函數(shù)的奇偶性與周期性 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義.2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性.3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性.1.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有

－x

?∈D且f（－x）＝

f（x）

?，那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)且f（－x）＝

－f（x）

?，那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)圖象特征關(guān)于

y軸

?對稱關(guān)于

原點(diǎn)

?對稱提醒

函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件.－x

f（x）

－f（x）

y軸

原點(diǎn)

2.函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對每一個(gè)x∈D，都有x＋T∈D，且

f（x＋T）＝f（x）

?，那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期；（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)f（x）的所有周期中存在一個(gè)

最小

?的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期.f（x＋T）＝f（x）

最小

?｜解題技法｜函數(shù)奇偶性的判斷方法（1）定義法（2）圖象法（3）性質(zhì)法：設(shè)f（x），g（x）的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.提醒

對函數(shù)奇偶性的判斷，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f（x0），不能判定函數(shù)f（x）是奇函數(shù).｜解題技法｜函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用（1）判定：判斷函數(shù)的周期只需證明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題；（2）應(yīng)用：根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能.在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT（k∈Z且k≠0）也是函數(shù)的周期.｜解題技法｜函數(shù)奇偶性的應(yīng)用類型及解題策略（1）求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f（x）的方程（組），從而得到f（x）的解析式；（2）求函數(shù)值：將待求函數(shù)值利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；（3）求參數(shù)值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f（x）±f（－x）＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性，進(jìn)而得出參數(shù)的值.對于在x＝0處有定義的奇函數(shù)f（x），可考慮列等式f（0）＝0求解.周期函數(shù)與圖像相結(jié)合的問題左加右減，f(x)向右平移1之后關(guān)于（1，0)對稱?1.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論（1）如果函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則一定有f（0）＝0；如果函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，那么f（x）＝f（｜x｜）；（2）奇函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

3.函數(shù)圖象的對稱性（1）若函數(shù)y＝f（x＋a）是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；（2）若函數(shù)y＝f（x＋b）是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（b，0）中心對稱；（3）若對于R上的任意x都有f（2a－