高考數(shù)學復習解答題提高第一輪專題復習專題10數(shù)列求和(插入新數(shù)列混合求和)(典型題型歸類訓練)(學生版+解析)

專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：插入新數(shù)列構成等差 1題型二：插入新數(shù)列構成等比 3題型三：插入新數(shù)混合 4二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項訓練 5一、典型題型題型一：插入新數(shù)列構成等差例題1．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列的前項和為，且滿足：(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在三項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項；若不存在，請說明理由.例題2．（2023·全國·高二課堂例題）已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構成一個新的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式．(2)是不是數(shù)列的項？若是，它是的第幾項？若不是，說明理由．例題3．（2023·全國·高三專題練習）已知正項等比數(shù)列和其前n項和滿足.(1)求的通項公式；(2)在和之間插入m個數(shù)，使得這個數(shù)依次構成一個等差數(shù)列，設此等差數(shù)列的公差為，求滿足的正整數(shù)m的最小值.例題4．（2023春·吉林長春·高二長春十一高?？计谀┮阎缺葦?shù)列的前n項和為，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這n個數(shù)之和為，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；例題5．（2023春·廣東佛山·高二南海中學校考期中）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求及數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.題型二：插入新數(shù)列構成等比例題1．（2023·全國·高二專題練習）在數(shù)列中抽取部分項（按原來的順序）構成一個新數(shù)列，記為，再在數(shù)列插入適當?shù)捻?，使它們一起能構成一個首項為1，公比為3的等比數(shù)列.若，則數(shù)列中第項前（不含）插入的項的和最小為（

）A．30 B．91 C．273 D．820例題2．（2023·全國·高三專題練習）在和之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)組成正項等比數(shù)列，則中間三個數(shù)的積等于.例題3．（2023·高二課時練習）設，在a，b之間插入個實數(shù)，，…，，使得這個數(shù)成等差數(shù)列，則有結論成立．若，在a，b之間插入個正數(shù)，，…，，使得這個數(shù)成等比數(shù)列，則有相應的結論成立．例題4．（2023·全國·高二專題練習）回答下面兩個問題(1)在等差數(shù)列中，已知，，求a1與Sn．(2)在2與64中間插入4個數(shù)使它們成等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式．例題5．（2023春·福建·高二校聯(lián)考階段練習）數(shù)列的前項和為且當時，成等差數(shù)列.(1)計算，猜想數(shù)列的通項公式并加以證明；(2)在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.題型三：插入新數(shù)混合例題1．（2023春·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，．其中是數(shù)列的前項和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在和中插入個相同的數(shù)，構成一個新數(shù)列，求的前100項和．例題2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？寄M預測）為數(shù)列的前項和，已知，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項，所有插入的項構成以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項的和.例題3．（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的首項為，公比為（為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項；數(shù)列滿足（，）.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；(3)當為等差數(shù)列時，對每個正整數(shù)，在與之間插入個2，得到一個新數(shù)列.設是數(shù)列的前項和，試求.例題4．（2023·全國·學軍中學校聯(lián)考二模）設數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在數(shù)列的任意與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項的和為，求的值.例題5．（2023·全國·高三專題練習）記數(shù)列的前項和為，對任意正整數(shù)，有，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)對所有正整數(shù)，若，則在和兩項中插入，由此得到一個新數(shù)列，求的前40項和.二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項訓練一、單選題1．（2023春·江蘇南通·高二期末）已知數(shù)列滿足，在和之間插入n個1，構成數(shù)列：，則數(shù)列的前18項的和為（

）A．43 B．44 C．75 D．762．（2023·安徽滁州·?？寄M預測）已知數(shù)列的通項公式為，保持數(shù)列中各項順序不變，對任意的，在數(shù)列的與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項的和為，則（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．81923．（2023·全國·高三專題練習）習近平總書記在黨的二十大報告中提出：堅持以人民為中心發(fā)展教育，加快建設高質量教育體系，發(fā)展素質教育，促進教育公平，加快義務教育優(yōu)質均衡發(fā)展和城鄉(xiāng)一體化．某師范大學學生會為貫徹黨的二十大精神，成立“送教下鄉(xiāng)志愿者服務社”，分期分批派遣大四學生赴鄉(xiāng)村支教．原計劃第一批派遣20名學生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人數(shù)暴漲，服務社臨時決定改變派遣計劃，具體規(guī)則為：把原計劃擬派遣的各批人數(shù)依次構成的數(shù)列記為，在數(shù)列的任意相鄰兩項與（，2，）之間插入個3，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列．按新數(shù)列的各項依次派遣支教學生．記為派遣了70批學生后支教學生的總數(shù)，則的值為（

