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的極大值為；極小值為.【答案】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)判定的單調(diào)性，進而可求出極值.【詳解】由于函數(shù)的定義域為R，，令得或，列表：100單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減由上表看出，當時，取得極小值，為；當時，取得極大值，為，故答案為：；.30．（2024高二下·陜西渭南·期末）已知函數(shù)，在時有極大值，則的極大值為【答案】【分析】先求導(dǎo)函數(shù)根據(jù)極大值點求參，再根據(jù)極大值舍去不合題意的參數(shù)，最后計算極大值即可.【詳解】由得，∵在處取得極大值，∴，即，解得或，當時，，令，得或，令得，∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，∴在處取得極小值，故不滿足題意舍去，當時，，令，得或，令，得，∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，∴在處取得取大值，符合題意．綜上，．則的極大值為故答案為:.31．（2024高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）函數(shù)的極值點的個數(shù)為.【答案】2【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，對引入兩個函數(shù)與，由它們的圖象交點個數(shù)得出的解的個數(shù)，從而確定的正負，得極值點個數(shù)．【詳解】依題意，得，令，得，作出與的圖象，如圖所示，由圖可知這兩個函數(shù)圖象有兩個交點，設(shè)交點的橫坐標為.當時，，遞減；當時，，遞增；當時，，遞減．所以有2個極值點.故答案為：2.

32．（安徽省池州市貴池區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)在時有極值為0，則.【答案】11【分析】由題意，代入解出，再檢驗即可.【詳解】因為，所以，所以，解得，或，當時，，則與題意在時有極值矛盾，舍去，故，所以.故答案為：1133．（2024高三上·新疆伊犁·階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍為.【答案】【分析】求得，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點，結(jié)合函數(shù)的圖象，得到，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得令，即，因為函數(shù)有兩個極值點，可得在內(nèi)有兩個不等實根，即函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點，作出的圖象，如圖所示，可得當時，，由圖象可知，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題34．（2024·北京）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析(3)3個【分析】（1）先對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間，，與上的零點的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點的關(guān)系求得的極值點個數(shù).【詳解】（1）因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當時，，，即所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當時，，則單調(diào)遞減；當時，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個極小值點；當時，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當時，，則單調(diào)遞增；當時，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個極大值點；當時，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當時，，則單調(diào)遞減；當時，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個極小值點；當時，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無極值點；綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第3小題的解題關(guān)鍵是判斷與的正負情況，充分利用的單調(diào)性，尋找特殊點判斷即可得解.35．（2024高二下·福建龍巖·期中）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函數(shù)（1）求b、c的值．（2）求g（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．【答案】（1）（2）見解析【分析】（1）根據(jù)g（x）=f（x）﹣f'（x）是奇函數(shù)，且f'（x）=3x2+2bx+c能夠求出b與c的值；（2）對g（x）進行求導(dǎo)，g'（x）＞0時的x的取值區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，g'（x）＜0時的x的取值區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間．g'（x）=0時的x函數(shù)g（x）取到極值．【詳解】（1）∵f（x）=x3+bx2+cx，∴f'（x）=3x2+2bx+c．從而g（x）=f（x）﹣f'（x）=x3+bx2+cx﹣（3x2+2bx+c）=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c是一個奇函數(shù)，所以g（0）=0得c=0，由奇函數(shù)定義得b=3；（2）由（Ⅰ）知g（x）=x3﹣6x，從而g'（x）=3x2﹣6，當g'（x）＞0時，x＜﹣或x＞，當g'（x）＜0時，﹣＜x＜，由此可知，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣），（，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣，）；g（x）在x=﹣時取得極大值，極大值為4，g（x）在x=時取得極小值，極小值為4．【點睛】求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負（左增右減），那么在處取極大值，如果左負右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個極值點，則在該處即是極值也是最值.36．（2007·安徽）設(shè)函數(shù)，其中．將的最小值記為．(1)求的表達式；(2)討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性并求極值．【答案】(1)(2)增區(qū)間是，主，減區(qū)間是．極大值為4，極小值為2．【分析】（1）由二倍角公式降冪后，化函數(shù)為關(guān)于的二次函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)，二次函數(shù)性質(zhì)得；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間，同時可得極值．【詳解】（1）,因為，所以時，；（2），或時，，時，，所以的增區(qū)間是，，減區(qū)間是．極大值為，極小值為．37．（2024·山東）設(shè)函數(shù)，其中．證明：當時，函數(shù)沒有極值點；當時，函數(shù)有且只有一個極值點，并求出極值．【答案】證明見解析；當時，若，有且僅有一個極小值點，極小值為，若，有且僅有一個極大值點，極大值為.【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義和極值點的定義求解即可.【詳解】因為，，所以的定義域為，.