江西省上饒市玉山文苑學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷_第1頁
江西省上饒市玉山文苑學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷_第2頁
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江西省上饒市玉山文苑學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.兩平行直線與之間的距離為()A. B. C. D.2.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)是上一點(diǎn),且,則的方程為(

)A. B. C. D.3.已知拋物線,的焦點(diǎn)分別為、,若、分別為、上的點(diǎn),且線段平行于軸,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.當(dāng)時(shí),是直角三角形 B.當(dāng)時(shí),是等腰三角形C.存在四邊形是菱形 D.存在四邊形是矩形4.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),若線段的中點(diǎn)是,則雙曲線的離心率為(

)A. B. C. D.5.若點(diǎn)關(guān)于平面和軸對(duì)稱的點(diǎn)分別為,則(

)A. B. C.1 D.96.如圖,邊長為4的正方形是圓柱的軸截面,為上底面圓內(nèi)一點(diǎn),則的最小值為(

)A.6 B.8 C.10 D.127.下列命題中,不正確的命題是(

)A.空間中任意兩個(gè)向量一定共面B.若,則存在唯一的實(shí)數(shù),使得C.對(duì)空間中任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,若,則P,A,B,C四點(diǎn)共面D.若是空間的一個(gè)基底,,則也是空間的一個(gè)基底8.某農(nóng)學(xué)院計(jì)劃從10種不同的水稻品種和7種不同的小麥品種中,選5種品種種植在如圖所示五塊實(shí)驗(yàn)田中,要求僅選兩種小麥品種且需種植在相鄰兩塊實(shí)驗(yàn)田中,其他三塊實(shí)驗(yàn)田選種水稻品種,則不同種法有(

)12345A.30240種 B.60480種 C.120960 D.241920種二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知橢圓分別為它的左右焦點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),下列結(jié)論中正確的有(

)A.橢圓離心率為B.C.若,則的面積為D.最大值為10.關(guān)于空間向量,以下說法正確的是(

)A.若空間向量,,則在上的投影向量為B.若空間向量,滿足,則與夾角為銳角C.若對(duì)空間中任意一點(diǎn),有,則,,,四點(diǎn)共面D.若直線的方向向量為,平面的一個(gè)法向量為,則11.現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊這5名同學(xué)參加志愿者服務(wù)活動(dòng),有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排,且每人只安排一個(gè)工作,則下列說法正確的是(

