江蘇省響水縣清源高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

響水縣清源高級(jí)中學(xué)2023年秋學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.2．答題前務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.一、單選題（本題共8小題，每題5分，共40分）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系即可求得傾斜角.【詳解】由已知，故，設(shè)直線傾斜角為所以，又因?yàn)樗怨蔬x：D2.拋物線的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（

）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程得出焦點(diǎn)坐標(biāo)后即可得．【詳解】由題意，，所以焦點(diǎn)為，其到原點(diǎn)距離為．故選：B．3.已知函數(shù)（是導(dǎo)函數(shù)），則（

）A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入，求出的值，進(jìn)而求解的值即可.【詳解】因?yàn)樗远x域?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，，，則故選：A4.已知數(shù)列中，，，則等于（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意代入計(jì)算可得數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，即可得.【詳解】根據(jù)并利用可得，，，，…所以可得數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，即.故選：D5.若雙曲線（，）的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為（

）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線、離心率公式以及兩直線的垂直與斜率的關(guān)系求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，直線的斜率為，所以由題可知，，所以雙曲線的離心率為，故選:C.6.已知數(shù)列與數(shù)列，其中.它們的公共項(xiàng)由小到大組成新的數(shù)列，則的前項(xiàng)的和為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定公共項(xiàng)為為等差數(shù)列，求出首項(xiàng)和公差后即可求和.【詳解】明顯數(shù)列和數(shù)列均為等差數(shù)列令，可得，則，則數(shù)列為等差數(shù)列，且，公差為，所以的前項(xiàng)的和為.故選：C.7.已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡與圓相交的弦長(zhǎng)等于（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題設(shè)整理可得點(diǎn)P的軌跡方程為圓，由兩圓方程消去二次項(xiàng)可得公共弦所在直線方程，然后由點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長(zhǎng)公式可得.【詳解】設(shè)，則，整理得，聯(lián)立消去二次項(xiàng)得公共弦所在直線方程，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為1，所以公共弦長(zhǎng)為.故選：A8.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若離心率，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知，結(jié)合橢圓的定義解得，再由求解.【詳解】因?yàn)?，所以，由橢圓的定義得：，解得，因?yàn)?，所以，兩邊同除以a得，解得，因?yàn)?，所以，所以該離心率的取值范圍是故選：D.二、多選題（本題共4小題，每題5分，共20分，全部選對(duì)的得5分，部分選的對(duì)得2分，選錯(cuò)的得0分）9.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.數(shù)列為遞減數(shù)列 B.C.的最大值為 D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得出，從而可判斷數(shù)列的單調(diào)性，再結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式判斷各選項(xiàng)．【詳解】是等差數(shù)列，則，又，∴，所以，是遞減數(shù)列，從而中最大，，故選：AC．10.已知圓，直線．則（

）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1D.若，則圓與圓恰有三條公切線【答案】BD【解析】【分析】直線方程整理成關(guān)于的方程，由恒等式知識(shí)可得定點(diǎn)坐標(biāo)，判斷A，由定點(diǎn)在圓得直線與圓位置關(guān)系，判斷B，求出圓心到直線的距離得距離為1的平行直線與圓的位置關(guān)系判斷C，由圓心距離判斷兩圓位置關(guān)系后判斷D．【詳解】直線的方程整理為，由得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，A錯(cuò)；又，即定點(diǎn)在圓內(nèi)，因此直線與圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，B正確；時(shí)直線方程為，圓心到直線的距離為，圓半徑為2，，因此與直線平行且距離為1的兩條直線只有一條與圓相交，另一條與圓相離，因此只有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，C錯(cuò)；時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為3，兩圓圓心距為，兩圓外切，因此它們有三條公切線，D正確，故選：BD．11.在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的傾斜角為的直線與相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，的面積是，則（

）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和焦半徑公式求出弦長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合的面積求解，從而利用焦半徑公式求解，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線方程為設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與拋物線方程得消元得，由韋達(dá)定理可得，，所以，又點(diǎn)到直線的距離是，所以，得，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；由知，解得，所以，故選項(xiàng)C正確；，故選項(xiàng)D正確；故選：BCD.12.已知數(shù)列滿足，則（

