猜想02全等三角形（5種解題模型專(zhuān)練）

猜想02全等三角形（5種解題模型專(zhuān)練）題型一：一線三等角構(gòu)造全等模型題型二：手拉手模型旋轉(zhuǎn)型全等題型三：倍長(zhǎng)中線模型題型四：角平分線+垂直構(gòu)造全等模型題型五：對(duì)角互補(bǔ)且一組鄰邊相等的半角模型題型一：一線三等角構(gòu)造全等模型1．（2022秋?南陵縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D，若AD＝8cm，BE＝3cm，則DE＝5cm．【分析】由余角的性質(zhì)可證∠CAD＝∠BCE，即可證明△CDA≌△BEC，可得CD＝BE，CE＝AD，根據(jù)DE＝CE﹣CD，即可解題．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△CDA和△BEC中，，∴△CDA≌△BEC（AAS），∴CD＝BE，CE＝AD，∵DE＝CE﹣CD，∴DE＝AD﹣BE，∵AD＝8cm，BE＝3cm，∴DE＝5cm，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△CDA≌△BEC是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?香坊區(qū)期末）如圖，等邊△ABC中，CH⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，連接DE，點(diǎn)F在CH上，連接EF，若DE＝EF，∠DEF＝60°，BE＝2，CE＝8，則DH＝1．【分析】在BC上取點(diǎn)G，連接GF，使GC＝GF，證明△BDE≌△GEF，得到BE＝CG，BD＝EG，求出BD，則DH＝BD﹣BH即可求出結(jié)果．【解答】解：在BC上取點(diǎn)G，連接GF，使GC＝GF，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵CH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝×10＝5，∠BCH＝∠ABC＝30°，∵GF＝GC，∴∠GFC＝∠BCH＝30°，∴∠EGF＝∠GFC+∠BCH＝60°，∴∠B＝∠EGF，∵∠DEF＝60°，∴∠BED+∠GEF＝120°，∵∠BED+∠BDE＝120°，∴∠BDE＝∠GEF，又∵DE＝EF，∴△BDE≌△GEF（AAS），∴BE＝CG＝2，BD＝EG＝10﹣2﹣2＝6，∴DH＝BD﹣BH＝6﹣5＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．3．（2022秋?射洪市期末）如圖，△ABF和△DCE中，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在線段BC上，DE與AF交于點(diǎn)O，且AB＝CD，BE＝CF．求證：OE＝OF．【分析】由于△ABF與△DCE是直角三角形，根據(jù)直角三角形全等的判定的方法即可證明全等，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得出∠AFB＝∠DEC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【解答】證明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF與△DCE都為直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），∴∠AFB＝∠DEC，∴OE＝OF．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形全等的判定和性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是由BE＝CF通過(guò)等量代換得到BF＝CE．4．（2022秋?嘉峪關(guān)期末）如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是1.5m的相同長(zhǎng)方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻ABCD和EFGH，點(diǎn)P在BE上，已知AP＝PF，∠APF＝90°．（1）求證：△ABP≌△PEF；（2）求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理AAS證得結(jié)論；（2）利用（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到：BP＝EF＝10.5m，AB＝PE＝4.5m，則BE＝BO+PE．【解答】（1）證明：∵∠ABP＝∠FEP＝90°，∠APF＝90°，∴∠APB＝∠PFE（同角的余角相等）．在△ABP與△PEF中，，∴△ABP≌△PEF（AAS）；（2）由題意知，AB＝1.5×3＝4.5（m），EF＝7×1.5＝10.5（m）．由（1）知，△ABP≌△PEF，∴BP＝EF＝10.5m，AB＝PE＝4.5m，∴BE＝BP+PE＝15m．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，用全等尋找下一個(gè)全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問(wèn)題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．5．（2022秋?大安市期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過(guò)點(diǎn)C作直線MN，AM⊥MN于點(diǎn)M，BN⊥MN于點(diǎn)N．（1）若MN在△ABC外（如圖1），求證：MN＝AM+BN；（2）若MN與線段AB相交（如圖2），且AM＝2.6，BN＝1.1，則MN＝1.5．【分析】（1）利用互余關(guān)系證∠MAC＝∠NCB，再證△AMC≌△CNB（AAS），得到AM＝CN，MC＝BN，即可得出結(jié)論；（2）類(lèi)似于（1）可證△ACM≌△CBN（AAS），得AM＝CN＝2.6，CM＝BN＝1.1，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC＝∠CNB＝90°．∵∠ACB＝90°，∠AMC＝90°，∴∠MAC+∠ACM＝90°，∠NCB+∠ACM＝90°，∴∠MAC＝∠NCB．在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM＝CN，MC＝NB．∵M(jìn)N＝NC+CM，∴MN＝AM+BN．（2）解：∵AM⊥MN于M，BN⊥MN，∴∠AMC＝∠CNB＝90°，∴∠MAC+∠ACM＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACM+∠NCB＝90°，∴∠MAC＝∠NCB，在△ACM和△CBN中，，∴△ACM≌△CBN（AAS），∴AM＝CN＝2.6，CM＝BN＝1.1，∴MN＝CN﹣CM＝2.6﹣1.1＝1.5，故答案為：1.5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中，A（4，0），B（0，3），以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°．求點(diǎn)C坐標(biāo)．【分析】由∠AOB＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，想到作CD⊥x軸于點(diǎn)D，構(gòu)造“一線三直角”模型，證明△CDA≌△AOB，得DC＝OA＝4，DA＝OB＝3，則OD＝7，即可求得C（7，4）．【解答】解：作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠CDA＝∠AOB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝∠OBA＝90°﹣∠OAB，在△CDA和△AOB中，，∴△CDA≌△AOB（AAS），∵A（4，0），B（0，3），∴DC＝OA＝4，DA＝OB＝3，∴OD＝OA+DA＝4+3＝7，∴C（7，4）．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查圖形與坐標(biāo)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△CDA≌△AOB是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?榆樹(shù)市校級(jí)期末）如圖，CD∥AB，CD＝CB，點(diǎn)E在BC上，∠D＝∠ACB．（1）求證：CE＝AB．（2）若∠A＝125°，則∠BED的度數(shù)是55°．【分析】（1）根據(jù)ASA證明△DEC與△CAB全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：（1）∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCE，在△DEC與△CAB中，，∴△DEC≌△CAB（ASA），∴CE＝AB；解：（2）∵△DEC≌△CAB，∴∠CED＝∠A＝125°，∴∠BED＝180°﹣125°＝55°，故答案為：55°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)ASA證明△DEC與△CAB全等是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?榆樹(shù)市期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE，AD，BE之間的等量關(guān)系．