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文檔簡介
華師版八年級上第12章整式的乘除集訓課堂練素養(yǎng)2.因式分解的八種常見應用
因式分解是整式恒等變換的重要組成部分,它與整式的
乘法互逆,是代數(shù)式恒等變形的重要手段,在有理數(shù)的計
算、式子的化簡求值、幾何等方面起著重要作用.應用1簡便計算1.
[母題·教材P48復習題T4]利用因式分解計算:(1)1012+492+101×98;【解】原式=1012+2×101×49+492=(101+49)2=1502=22
500.1234567891011(2)8002-1
600×798+7982.【解】原式=(800-798)2=22=4.1234567891011應用2化簡求值2.
[新考法·整體帶入法2023十堰]若
x
+
y
=3,
xy
=2,則
x2
y
+
xy2的值是
?.6
1234567891011
(2)已知
x
-
y
=1,
xy
=2,求
x3
y
-2
x2
y2+
xy3的值.【解】原式=
xy
(
x2-2
xy
+
y2)=
xy
(
x
-
y
)2.當
x
-
y
=1,
xy
=2時,原式=2×12=2.3.
[母題·教材P49復習題T12]1234567891011應用3判斷整除4.
[2023·河北]若
k
為任意整數(shù),則(2
k
+3)2-4
k2的值總能
(
B
)A.
被2整除B.
被3整除C.
被5整除D.
被7整除【點撥】(2
k
+3)2-4
k2=4
k2+12
k
+9-4
k2=12
k
+9=3(4
k
+3).因為
k
為任意整數(shù),所以(2
k
+3)2-4
k2的值總能被3
整除.故選B.
B12345678910115.
當
n
為整數(shù)時,(
n
+1)2-(
n
-1)2能被4整除嗎?請說明
理由.【解】能被4整除.理由如下:因為(
n
+1)2-(
n
-1)2=(
n
+1+
n
-1)(
n
+1-
n
+1)=4
n
,所以當
n
為整數(shù)時,(
n
+1)2-(
n
-1)2能被4整除.12345678910116.
[新考法·閱讀類比法]先閱讀材料,再解答問題.材料:因為(
x
-2)(
x
+3)=
x2+
x
-6,所以(
x2+
x
-6)÷(
x
-2)=
x
+3,即
x2+
x
-6能被
x
-2整除.所以
x
-2是
x2+
x
-6的一個因式,且當
x
=2時,
x2+
x
-6=0.1234567891011(1)[類比思考](
x
+2)(
x
+3)=
x2+5
x
+6,所以
x2+5
x
+6能被
整除,所以
?
是
x2+5
x
+6的一個因式,且當
x
=
時,
x2+5
x
+6=0;x
+2或
x
+3
x
+2或
x
+3
-2或-3
1234567891011(2)[拓展探究]根據(jù)以上材料,已知多項式
x2+
mx
-14能
被
x
+2整除,試求
m
的值.【解】因為
x2+
mx
-14能被
x
+2整除,所以當
x
=-2時,
x2+
mx
-14=0,即(-2)2+
m
×(-2)-14=0,解得
m
=-5.1234567891011應用4判斷正負7.
若
a
,
b
,
c
為三角形的三邊長,試說明:(
a2+
b2-
c2)2
-4
a2
b2的值一定為負.【解】(
a2+
b2-
c2)2-4
a2
b2=(
a2+
b2-
c2)2-(2
ab
)2=(
a2+
b2-
c2+2
ab
)(
a2+
b2-
c2-2
ab
)=[(
a
+
b
)2-
c2][(
a
-
b
)2-
c2]=(
a
+
b
+
c
)(
a
+
b
-
c
)(
a
-
b
+
c
)(
a
-
b
-
c
).1234567891011因為
a
,
b
,
c
為三角形的三邊長,所以
a
+
b
+
c
>0,
a
+
b
-
c
>0,
a
-
b
+
c
>0,
a
-
b
-
c
<0.所以(
a
+
b
+
c
)(
a
+
b
-
c
)(
a
-
b
+
c
)(
a
-
b
-
c
)<0,即(
a2+
b2-
c2)2-4
a2
b2<0,故(
a2+
b2-
c2)2-4
a2
b2的值一定為負.1234567891011應用5比較大小8.
[新考法·作差法]已知
P
=2
x2+4
y
+13,
Q
=
x2-
y2+6
x
-1,比較
P
,
Q
的大小.【解】
P
-
Q
=(2
x2+4
y
+13)-(
x2-
y2+6
x
-1)=
x2-
6
x
+
y2+4
y
+14=(
x
-3)2+(
y
+2)2+1.因為(
x
-3)2≥0,(
y
+2)2≥0,所以
P
-
Q
=(
x
-3)2+(
y
+2)2+1≥1.所以
P
>
Q
.
1234567891011應用6判斷三角形的形狀9.
[2024·清華附中期中]已知
a
,
b
,
c
是△
ABC
的三邊長,
且
a
,
b
,
c
滿足
a2+2
b2+
c2-2
ab
-2
bc
=0,請判斷△
ABC
的形狀.1234567891011【解】△
ABC
是等邊三角形,理由如下:∵
a2+2
b2+
c2-2
ab
-2
bc
=0,∴
a2-2
ab
+
b2+
c2-2
bc
+
b2=0.∴(
a
-
b
)2+(
c
-
b
)2=0.∴
a
-
b
=0,
c
-
b
=0.∴
a
=
b
=
c
.∴△
ABC
是等邊三角形.1234567891011
1234567891011(1)用配方法因式分解:
x2+2
x
-8;【解】
x2+2
x
-8=
x2+2
x
+1-1-8=(
x
+1)2-9=
(
x
+1+3)(
x
+1-3)=(
x
+4)(
x
-2).1234567891011(2)求多項式
x2+4
x
-3的最小值;
1234567891011【解】因為
a2+
b2+
c2+50=6
a
+8
b
+10
c
,所以
a2+
b2+
c2+50-6
a
-8
b
-10
c
=0.所以
a2-6
a
+9+
b2-8
b
+16+
c2-10
c
+25-9-16
-25+50=0.所以(
a
-3)2+(
b
-4)2+(
c
-5)2=0.所以
a
-3=0,
b
-4=0,
c
-5=0.所以
a
=3,
b
=4,
c
=5.因為3+4+5=12,所以△
ABC
的周長為12.(3)已知
a
,
b
,
c
是△
ABC
的三邊長,且滿足
a2+
b2+
c2+50=6
a
+8
b
+10
c
,求△
ABC
的周長.1234567891011應用8探究規(guī)律11.
[2023·嘉興]觀察下面的等式:32-12=8×1,52-32=
8×2,72-52=8×3,92-72=8×4,…,(1)寫出192-172的結果;【解】192-172=8×9.(2)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結論;(用含
n
的等
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