)A.不同安排方案的種數(shù)為B.若每項(xiàng)工作至少有1人參加,則不同安排方案的種數(shù)為C.若司機(jī)工作不安排,其余三項(xiàng)工作至少有1人參加,則不同安排方案的種數(shù)為D.若每項(xiàng)工作至少有1人參加,甲不能從事司機(jī)工作,則不同安排方案的種數(shù)為三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.圓:與圓:相交于、兩點(diǎn),則.13.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在拋物線上,,則該動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到軸的距離之和的最小值為.14.如圖所示,在正方體中,是底面正方形的中心,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),則直線的位置關(guān)系是.四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.15.(13分)已知圓的圓心在直線上,并且經(jīng)過點(diǎn),與直線相切.(1)求圓的方程;(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相交于A,B兩點(diǎn),若,求直線的方程.16.(15分)已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為,離心率為.過點(diǎn)的直線l與C的右支交于M、N兩點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為.(1)若,求:;(2)證明:為定值.17.(17分)如圖,在長方體中,,是的中點(diǎn),是棱上一點(diǎn).(1)若是的中點(diǎn),求證:平面;(2)若平面,求的長.18.(17分)如圖,在四棱錐中,平面,且.(1)求證:平面;(2)求平面與平面夾角的余弦值;(3)在棱上是否存在點(diǎn)(與不重合),使得與平面所成角的正弦值為?若存在,求的值,若不存在,說明理由.19.(15分)已知.(1)若,求中含項(xiàng)的系數(shù);(2)證明:.參考答案1.C【分析】先由兩直線平行求出,再代入兩平行直線間距離公式求解即可;【詳解】由題意知,所以,則化為,所以兩平行直線與之間的距離為.故選:C.2.B【分析】根據(jù)橢圓的定義可求得,代入點(diǎn)的坐標(biāo),可求得,可求橢圓方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),且,所以,解得,所以橢圓方程為,又點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),所以,解得,所以橢圓的方程為.故選:B.3.C【分析】設(shè)出的坐標(biāo)并求得PQ,由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析,結(jié)合圖象求得正確答案.【詳解】依題意,線段平行于軸,不妨設(shè)在第一象限,設(shè),則,焦點(diǎn),A選項(xiàng),當(dāng)時(shí),解得,所以,則,是直角三角形,A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng),當(dāng)時(shí),解得,所以,由于,所以關(guān)于直線對(duì)稱,而,所以此時(shí)是等腰三角形.對(duì)于CD選項(xiàng),先考慮四邊形是平行四邊形,則,則,此時(shí),,所以四邊形是矩形,不是菱形,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤,D選項(xiàng)正確.故選:C4.D【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx2,【詳解】設(shè)Ax1,y1因?yàn)?,兩式相減可得,整理可得,即,可得,即雙曲線的漸近線方程為,設(shè)雙曲線的方程為,則,所以雙曲線的離心率為.故選:D.5.C【分析】結(jié)合空間中點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面和坐標(biāo)軸對(duì)稱的特點(diǎn),即可求解【詳解】由題意得點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為,關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為,則,所以,故選:C.6.D【分析】變形,結(jié)合圖形得到當(dāng)與重合時(shí)取值最小值,求出答案.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí),等號(hào)成立,故的最小值為12.故選:D7.B【分析】根據(jù)共面向量、向量平行、四點(diǎn)共面、基底等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析,從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng),空間中任意兩個(gè)向量可以通過平移的方法平移到同一個(gè)平面,所以空間中任意兩個(gè)向量一定共面,A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng),若,可能是非零向量,是零向量,此時(shí)不存在,使,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng),對(duì)于,有,所以四點(diǎn)共面,所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng),若是空間的一個(gè)基底,,假設(shè),,則共面,與已知矛盾,所以不共面,所以是基底,所以D選項(xiàng)正確.故選:B8.C【分析】相鄰兩塊實(shí)驗(yàn)田分成1和2;2和3;3和4;4和5四類,再分別計(jì)算每一類的方法數(shù),可求得結(jié)論.【詳解】由題得相鄰兩塊實(shí)驗(yàn)田分成1和2;2和3;3和4;4和5四類;第一類在1和2上種植小麥,“1”有7種選擇,“2”有6種選擇,剩下3塊實(shí)驗(yàn)田種植水稻,分別有種選擇,所以共計(jì)種;第二、三、四類和第一類種數(shù)相同.綜上總計(jì)有種方法.故選:C.9.BC【分析】由橢圓方程得到的值,根據(jù)離心率的定義可判斷A,根據(jù)橢圓的定義可判斷B,根據(jù)勾股定理和橢圓的定義可得到,從而由三角形面積公式可判斷C,由均值不等式可判斷D.【詳解】由橢圓方程可知,,,,所以橢圓的離心率,故A錯(cuò)誤;由橢圓定義知,故B正確;又,因?yàn)?,所以,,解得:,所以的面積為,故C正確;因?yàn)?,,所以,?dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號(hào).所以最大值為,故D錯(cuò)誤.故選:BC.10.ACD【分析】對(duì)A,根據(jù)投影向量的定義列式運(yùn)算得解;對(duì)B,當(dāng),同向共線時(shí)也成立可判斷;對(duì)C,由空間向量共面的推論判斷;對(duì)D,由可判斷.【詳解】對(duì)于A,在上的投影向量為,故A正確;對(duì)于B,當(dāng),同向共線時(shí)也成立,但與夾角不為銳角,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,在中,故四點(diǎn)共面,故C正確;對(duì)于D,由,即,故,故D正確.故選:ACD.11.BD【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可判斷A;先分組,然后再分配可判斷BCD.【詳解】對(duì)A,若每人都安排一項(xiàng)工作,每人有4種安排方法,則不同安排方案的種數(shù)為,故A錯(cuò)誤;對(duì)B,先將5人分為4組,再將分好的4組全排列,安排4項(xiàng)工作,則不同安排方案的種數(shù)為,故B正確;對(duì)C,先將5人分為3組,有種分組方法,將分好的三組安排翻譯?導(dǎo)游?禮儀三項(xiàng)工作,有種情況,則不同安排方案的種數(shù)是,故C錯(cuò)誤;對(duì)D,第一類,先從乙,丙,丁,戊中選出1人從事司機(jī)工作,再將剩下的4人分成三組,安排翻譯?導(dǎo)游?禮儀三項(xiàng)工作,則不同安排方案的種數(shù)為;第二類,先從乙,丙,丁,戊中選出2人從事司機(jī)工作,再將剩下的3人安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作,則不同安排方案的種數(shù)為.所以不同安排方案的種數(shù)是,故D正確.故選:BD.12.4【分析】先求出相交弦所在直線的方程,然后根據(jù)圓的弦長的求法求解即可.【詳解】由圓:與圓:,兩圓相減得公共弦AB所在直線方程為:,有圓:,可得圓心,半徑,所以圓心到直線AB的距離,所以.故答案為:4.13./【分析】根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化為求的最小值,數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由拋物線的方程為知,焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程為,由拋物線定義知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到軸的距離之和可化為,

