寧夏銀川高三4月高中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題

銀川市2018年普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵集合∴∵∴①當(dāng)時(shí)，，則，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，，若，則不滿足互異性，若，則，滿足題意.綜上，實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合是.故選B.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】∵復(fù)數(shù)滿足∴∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限故選D.3.已知雙曲線的一條漸近線的方程是，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵雙曲線的漸近線方程為，且雙曲線的一條漸近線的方程是.∴，即.∵∴∴故選C.4.若滿足約束條件，則的最大值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由約束條件作出可行域如圖所示：聯(lián)立，解得，化為，由圖可知，當(dāng)直線過時(shí)，直線在軸上的截距最大，.故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.5.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題“今有北鄉(xiāng)八千七百五十八，西鄉(xiāng)七千二百三十六，南鄉(xiāng)算八千三百五十六，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百七十八人，欲以算數(shù)多少出之，何各幾何？”意思是：北鄉(xiāng)由8758人，西鄉(xiāng)由7236人，南鄉(xiāng)由8356人，現(xiàn)要按人數(shù)多少從三鄉(xiāng)共征集378人，問從各鄉(xiāng)征集多少人？在上述問題中，需從西鄉(xiāng)征集的人數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意得，三鄉(xiāng)總?cè)藬?shù)為人.∵共征集378人∴需從西鄉(xiāng)征集的人數(shù)是故選B.6.如圖是由半個(gè)球體和正方體組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由三視圖可得，正方體的棱長為，半球的半徑為，則該幾何體的表面積為.故選B.7.在正方形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，且，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵，∴∵∴，即.∴故選A.8.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的的值等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由程序框圖知：算法的功能是求的值.∵，∴輸出故選B.9.已知函數(shù)的圖象與直線交于兩點(diǎn)，若的最小值為，則函數(shù)的一條對(duì)稱軸是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵函數(shù)∴函數(shù)的最大值為∵函數(shù)的圖象與直線交于兩點(diǎn)，且的最小值為∴函數(shù)的周期，即.∴令，得.當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的一條對(duì)稱軸是.故選D.10.是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果，那么D.如果，那么【答案】D故選D.11.定義在上的偶函數(shù)在單調(diào)遞增，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵偶函數(shù)在單調(diào)遞增，且∴不等式等價(jià)于，即.∴∴的取值范圍是故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用.將奇偶性與單調(diào)性綜合考查是，一直是命題的熱點(diǎn)，解這種題型往往是根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性判斷出函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性(偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間單調(diào)性相同)，然后再根據(jù)單調(diào)性列不等式求解.12.在中，角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，且，則的最小值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵∴∴根據(jù)正弦定理可得，即.∵∴∵∴∵的面積為∴，即.∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴故選C.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.周末，某高校一學(xué)生宿舍甲乙丙丁思維同學(xué)正在做四件事情，看書、寫信、聽音樂、玩游戲，下面是關(guān)于他們各自所做事情的一些判斷：①甲不在看書，也不在寫信；②乙不在寫信，也不在聽音樂；③如果甲不在聽音樂，那么丁也不在寫信；④丙不在看書，也不寫信.已知這些判斷都是正確的的，依據(jù)以上判斷，請(qǐng)問乙同學(xué)正在做的事情是__________．【答案】看書【解析】由題意，甲：聽音樂或玩游戲；乙：看書或玩游戲；丙：聽音樂或玩游戲.∵如果甲不在聽音樂，那么丁也不在寫信∴甲在聽音樂，乙在看書，丙在玩游戲，丁在寫信故答案為看書.14.的展開式中的系數(shù)是__________．【答案】【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為：.令，則；令，則；令，則.∴的展開式中的系數(shù)是故答案為.點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).15.設(shè)點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過拋物線上一點(diǎn)作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為，已知直線交軸于點(diǎn)且的面積為，則該拋物線的方程為__________．【答案】或【解析】根據(jù)題意作出如圖所示的圖象：其中，，為雙曲線的準(zhǔn)線，且準(zhǔn)線方程為，，.設(shè)，則，.在中，為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，即，.∵的面積為∴，即.∵∴，即.∴或∴該拋物線的方程為或.故答案為或.點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是借助題設(shè)條件，解答本題的關(guān)鍵是利用三角形中位線的性質(zhì)得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再根據(jù)三角形面積，數(shù)形結(jié)合求得，然后再依據(jù)已知條件建立方程求出，使得問題獲解.16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，給出以下命題：①當(dāng)時(shí)，；②函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)；③若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；④對(duì)恒成立，其中，正確命題的序號(hào)是__________．【答案】①④【解析】依題意，令，則，所以，即，故①正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，所以在上，，在上，由此可判斷函?shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，由對(duì)稱性可得函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，故該函?shù)有個(gè)零點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；作出函數(shù)的圖象如圖所示：若方程有解，則，且對(duì)恒成立，故③錯(cuò)誤，④正確.故答案為①④.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）；（2）見解析【解析】試題分析：（1）由成等比數(shù)列得，根據(jù)，即可求得公差，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，結(jié)合放縮法得，從而可證.試題解析：（1）由題意，，所以，，即,即.∵∴∴，故.（2）由上知，.故.∴.18.