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專題01解一元二次方程一.選擇題(共4小題)1.(2022春?惠山區(qū)校級(jí)期末)一元二次方程x2﹣8x﹣1=0,配方后可變形為()A.(x﹣4)2=17 B.(x﹣4)2=18 C.(x﹣8)2=1 D.(x﹣4)2=1【分析】方程移項(xiàng)后,利用完全平方公式配方得到結(jié)果,即可作出判斷.【解答】解:方程x2﹣8x﹣1=0,整理得:x2﹣8x=1,配方得:x2﹣8x+16=17,即(x﹣4)2=17.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣配方法,熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.2.(2022春?如皋市期末)關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則m的值是()A.9 B.10 C.11 D.12【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,得到根的判別式等于0,求出m的值即可.【解答】解:∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=36﹣4m=0,解得:m=9.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根的判別式,熟練掌握一元二次方程根的判別式的意義是解本題的關(guān)鍵.3.(2022春?吳江區(qū)期末)新定義運(yùn)算:a※b=a2﹣ab+b,例如2※1=22﹣2×1+1=3,則方程x※2=5的根的情況為()A.沒有實(shí)數(shù)根 B.有一個(gè)實(shí)數(shù)根 C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【分析】先利用新定義得到x2﹣2x+2=5,再把方程化為一般式,接著計(jì)算根的判別式的值,然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況.【解答】解:∵x※2=5,∴x2﹣2x+2=5,即x2﹣2x﹣3=0,∵Δ=(﹣2)2﹣4×(﹣3)=16>0,∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與Δ=b2﹣4ac有如下關(guān)系:當(dāng)Δ>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)Δ=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)Δ<0時(shí),方程無實(shí)數(shù)根.4.(2022春?宿豫區(qū)期末)下列關(guān)于x的方程中,一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是()A.x2﹣4x+4=0 B.x2﹣mx+4=0 C.x2﹣4x﹣m=0 D.x2﹣4x﹣m2=0【分析】先求出Δ的值,再比較出其與0的大小即可求解.【解答】解:A、Δ=(﹣4)2﹣4×1×4=0,該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,不符合題意;B、Δ=(﹣m)2﹣4×1×4=m2﹣16,可能小于等于0,不一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,不符合題意;C、Δ=(﹣4)2﹣4×1×(﹣m)=16+4m,可能小于等于0,不一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,不符合題意;D、Δ=(﹣4)2﹣4×1×(﹣m)2=16+4m2>0,一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,符合題意.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是根的判別式,熟知一元二次方程的根與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.二.填空題(共4小題)5.(2022春?寶應(yīng)縣期末)一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是方程x2﹣7x+12=0的兩根,則該直角三角形的面積是6或372【分析】先解出方程x2﹣7x+12=0的兩個(gè)根為3和4,再分長(zhǎng)是4的邊是直角邊和斜邊兩種情況進(jìn)行討論,然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可求解.【解答】解:∵x2﹣7x+12=0,∴x=3或x=4.①當(dāng)長(zhǎng)是4的邊是直角邊時(shí),該直角三角形的面積是12×3×4=②當(dāng)長(zhǎng)是4的邊是斜邊時(shí),第三邊是42?32=故答案為:6或37【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法,三角形的面積,正確求解方程的兩根,能夠分兩種情況進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵.6.(2022春?亭湖區(qū)校級(jí)期末)一元二次方程x2﹣4x+3=0配方為(x﹣2)2=k,則k的值是1.【分析】根據(jù)配方法可以將題目中方程變形,然后即可得到k的值.【解答】解:∵x2﹣4x+3=0,∴x2﹣4x=﹣3,∴x2﹣4x+4=﹣3+4,∴(x﹣2)2=1,∵一元二次方程x2﹣4x+3=0配方為(x﹣2)2=k,∴k=1,故答案為:1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元二次方程—配方法,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,會(huì)用配方法將方程變形.7.(2020秋?