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2022-2023學(xué)年陜西省漢中中學(xué)高三第十四次考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知四棱錐的底面為矩形,底面,點(diǎn)在線段上,以為直徑的圓過(guò)點(diǎn).若,則的面積的最小值為()A.9 B.7 C. D.2.幻方最早起源于我國(guó),由正整數(shù)1,2,3,……,這個(gè)數(shù)填入方格中,使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,這個(gè)正方形數(shù)陣就叫階幻方.定義為階幻方對(duì)角線上所有數(shù)的和,如,則()A.55 B.500 C.505 D.50503.設(shè),,則()A. B. C. D.4.若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.若復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.6.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)根,,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示,在這一年中的水、電、交通開支(單位:萬(wàn)元)如圖2所示,則該單位去年的水費(fèi)開支占總開支的百分比為()A. B. C. D.8.已知a,b∈R,,則()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a9.已知圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.已知定點(diǎn),,是圓上的任意一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓11.已知且,函數(shù),若,則()A.2 B. C. D.12.設(shè)實(shí)數(shù)、滿足約束條件,則的最小值為()A.2 B.24 C.16 D.14二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.雙曲線的左右頂點(diǎn)為,以為直徑作圓,為雙曲線右支上不同于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),連接交圓于點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,若,則_____.14.若x,y滿足,則的最小值為________.15.函數(shù)的圖像如圖所示,則該函數(shù)的最小正周期為________.16.若,則的最小值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的焦點(diǎn)為,,離心率為,點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),且的面積最大值為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn),為橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)為多少時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.18.(12分)已知離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)薦橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓分別交于,若直線、、的斜率成等差數(shù)列,請(qǐng)問(wèn)的面積是否為定值?若是,求出此定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.19.(12分)如圖,已知三棱柱中,與是全等的等邊三角形.(1)求證:;(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)已知等比數(shù)列中,,是和的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)如圖,在直三棱柱中,分別是中點(diǎn),且,.求證:平面;求點(diǎn)到平面的距離.22.(10分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求m的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定,根據(jù)勾股定理,得到之間的等量關(guān)系,再用表示出的面積,利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設(shè),,則.因?yàn)槠矫妫矫?,所?又,,所以平面,則.易知,.在中,,即,化簡(jiǎn)得.在中,,.所以.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系及基本不等式的應(yīng)用,考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想,涉及線面垂直的判定和性質(zhì),屬中檔題.2.C【解析】
因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,可得,即得解.【詳解】因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,所以階幻方對(duì)角線上數(shù)的和就等于每行(或每列)的數(shù)的和,又階幻方有行(或列),因此,,于是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)陣問(wèn)題,考查了學(xué)生邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.3.D【解析】
集合是一次不等式的解集,分別求出再求交集即可【詳解】,,則故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】
求導(dǎo)函數(shù),求出函數(shù)的極值,利用函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn),即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,令,則或,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以0或是函數(shù)y的極值點(diǎn),函數(shù)的極值為:,函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是:.故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù),來(lái)確定參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題,在解題的過(guò)程中,注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的走向,利用數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題,難度不大.5.B【解析】
利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),由此求得.【詳解】依題意,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】
先利用三角恒等變換將題中的方程化簡(jiǎn),構(gòu)造新的函數(shù),將方程的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題,畫出函數(shù)圖象,再結(jié)合,解得的取值范圍.【詳解】由題化簡(jiǎn)得,,作出的圖象,又由易知.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,方程的根的問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合法,求得范圍.屬于中檔題.7.A【解析】
由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例,再計(jì)算出水費(fèi)開支占水、電、交通開支的比例,相乘即可求出水費(fèi)開支占總開支的百分比.【詳解】水費(fèi)開支占總開支的百分比為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查折線圖與柱形圖,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】
兩復(fù)數(shù)相等,實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.【詳解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】
將圓,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,求得圓心為.根據(jù)圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱,則圓心在漸近線上,.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為:,所以圓心為.因?yàn)殡p曲線,所以其漸近線方程為,又因?yàn)閳A關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱,則圓心在漸近線上,所以.所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程及對(duì)稱性,還有雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.10.B【解析】