隨著我國互聯(lián)網(wǎng)信息技術(shù)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)購物已經(jīng)成為許多人消費(fèi)的一種重要方式，某市為了了解本市市民的網(wǎng)絡(luò)購物情況，特委托一家網(wǎng)絡(luò)公示進(jìn)行了網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的10000名網(wǎng)民中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行抽樣分析，得到了下表所示數(shù)據(jù)：經(jīng)常進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物偶爾或從不進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物合計(jì)男性5050100女性6040100合計(jì)11090200（1）依據(jù)上述數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為該市市民進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物的情況與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從所抽取的女性網(wǎng)民中利用分層抽樣的方法再抽取人，從這人中隨機(jī)選出人贈(zèng)送網(wǎng)絡(luò)優(yōu)惠券，求出選出的人中至少有兩人是經(jīng)常進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物的概率；（3）將頻率視為概率，從該市所有的參與調(diào)查的網(wǎng)民中隨機(jī)抽取人贈(zèng)送禮物，記經(jīng)常進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物的人數(shù)為，求的期望和方差.附：，其中【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】試題分析：（1）由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算的觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；（2）利用分層抽樣原理求出所抽取的5名女網(wǎng)民中經(jīng)常進(jìn)行網(wǎng)購和偶爾或不進(jìn)行網(wǎng)購的人數(shù)，計(jì)算所求的概率值；（3）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計(jì)算經(jīng)常進(jìn)行網(wǎng)購的頻率，將頻率視為概率知隨機(jī)變量服從次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率模型，計(jì)算數(shù)學(xué)期望與方差的大?。囶}解析：（1）由列聯(lián)表數(shù)據(jù)計(jì)算.所以，不能再犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為該市市民網(wǎng)購情況與性別有關(guān).（2）由題意，抽取的5名女性網(wǎng)民中，經(jīng)常進(jìn)行網(wǎng)購的有人，偶爾或從不進(jìn)行網(wǎng)購的有人，故從這5人中選出3人至少有2人經(jīng)常進(jìn)行網(wǎng)購的概率是.（3）由列聯(lián)表可知，經(jīng)常進(jìn)行網(wǎng)購的頻率為.由題意，從該市市民中任意抽取1人恰好是經(jīng)常進(jìn)行網(wǎng)購的概率是.由于該市市民數(shù)量很大，故可以認(rèn)為.所以，，.19.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為上一點(diǎn).（1）若平面，試說明點(diǎn)的位置并證明的結(jié)論；（2）若為的中點(diǎn)，平面，且，求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】試題分析：（1）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)有，連接，交于點(diǎn)，連接，由為菱形得是的中點(diǎn)，由三角形的中位線性質(zhì)可得，即可證明；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的法向量與平面的法向量，結(jié)合圖形得二面角為銳二面角，即可求得二面角的余弦值.試題解析：（1）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)有，證明如下：連接，交于點(diǎn)，連接.由菱形性質(zhì)知點(diǎn)是的中點(diǎn).∴又∵∴.（2）由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則由條件易知，所以，.∴,設(shè)平面的法向量為，則.∴，即，令，則，所以，同理可求平面的法向量.所以，.由圖可知，二面角為銳二面角，故其余弦值為點(diǎn)睛：此題考查二面角余弦值的計(jì)算，向量坐標(biāo)的運(yùn)算等.向量法在解決立體幾何中二面角問題的一般步驟是：（1）建系，根據(jù)圖形特點(diǎn)建立合理的空間直角坐標(biāo)系；（2）標(biāo)點(diǎn)，把所涉及到的點(diǎn)的坐標(biāo)找出來，并計(jì)算相應(yīng)向量的坐標(biāo)；（3）求法向量，通過向量的運(yùn)算，把二面角的兩個(gè)半面的法向量計(jì)算出來；（4）代入公式求值，利用向量的數(shù)量積公式，求出兩個(gè)法向量的夾角，注意向量的夾角與二面角大小間的關(guān)系，這點(diǎn)需要通過觀察圖形來判斷二面角是銳角還是鈍角，然后作出正確的結(jié)論．20.已知橢圓的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）由離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為可得從而求得的值，進(jìn)而可得求橢圓的方程；（2）直線的方程為，由點(diǎn)到直線距離公式可得與橢圓方程聯(lián)立可得，再根據(jù)弦長公式可得，從而可得，進(jìn)而可得△面積的最大值.試題解析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意∴，∴所求橢圓方程為．（2）設(shè)，，①當(dāng)⊥軸時(shí)，為，代入，得，∴；②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，由已知，得，把代入橢圓方程，整理，，，，∴，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．綜上所述．∴當(dāng)最大時(shí)，△面積取最大值．考點(diǎn)：1、待定系數(shù)法求橢圓方程及三角形面積公式；2、點(diǎn)到直線距離公式及基本不等式求最值.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及三角形面積公式、點(diǎn)到直線距離公式及基本不等式求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形面積最值的.21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若函數(shù)在處取得極值，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】試題分析：（1）對(duì)求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可能求出函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）由函數(shù)在處取得極值，可得，從而解得，恒成立等價(jià)于，構(gòu)造，求得函數(shù)的單調(diào)性，即可得出，從而求得實(shí)數(shù)的最大值.試題解析：（1）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減.∴在(0，＋∞)上沒有極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由得.∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值.綜上，當(dāng)時(shí)，在上沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)極值點(diǎn).(2)∵函數(shù)在處取得極值，∴，則，從而∵恒成立∴恒成立令，則，由得，則在上遞減，在上遞增.∴，故實(shí)數(shù)b的最大值是點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.22.已知曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）若以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)橢圓參數(shù)方程得，再根據(jù)三角函數(shù)有界性得最大值試題解析：