泰興市期末)已知關(guān)于x的一元二次方程(a﹣2)x2+2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是a<3且a≠2.【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零結(jié)合根的判別式Δ>0,即可得出關(guān)于a的一元一次不等式組,解之即可得出結(jié)論.【解答】解:∵關(guān)于x的一元二次方程(a﹣2)x2+2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴a?解得:a<3且a≠2.故答案為:a<3且a≠2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式,根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零結(jié)合根的判別式Δ>0,列出關(guān)于a的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵.8.(2021秋?溧陽市期末)若一元二次方程x2﹣4x+k+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是k<2.【分析】根據(jù)根的判別式得出Δ=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×1×(k+2)>0,再求出不等式的解集即可.【解答】解:∵一元二次方程x2﹣4x+k+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×1×(k+2)=8﹣4k>0,解得:k<2,故答案為:k<2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式和解一元一次不等式,能根據(jù)根的判別式得出關(guān)于k的不等式是解此題的關(guān)鍵.三.解答題(共4小題)9.(2022春?姜堰區(qū)期末)解下列方程:(1)x2﹣6x﹣4=0;(2)x+1x?【分析】(1)移項(xiàng)后配方,開方,即可得出兩個(gè)一元一次方程,再求出方程的解即可;(2)方程兩邊都乘(x+1)(x﹣1)得出(x+1)2﹣4=(x+1)(x﹣1),求出方程的解,再進(jìn)行檢驗(yàn)即可.【解答】解:(1)x2﹣6x﹣4=0,x2﹣6x=4,配方,得x2﹣6x+9=4+9,(x﹣3)2=13,開方得:x﹣3=±13解得:x1=3+13,x2=3?(2)x+1x?x+1x?方程兩邊都乘(x+1)(x﹣1),得(x+1)2﹣4=(x+1)(x﹣1),解得:x=1,檢驗(yàn):當(dāng)x=1時(shí),(x+1)(x﹣1)=0,所以x=1是增根,即原方程無解.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程和解分式方程,能正確配方是解(1)的關(guān)鍵,能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解(2)的關(guān)鍵.10.(2022春?玄武區(qū)期末)已知關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3=0(m為常數(shù)).(1)求證:無論m為何值,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根:(2)若x=2是方程的根,則m的值為5±5【分析】(1)根據(jù)根的判別式求出Δ=(m﹣4)2+8,再根據(jù)根的判別式得出答案即可;(2)把x=2代入方程,得出關(guān)于m的一元二次方程,再求出方程的解即可.【解答】(1)證明:2x2﹣3mx+m2+m﹣3=0,Δ=(﹣3m)2﹣4×2×(m2+m﹣3)=9m2﹣8m2﹣8m+24=m2﹣8m+24=(m﹣4)2+8,因?yàn)椴徽搈為何值,(m﹣4)2≥0,即Δ>0,所以無論m為何值,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根:(2)解:把x=2代入方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3=0得:2×22﹣3m×2+m2+m﹣3=0,整理得:m2﹣5m+5=0,解得:m=5故答案為:5±【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程,根的判別式,一元二次方程的解等知識(shí)點(diǎn),能熟記根的判別式的內(nèi)容和一元二次方程的解的定義是解此題的關(guān)鍵.11.(2022春?張家港市期末)利用我們學(xué)過的完全平方公式及不等式知識(shí)能解決方程或代數(shù)式的一些問題,請(qǐng)閱讀下列材料:閱讀材料:若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16=0,求m、n的值.解:∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,∴(m2﹣2mn+n2)+(n2﹣8n+16)=0,∴(m﹣n)2+(n﹣4)2=0,∴(m﹣n)2=0,(n﹣4)2=0,∴n=4,m=4.根據(jù)你的觀察,探究下面的問題:(1)已知a2+4ab+5b2+6b+9=0,求a=6,b=﹣3;(2)已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù),且滿足a2﹣4a+2b2﹣4b+6=0,求c的值;(3)若A=3a2+3a﹣4,B=2a2+4a﹣6,試比較A與B的大小關(guān)系,并說明理由.【分析】(1)將a2+4ab+5b2+6b+9=0的左邊分組配方,然后根據(jù)偶次方的非負(fù)性,可求出a,b的值;(2)將a2﹣4a+2b2﹣4b+6=0的左邊分組配方,然后根據(jù)偶次方的非負(fù)性,可求出a,b的值,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出c;(3)讓多項(xiàng)式3a2+3a﹣4與2a2+4a﹣6作差,結(jié)果配方,根據(jù)偶次方的非負(fù)性判斷大?。