）A．387 B．388 C．389 D．3904．（2023·全國·高三專題練習）通過以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每兩個相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為，則的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．108二、多選題5．（2023·全國·高三專題練習）十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的．明萬歷十二年（公元1584年）．他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論．十二平均律的數(shù)學意義是：在1和2之間插入11個數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個數(shù)之和為，插入11個數(shù)后這13個數(shù)之和為，則依此規(guī)則，下列說法正確的是（

）．A．插入的第8個數(shù)為B．插入的第5個數(shù)是插入的第1個數(shù)的倍C．D．三、填空題6．（2023春·高二校考課時練習）在1和17之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列，若這n個數(shù)中第一個為a，第n個為b，當取最小值時，.7．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的通項公式，在數(shù)列的任意相鄰兩項與之間插入個4，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列，記新數(shù)列的前n項和為，則的值為．四、解答題8．（2023春·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項；11．（2023春·江蘇揚州·高二揚州中學?？计谥校┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，其前和為，，數(shù)列滿足(1)求數(shù)列，的通項公式;(2)若對數(shù)列，，在與之間插入個2（），組成一個新數(shù)列，求數(shù)列的前2023項的和.12．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知公差大于0的等差數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)在與之間插入個2，構成新數(shù)列，求數(shù)列的前110項的和.

專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：插入新數(shù)列構成等差 1題型二：插入新數(shù)列構成等比 5題型三：插入新數(shù)混合 7二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項訓練 11一、典型題型題型一：插入新數(shù)列構成等差例題1．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列的前項和為，且滿足：(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在三項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）由①得時②①-②得，①中令得，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，（2）假設存在這樣的三項成等比數(shù)列，為遞增數(shù)列，不妨設，則則，成等差數(shù)列，，，由，得，所以，與題設矛盾不存在這樣的三項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.例題2．（2023·全國·高二課堂例題）已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構成一個新的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式．(2)是不是數(shù)列的項？若是，它是的第幾項？若不是，說明理由．【答案】(1)(2)是數(shù)列的第8項．【詳解】（1）設數(shù)列的公差為．由題意可知，，，于是．因為，所以，所以．所以．所以數(shù)列的通項公式是．（2）數(shù)列的各項依次是數(shù)列的第1，5，9，13，…項，這些下標構成一個首項為1，公差為4的等差數(shù)列，則．令，解得．所以是數(shù)列的第8項．例題3．（2023·全國·高三專題練習）已知正項等比數(shù)列和其前n項和滿足.(1)求的通項公式；(2)在和之間插入m個數(shù)，使得這個數(shù)依次構成一個等差數(shù)列，設此等差數(shù)列的公差為，求滿足的正整數(shù)m的最小值.【答案】(1)(2)6【詳解】（1）依題意，設等比數(shù)列的公比為，則，，因為，所以，解得或（舍去），因為，所以，即，解得或（舍去），所以；（2）由題意可得，，則，故數(shù)列單調(diào)遞增，不難發(fā)現(xiàn)，故滿足題意的m的最小值為6.例題4．（2023春·吉林長春·高二長春十一高校考期末）已知等比數(shù)列的前n項和為，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這n個數(shù)之和為，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；【答案】(1)(2)【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為q，當時，有，則①，當時，，兩式相減可得：，整理得，可知，代入①可得，所以等比數(shù)列的通項公式為；（2）由已知在與之間插入n個數(shù)，組成以為首項的等差數(shù)列，設公差為，所以則，設，則是遞增數(shù)列，當n為偶數(shù)時，恒成立，即，所以；當n為奇函數(shù)時，恒成立，即，所以；綜上所述，的取值范圍是．例題5．（2023春·廣東佛山·高二南海中學校考期中）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求及數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，，(2)【詳解】（1）由題意，當時，，解得，當時，，即，解得，當時，由，可得，兩式相減，可得，整理，得，∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴，.（2）由（1）可得，，，在與之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，則有，∴，∴，∴，，兩式相減得，∴.題型二：插入新數(shù)列構成等比例題1．（2023·全國·高二專題練習）在數(shù)列中抽取部分項（按原來的順序）構成一個新數(shù)列，記為，再在數(shù)列插入適當?shù)捻?，使它們一起能構成一個首項為1，公比為3的等比數(shù)列.若，則數(shù)列中第項前（不含）插入的項的和最小為（