【分析】（1）①根據(jù)AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB＝90°，得出∠CAD＝∠BCE，再根據(jù)AAS即可判定△ADC≌△CEB；②根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得出CE＝AD，CD＝BE，進(jìn)而得到DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）先根據(jù)AD⊥MN，BE⊥MN，得到∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，進(jìn)而得出∠CAD＝∠BCE，再根據(jù)AAS即可判定△ADC≌△CEB，進(jìn)而得到CE＝AD，CD＝BE，最后得出DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）運(yùn)用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之間的等量關(guān)系是：DE＝BE﹣AD．【解答】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB，∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到題圖（3）的位置時(shí)，AD，DE，BE所滿(mǎn)足的等量關(guān)系是：DE＝BE﹣AD．理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，同角的余角相等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，得出結(jié)論．9．（2023春?濟(jì)南期末）在直線m上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)D，A，E，在直線m上方有AB＝AC，且滿(mǎn)足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如圖1，當(dāng)α＝90°時(shí)，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是DE＝BD+CE；（2）如圖2，當(dāng)0＜α＜180時(shí)，問(wèn)題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，當(dāng)α＝120°時(shí)，點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且AB＝AF，分別連接FB，F(xiàn)D，F(xiàn)E，F(xiàn)C，試判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明理由．【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）先由α＝120°和AF平分∠BAC得到∠BAF＝∠CAF＝60°，然后結(jié)合AB＝AF＝AC得到△ABF和△ACF是等邊三角形，然后得到FA＝FC、∠FCA＝∠FAB＝60°，然后結(jié)合△BDA≌△EAC得到∠BAD＝∠ACE、AD＝CE，從而得到∠FAD＝∠FCE，故可證△FAD≌△FCE，從而得到DF＝EF、∠DFA＝∠EFC，最后得到∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝60°，即可得證△DEF是等邊三角形．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）△DEF是等邊三角形，理由如下，∵α＝120°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝60°，∵AB＝AF＝AC，∴△ABF和△ACF是等邊三角形，∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°，同（2）可得，△BDA≌△AEC，∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，∴∠FAD＝∠FCE，∴△FAD≌△FCE（SAS），∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，∴△DEF是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用一線三等角模型證明三角形全等．10．（2022秋?贛縣區(qū)期末）閱讀理解，自主探究：“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個(gè)等角角度為90°，于是有三組邊相互垂直．所以稱(chēng)為“一線三垂直模型”．當(dāng)模型中有一組對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)相等時(shí)，則模型中必定存在全等三角形．（1）問(wèn)題解決：如圖1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過(guò)點(diǎn)C作直線DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求證：△ADC≌△CEB；（2）問(wèn)題探究：如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過(guò)點(diǎn)C作直線CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的長(zhǎng)；（3）拓展延伸：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求B點(diǎn)坐標(biāo).【分析】（1）證∠DAC＝∠ECB，再由AAS證△ADC≌△CEB即可；（2）證△ADC≌△CEB（AAS），得AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，即可解決問(wèn)題；（3）過(guò)點(diǎn)C作直線l∥x軸，交y軸于點(diǎn)G，過(guò)A作AE⊥l于點(diǎn)E，過(guò)B作BF⊥l于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)H，證△AEC≌△CFB（AAS），得AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，則FG＝CG+CF＝4，BH＝FH﹣BF＝1，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠CBE+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，∴BE＝CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8（cm），即BE的長(zhǎng)為0.8cm；（3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作直線l∥x軸，交y軸于點(diǎn)G，過(guò)A作AE⊥l于點(diǎn)E，過(guò)B作BF⊥l于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)H，則∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，∵A（﹣1，0），C（1，3），∴EG＝OA＝1，CG＝1，F(xiàn)H＝AE＝OG＝3，∴CE＝EG+CG＝2，∵∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠FCB＝90°，∴∠EAC＝∠FCB，在△AEC和△CFB中，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，∴FG＝CG+CF＝1+3＝4，BH＝FH﹣BF＝3﹣2＝1，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、一線三垂直”模型等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．11．（2022秋?葫蘆島期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)A（0，5），點(diǎn)C（﹣2，0），點(diǎn)B在第四象限．（1）如圖1，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖2，若AB交x軸于點(diǎn)D，BC交y軸于點(diǎn)M，N是BC上一點(diǎn)，且BN＝CM，連接DN，求證CD+DN＝AM；（3）如圖3，若點(diǎn)A不動(dòng)，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以AC，OC為直角邊在第二、第三象限作等腰直角△ACE與等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，連接EF交x軸于P點(diǎn)，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上移動(dòng)時(shí)，CP的長(zhǎng)度是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變化，請(qǐng)求出其長(zhǎng)度．