2023-2024學年山西省重點中學高三數(shù)學試題畢業(yè)班4月質(zhì)量檢查試題

2022-2023學年山西省重點中學高三數(shù)學試題畢業(yè)班4月質(zhì)量檢查試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．函數(shù)的定義域為B．函數(shù)一個遞增區(qū)間為C．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱D．將函數(shù)圖像向左平移個單位可得函數(shù)的圖像2．已知函數(shù)（），若函數(shù)有三個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．3．已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．4．大衍數(shù)列，米源于我國古代文獻《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋我國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則大衍數(shù)列中奇數(shù)項的通項公式為（）A． B． C． D．5．設(shè)命題：，，則為A．， B．，C．， D．，6．設(shè)為非零向量，則“”是“與共線”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．設(shè)i為虛數(shù)單位，若復數(shù)，則復數(shù)z等于()A． B． C． D．08．已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點（設(shè)點位于第一象限），過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為點，，拋物線的準線交軸于點，若，則直線的斜率為A．1 B． C． D．9．已知雙曲線（，）的左、右頂點分別為，，虛軸的兩個端點分別為，，若四邊形的內(nèi)切圓面積為，則雙曲線焦距的最小值為（）A．8 B．16 C． D．10．在三棱錐中，，，P在底面ABC內(nèi)的射影D位于直線AC上，且，.設(shè)三棱錐的每個頂點都在球Q的球面上，則球Q的半徑為（）A． B． C． D．11．定義，已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．12．如圖，平面ABCD，ABCD為正方形，且，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的焦點坐標是_______________，漸近線方程是_______________.14．已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_______.15．某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中正確的是______.①2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同；②支出最高值與支出最低值的比是6:1；③第三季度平均收入為50萬元；④利潤最高的月份是2月份．16．在邊長為2的正三角形中，，則的取值范圍為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合，，，將的所有子集任意排列，得到一個有序集合組，其中.記集合中元素的個數(shù)為，，，規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當時，求的值；利用數(shù)學歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，，都有.18．（12分）在中，，，.求邊上的高.①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）當時，討論函數(shù)的零點個數(shù)；（2）若在上單調(diào)遞增，且求c的最大值.20．（12分）已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，若同時滿足下列四個條件中的三個：①；②；③；④.（1）滿足有解三角形的序號組合有哪些？（2）在（1）所有組合中任選一組，并求對應的面積.（若所選條件出現(xiàn)多種可能，則按計算的第一種可能計分）21．（12分）已知，且滿足，證明：.22．（10分）已知函數(shù)f(x)=x-2a-x-a（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范圍；（Ⅱ）若a<0，對?x，y∈-∞,a，都有不等式f(x)≤(y+2020)+

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

化簡到，根據(jù)定義域排除，計算單調(diào)性知正確，得到答案.【詳解】，故函數(shù)的定義域為，故錯誤；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故正確；當，關(guān)于的對稱的直線為不在定義域內(nèi)，故錯誤.平移得到的函數(shù)定義域為，故不可能為，錯誤.故選：.【點睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，定義域，對稱，三角函數(shù)平移，意在考查學生的綜合應用能力.2．A【解析】

分段求解函數(shù)零點，數(shù)形結(jié)合，分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】作出和，的圖像如下所示：函數(shù)有三個零點，等價于與有三個交點，又因為，且由圖可知，當時與有兩個交點，故只需當時，與有一個交點即可.若當時，時，顯然??=??(??)與??=4|??|有一個交點??，故滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點，故不滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點，故不滿足題意；時，顯然與有一個交點，故滿足題意.綜上所述，要滿足題意，只需.故選：A.【點睛】本題考查由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬中檔題.3．B【解析】解：命題p：?x＞0，ln（x+1）＞0，則命題p為真命題，則￢p為假命題；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，則命題q是假命題，則￢q是真命題．∴p∧q是假命題，p∧￢q是真命題，￢p∧q是假命題，￢p∧￢q是假命題．故選B．4．B【解析】