窘獯稹拷猓海?)a2+4ab+5b2+6b+9=a2+4ab+4b2+b2+6b+9=(a+2b)2+(b+3)2=0,∴a+2b=0,b+3=0,解得a=6,b=﹣3.故答案為:6,﹣3;(2)a2﹣4a+2b2﹣4b+6=a2﹣4a+4+2b2﹣4b+2=(a﹣2)2+2(b﹣1)2=0,∴a﹣2=0,b﹣1=0,解得a=2,b=1,∵a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng),∴1<c<3,∵c是正整數(shù),∴c=2;(3)A>B,理由如下:∵A=3a2+3a﹣4,B=2a2+4a﹣6,A﹣B=3a2+3a﹣4﹣(2a2+4a﹣6)=3a2+3a﹣4﹣(2a2+4a﹣6)=3a2+3a﹣4﹣2a2﹣4a+6=a2﹣a+2=(a?12)2∵(a?12)2≥∴(a?12)2+∴A>B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用,結(jié)合偶次方的非負(fù)性求值的問題,本題屬于中檔題.12.(2021春?無錫期末)閱讀材料:我們知道,利用完全平方公式可將二次三項(xiàng)式a2±2ab+b2分解成(a±b)2,而對(duì)于a2+2a﹣3這樣的二次三項(xiàng)式,則不能直接利用完全平方公式進(jìn)行分解,但可先用“配方法”將其配成一個(gè)完全平方式,再利用平方差公式,就可進(jìn)行因式分解,過程如下:a2+2a﹣3=a2+2a+1﹣1﹣3=(a+1)2﹣4=(a+1+2)(a+1﹣2)=(a+3)(a﹣1).請(qǐng)用“配方法”解決下列問題:(1)分解因式:a2﹣6a+5.(2)已知ab=34,a+2b=3,求a2﹣2ab+4b(3)若將4x2+12x+m分解因式所得結(jié)果中有一個(gè)因式為x+2,試求常數(shù)m的值.【分析】(1)利用已知結(jié)合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案;(2)利用完全平方公式將a2﹣2ab+4b2進(jìn)行因式分解,轉(zhuǎn)化為含有ab=34,a+2b=(3)設(shè)另一個(gè)因式為4x+n,將(x+2)(4x+n)展開,得出一次項(xiàng)的系數(shù),繼而求出m的值.【解答】解:(1)a2﹣6a+5=a2﹣6a+9﹣4=(a﹣3)2﹣4=(a﹣3+2)(a﹣3﹣2)=(a﹣1)(a﹣5);(2)∵ab=34,a+2b=∴a2﹣2ab+4b2=a2+4ab+4b2﹣6ab=(a+2b)2﹣6ab=32﹣6×3(3)4x2+12x+m=4(x2+3x+m4)=4[(x+32∵有一個(gè)因式為x+2,∴9?m4=(12∴9﹣m=1,∴m=8.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式,完全平方公式,配方法的應(yīng)用等知識(shí),掌握公式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.一.選擇題(共4小題)1.(2021春?秦淮區(qū)期末)一元二次方程ax2+2x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則a的值是()A.0 B.1 C.2 D.3【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得出b2﹣4ac=0,再求出a即可.【解答】解:∵一元二次方程ax2+2x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=b2﹣4ac=22﹣4×a×1=4﹣4a=0,解得:a=1,故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與Δ=b2﹣4ac有如下關(guān)系:(1)Δ>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)Δ=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3)Δ<0?方程沒有實(shí)數(shù)根.2.(宿遷期末)若關(guān)于x的方程kx2﹣x+4=0有實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是()A.k≤16 B.k≤1C.k≤16,且k≠0 D.k≤116,且k【分析】分類討論:當(dāng)k=0,方程變形為﹣x+4=0,此一元一次方程有解;當(dāng)k≠0,Δ=(﹣1)2﹣4×k×4≥0,方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,得到k≤116且k≠0,然后綜合兩種情況即可得到實(shí)數(shù)【解答】解:當(dāng)k=0時(shí),﹣x+4=0,此時(shí)x=4,有實(shí)數(shù)根;當(dāng)k≠0時(shí),∵方程kx2﹣x+4=0有實(shí)數(shù)根,∴Δ=(﹣1)2﹣4×k×4≥0,解得:k≤1此時(shí)k≤116且k≠綜上,k≤1故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根的判別式,解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與Δ=b2﹣4ac間的關(guān)系:①當(dāng)Δ>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根;②當(dāng)Δ=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根;③當(dāng)Δ<0時(shí),方程無實(shí)數(shù)根.3.(常熟市期末)已知關(guān)于x的方程x2+kx+1=0和x2﹣x﹣k=0有一個(gè)根相同,則k的值為()A.﹣1 B.0 C.﹣1或2 D.2【分析】把兩個(gè)方程相減,求出x的值,代入求出k的值.【解答】解:方程x2+kx+1=0減去x2﹣x﹣k=0,得(k+1)x=﹣k﹣1,當(dāng)k+1≠0時(shí),解得:x=﹣1.