【分析】（1）過(guò)B作BF⊥x軸于F，先證△CFB≌△AOC（AAS），得FB＝OC＝2，F(xiàn)C＝OA＝5，則OF＝FC﹣OC＝3，即可得出答案；（2）過(guò)B作BE⊥BC交x軸于E，先證△BCE≌△CAM（ASA），得CE＝AM，BE＝CM，再證△BDE≌△BDN（SAS），得DE＝DN，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）過(guò)E作EG⊥x軸于G，先證△GEC≌△OCA（AAS），得GC＝OA＝5，GE＝OC，再證△EPG≌△FPC（AAS），得GP＝CP＝GC＝即可．【解答】（1）解：如圖1，過(guò)B作BF⊥x軸于F，則∠BFC＝90°，∵點(diǎn)A（0，5），點(diǎn)C（﹣2，0），∴OA＝5，OC＝2，∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝45°，∠FCB+∠OCA＝90°，∵∠COA＝90°，∴∠OAC+∠OCA＝90°，∴∠OAC＝∠FCB，∵∠COA＝∠BFC＝90°，∴△CFB≌△AOC（AAS），∴FB＝OC＝2，F(xiàn)C＝OA＝5，∴OF＝FC﹣OC＝5﹣2＝3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，﹣2）；（2）證明：如圖2，過(guò)B作BE⊥BC交x軸于E，則∠CBE＝90°＝∠ACM，由（1）得：BC＝CA，∠ECB＝∠MAC，∴△BCE≌△CAM（ASA），∴CE＝AM，BE＝CM，∵BN＝CM，∴BE＝BN，∵∠CBE＝90°，∠ABC＝45°，∴∠DBE＝90°﹣45°＝45°，∴∠DBE＝∠DBN＝45°，又∵BD＝BD，∴△BDE≌△BDN（SAS），∴DE＝DN，∵CD+DE＝CE，∴CD+DN＝CE，∴CD+DN＝AM；（3）解：CP的長(zhǎng)度不變化，CP＝，理由如下：如圖3，過(guò)E作EG⊥x軸于G，則∠EGC＝90°＝∠COA，∴∠GEC+∠GCE＝90°，∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE＝90°，∴CE＝AC，∠GCE+∠OCA＝90°，∴∠GEC＝∠OCA，∴△GEC≌△OCA（AAS），∴GC＝OA＝5，GE＝OC，∵△OCF是等腰直角三角形，∠OCF＝90°，∴OC＝CF，∠FCP＝90°，∴GE＝CF，∠EGP＝∠FCP，又∵∠EPG＝∠FPC，∴△EPG≌△FPC（AAS），∴GP＝CP＝GC＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．12．（2022秋?劍閣縣期末）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D是線段CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AD＝AB．點(diǎn)F是線段AB上一點(diǎn)，連接DF，以DF為斜邊作等腰Rt△DFE．連接EA，且EA⊥AB．（1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，則∠ABC＝60°；（2）過(guò)D點(diǎn)作DG⊥AE，垂足為G．①填空：△DEG≌△EFA；②求證：AE＝AF+BC；（3）如圖2，若點(diǎn)F是線段BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其他條件不變，請(qǐng)寫(xiě)出線段AE，AF，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【分析】（1）先由∠AEF＝20°、∠DEF＝90°得到∠DEA＝70°，然后由∠ADE＝50°得到∠DAE＝60°，再結(jié)合∠EAB＝90°得到∠BAC＝30°，最后由∠ACB＝90°得到∠ABC＝60°；（2）①先由DG⊥AE得到∠DEG+∠EDG＝90°，然后由∠DEF＝90°得到∠DEG+∠AEF＝90°，從而得到∠EDG＝∠FEA，再結(jié)合DE＝EF、∠DGE＝∠EAF＝90°得證△DEG≌△EFA；②先由∠GDA+∠GAD＝90°和∠GAD+∠BAC＝90°得到∠GDA＝∠BAC，再結(jié)合AD＝AB、∠DGA＝∠C＝90°得證△GDA≌△CAB，進(jìn)而得到BC＝AC，最后由△DEG≌△EFA得到EC＝AF，最后得證AE＝AF+BC；（3）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠DGE＝90°，先由AE⊥AB，得到∠EAF＝∠DGE＝90°，然后由△DEF是以DF為斜邊的等腰直角三角形得到∠DEF＝90°，DE＝EF，從而得證△GDE≌△AEF，因此有GE＝AF，再由∠DGE＝∠EAF＝90°得到∠GDA＝∠CAB，然后證明△GDA≌△CAB，最后得到BC＝EG+AE＝AF+AE．【解答】（1）解：∵∠AEF＝20°，∠DEF＝90°，∴∠DEA＝70°，∵∠ADE＝50°，∴∠DAE＝60°，∵∠EAB＝90°，∴∠BAC＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，故答案為，60．（2）①解：∵DG⊥AE，∴∠DEG+∠EDG＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠DEG+∠AEF＝90°，∴∠EDG＝∠FEA，在△DEG和△EFA中，，∴△DEG≌△EFA（AAS），故答案為：EFA．②證明：∵∠GDA+∠GAD＝90°，∠GAD+∠BAC＝90°，∴∠GDA＝∠BAC，∵AD＝AB，∠DGA＝∠C＝90°，∴△GDA≌△CAB（AAS），∴BC＝AG，∵△DEG≌△EFA，∴EC＝AF，∴AE＝AG+GE＝AF+BC．（3）解：BC＝AE+AF，理由如下，如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠DGE＝90°，∵AE⊥AB，∴∠EAF＝∠DGE＝90°，∵△DEF是以DF為斜邊的等腰直角三角形，∴∠DEF＝90°，DE＝EF，∴∠GDE+∠GED＝∠GED+∠AEF＝90°，∴∠GDE＝∠AEF，∴△GDE≌△AEF（AAS），∴GE＝AF，∵∠DGE＝∠EAF＝90°，∴DG∥AB，∴∠GDA＝∠CAB，在△GDA和△CAB中，，∴△GDA≌△CAB（AAS），∴BC＝AG，∴BC＝EG+AE＝AF+AE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一線三等角模型證明三角形全等．13．（2022秋?烏魯木齊期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)B（﹣2，0），點(diǎn)A（0，5），以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)在第二象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC，過(guò)點(diǎn)C作CE垂直于y軸，垂足為點(diǎn)E，（1）證明：△ABO≌△CAE，并求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P（不與點(diǎn)C重合），使△PAB與△ABC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）證明△ABO≌△CAE（AAS），可得AO＝CE＝5，OB＝AE＝2，進(jìn)而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）分3種情況畫(huà)圖，根據(jù)等腰直角三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】（1）證明：根據(jù)題意可得：OA＝5，OB＝2，∵△ABC為等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAE＝90°，∵CE⊥y軸，∴∠CEA＝90°，即∠CEA+∠ECA＝90°，∴∠OAB＝∠ECA，在△ABO和△CAE中，，∴△ABO≌△CAE（AAS），∴AO＝CE＝5，OB＝AE＝2，∴OE＝OA+AE＝7，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣5，7）；（2）解：①如圖1所示，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)P，使AP＝AC，連接BP，根據(jù)題意可得，∠BAC＝∠BAP＝90°，在△PAB和△CAB中，，∴△PAB≌△CAB（SAS），此時(shí)點(diǎn)A為CP的中點(diǎn)，且A（0，5），C（﹣5，7），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3）；②如圖2，∵△ABC是等腰直角三角形，△PAB≌△CAB，∴點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P，如圖2，連接CP，∴四邊形ABPC是正方形，∴AP與BC互相垂直平分，∵B（﹣2，0），C（﹣5，7），∴Q（﹣，），∵A（0，5），∴P（﹣7，2）；如圖2，當(dāng)△P′AB≌△PAB≌△CAB時(shí)，P′B＝PB，∵P（﹣7，2），B（﹣2，0），∴P′（3，﹣2），綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3）或（﹣7，2）或（3，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，中點(diǎn)公式，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．題型二：手拉手模型旋轉(zhuǎn)型全等1．（2022秋?