當時，如果，則恒成立，在上單調(diào)遞增；如果，則恒成立，在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)沒有極值點.當時，，令得（舍去），，當時，在上小于0，在上大于0，故有且僅有一個極小值點，極小值為.當時，在上大于0，在上小于0，故有且僅有一個極大值點，極大值為.綜上所述當時，函數(shù)沒有極值點，當時，若，有且僅有一個極小值點，極小值為，若，有且僅有一個極大值點，極大值為.38．（2024·福建）已知函數(shù)的圖象過點，且函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值.【答案】(1)，；的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為；(2)詳見解析.【分析】（1）利用條件可得兩個關(guān)于的方程，然后利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即得；（2）利用（1）的結(jié)論，分情況討論區(qū)間和單調(diào)區(qū)間的位置關(guān)系即得．【詳解】（1）由函數(shù)的圖象過點，∴，即，又，則，而的圖象關(guān)于軸對稱，所以，解得，∴，∴，于是，由得或，由，可得，故的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為；（2）由（1）得，令得或，當變化時，的變化情況如下表：02＋0－0＋增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)由此可得：當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值，無極小值；當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無極值；當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值，無極大值；當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無極值；綜上得，當時，有極大值，無極小值；當時，有極小值，無極大值；當或時，無極值．39．（2024高三上·遼寧大連·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）當時，求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）分、、時，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)極值與單調(diào)性的關(guān)系可求出函數(shù)的極值.【詳解】（1）解：當時，，則，所以，，，所以，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，空.（2）解：因為，函數(shù)的定義域為，，因為，則，分以下幾種情況討論：①當時，即當時，由可得，由可得或，此時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，函數(shù)的極大值為，極小值為；②當時，即當時，則對任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值；③當時，即當時，由可得，由可得或.此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的極大值為，極小值為.綜上所述，當時，函數(shù)的極大值為，極小值為；當時，函數(shù)無極值；當時，函數(shù)的極大值為，極小值為.【點睛】思路點睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟如下：（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)；（3）解方程，當；（4）列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，求極值：①如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值；②如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值.40．（2024高二下·湖南長沙·期中）設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1，（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）求f(x)的極值．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【分析】（1）由，解得．根據(jù)a≥1，分和，由求解；（2）由（1）的結(jié)論，利用函數(shù)極值點與極值的定義求解．【詳解】解：由已知得，令，解得．（1）當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，隨的變化情況如下表：x0+00極大值極小值

從上表可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當時，函數(shù)沒有極值；當時，函數(shù)在處取得極大值1，在處取得極小值．41．（2024·全國）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見解析.(3).【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)的值，進一步結(jié)合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可得關(guān)于實數(shù)的方程，解方程可得實數(shù)的值，最后檢驗所得的是否正確即可；(3)原問題等價于導(dǎo)函數(shù)有變號的零點，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，和三中情況即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）令，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于直線對稱，由題意可得，由對稱性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點，則在區(qū)間上存在變號零點;令，則，令，在區(qū)間存在極值點，等價于在區(qū)間上存在變號零點，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，在區(qū)間上無零點，不合題意;當，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無零點，不符合題意；當時，由可得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，由一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，當時，，且注意到，根據(jù)零點存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點.當時，，單調(diào)減，當時，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點，符合題意.綜合上面可知:實數(shù)得取值范圍是.【點睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進行驗證.42．（2024·北京）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】分析：（1）求導(dǎo)，構(gòu)建等量關(guān)系，解方程可得參數(shù)的值；（2）對分及兩種情況進行分類討論，通過研究的變化情況可得取得極值的可能，進而可求參數(shù)的取值范圍.詳解：解：（Ⅰ）因為，所以.，由題設(shè)知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，則當時，；當時，.所以在x=1處取得極小值.若，則當時，，所以.所以1不是的極小值點.綜上可知，a的取值范圍是.方法二：.（1）當a=0時，令得x=1.隨x的變化情況如下表：x1+0?↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.（2）當a>0時，令得.①當，即a