）A．30 B．91 C．273 D．820【答案】C【詳解】因為是以1為首項、3為公比的等比數(shù)列，所以，則由，得，即數(shù)列中前6項分別為：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是數(shù)列的項，3、27、243不是數(shù)列的項，且，所以數(shù)列中第7項前（不含）插入的項的和最小為.故選：D.例題2．（2023·全國·高三專題練習）在和之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)組成正項等比數(shù)列，則中間三個數(shù)的積等于.【答案】27【詳解】依題意，，所以，所以或（舍去），所以.故答案為：例題3．（2023·高二課時練習）設，在a，b之間插入個實數(shù)，，…，，使得這個數(shù)成等差數(shù)列，則有結論成立．若，在a，b之間插入個正數(shù)，，…，，使得這個數(shù)成等比數(shù)列，則有相應的結論成立．【答案】【詳解】因為，，，…，，成等比數(shù)列，則，則則，即.故答案為：.例題4．（2023·全國·高二專題練習）回答下面兩個問題(1)在等差數(shù)列中，已知，，求a1與Sn．(2)在2與64中間插入4個數(shù)使它們成等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式．【答案】(1)，(2)【詳解】（1），，，解得．；（2）設此等比數(shù)列的公比為q，∴，解得：．例題5．（2023春·福建·高二校聯(lián)考階段練習）數(shù)列的前項和為且當時，成等差數(shù)列.(1)計算，猜想數(shù)列的通項公式并加以證明；(2)在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.【答案】(1)，，證明見解析(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）由題意，，在數(shù)列中，當時，成等差數(shù)列，∴，即，即，即.∴，猜想.下面我們證明.∵，∴，∵當時，，∴對任意正整數(shù)，均有，∴，∴，∴，即數(shù)列的通項公式為：.（2）由題意及（1）得，在數(shù)列中，，∴.假設數(shù)列中存在3項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，即，化簡得，∵成等差數(shù)列，∴，∴，化簡得，又，∴，即，∴，∴，這與題設矛盾，所以假設不成立，∴在數(shù)列中不存在3項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.題型三：插入新數(shù)混合例題1．（2023春·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，．其中是數(shù)列的前項和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在和中插入個相同的數(shù)，構成一個新數(shù)列，求的前100項和．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）當時，，當時，遞推得，∴，，因為數(shù)列各項均為正數(shù)，所以，又∵，∴數(shù)列為等差數(shù)列，故．（2）設和插入的個數(shù)構成一組數(shù)，則前組共有個數(shù)，令，又，解得：；當時，，∴的前100項中包含前12組數(shù)和第13組數(shù)的前10個，∴．例題2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？寄M預測）為數(shù)列的前項和，已知，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項，所有插入的項構成以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項的和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，，解得（舍去），由得時，，兩式相減得，因為，所以，所以是等差數(shù)列，首項為4，公差為3，所以；（2）由于，因此數(shù)列的前100項中含有的前13項，含有中的前87項，所求和為.例題3．（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的首項為，公比為（為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項；數(shù)列滿足（，）.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；(3)當為等差數(shù)列時，對每個正整數(shù)，在與之間插入個2，得到一個新數(shù)列.設是數(shù)列的前項和，試求.【答案】(1)(2)(3)2226【詳解】（1）由題意，可得，所以，解得或（舍），則，又，所以.（2）由，得，所以，，，因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，解得，所以當時，，由（常數(shù)）知此時數(shù)列為等差數(shù)列.（3）因為，所以與之間插入個2，，所以與之間插入個2，，所以與之間插入個2，……則的前項，由個，構成，所以.例題4．（2023·全國·學軍中學校聯(lián)考二模）設數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在數(shù)列的任意與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項的和為，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，又，所以數(shù)列為首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以，所以當時，，所以，所以當時，，又也滿足該關系，所以數(shù)列的通項公式為；（2）數(shù)列中在之前共有項，當時，，當時例題5．（2023·全國·高三專題練習）記數(shù)列的前項和為，對任意正整數(shù)，有，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)對所有正整數(shù)，若，則在和兩項中插入，由此得到一個新數(shù)列，求的前40項和.【答案】(1)(2)1809【詳解】（1）由，則，兩式相減得：，整理得：，即時，，所以時，，又時，，得，也滿足上式.故.（2）由.所以，又，所以前40項中有34項來自.故.二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項訓練一、單選題1．（2023春·江蘇南通·高二期末）已知數(shù)列滿足，在和之間插入n個1，構成數(shù)列：，則數(shù)列的前18項的和為（