沙依巴克區(qū)校級(jí)期末）如圖，C為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），在AB的上方分別作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，AE、BD交于點(diǎn)P．有下列結(jié)論：①AE＝DB；②∠APB＝2∠ADC；③當(dāng)AC＝BC時(shí)，PC⊥AB；④PC平分∠APB．其中正確的是①②③④．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【分析】由“SAS”可證△ACE≌△DCB，可得AE＝DB，可判斷①；由△ACE≌△DCB，可得∠CAE＝∠CDB，由AC＝DC，可得∠CAD＝∠ADC，利用三角形內(nèi)角和定理即可判斷②；由AC＝BC，AC＝DC，BC＝EC，可得：AC＝BC＝DC＝EC，進(jìn)而得出∠CAE＝∠CBD，再運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)即可判斷③；由全等三角形的性質(zhì)可得S△ACE＝S△DCB，由三角形的面積公式可求CG＝CH，由角平分線的性質(zhì)可得PC平分∠APB，可判斷④，即可求解．【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝DB，故①正確；∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，∵∠ACD＝∠CDB+∠CBD，∴∠ACD＝∠CAE+∠CBD，∵∠CAE+∠CBD+∠APB＝180°，∴∠ACD+∠APB＝180°，∵AC＝DC，∴∠CAD＝∠ADC，∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，∴∠ACD+2∠ADC＝180°，∴∠APB＝2∠ADC，故②正確；∵AC＝BC，AC＝DC，BC＝EC，∴AC＝BC＝DC＝EC，∴∠CAE＝∠CBD，∴PA＝PB，∵AC＝BC，∴PC⊥AB，故③正確；如圖，連接PC，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AE于G，CH⊥BD于H，∵△ACE≌△DCB，∴S△ACE＝S△DCB，AE＝BD，∴×AE×CG＝×DB×CH，∴CG＝CH，∵CG⊥AE，CH⊥BD，∴PC平分∠APB，故④正確，故答案為：①②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理和判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積，角平分線的判定等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．2．（2022秋?江岸區(qū)期末）如圖所示，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD且AC＝5，將BC沿BA方向平移至AE，連接CE、DE，若以AC、BD和DE為邊構(gòu)成的三角形面積是，則DE＝．【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，延長(zhǎng)CD交AE于G，過(guò)點(diǎn)C作CH∥DE，過(guò)點(diǎn)D作DH∥CE交CH于H，延長(zhǎng)ED交AC于K，證明△ABF≌△ADG（AAS），△ACE≌△CAB（SAS），Rt△CEG≌Rt△ABF（HL），△CDH≌△DCE（ASA），△ADH≌△BAD（SAS），得出：CH＝DE，AH＝BD，再根據(jù)三角形面積即可求得答案．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，延長(zhǎng)CD交AE于G，過(guò)點(diǎn)C作CH∥DE，過(guò)點(diǎn)D作DH∥CE交CH于H，延長(zhǎng)ED交AC于K，則∠AFB＝∠AFC＝90°，∵BC沿BA方向平移至AE，∴AE∥BC，∴∠CGE＝∠BCD＝90°，∠GAF＝∠AFB＝90°，∴∠AGD＝90°＝∠AFB，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠DAG+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAG，在△ABF和△ADG中，，∴△ABF≌△ADG（AAS），∴BF＝DG，AF＝AG，∵AE∥BC，AE＝BC，∴∠CAE＝∠ACB，在△ACE和△CAB中，，∴△ACE≌△CAB（SAS），∴CE＝AB，∠ACE＝∠CAB，∴CE∥AB，∵DH∥CE，∴DH∥AB，∴∠ADH＝180°﹣∠BAD＝180°﹣90°＝90°，∵AE∥BC，CG⊥AE，AF⊥BC，∴CG＝AF，∴Rt△CEG≌Rt△ABF（HL），∴EG＝BF，CG＝AF，∴EG＝DG，CG＝AG，∴△DEG和△ACG是等腰直角三角形，∴∠DEG＝EDG＝∠CAG＝45°，∴∠AKE＝90°，∴∠CKE＝90°，∵CH∥DE，∴∠ACH＝∠CKE＝90°，∵DE∥CH，DH∥CE，∴∠DCH＝∠CDE，∠CDH＝∠DCE，在△CDH和△DCE中，，∴△CDH≌△DCE（ASA），∴CH＝DE，DH＝CE，∴DH＝AB＝AD，∵∠ADH＝∠BAD＝90°，∴△ADH≌△BAD（SAS），∴AH＝BD，∵以AC、BD和DE為邊構(gòu)成的三角形面積是，∴S△ACH＝AC?CH＝4，∴CH＝＝，∴DE＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平移的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形面積等，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大，合理添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．3．（2022秋?靖江市校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，連接MD，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥MD，交BM于點(diǎn)N．CD與BM相交于點(diǎn)E，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①∠AMD＝45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3；④S△ACD＝2S△DNE．其中正確的結(jié)論有①②③．（填寫(xiě)序號(hào)即可）【分析】①利用ASA證明△BDN≌△CDM，再證明△DMN是等腰直角三角形，即可判斷結(jié)論①正確；②過(guò)點(diǎn)D作DF⊥MN于點(diǎn)F，則∠DFE＝90°＝∠CME，可利用AAS證明△DEF≌△CEM，即可判斷結(jié)論②正確；③先證明△BDE∽△CME，可得出＝＝2，進(jìn)而可得CM＝2EM，NE＝3EM，即可判斷結(jié)論③正確；④先證明△BED≌△CAD（ASA），可得S△BED＝S△CAD，再證明BN＜NE，可得S△BDN＜S△DEN，進(jìn)而得出S△BED＜2S△DNE，即可判斷結(jié)論④不正確．【解答】解：①∵CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴BD＝CD，∵BM⊥AC，∴∠AMB＝∠ADC＝90°，∴∠A+∠DBN＝90°，∠A+∠DCM＝90°，∴∠DBN＝∠DCM，∵DN⊥MD，∴∠CDM+∠CDN＝90°，∵∠CDN+∠BDN＝90°，∴∠CDM＝∠BDN，∴△BDN≌△CDM（ASA），∴DN＝DM，∵∠MDN＝90°，∴△DMN是等腰直角三角形，∴∠DMN＝45°，∴∠AMD＝90°﹣45°＝45°，故①正確；②如圖1，由（1）知，DN＝DM，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥MN于點(diǎn)F，則∠DFE＝90°＝∠CME，∵DN⊥MD，∴DF＝FN，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△DEF和△CEM中，，∴△DEF≌△CEM（AAS），∴ME＝EF，CM＝DF，∴FN＝CM，∵NE﹣EF＝FN，∴NE﹣EM＝MC，故②正確；③由①知，∠DBN＝∠DCM，又∵∠BED＝∠CEM，∴△BDE∽△CME，∴＝＝2，∴CM＝2EM，NE＝3EM，∴EM：MC：NE＝1：2：3，故③正確；④如圖2，∵CD⊥AB，∴∠BDE＝∠CDA＝90°，由①知：∠DBN＝∠DCM，BD＝CD，∴△BED≌△CAD（ASA），∴S△BED＝S△CAD，由①知，△BDN≌△CDM，∴BN＝CM，∵CM＝FN，∴BN＝FN，∴BN＜NE，∴S△BDN＜S△DEN，∴S△BED＜2S△DNE．∴S△ACD＜2S△DNE．故④不正確，故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．4．（2022秋?海口期末）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠MDN＝90°，將∠MDN繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F.（1）求證：△BDE≌△ADF；（2）如圖2，若DM＝DN，連接BM、NA，求證：BM＝AN．【分析】（1）由題意可得△ABC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BD＝AD，∠B＝∠DAF＝45°，再由同角的余角相等得∠BDE＝∠ADF，以此可通過(guò)ASA證明△BDE≌△ADF；（2）由（1）可知BD＝AD，∠BDM＝∠ADN，則可通過(guò)SAS證明△MBD≌△NAD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證BM＝AN．