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),結(jié)合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn),如下圖所示:所以有,而是中點(diǎn),連接,故,因此當(dāng)在如下圖所示位置時(shí)有,所以有,而是中點(diǎn),連接,故,因此,綜上所述:有,所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力,考查了分類討論思想.11.C【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的解析式,知當(dāng)時(shí),且,由于,則,即可求出.【詳解】由題意知:當(dāng)時(shí),且由于,則可知:,則,∴,則,則.即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,由分段函數(shù)解析式求自變量.12.D【解析】
做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿足的可行域,如下圖陰影部分,根據(jù)圖象,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最小值,由,解得,即,所以的最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系得,交圓于點(diǎn),所以,建立等式,兩式作商即可得解.【詳解】設(shè),交圓于點(diǎn),所以易知:即.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系求解斜率關(guān)系,涉及雙曲線中的部分定值結(jié)論,若能熟記常見二級(jí)結(jié)論,此題可以簡(jiǎn)化計(jì)算.14.5【解析】
先作出可行域,再做直線,平移,找到使直線在y軸上截距最小的點(diǎn),代入即得。【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖,令,則,作出直線,平移直線,由圖可得,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí),直線在y軸上的截距最小,由,可得,因此的最小值為.故答案為:4【點(diǎn)睛】本題考查不含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題,是基礎(chǔ)題。15.【解析】
根據(jù)圖象利用,先求出的值,結(jié)合求出,然后利用周期公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解:由,得,,,則,,,即,則函數(shù)的最小正周期,故答案為:8【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)周期的求解,結(jié)合圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵.16.【解析】
由基本不等式,可得到,然后利用,可得到最小值,要注意等號(hào)取得的條件?!驹斀狻坑深}意,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)時(shí),取得最小值.【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值必須具備三個(gè)條件:①各項(xiàng)都是正數(shù);②和(或積)為定值;③等號(hào)取得的條件。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)當(dāng)=0時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.【解析】
(1)的面積最大時(shí),是短軸端點(diǎn),由此可得,再由離心率及可得,從而得橢圓方程;(2)在直線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立消元()后應(yīng)用韋達(dá)定理得,注意,一是計(jì)算,二是計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離,兩者比較可得結(jié)論.【詳解】(1)因?yàn)樵跈E圓上,當(dāng)是短軸端點(diǎn)時(shí),到軸距離最大,此時(shí)面積最大,所以,由,解得,所以橢圓方程為.(2)在時(shí),設(shè)直線方程為,原點(diǎn)到此直線的距離為,即,由,得,,,所以,,,所以當(dāng)時(shí),,,為常數(shù).若,則,,,,,綜上所述,當(dāng)=0時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓方程與橢圓的幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力.解題方法是“設(shè)而不求”法.在直線與圓錐曲線相交時(shí)常用此法通過(guò)韋達(dá)定理聯(lián)系已知式與待求式.18.(1);(2)是,【解析】
(1)根據(jù)及可得,再將點(diǎn)代入橢圓的方程與聯(lián)立解出,即可求出橢圓的方程;(2)可設(shè)所在直線的方程為,,,,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,用根與系數(shù)的關(guān)系求出,然后將直線、、的斜率、、分別用表示,利用可求出,從而可確定點(diǎn)恒在一條直線上,結(jié)合圖形即可求出的面積.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為,所以,即,又,所以,①因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,②由①②解得,所以橢圓C的方程為.(1)可知,,可設(shè)所在直線的方程為,由,得,設(shè),,,則,,設(shè)直線、、的斜率分別為、、,因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以,即,所以,又,因?yàn)橹本€、、的斜率成等差數(shù)列,所以,即,化簡(jiǎn)得,即點(diǎn)恒在一條直線上,又因?yàn)橹本€方程為,且,所以是定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中的定值問(wèn)題,屬于中檔題.19.(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)取BC的中點(diǎn)O,則,由是等邊三角形,得,從而得到平面,由此能證明(2)以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到結(jié)果.【詳解】(1)取BC的中點(diǎn)O,連接,,由于與是等邊三角形,所以有,,且,所以平面,平面,所以.(2)設(shè),是全等的等邊三角形,所以,又,由余弦定理可得,在中,有,所以以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,又平面的一個(gè)法向量為,所以二面角的余弦值為,即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用線面垂直證明線性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,屬于中檔題目.20.(1)(2)【解析】
(1)用等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別表示出已知條件,解方程組即可求得公比,代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果;(2)把(1)中求得的結(jié)果代入bn=an?log2an,求出bn,利用錯(cuò)位相減法求出Tn.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為,由題意知:,∴,即.∴,即.(2),∴.①.②①-②得∴.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的概念以及錯(cuò)位相減法求和,考查運(yùn)算能力,屬中檔題.21.(1)詳見解析;(2).【解析】
(1)利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明;(2)取中點(diǎn)為,則,證得平面,利用等體積法求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?,,,是的中點(diǎn),,為直三棱柱,所以平面,因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以平面,,又,平面(2),又分別是中點(diǎn),.由(1)知,,又平面,取中點(diǎn)為,連接如圖,則,平面,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,由,得,即,解得,點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、等體積法求點(diǎn)到面的距離;考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能
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