江西省上饒市玉山文苑學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

江西省上饒市玉山文苑學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．兩平行直線與之間的距離為（）A． B． C． D．2．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，則的方程為（

）A． B． C． D．3．已知拋物線，的焦點(diǎn)分別為、，若、分別為、上的點(diǎn)，且線段平行于軸，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，是直角三角形 B．當(dāng)時(shí)，是等腰三角形C．存在四邊形是菱形 D．存在四邊形是矩形4．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)是，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．若點(diǎn)關(guān)于平面和軸對(duì)稱的點(diǎn)分別為，則（

）A． B． C．1 D．96．如圖，邊長為4的正方形是圓柱的軸截面，為上底面圓內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．127．下列命題中，不正確的命題是（

）A．空間中任意兩個(gè)向量一定共面B．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得C．對(duì)空間中任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D．若是空間的一個(gè)基底，，則也是空間的一個(gè)基底8．某農(nóng)學(xué)院計(jì)劃從10種不同的水稻品種和7種不同的小麥品種中，選5種品種種植在如圖所示五塊實(shí)驗(yàn)田中，要求僅選兩種小麥品種且需種植在相鄰兩塊實(shí)驗(yàn)田中，其他三塊實(shí)驗(yàn)田選種水稻品種，則不同種法有（

）12345A．30240種 B．60480種 C．120960 D．241920種二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知橢圓分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．橢圓離心率為B．C．若，則的面積為D．最大值為10．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（

）A．若空間向量，，則在上的投影向量為B．若空間向量，滿足，則與夾角為銳角C．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面D．若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則11．現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊這5名同學(xué)參加志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，且每人只安排一個(gè)工作，則下列說法正確的是（

）A．不同安排方案的種數(shù)為B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為C．若司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為D．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲不能從事司機(jī)工作，則不同安排方案的種數(shù)為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．圓：與圓：相交于、兩點(diǎn)，則．13．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在拋物線上，，則該動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到軸的距離之和的最小值為.14．如圖所示，在正方體中，是底面正方形的中心，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則直線的位置關(guān)系是．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.15．（13分）已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過點(diǎn)，與直線相切．(1)求圓的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線的方程．16．（15分）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，離心率為.過點(diǎn)的直線l與C的右支交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為．(1)若，求：；(2)證明：為定值．17．（17分）如圖，在長方體中，，是的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)．(1)若是的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若平面，求的長．18．（17分）如圖，在四棱錐中，平面，且.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在棱上是否存在點(diǎn)（與不重合），使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說明理由.19．（15分）已知．(1)若，求中含項(xiàng)的系數(shù)；(2)證明：．參考答案1．C【分析】先由兩直線平行求出，再代入兩平行直線間距離公式求解即可；【詳解】由題意知，所以，則化為，所以兩平行直線與之間的距離為．故選：C．2．B【分析】根據(jù)橢圓的定義可求得，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得，可求橢圓方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且，所以，解得，所以橢圓方程為，又點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為.故選：B.3．C【分析】設(shè)出的坐標(biāo)并求得PQ，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，結(jié)合圖象求得正確答案.【詳解】依題意，線段平行于軸，不妨設(shè)在第一象限，設(shè)，則，焦點(diǎn)，A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，解得，所以，則，是直角三角形，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，解得，所以，由于，所以關(guān)于直線對(duì)稱，而，所以此時(shí)是等腰三角形.對(duì)于CD選項(xiàng)，先考慮四邊形是平行四邊形，則，則，此時(shí)，，所以四邊形是矩形，不是菱形，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：C4．D【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx2,【詳解】設(shè)Ax1,y1因?yàn)?，兩式相減可得，整理可得，即，可得，即雙曲線的漸近線方程為，設(shè)雙曲線的方程為，則，所以雙曲線的離心率為.故選：D.5．C【分析】結(jié)合空間中點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面和坐標(biāo)軸對(duì)稱的特點(diǎn)，即可求解【詳解】由題意得點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，則，所以，故選：C.6．D【分析】變形，結(jié)合圖形得到當(dāng)與重合時(shí)取值最小值，求出答案.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為12.故選：D7．B【分析】根據(jù)共面向量、向量平行、四點(diǎn)共面、基底等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，空間中任意兩個(gè)向量可以通過平移的方法平移到同一個(gè)平面，所以空間中任意兩個(gè)向量一定共面，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若，可能是非零向量，是零向量，此時(shí)不存在，使，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，對(duì)于，有，所以四點(diǎn)共面，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，若是空間的一個(gè)基底，，假設(shè)，，則共面，與已知矛盾，所以不共面，所以是基底，所以D選項(xiàng)正確.故選：B8．C【分析】相鄰兩塊實(shí)驗(yàn)田分成1和2；2和3；3和4；4和5四類，再分別計(jì)算每一類的方法數(shù)，可求得結(jié)論.【詳解】由題得相鄰兩塊實(shí)驗(yàn)田分成1和2；2和3；3和4；4和5四類；第一類在1和2上種植小麥，“1”有7種選擇，“2”有6種選擇，剩下3塊實(shí)驗(yàn)田種植水稻，分別有種選擇，所以共計(jì)種；第二、三、四類和第一類種數(shù)相同．綜上總計(jì)有種方法．故選：C.9．BC【分析】由橢圓方程得到的值，根據(jù)離心率的定義可判斷A，根據(jù)橢圓的定義可判斷B，根據(jù)勾股定理和橢圓的定義可得到，從而由三角形面積公式可判斷C，由均值不等式可判斷D.【詳解】由橢圓方程可知，，，，所以橢圓的離心率，故A錯(cuò)誤；由橢圓定義知，故B正確；又，因?yàn)?，所以，，解得：，所以的面積為，故C正確；因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).所以最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．ACD【分析】對(duì)A，根據(jù)投影向量的定義列式運(yùn)算得解；對(duì)B，當(dāng)，同向共線時(shí)也成立可判斷；對(duì)C，由空間向量共面的推論判斷；對(duì)D，由可判斷.【詳解】對(duì)于A，在上的投影向量為，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)，同向共線時(shí)也成立，但與夾角不為銳角，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在中，故四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D，由，即，故，故D正確.故選：ACD.11．BD【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可判斷A；先分組，然后再分配可判斷BCD.【詳解】對(duì)A，若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則不同安排方案的種數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)為，故B正確；對(duì)C，先將5人分為3組，有種分組方法，將分好的三組安排翻譯?導(dǎo)游?禮儀三項(xiàng)工作，有種情況，則不同安排方案的種數(shù)是，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，第一類，先從乙，丙，丁，戊中選出1人從事司機(jī)工作，再將剩下的4人分成三組，安排翻譯?導(dǎo)游?禮儀三項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)為；第二類，先從乙，丙，丁，戊中選出2人從事司機(jī)工作，再將剩下的3人安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)為.所以不同安排方案的種數(shù)是，故D正確.故選：BD.12．4【分析】先求出相交弦所在直線的方程，然后根據(jù)圓的弦長的求法求解即可.【詳解】由圓：與圓：，兩圓相減得公共弦AB所在直線方程為：，有圓：，可得圓心，半徑，所以圓心到直線AB的距離，所以.故答案為：4.13．/【分析】根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化為求的最小值，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由拋物線的方程為知，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到軸的距離之和可化為，