【解答】證明：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∵AD⊥BC，∴∠DAF＝45°，BD＝CD＝AD＝，∴∠B＝∠DAF＝45°，∵∠BDE+∠ADE＝∠ADB＝90°，∠ADE+∠ADF＝∠MDN＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA）；（2）由（1）知，BD＝AD，∠BDM＝∠ADN，在△MBD和△NAD中，，∴△MBD≌△NAD（SAS），∴BM＝AN．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定三角形全等的方法是解題關(guān)鍵．5．（2022秋?夏邑縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D為邊BC的中點(diǎn)，BE⊥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AE上，且AF＝BE，連接CF、CE．求證：（1）∠CAF＝∠CBE；（2）△CEF是等邊三角形．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠CAB＝∠CBA＝60°，得出∠CAD＝∠CAB＝30°，則可得出結(jié)論；（2）證明△CAF≌△CBE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出CE＝CF，∠ACF＝∠BCE，根據(jù)等邊三角形的判定可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝60°，∵D為BC的中點(diǎn)，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，又∵BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠CBA＝30°，∴∠CAF＝∠CBE；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴CA＝CB，在△CAF和△CBE中，，∴△CAF≌△CBE（SAS），∴CE＝CF，∠ACF＝∠BCE，∴∠ECF＝∠BCE+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝60°，∴△CEF是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△CAF≌△CBE是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?汝陽(yáng)縣期末）如圖，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．AC＝41，DE＝18，將△DCE繞著頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接AD，BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）在△DCE的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，探求：點(diǎn)A，D，E在同一直線上時(shí)，AE的長(zhǎng)．【分析】（1）由“SAS”可證△ACD≌△BCE；（2）分兩種情況討論，由勾股定理可求解．【解答】（1）證明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）如圖2，∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，AC＝41，∴AB＝41，∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝135°，∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠ADC＝∠CEB＝135°，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，∴3362＝（18+AD）2+AD2，∴AD＝31（負(fù)值舍去），∴AE＝31+18＝49；如圖3，同理可得：AB2＝AE2+BE2，∴3362＝（AD﹣18）2+AD2，∴AD＝49（負(fù)值舍去），∴AE＝49﹣18＝31；綜上所述：AE＝49或31．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?舒蘭市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E在AC邊上，連接BE，以BE為一邊作等邊△BED，連接AD．（1）求證：CE＝AD．（2）若BC＝8cm，BE＝7cm，則△ADE的周長(zhǎng)為15cm．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得出∠ABC＝∠DBE＝60°，AB＝BC，BD＝BE，根據(jù)SAS可證明△ABD≌△CBE，進(jìn)而解答即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AD＝CE，則可得出答案．【解答】（1）證明：∵△ABC和△BED都是等邊三角形，∴BC＝BA，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°．∴∠ABC﹣∠3＝∠DBE﹣∠3．∴∠1＝∠2．在△BCE和△BAD中，∴△BCE≌△BAD（SAS）．∴CE＝AD；（2）∵△ABD≌△CBE，∴AD＝CE，∵BC＝8，BE＝7，∴AC＝8，DE＝7，∴△ADE的周長(zhǎng)為AD+AE+DE＝CE+AE+DE＝AC+DE＝8+7＝15．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．8．（2022秋?五蓮縣期末）如圖，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，BF與CE相交于點(diǎn)M．（1）求證：EC＝BF；（2）求證：EC⊥BF．【分析】（1）利用SAS說(shuō)明△ABF≌△AEC得結(jié)論；（2）先利用全等三角形的性質(zhì)說(shuō)明∠AEC＝∠ABF，再利用三角形內(nèi)角和定理說(shuō)明∠BMD＝90°得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE＝∠CAF＝90°．∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，即∠EAC＝∠BAF．在△ABF和△AEC中，，∴△ABF≌△AEC（SAS）．∴EC＝BF．（2）由（1）知：△ABF≌△AEC，∴∠AEC＝∠ABF．∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°．∴∠AEC+∠ADE＝90°．∵∠ADE＝∠BDM，∴∠ABF+∠BDM＝90°．在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°．∴EC⊥BF．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形，掌握三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定是解決本題的關(guān)鍵．9．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）已知，∠MON＝90°，點(diǎn)A在邊OM上，點(diǎn)P是邊ON上一動(dòng)點(diǎn)，∠OAP＝α．以線段AP為邊在AP上方作等邊△ABP，連接OB、BP，再以線段OB為邊作等邊△OBC（點(diǎn)C、P在OB的同側(cè)），作CH⊥ON于點(diǎn)H．（1）如圖1，α＝60°．①依題意補(bǔ)全圖形；②求∠BPH的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在射線ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用等式表示線段OA與CH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）①根據(jù)題意，即可畫(huà)出圖形；②根據(jù)∠BPH＝180°﹣∠OPA﹣∠BPA＝90°，可得答案；（2）連接BC，PC，利用SAS可證明△ABO≌△PBC，得AO＝PC，∠BPC＝∠BAO，再通過(guò)導(dǎo)角發(fā)現(xiàn)∠HPC＝30°，從而解決問(wèn)題．【解答】解：（1）①如圖所示，即為所求；②∵△ABP是等邊三角形，∴∠BPA＝60°，∵∠OAP＝α＝60°，∴∠OPA＝30°，∴∠BPH＝180°﹣∠OPA﹣∠BPA＝90°；（2）OA＝2CH，證明如下：如圖，連接BC，PC，由（2）可知，△ABP是等邊三角形，∴BA＝BP，∠ABP＝∠BPA＝60°，∵△BOC是等邊三角形，∴BO＝BC，∠BOC＝60°，∴∠ABO＝60°﹣∠OBP＝∠PBC，∴△ABO≌△PBC（SAS），∴AO＝PC，∠BPC＝∠BAO，∵∠OAP＝α，∴∠BAO＝∠BAP+∠OAP＝60°+α，∴∠BPC＝60°+α，∵∠BPN＝180°﹣∠APO﹣∠BPA＝120°﹣（90°﹣α）＝30°+α，∴∠HPC＝∠BPC﹣∠BPN＝30°，∵CH⊥ON，∴∠CHO＝90°，在Rt△CHP中，PC＝2CH，∴OA＝2CH．