直接代入檢驗，排除其中三個即可．【詳解】由題意，排除D，，排除A，C．同時B也滿足，，，故選：B．【點睛】本題考查由數(shù)列的項選擇通項公式，解題時可代入檢驗，利用排除法求解．5．D【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題：，，則為：，.故本題答案為D.【點睛】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題.6．A【解析】

根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若，則與共線，且方向相同，充分性；當與共線，方向相反時，，故不必要.故選：.【點睛】本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學生的推斷能力.7．B【解析】

根據(jù)復數(shù)除法的運算法則，即可求解.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.8．C【解析】

根據(jù)拋物線定義，可得，，又，所以，所以，設(shè)，則，則，所以，所以直線的斜率．故選C．9．D【解析】

根據(jù)題意畫出幾何關(guān)系，由四邊形的內(nèi)切圓面積求得半徑，結(jié)合四邊形面積關(guān)系求得與等量關(guān)系，再根據(jù)基本不等式求得的取值范圍，即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系如下圖所示：設(shè)四邊形的內(nèi)切圓半徑為，雙曲線半焦距為，則所以，四邊形的內(nèi)切圓面積為，則，解得，則，即故由基本不等式可得，即，當且僅當時等號成立.故焦距的最小值為.故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)的簡單應用，圓錐曲線與基本不等式綜合應用，屬于中檔題.10．A【解析】

設(shè)的中點為O先求出外接圓的半徑，設(shè)，利用平面ABC，得，在及中利用勾股定理構(gòu)造方程求得球的半徑即可【詳解】設(shè)的中點為O,因為，所以外接圓的圓心M在BO上.設(shè)此圓的半徑為r.因為，所以，解得.因為，所以.設(shè)，易知平面ABC，則.因為，所以，即，解得.所以球Q的半徑.故選：A【點睛】本題考查球的組合體，考查空間想象能力，考查計算求解能力，是中檔題11．A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得，，則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應的所需的形式，可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得，，則,(當且僅當，即時“”成立.此時,，，的最小值為，故選：A.【點睛】本題考查求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.12．C【解析】

分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,再利用向量法求異面直線EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè).則.故異面直線EF與BD所成角的余弦值為.故選：C【點睛】本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

通過雙曲線的標準方程，求解，，即可得到所求的結(jié)果．【詳解】由雙曲線，可得，，則，所以雙曲線的焦點坐標是，漸近線方程為：．故答案為：；．【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查了運算能力，屬于容易題．14．【解析】

結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長度用坐標表示成圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立可進一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡潔.【詳解】方法1：由題意可知，由中位線定理可得，設(shè)可得，聯(lián)立方程可解得（舍），點在橢圓上且在軸的上方，求得，所以方法2：焦半徑公式應用解析1：由題意可知，由中位線定理可得，即求得，所以.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑.15．①②③【解析】

通過圖片信息直接觀察，計算，找出答案即可．【詳解】對于①，2至月份的收入的變化率為20，11至12月份的變化率為20，故相同，正確．對于②，支出最高值是2月份60萬元，支出最低值是5月份的10萬元，故支出最高值與支出最低值的比是6：1，正確．對于③，第三季度的7，8，9月每個月的收入分別為40萬元，50萬元，60萬元，故第三季度的平均收入為50萬元，正確．對于④，利潤最高的月份是3月份和10月份都是30萬元，高于2月份的利潤是80﹣60＝20萬元，錯誤．故答案為①②③．【點睛】本題考查利用圖象信息，分析歸納得出正確結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題目．16．【解析】

建立直角坐標系，依題意可求得，而，，，故可得，且，由此構(gòu)造函數(shù)，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得取值范圍．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，設(shè)，，，，根據(jù)，即，，，則，，即，，，則，，所以，，，，，，且，故，設(shè)，，易知二次函數(shù)的對稱軸為，故函數(shù)在，上的最大值為，最小值為，故的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意通過設(shè)元、消元，將問題轉(zhuǎn)化為元二次函數(shù)的值域問題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．；證明見解析.【解析】