把x=﹣1代入方程x2﹣x﹣k=0,解得k=2.當(dāng)k+1=0時(shí),k=﹣1代入方程得x2﹣x+1=0在這個(gè)方程中Δ=1﹣4=﹣3<0,方程無解.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】靈活求出方程的一個(gè)根,代入求出k的值.4.(如皋市校級(jí)期末)對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列說法:①若b=2ac,則方程ax2+bx+c=0一定有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;②若方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,則方程x2﹣bx+ac=0也一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;③若c是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根,則一定有ac+b+1=0成立;④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,則b2﹣4ac=(2ax0+b)2,其中正確的()A.只有①②③ B.只有①②④ C.①②③④ D.只有③④【分析】判斷上述方程的根的情況,只要看根的判別式Δ=b2﹣4ac的值的符號(hào)就可以了.④難度較大,用到了求根公式表示x0.【解答】解:①若b=2ac,方程兩邊平方得b2=4ac,即b2﹣4ac=0,所以方程ax2+bx+c=0一定有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;②若方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,則b2﹣4ac>0方程x2﹣bx+ac=0中根的判別式也是b2﹣4ac>0,所以也一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;③若c是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根,則一定有ac2+bc+c=0成立,當(dāng)c≠0時(shí)ac+b+1=0成立;當(dāng)c=0時(shí)ac+b+1=0不成立;④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,可得x0=?b±把x0的值代入(2ax0+b)2,可得b2﹣4ac=(2ax0+b)2,綜上所述其中正確的①②④.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根的判別式及其應(yīng)用.尤其是④難度較大,用到了求根公式表示x0,整體代入求b2﹣4ac=(2ax0+b)2.總結(jié):一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系:(1)Δ>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)Δ=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3)Δ<0?方程沒有實(shí)數(shù)根.二.填空題(共4小題)5.(2020秋?新吳區(qū)期末)若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍為m<4.【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ=(﹣4)2﹣4m>0,然后解不等式即可.【解答】解:∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=(﹣4)2﹣4m>0,解得:m<4.故答案為:m<4.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式Δ=b2﹣4ac:當(dāng)Δ>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)Δ=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)Δ<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.6.(鼓樓區(qū)期末)如果關(guān)于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的兩個(gè)根分別是x1=m+1與x2=2m﹣4,那么ba的值為4【分析】先求出方程的根,得出關(guān)于m的不等式,求出m的值,代入后即可求出答案.【解答】解:解方程ax2=b得:x2=b∵關(guān)于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的兩個(gè)根分別是x1=m+1與x2=2m﹣4,∴(m+1)2=ba,(2m﹣4)2∴b=a(m+1)2,b=a(﹣2m+4)2,∵關(guān)于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的兩個(gè)根分別是x1=m+1與x2=2m﹣4,∴m+1=﹣2m+4(m+1和﹣2m+4互為相反數(shù)),解得:m=1,方程的兩根為±2,即4=bb=4a,∴ba=故答案為:4.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程和解一元一次方程,能得出關(guān)于m的一元一次方程轉(zhuǎn)是解此題的關(guān)鍵.7.(鎮(zhèn)江期末)已知△ABC的三邊分別是a、b、c,且滿足a?3+b2?4b+4=0【分析】由兩非負(fù)數(shù)之和為0,兩非負(fù)數(shù)分別為0求出a與b的值,利用三角形的三邊關(guān)系即可得出c的范圍.【解答】解:∵a?3+(b﹣2)2∴a﹣3=0,b﹣2=0,解得:a=3,b=2,則c的范圍為3﹣2<c<3+2,即1<c<5.