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，證明△ABO≌△PBC是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?湖北期末）已知點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，∠BAC＝∠BDC＝α．（1）【特例體驗(yàn)】如圖1，AB＝BC，α＝60°，則∠ADB的度數(shù)為60°；（2）【類(lèi)比探究】如圖2，AB＝BC，求證：∠ADB＝∠BDC；（3）【拓展遷移】如圖3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于點(diǎn)E，AC＝kDE，直接寫(xiě)出的值（用k的代數(shù)式表示）．【分析】（1）在BD上取點(diǎn)E，使BE＝CD，證明△ABE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，由等邊三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）在DC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H，使BD＝BH，證明△ABD≌△CBH（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠ADB＝∠H＝α，則可得出結(jié)論；（3）延長(zhǎng)DC至H，使CH＝AC，連接BH，證明△ABC≌△HBC（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AB＝BH，設(shè)ED＝m，則CE＝2m，證出△BDH為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出DH＝BH＝AB＝km+2m，則可得出答案．【解答】（1）解：在BD上取點(diǎn)E，使BE＝CD，∵AB＝BC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠COD，∴∠ABE＝∠ACD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD＝∠EAC+∠BAE＝∠BAC＝60°，∴△AED是等邊三角形，∴∠ADB＝60°．故答案為：60°；（2）證明：在DC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H，使BD＝BH，∴∠BDH＝∠H＝α，∵∠BAC＝∠BDC＝α，∠AOB＝∠COD，∴∠ABD＝∠ACD，∴∠BCD＝∠ACD+α＝α+∠CBH，∴∠ACD＝∠CBH＝∠ABD，∴△ABD≌△CBH（SAS），∴∠ADB＝∠H＝α，∴∠ADB＝∠BDC；（3）解：延長(zhǎng)DC至H，使CH＝AC，連接BH，∵∠ACB+∠BCD＝180°，∠BCH+∠BCD＝180°，∴∠ACB＝∠BCH，∵AC＝CH，BC＝BC，∴△ABC≌△HBC（SAS），∴AB＝BH，∴∠H＝∠BAC＝∠BDC＝60°，∵CE⊥BD，∠ECD＝30°，∴CD＝2ED，設(shè)ED＝m，則CD＝2m，∵AC＝kED＝km，∴CH＝km，∴DH＝2m+km，又∵∠BDH＝∠H＝60°，∴△BDH為等邊三角形，∴DH＝BH＝AB＝km+2m，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，作輔助線構(gòu)造出全等三角形以及等邊三角形是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?墊江縣期末）如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．（1）求證：AC＝BD．（2）求∠APB的度數(shù)．【分析】（1）先∠AOB＝∠COD＝60°，OA＝OB，OC＝OD得到∠AOC＝∠BOD，然后得證△AOC≌△BOD，從而得到AC＝BD；（2）先由△AOC≌△BOD得到∠OAC＝∠OBD，從而得到∠PAB+∠PBA＝∠OAB+∠OBA，然后由OA＝OB，∠AOB＝60°得到△AOB是等邊三角形，從而得到∠PAB+∠PBA＝120°，最后得到∠APB的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD．（2）解：由（1）得△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∵∠OAC+∠BAC＝∠OAB，∠ABO+∠OBD＝∠ABP，∴∠PAB+∠PBA＝∠OAB+∠OBA，∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴∠PAB+∠PBA＝120°，∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣120°＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握SAS定理判定三角形全等．12．（2022秋?臨淄區(qū)期末）閱讀與理解：如圖1，等邊△BDE按如圖所示方式設(shè)置．操作與證明：（1）操作：固定等邊△ABC，將△BDE繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，連接AD，CE，如圖2；在圖2中，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系．（2）操作：若將圖1中的△BDE，繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)任意一個(gè)角度α（60°＜α＜180°），連接AD，CE，AD與CE相交于點(diǎn)M，連BM，如圖3；在圖3中線段CE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系？∠EMD的度數(shù)是多少？證明你的結(jié)論．猜想與發(fā)現(xiàn)：（3）根據(jù)上面的操作過(guò)程，請(qǐng)你猜想在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠DMB的度數(shù)大小是否會(huì)隨著變化而變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【分析】（1）利用SAS證明△EBC≌△DBA即可；（2）利用SAS證明△EBC≌△DBA，得EC＝AD，∠CEB＝∠ADB，再利用三角形內(nèi)角和定理可得答案；（3）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，BF⊥EC于點(diǎn)F，由（2）中全等知BH＝BF，則MB平分∠DMC，得∠DMB＝．【解答】解：（1）EC＝AD；∵將△BDE繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，∴∠ABD＝∠CBE，在△EBC和△DBA中，，∴△EBC≌△DBA（SAS），∴EC＝AD；（2）EC＝AD，∠EMD＝60°，理由如下：設(shè)AD與BE交于點(diǎn)O，∵將△BDE繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α度，∴∠EBC＝∠DBA＝α，∵△ABC與△BDE是等邊三角形，∴BC＝AB，BD＝BE，∴△EBC≌△DBA（SAS），∴EC＝AD，∠CEB＝∠ADB，∵∠EOM＝∠DOB，∴∠EMD＝∠EBD＝60°，（3）不變，理由如下：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，BF⊥EC于點(diǎn)F，∵△EBC≌△DBA，∴S△EBC＝S△DBA，AD＝EC，∴BH＝BF，∴MB平分∠DMC，∴∠DMB＝，∴∠DMB的度數(shù)大小不變．【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定等知識(shí)，證明△EBC≌△DBA是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?重慶期末）△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．（1）如圖1，當(dāng)D，B，C在同一直線時(shí)，CE的延長(zhǎng)線與AD交于點(diǎn)F．求證：∠CFA＝90°；（2）當(dāng)△ABC與△BDE的位置如圖2時(shí)，CE的延長(zhǎng)線與AD交于點(diǎn)F，猜想∠CFA的大小并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，當(dāng)A，E，D在同一直線時(shí)（A，D在點(diǎn)E的異側(cè)），CE與AB交于點(diǎn)G，∠BAD＝∠ACE，求證：BG+AB＝AC．【分析】（1）證明△ABD≌△CBE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAD＝∠BCE，由對(duì)頂角的性質(zhì)可得出答結(jié)論；（2）同理可證△ABD≌△CBE（SAS），得出∠BAD＝∠BCE，則可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，證出BG＝GH，證明Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），由全等三角形的性質(zhì)得出BC＝CH，則得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD+∠AFE+∠FEA＝∠BCE+∠ABC+∠BEC＝180°，又∵∠FEA＝∠BEC，∴∠CFA＝∠ABC＝90°．（2）解：∠CFA＝90°．