當(dāng)三點(diǎn)共線，且在線段上時(shí)，有最小值，最小值為.故答案為：14．垂直【分析】以為空間一組基底，得到，得到⊥，即⊥.【詳解】以為空間一組基底，則＝·＝·，所以⊥，即⊥.故答案為：垂直15．(1)(2)或【分析】（1）設(shè)圓的方程為，由題意，列出方程組，求解得的值，即可寫出圓的方程；（2）分直線的斜率是否存在進(jìn)行討論，斜率不存在時(shí)，聯(lián)立方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算弦長驗(yàn)證，斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，由圓心到直線的距離等于半徑求出的值即得.【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，

由已知得，

解得，，，

所以圓的方程為，即；（2）①若直線有斜率，可設(shè)的方程為，即，

由已知，則圓心到直線的距離

解得，

此時(shí)，直線的方程為，即；

②若直線沒有斜率，則的方程為，

將其代入，可得或，即得，，滿足條件，

綜上所述，直線的方程為或．16．(1)(2)證明見解析【分析】（1）依題意，求得雙曲線，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理可解；（2）利用兩點(diǎn)斜率公式，結(jié)合雙曲線方程求得，再結(jié)合（1）中結(jié)論即可得證.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的焦距為，由題意得，，所以．因?yàn)?，所以，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．直線，由消去y化簡(jiǎn)并整理得，解得或（舍），所以．又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，所以．（2）設(shè)Mx1,因?yàn)?，所以．設(shè)直線，由消去x化簡(jiǎn)并整理得．設(shè)Nx2,故．所以為定值．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖建系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，由，推得，，即可由線線垂直推出平面；（2）設(shè)的長為求出平面的法向量為，由平面可得即可求得.【詳解】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由題設(shè)可得：，，，，，，，∴，，,

由，，可得，，

又∵，平面MNC，∴平面；（2）設(shè)的長為則，點(diǎn)，進(jìn)而得，

設(shè)平面的法向量為，因，則，取得，

∵，且平面，∴，即，

解得，即的長為．18．(1)證明過程見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)線面的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量平面間夾角公式進(jìn)行求解即可；（3）利用空間向量線面角夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又因?yàn)?，所以，而平面，所以平面；?）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，而，于是建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，由（1）可知：平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為m=x,y則有，設(shè)平面與平面夾角為，；（3）設(shè)，設(shè)，于是有，，由（2）