當(dāng)三點(diǎn)共線,且在線段上時(shí),有最小值,最小值為.故答案為:14.垂直【分析】以為空間一組基底,得到,得到⊥,即⊥.【詳解】以為空間一組基底,則=·=·,所以⊥,即⊥.故答案為:垂直15.(1)(2)或【分析】(1)設(shè)圓的方程為,由題意,列出方程組,求解得的值,即可寫出圓的方程;(2)分直線的斜率是否存在進(jìn)行討論,斜率不存在時(shí),聯(lián)立方程求出點(diǎn)的坐標(biāo),計(jì)算弦長驗(yàn)證,斜率存在時(shí),設(shè)的方程為,由圓心到直線的距離等于半徑求出的值即得.【詳解】(1)設(shè)圓的方程為,

由已知得,

解得,,,

所以圓的方程為,即;(2)①若直線有斜率,可設(shè)的方程為,即,

由已知,則圓心到直線的距離

解得,

此時(shí),直線的方程為,即;

②若直線沒有斜率,則的方程為,

將其代入,可得或,即得,,滿足條件,

綜上所述,直線的方程為或.16.(1)(2)證明見解析【分析】(1)依題意,求得雙曲線,設(shè)出直線的方程,聯(lián)立方程組,由韋達(dá)定理可解;(2)利用兩點(diǎn)斜率公式,結(jié)合雙曲線方程求得,再結(jié)合(1)中結(jié)論即可得證.【詳解】(1)設(shè)雙曲線的焦距為,由題意得,,所以.因?yàn)?,所以,所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.直線,由消去y化簡(jiǎn)并整理得,解得或(舍),所以.又直線過點(diǎn),所以直線的方程為,所以.(2)設(shè)Mx1,因?yàn)?,所以.設(shè)直線,由消去x化簡(jiǎn)并整理得.設(shè)Nx2,故.所以為定值.17.(1)證明見解析(2)【分析】(1)如圖建系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),由,推得,,即可由線線垂直推出平面;(2)設(shè)的長為求出平面的法向量為,由平面可得即可求得.【詳解】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

由題設(shè)可得:,,,,,,,∴,,,

由,,可得,,

又∵,平面MNC,∴平面;(2)設(shè)的長為則,點(diǎn),進(jìn)而得,

設(shè)平面的法向量為,因,則,取得,

∵,且平面,∴,即,

解得,即的長為.18.(1)證明過程見解析(2)(3)【分析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理,結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可;(2)根據(jù)線面的垂直關(guān)系,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量平面間夾角公式進(jìn)行求解即可;(3)利用空間向量線面角夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)因?yàn)槠矫嫫矫?,所以,又因?yàn)?,所以,而平面,所以平面;?)因?yàn)槠矫嫫矫?,所以,而,于是建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,由(1)可知:平面,所以平面的法向量為,設(shè)平面的法向量為m=x,y則有,設(shè)平面與平面夾角為,;(3)設(shè),設(shè),于是有,,由(2)

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