理由如下：同理可證△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∴∠CFA＝∠ABC＝90°．（3）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD＝∠ACE，∴∠ACE＝∠BCE，∵AB⊥BC，GH⊥AC，∴BG＝GH，∵∠BAC＝45°，∴∠BAC＝∠AGH＝45°，∴GH＝AH，∴AH＝BG，在Rt△BCG和Rt△HCG中，，∴Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），∴BC＝CH，∴AC＝AH+CH＝BG+BC＝BG+AB．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．（2022秋?德州期末）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，△ABC和△EDC都是等邊三角形，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，連接AE．①∠AEC的度數(shù)為120°；②線段AE、BD之間的數(shù)量關(guān)系為AE＝DB；（2）拓展探究：如圖②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，CM為△EDC中DE邊上的高，連接AE，試求∠AEB的度數(shù)及判斷線段CM、AE、BM之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，點(diǎn)B、D，E在同一條直線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EAB+∠ECB的度數(shù)．【分析】（1）①由“SAS”可證△ECA≌△DCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠AEC的度數(shù)；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)△ECA≌△DCB得到∠AEB＝∠CEA﹣∠CEB＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CM＝EM＝MD，得到線段CM、AE、BM之間的數(shù)量關(guān)系；（3）根據(jù)△ECA≌△DCB解答即可．【解答】解：（1）①∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴CE＝CD，CA＝CB，∠ECD＝∠ACB＝60°，∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，即∠ECA＝∠DCB，在△ECA和△DCB中，，∴△ECA≌△DCB（SAS），∴∠AEC＝∠BDC＝120°，故答案為：120°；②∵△ECA≌△DCB，∴AE＝BD，故答案為：AE＝BD；（2）CM+AE＝BM，理由如下：∵△DCE是等腰直角三角形，∠CDE＝45°，∴∠CDB＝135°，由（1）得△ECA≌△DCB，∴∠CEA＝∠CDB＝135°，AE＝BD，∵∠CEB＝45°，∴∠AEB＝∠CEA﹣∠CEB＝90°，∵△DCE都是等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高，∴CM＝EM＝MD，∴CM+AE＝BM；（3）∵△DCE是等腰三角形，∠DCE＝36°，∴∠CDE＝72°，∴∠CDB＝108°，∵△ECA≌△DCB，∴∠CEA＝∠CDB＝108°，∴∠EAC+∠ECA＝72°，∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝36°，∴∠CAB＝72°，∴∠EAB+∠ECB＝∠EAC+∠CAB+∠ECA+∠ACB＝72°+72°+36°＝180°，【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋?金牛區(qū)期末）△ABC中，∠BAC＝135°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)．（1）如圖1，若AD＝AM，∠DAM＝135°，①求證：BD＝CM；②若∠CMD＝90°，求的值．（2）如圖2，點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，且CE＝1，BC＝4，∠DAE＝67.5°，求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）①由“SAS”可證△ABD≌△ACM，可得BD＝CM；②通過(guò)證明△DCM是等腰直角三角形，可得CD＝DM，即可求解；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BH＝EC＝1，∠C＝∠ABH＝22.5°，AE＝AH，∠EAC＝∠BAH，由“SAS”可證△ADE≌ADH，可得HD＝DE，由勾股定理可求解．【解答】（1）①證明：∵∠BAC＝135°＝∠DAM，∴∠BAD＝∠CAM，又∵AB＝AC，AD＝AM，∴△ABD≌△ACM（SAS），∴BD＝CM；②解：∵∠BAC＝135°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝22.5°，∵△ABD≌△ACM，∴∠ACM＝∠B＝22.5°，∴∠DCM＝45°，又∵∠CMD＝90°，∴△DCM是等腰直角三角形，∴CD＝DM，∴；（2）解：∵CE＝1，BC＝4，∴BE＝3，∵∠DAE＝67.5°，∠BAC＝135°，∴∠BAD+∠CAE＝67.5°＝∠DAE，如圖，將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°，得到△AHB，連接DH，連接BH，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥BH于N，∴△AEC≌△AHB，∴BH＝EC＝1，∠C＝∠ABH＝22.5°，AE＝AH，∠EAC＝∠BAH，∴∠HBD＝45°，∵DN⊥BH，∴△BDN是等腰直角三角形，∴BN＝DN，BD＝BN，∵∠DAE＝67.5°，∠BAC＝135°，∴∠BAD+∠CAE＝67.5°＝∠BAD+∠BAE＝∠DAH，又∵AD＝AD，AE＝AH，∴△ADE≌ADH（SAS），∴HD＝DE，設(shè)BD＝x，則BN＝ND＝x，DE＝DH＝3﹣x，∴HN＝1﹣x，∵DH2＝HN2+DN2，∴（3﹣x）2＝（1﹣x）2+x2，∴x＝，∴DE＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?高邑縣期末）如圖：已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），以AD為邊作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，連接CE．發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，（1）請(qǐng)寫(xiě)出BD和CE之間的位置關(guān)系為BD⊥CE，并猜想BC和CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系：BC＝CD+CE．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，（1）中BD和CE之間的位置關(guān)系；BC和CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出新的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，若BC＝12，CE＝4，求線段ED的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ACB＝45°，證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝45°，得到答案；（2）證明△ABD≌△ACE，得到BD＝CE，∠ACE＝∠ABC，結(jié)合圖形解答即可；（3）證明∠DCE＝90°，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，BC＝CD+BD＝CD+CE，∴BD⊥CE，故答案為：BD⊥CE；BC＝CD+CE；（2）BD⊥CE成立，數(shù)量關(guān)系不成立，關(guān)系為BC＝CE﹣CD．理由如下：如圖2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC，∴BD＝BC+CD，∠ACE+∠ACB＝90°，∴BD⊥CE；BC＝CE﹣CD；（3）如圖3，由（1）可得，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE＝2，∠ACE＝∠ABD＝135°，∴CD＝16，∵∠ACB＝45°，∴∠DCE＝90°，在Rt△DCE中，由勾股定理得，DE＝＝＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?大名縣期末）如圖，△ABC和△DCE都是等邊三角形．探究發(fā)現(xiàn)（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展運(yùn)用（2）若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長(zhǎng)；（3）若△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，△ABC和△DCE的邊長(zhǎng)分別為1和2，當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，AE的長(zhǎng)為．