）A．43 B．44 C．75 D．76【答案】C【詳解】在，之間插入個1，構成數(shù)列，所以共有個數(shù)，當時，，當時，，由于，所以．故選：D.2．（2023·安徽滁州·?？寄M預測）已知數(shù)列的通項公式為，保持數(shù)列中各項順序不變，對任意的，在數(shù)列的與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項的和為，則（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．8192【答案】C【詳解】插入組共個，∵，∴前面插入12組數(shù)，最后面插入9個．，∵，∴，又數(shù)列的前13項和為，故選：D．3．（2023·全國·高三專題練習）習近平總書記在黨的二十大報告中提出：堅持以人民為中心發(fā)展教育，加快建設高質量教育體系，發(fā)展素質教育，促進教育公平，加快義務教育優(yōu)質均衡發(fā)展和城鄉(xiāng)一體化．某師范大學學生會為貫徹黨的二十大精神，成立“送教下鄉(xiāng)志愿者服務社”，分期分批派遣大四學生赴鄉(xiāng)村支教．原計劃第一批派遣20名學生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人數(shù)暴漲，服務社臨時決定改變派遣計劃，具體規(guī)則為：把原計劃擬派遣的各批人數(shù)依次構成的數(shù)列記為，在數(shù)列的任意相鄰兩項與（，2，）之間插入個3，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列．按新數(shù)列的各項依次派遣支教學生．記為派遣了70批學生后支教學生的總數(shù)，則的值為（

）A．387 B．388 C．389 D．390【答案】A【詳解】∵數(shù)列滿足，∴，，，，，，∵在任意相鄰兩項與（，2，）之間插入個3，∴其中，之間插入2個3，，之間插入4個3，，之間插入8個3，，之間插入16個3，，之間插入32個3，，之間插入64個3，又，，∴數(shù)列的前70項含有前6項和64個3，故．故選：A.4．（2023·全國·高三專題練習）通過以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每兩個相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為，則的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．108【答案】A【詳解】解：設數(shù)列經(jīng)過第次拓展后的項數(shù)為，因為數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，則經(jīng)過第次拓展后增加的項數(shù)為，所以，即，即，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，是以，所以，則經(jīng)過11次拓展后在與6之間增加的數(shù)為，所以經(jīng)過11次拓展后6所在的位置為第，所以.故選：A.二、多選題5．（2023·全國·高三專題練習）十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的．明萬歷十二年（公元1584年）．他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論．十二平均律的數(shù)學意義是：在1和2之間插入11個數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個數(shù)之和為，插入11個數(shù)后這13個數(shù)之和為，則依此規(guī)則，下列說法正確的是（

）．A．插入的第8個數(shù)為B．插入的第5個數(shù)是插入的第1個數(shù)的倍C．D．【答案】BC【詳解】設該等比數(shù)列為，公比為，則，，故，所以，故A錯誤；因為，故B正確；，要證，即證，即證，即證，即證，而，故C正確；而，因，所以，，所以即,所以，D錯誤.故選：BC．三、填空題6．（2023春·高二?？颊n時練習）在1和17之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列，若這n個數(shù)中第一個為a，第n個為b，當取最小值時，.【答案】7【詳解】由等差數(shù)列的性質可知得，則，當且僅當時取等號，此時，，所以所以，因此，可得．故答案為：77．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的通項公式，在數(shù)列的任意相鄰兩項與之間插入個4，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列，記新數(shù)列的前n項和為，則的值為．【答案】370【詳解】因為與之間插入個4，，，，，，其中，之間插入2個4，，之間插入4個4，，之間插入8個4，，之間插入16個4，，之間插入32個4，由于，，故數(shù)列的前60項含有的前5項和55個4，故.故答案為：370.四、解答題8．（2023春·