當時，集合共有個子集，即可求出結(jié)果；分類討論，利用數(shù)學歸納法證明.【詳解】當時，集合共有個子集，所以；①當時，，由可知，，此時令，，，，滿足對任意，都有，且；②假設(shè)當時，存在有序集合組滿足題意，且，則當時，集合的子集個數(shù)為個，因為是4的整數(shù)倍，所以令，，，，且恒成立，即滿足對任意，都有，且，綜上，原命題得證.【點睛】本題考查集合的自己個數(shù)的研究，結(jié)合數(shù)學歸納法的應用，屬于難題.18．詳見解析【解析】

選擇①，利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，再計算邊上的高.選擇②，利用正弦定理得出，由余弦定理求出，再求邊上的高.選擇③，利用余弦定理列方程求出，再計算邊上的高.【詳解】選擇①，在中，由正弦定理得，即，解得；由余弦定理得，即，化簡得，解得或（舍去）；所以邊上的高為.選擇②，在中，由正弦定理得，又因為，所以，即；由余弦定理得，即，化簡得，解得或（舍去）；所以邊上的高為.選擇③，在中，由，得；由余弦定理得，即，化簡得，解得或（舍去）；所以邊上的高為.【點睛】本小題主要考查真閑的了、余弦定理解三角形，屬于中檔題.19．（1）見解析（2）2【解析】

（1）將代入可得,令,則,設(shè),則轉(zhuǎn)化問題為與的交點問題,利用導函數(shù)判斷的圖象,即可求解；（2）由題可得在上恒成立,設(shè),利用導函數(shù)可得,則,即,再設(shè),利用導函數(shù)求得的最小值,則,進而求解.【詳解】（1）當時,,定義域為,由可得,令,則,由,得；由,得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則的最大值為,且當時,；當時,,由此作出函數(shù)的大致圖象,如圖所示.由圖可知,當時,直線和函數(shù)的圖象有兩個交點,即函數(shù)有兩個零點；當或,即或時,直線和函數(shù)的圖象有一個交點,即函數(shù)有一個零點；當即時,直線與函數(shù)的象沒有交點,即函數(shù)無零點.（2）因為在上單調(diào)遞增,即在上恒成立,設(shè),則,①若,則,則在上單調(diào)遞減,顯然,在上不恒成立；②若,則,在上單調(diào)遞減,當時,,故,單調(diào)遞減,不符合題意；③若,當時,,單調(diào)遞減,當時,,單調(diào)遞增,所以,由,得,設(shè),則,當時,,單調(diào)遞減；當時,,單調(diào)遞增,所以,所以,又,所以,即c的最大值為2.【點睛】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的零點問題,考查利用導函數(shù)求最值,考查運算能力與分類討論思想.20．（1）①，③，④或②，③，④；（2）.【解析】

（1）由①可求得的值，由②可求出角的值，結(jié)合題意得出，推出矛盾，可得出①②不能同時成為的條件，由此可得出結(jié)論；（2）在符合條件的兩組三角形中利用余弦定理和正弦定理求出對應的邊和角，然后利用三角形的面積公式可求出的面積.【詳解】（1）由①得，，所以，由②得，，解得或（舍），所以，因為，且，所以，所以，矛盾.所以不能同時滿足①，②.故滿足①，③，④或②，③，④；（2）若滿足①，③，④，因為，所以，即.解得.所以的面積.若滿足②，③，④由正弦定理，即，解得，所以，所以的面積.【點睛】本題考查三角形能否成立的判斷，同時也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面積的計算，要結(jié)合三角形已知元素類型合理選擇正弦定理或余弦定理解三角形，考查運算求解能力，屬于中等題.21．證明見解析【解析】

將化簡可得，由柯西不等式可得證明.【詳解】解：因為，，所以，又，所以，當且僅