【分析】（1）依據(jù)等式的性質(zhì)可證明∠BCD＝∠ACE，然后依據(jù)SAS可證明△ACE≌△BCD；（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng)，可得BD的長(zhǎng)；（3）當(dāng)CD⊥BC時(shí)，△BCD的面積最大，過(guò)A作AF⊥BC于F，先根據(jù)平角的定義得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函數(shù)可得AF的長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股定理可得AE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）如圖，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，∵△DCE是等邊三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，∴AE＝，∴BD＝；（3）CD⊥BC時(shí)，面積最大，由（1）得△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形的綜合題，主要考查的是全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋?惠民縣校級(jí)期末）（1）如圖1，△ABC與△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：BD＝CE；（2）如圖2，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．填空：∠AEB的度數(shù)為60°；線段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是BE＝AD．（3）拓展探究如圖3，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△BAD≌△CAE，即可判斷出BD＝CE．（2）首先根據(jù)△ACB和△DCE均為等邊三角形，可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∠CDE＝∠CED＝60°，據(jù)此判斷出∠ACD＝∠BCE；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ACD≌△BCE，即可判斷出BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，進(jìn)而判斷出∠AEB的度數(shù)為60°即可．（3）首先根據(jù)△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，據(jù)此判斷出∠ACD＝∠BCE；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ACD≌△BCE，即可判斷出BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，進(jìn)而判斷出∠AEB的度數(shù)為90°即可；最后根據(jù)DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，可得CM＝DM＝EM，所以DE＝DM+EM＝2CM，據(jù)此判斷出AE＝BE+2CM即可．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE＝40°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）解：∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠ADC＝∠BEC，∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°，綜上，可得∠AEB的度數(shù)為60°；線段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是：BE＝AD．故答案為：60°、BE＝AD．（3）解：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝180﹣45＝135°，∴∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135﹣45＝90°；∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，∴CM＝DM＝EM，∴DE＝DM+EM＝2CM，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．【點(diǎn)評(píng)】（1）此題主要考查了全等三角形的判定方法和性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）此題還考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．題型三：倍長(zhǎng)中線模型1．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DC，作DM⊥DC交AC于點(diǎn)M．若AB＝10，AM＝2，則CM＝．【分析】延長(zhǎng)MD至點(diǎn)E，使DE＝DM，連結(jié)BE，CE．證明△AMD≌△BED（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠DBE＝∠A，證明△CMD≌△CED（SAS），得出CE＝CM，設(shè)CM＝x，則CE＝x，AC＝2+x，由勾股定理得出x2﹣2＝102﹣（x+2）2，解方程求出x的值即可得出答案．【解答】解：延長(zhǎng)MD至點(diǎn)E，使DE＝DM，連結(jié)BE，CE．∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝DB，在△AMD和△BED中，，∴△AMD≌△BED（SAS），∴∠DBE＝∠A，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠DBE+∠ABC＝90°，在△CMD和△CED中，，∴△CMD≌△CED（SAS），∴CE＝CM，設(shè)CM＝x，則CE＝x，AC＝2+x，在Rt△CBE中，BC2＝CE2﹣BE2＝x2﹣22，在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣（x+2）2，∴x2﹣22＝102﹣（x+2）2，解得x＝﹣1（負(fù)值舍去）．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，證明△AMD≌△BED是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?中山市期末）如圖，已知△ABC．（1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)時(shí)，求證：△ABC是等腰三角形．【分析】（1）根據(jù)角平分線的作法，即可得出答案；（2）延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，判斷出△BDE≌△CDA（SAS），得出BE＝AC，∠E＝∠CAD，進(jìn)而得出AB＝AC，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：如圖所示，AD就是∠BAC的角平分線；（2）證明：如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵∠BDE＝∠CDA，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC，∠E＝∠CAD，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠E＝∠BAD，∴AB＝BE，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，利用倍長(zhǎng)中線法作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．3．（2022秋?梅里斯區(qū)期末）閱讀下面的題目及分析過(guò)程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對(duì)原題進(jìn)行證明．【分析】（1）①如圖1，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，先判斷出BE＝CE，進(jìn)而判斷出△BEF≌△CED，得出BF＝CD，∠F＝∠CDE，再判斷出AB＝BF，即可得出結(jié)論；②如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，先判斷出BE＝CE，進(jìn)而判斷出△BEF≌△CEG，得出BF＝CG，再判斷出△BAF≌△CDG，即可得出結(jié)論；（2）如圖3，過(guò)C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，先判斷出BE＝CE，進(jìn)而判斷出△BAE≌△CME（AAS），得出CM＝AB，∠BAE＝∠M，即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）①如圖1，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；（2）如圖3，過(guò)C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BAE