故答案為:1<c<5【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用,非負(fù)數(shù)的性質(zhì),以及三角形的三邊關(guān)系,熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.8.(濱湖區(qū)期末)已知關(guān)于x的方程a(x+m)2+b=0(a、b、m為常數(shù),a≠0)的解是x1=2,x2=﹣1,那么方程a(x+m+2)2+b=0的解x3=0,x4=﹣3.【分析】把后面一個(gè)方程中的x+2看作整體,相當(dāng)于前面一個(gè)方程中的x求解.【解答】解:∵關(guān)于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=2,x2=﹣1,(a,m,b均為常數(shù),a≠0),∴方程a(x+m+2)2+b=0變形為a[(x+2)+m]2+b=0,即此方程中x+2=2或x+2=﹣1,解得x=0或x=﹣3.故答案為:x3=0,x4=﹣3.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了方程解的定義.注意由兩個(gè)方程的特點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算.三.解答題(共4小題)9.(2021秋?盱眙縣期末)已知關(guān)于x的方程x2﹣(k+2)x+2k=0.(1)求證:k取任何實(shí)數(shù)值,方程總有實(shí)數(shù)根;(2)若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)為4,另兩邊長(zhǎng)m,n恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根,求△ABC的周長(zhǎng).【分析】(1)計(jì)算其判別式,得出判別式不為負(fù)數(shù)即可;(2)當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊為腰時(shí),則可知方程有一個(gè)根為4,代入可求得k的值,則可求得方程的另一根,可求得周長(zhǎng);當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊為底時(shí),可知方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,可求得k的值,再解方程即可.【解答】(1)證明:∵Δ=(k+2)2﹣8k=k2+4k+4﹣8k=(k﹣2)2≥0,∴無論k取何值,方程總有實(shí)數(shù)根;(2)解:當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊為腰時(shí),則可知方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根為4,∴16﹣4(k+2)+2k=0,解得k=4,∴方程為x2﹣6x+8=0,解得x=4或x=2,∴m、n的值分別為2、4,∴△ABC的周長(zhǎng)為10;當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊為底時(shí),則m=n,即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=0,即(k﹣2)2=0,解得k=2,∴方程為x2﹣4x+4=0,解得m=n=2,此時(shí)2+2=4,不符合三角形的三邊關(guān)系,舍去;綜上可知△ABC的周長(zhǎng)為10.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根的判別式,掌握方程根的情況與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.10.(玄武區(qū)期末)已知:關(guān)于x的方程x2﹣2(k﹣2)x+k2﹣2k﹣2=0.(1)若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍.(2)若此方程有一個(gè)根是1,求k的值.【分析】(1)根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式,即可得出Δ=﹣8k+24≥0,解之即可得出k的取值范圍;(2)將x=1代入原方程,解之即可求出k值.【解答】解:(1)∵關(guān)于x的方程x2﹣2(k﹣2)x+k2﹣2k﹣2=0有實(shí)數(shù)根,∴Δ=[﹣2(k﹣2)]2﹣4(k2﹣2k﹣2)=﹣8k+24≥0,解得:k≤3.(2)將x=1代入原方程得1﹣2(k﹣2)+k2﹣2k﹣2=k2﹣4k+3=(k﹣1)(k﹣3)=0,解得:k1=1,k2=3.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程,解題的關(guān)鍵是:(1)根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根,找出Δ=﹣8k+24≥0;(2)將x=1代入原方程求出k值.11.(鼓樓區(qū)校級(jí)期末)學(xué)習(xí)了完全平方公式以后,小明有了下面的發(fā)現(xiàn):因?yàn)閤2﹣2x+2=(x2﹣2x+1)+1=(x﹣1)2+1,不論x取什么值,(x﹣1)2≥0,所以(x﹣1)2+1≥1.因此,代數(shù)式x2﹣2x+2的值不小于1.這種把一個(gè)多項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式中的某一部分化為一個(gè)完全平方式或幾個(gè)完全平方式和的方法,稱為配方法.請(qǐng)用配方法解決下列問題:(1)填空:①a2+6a+15=(a+3)2+6.②若(a﹣1)2+b2+4b+4=0,則a=1,b=﹣2.(2)已知m2+4m+n2﹣6n+13=0,求m、n的值.(3)比較代數(shù)式3x3+2x2
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