）A.當(dāng)且時(shí)，為等比數(shù)列B.當(dāng)時(shí)，為等比數(shù)列C.當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列D.當(dāng)，且時(shí)，的前n項(xiàng)和為【答案】ACD【解析】【分析】利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義判斷ABC，利用裂項(xiàng)求和來(lái)計(jì)算D.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)且時(shí)，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，A正確；對(duì)于B：當(dāng)，即時(shí)，數(shù)列不為等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，等式兩邊同除得，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，C正確；對(duì)于D：當(dāng)，，得，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，的前n項(xiàng)和為，D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）13.若直線與直線平行，則___________．【答案】【解析】【分析】利用兩直線平行，通過(guò)分類討論即可得出的值.【詳解】由題意，直線與直線平行，當(dāng)時(shí)，直線與直線不平行，舍去，當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上，.故答案為：.14.圓在點(diǎn)處切線的一般式方程為____________．【答案】2【解析】【分析】由切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直求得切線斜率后可得切線方程．【詳解】圓心坐標(biāo)為，圓心與切點(diǎn)連線斜率為，所以切線的斜率為2，切線方程為，即．故答案為：．15.兩個(gè)等比數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為和，已知，則__________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)數(shù)列，的公比分別為，在已知式中令得，再令,得的關(guān)系，進(jìn)而聯(lián)立方程組解得，進(jìn)而求解即可．【詳解】設(shè)數(shù)列，的公比分別為，則時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，聯(lián)立，解得或，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意.所以.故答案為：.16.已知點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右焦點(diǎn)，N是圓的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_______________．【答案】【解析】【分析】利用，當(dāng)且僅當(dāng)是的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，及，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，再結(jié)合雙曲線的定義可得．【詳解】由已知，是雙曲線的左焦點(diǎn)，它也是圓的圓心，，圓半徑為，，當(dāng)且僅當(dāng)是的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以，又由雙曲線的定義，，所以，即的最小值為，故答案為：．四、解答題(第17題10分，其余每題12分，共70分)17.已知圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓的圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)與圓相交截得的弦為，且，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)圓的方程為，利用待定系數(shù)法求出即可；（2）根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式求出圓心到直線的距離，再分直線斜率是否存在兩種情況討論即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則，解得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，圓心到直線的距離為，符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，則，解得，所以直線的方程為，綜上所述，直線的方程為或.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求通項(xiàng)公式（2）若，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系式進(jìn)行通項(xiàng)公式的求解；（2）由通項(xiàng)公式可知，當(dāng)時(shí)，其和為負(fù)數(shù)，則當(dāng)求絕對(duì)值之和時(shí)，可直接添加負(fù)號(hào)即可，當(dāng)時(shí)，可通過(guò)前8項(xiàng)的變號(hào)來(lái)進(jìn)行計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由，可得，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，因?yàn)?，所以，所?注意：分類標(biāo)準(zhǔn)和，都可以.19.已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，弦被點(diǎn)平分．（1）求直線的一般式方程；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，代入雙曲線方程相減，利用弦中點(diǎn)坐標(biāo)可得直線斜率，從而得直線方程，檢驗(yàn)直線與雙曲線是否相交．（2）由韋達(dá)定理得，代入的坐標(biāo)表示中計(jì)算即得．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橄冶稽c(diǎn)平分，所以設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，則，兩式相減得：），所以直線的斜率，故直線的一般式方程為聯(lián)立橢圓與直線方程得，直線與雙曲線相交，滿足題意．所以直線方程為，【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，由（1）得，，所以．20.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若且.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若成立，求的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）5【解析】【分析】（1）利用得出關(guān)于的遞推關(guān)系，從而根據(jù)等比數(shù)列的定義得證；（2）由分組求和法求得后，解不等式得結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】由可得，即，即，而，所以是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，即，由可得，整理可得，解得，因?yàn)椋缘淖钚≈禐?．21.已知橢圓焦距為，離心率為.（1）求曲線方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交曲線于、兩個(gè)不同的點(diǎn)，記的面積為，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，求出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知，直線直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用基本不等式可求出的最大值.【小問(wèn)1詳解】解：由題意可得，解得，所以，橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)直線與軸重合時(shí)，、、三點(diǎn)重合，不符合題意，易知點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．22.從雙曲線上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)，點(diǎn)分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)，且，.（1）求雙曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線分別交雙曲線左右兩支于兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由可得，再由可得，解方程即可求出，即可得出答案.（2）設(shè)，，直線，聯(lián)立直線與雙曲線的方程可求出的范圍，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得③，設(shè)直線方程結(jié)合③求解，即可證明點(diǎn)在定直線上.【小問(wèn)1詳解】令，代入雙曲線方程可得，所以設(shè)，，因?yàn)?，所以，即，?/p>