2024八年級數(shù)學(xué)上冊第13章全等三角形13.5逆命題與逆定理2線段垂直平分線上課課件新版華東師大版

13.5逆命題與逆定理第2課時

線段垂直平分線第13章

全等三角形1、理解和掌握線段垂直平分線的定理及其逆定理，并能利用它們來進(jìn)行證明或計算.2、知道線段垂直平分線是到線段兩端距離相等的點的集合.3、了解數(shù)學(xué)和生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的能力.溫故知新CABPMN如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點，連結(jié)PA、PB.將線段AB沿直線MN對折，我們發(fā)現(xiàn)PA與PB有怎樣的關(guān)系？PA與PB完全重合

如圖，要在公路旁設(shè)一個公共汽車站，車站應(yīng)設(shè)在什么地方，才能使A、B兩村到車站距離相等？公

路AB知識點一

線段垂直平分線的性質(zhì)

如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點，連結(jié)PA、PB.將線段AB沿直線MN對折，你發(fā)現(xiàn)了什么？如何表達(dá)，并簡述你的證明過程.MNPACB對折后PA、PB能夠完全重合，PA=PB.線段是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？下面我們來證明剛才得到的結(jié)論：證明：∵M(jìn)N⊥AB（已知）,

∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定義).在△ACP和△BCP中,

∴△ACP≌△BCP(S.A.S.).

∴PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等).

AC=BC,∠ACP=∠BCP,PC=PC,MNPACB你能用一句話來描述剛得到的結(jié)論嗎？線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.線段垂直平分線的性質(zhì)定理：知識歸納MNPACB幾何語言敘述:∵點P在線段AB的垂直平分線上（或PC⊥AB，AC=BC），∴PA=PB.典例精析【例1】利用尺規(guī)，作線段AB的垂直平分線.作法：1.分別以點A和點B為圓心，以大于AB一半的長為半徑作弧，已知：線段AB.求作：AB的垂直平分線.2.作直線CD.直線CD就是線段AB的垂直平分線．??ABCD兩弧相交于點C和D；練一練1.如圖，AB=AC，∠A=50°，DE垂直平分AB.求∠DBC的大小.解：由題意，得∠ABC=(180°－∠A)÷2=65°，∠EBD=∠A=50°，∴∠DBC=∠ABC－∠EBD=15°.知識點二

線段垂直平分線的判定定理探索

這一定理描述了線段垂直平分線的性質(zhì)，那么反過來會有什么結(jié)果呢？條件結(jié)論性質(zhì)定理逆命題一直線是一線段的垂直平分線該直線上的點到線段兩端的距離相等點到線段兩端的距離相等該點在線段的垂直平分線上逆命題是否是一個真命題？

逆命題如果一個點到線段兩端的距離相等，那么這個點在線段的垂直平分線上.已知：如圖，QA＝QB.求證：點Q在線段AB的垂直平分線上．

分析：為了證明點Q在線段AB的垂直平分線上，可以先經(jīng)過點Q作線段AB的垂線，然后證明該垂線平分線段AB；也可以先平分線段AB，設(shè)線段AB的中點為點C，然后證明QC垂直于線段AB．證明：過點Q作MN⊥AB，垂足為點C，故∠QCA=∠QCB=90°.在Rt△QCA

和Rt△QCB中，∵QA=QB，QC=QC，∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.∴AC=BC.∴點Q在線段AB的垂直平分線上．已知：如圖，QA＝QB.求證：點Q在線段AB的垂直平分線上．

你能根據(jù)分析中后一種添加輔助線的方法，寫出它的證明過程嗎？知識要點線段垂直平分線的判定應(yīng)用格式：∵

PA=PB，∴點P

在AB

的垂直平分線上．PAB作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.

定理到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.線段垂直平分線的判定定理與性質(zhì)定理互為逆定理.

利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線，做完之后，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：三角形三邊的垂直平分線交于一點．這一點到三角形三個頂點的距離相等．

做一做怎樣證明這個結(jié)論呢?點撥：要證明三條直線相交于一點，只要證明其中兩條直線的交點在第三條直線上即可.思路可表示如下：試試看，你會寫出證明過程嗎？BCAPlnml是AB的垂直平分線m是BC的垂直平分線PA=PBPB=PCPA=PC點P在AC的垂直平分線上證明：連接PA，PB，PC.∵點P在AB，AC的垂直平分線上，∴PA=PB，PA=PC

（線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等）.∴PB=PC.∴點P在BC的垂直平分線上(到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上）.BCAPlnm典例精析【例2】如圖，已知點A、B和直線l，在直線l上求作一點P，使PA=PB.ABl提示：作AB的垂直平分線與直線l的交點.P練一練1.如圖，BD⊥AC，垂足為點E，AE=CE.

求證：AB＋CD＝AD

＋BC.DACBE證明：∵BD

AC，AE＝EC，∴BD是AC的垂直平分線，∴AD＝CD，AB＝BC，∴AB＋CD＝AD＋BC.2.如圖，在△ABC中，已知點D在BC上，且BD+AD=BC.求證：點D在AC的垂直平分線上.ABCD證明：∵BD＋DC＝BC

而BD＋AD＝BC，∴AD＝DC，∴點D在AC的垂直平分線上.3.如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BD是∠ABC的平分線，交AC于點D.求證：點D在AB的垂直平分線上.

證明：∵∠C=90°，∠A=30°∴∠ABC=60°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=30°，∴∠A=∠ABD=30°，∴AD=BD，∴點D在AB的垂直平分線上.1.如圖，直線CD是線段PB的垂直平分線，點P為直線CD上的一點，且PA=5，則線段PB的長為（）A.6B.5C.4D.3PABCDB由垂直平分線的性質(zhì)可知，PA=PB=52.如圖，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E,

△BCE的周長等于18cm,則AC的長是

.10cmABCDE∵DE是AB的垂直平分線∴AE=BE∵△BCE的周長為18∴AC+BC=18∴AC=103.在銳角三角形ABC內(nèi)一點P,，滿足PA=PB=PC,則點P是△ABC

()A.三條角平分線的交點B.三條中線的交點C.三條高的交點D.三邊垂直平分線的交點D解：∵DE是△ABC邊AB的垂直平分線,∴EB=EA,∴△AEC的周長=AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=4+5=9.4.如圖，DE是△ABC邊AB的垂直平分線，交AB、BC于D、E，若AC=4，BC=5，求△AEC的周長.ADBEC

解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD

是BC的垂直平分線，∴AB=AC．∵點C在AE

的垂直平分線上，∴AC=CE．∴AB=AC=CE．

∴AB+BD=CE+CD,即AB+BD=DE.5.如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C

在AE

的垂直平分線上，AB，AC，CE

的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE

有什么關(guān)系？ABCDE6.如圖，A、B是兩個蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊的什么地方，可使所修的渠道最短？2.連接A'B，交a于點P.作法：1.做點A關(guān)于a的對稱點A'.點P即為抽水站的位置.ABaA'P7.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于點E，DE垂直平分AB于點D．求證：BE＋DE＝AC．BACDE證明：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∠EDB＝90°.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠DBE.∵∠C＝∠EDB＝90°，BE＝BE，∴△BED≌△BEC，∴DE＝CE，∴BE＋DE＝AE＋EC＝AC.8.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中點，且DE⊥AB，已知△BCD的周長為12，且AC-BC=2，求AC、BC的長.ABCED解：∵D是AB的