專題01直線與方程（考點(diǎn)清單知識導(dǎo)圖+4考點(diǎn)清單+9題型解讀）（教師版） 2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（蘇教版2019選擇性必修第一冊）

專題01直線與方程【清單01】直線的傾斜角與斜率一、直線傾斜角的定義1.定義：平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為α，則α叫做直線的傾斜角.2.規(guī)定：當(dāng)直線和軸平行或重合時(shí)，直線傾斜角為，3.范圍：[0,π)4.圖形：二、直線的斜率1.定義：一般的，如果直線l的傾斜角為α，則當(dāng)α≠90°時(shí)，稱k=tanα為直線l的斜率；當(dāng)α=90°時(shí)，稱直線l的斜率不存在.2.公式：已知點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y【清單02】直線方程的五種形式名稱已知條件標(biāo)準(zhǔn)方程使用范圍點(diǎn)斜式斜率k,直線上一點(diǎn)（x0，yy-yo=k（x-x0）k存在斜截式斜率k,y軸上截距by=kx+bk存在兩點(diǎn)式直線上的兩點(diǎn)P1（x1，y1）,y?直線既不能垂直于x軸,也不能垂直于y軸截距式直線在x,y軸上的截距分別為a,b，且a≠0，b≠0，x直線既不能垂直于x軸,也不能垂直于)軸,且不過原點(diǎn)一般式A,B不同時(shí)為0Ax+By+C=0通用【清單03】兩條直線的平行與垂直一、兩條直線平行與斜率之間的關(guān)系類型斜率存在斜率不存在條件αα對應(yīng)關(guān)系k1=k兩直線斜率都不存在?l1∕∕圖示二、兩條直線垂直與斜率之間的關(guān)系類型斜率存在且不為0斜率不存在或斜率為0條件αα對應(yīng)關(guān)系k兩直線的斜率一個(gè)不存在，一個(gè)斜率為0?圖示三、一般式判斷兩條直線的位置關(guān)系l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0l1A1l1A1l1A1l1A1【清單04】距離公式一、兩點(diǎn)間距離公式點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝（二、點(diǎn)到直線距離公式1.點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離，d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))2.點(diǎn)到特殊直線的距離公式點(diǎn)P0(x0，y0)到x軸的距離d＝|y0|，到平行于x軸的直線y=a的距離d＝|y0-a|,到y(tǒng)軸的距離d＝|x0|,到平行于y軸的直線x=b的距離d＝|x0-b|.三、兩條直線距離公式1.兩條平行線之間的距離兩條平行線之間的距離，等于其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.2.兩條平行線之間的距離公式兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【考點(diǎn)題型一】直線的傾斜角方法總結(jié)：直線的傾斜角需要注意符合傾斜角的取值范圍，（0，π]【例1】（23-24高二上·江蘇徐州·期中）若一條直線經(jīng)過兩點(diǎn)1,0和2,3A．π6 B．π3 C．2π3【答案】B【分析】應(yīng)用直線斜率公式，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橐粭l直線經(jīng)過兩點(diǎn)1,0，2,3所以該直線的斜率為3?0則有該直線的傾斜角滿足tanα=3所以α=故選：B【變式1-1】（22-23高二上·福建福州·期中）已知傾斜角為θ的直線l與直線x+3y?3=0的夾角為A．30°或150° B．60°或0° C．90°或30° D．60°或180°【答案】C【分析】設(shè)直線的傾斜角為φ，根據(jù)tanφ=?3【詳解】x+3y設(shè)直線的傾斜角為φ，φ∈0,π，則tanφ夾角為60°，故θ=90°或θ故選：C.【變式1-2】（22-23高二上·江蘇泰州·期中）設(shè)直線l1:2xA．α<β<γ B．β<α【答案】D【分析】首先根據(jù)直線方程分別求解每條直線斜率，然后根據(jù)斜率判斷傾斜角的范圍，根據(jù)范圍比較大小即可.【詳解】∵l1:2x+y?1=0∵l2:x?3y=0∵l3:x?3=0綜上所述可得：β<故選：D【變式1-3】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）若過兩點(diǎn)M3,y，N0,A．0 B．?23 C．43【答案】B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的斜率公式及傾斜角的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由于直線MN的傾斜角為2π3，則該直線MN的斜率為k又因?yàn)镸3,y，N0,3，所以故選：B【變式1-4】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）若直線l經(jīng)過兩點(diǎn)A2,m、B?m,2m?1A．12 B．2 C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)斜率的定義以及斜率公式可得出關(guān)于實(shí)數(shù)m的等式，解之即可.【詳解】由斜率的定義可得kAB=tan45°，即故選：D.【考點(diǎn)題型二】直線的斜率方法總結(jié)：1.定義：傾斜角α的正切值，（α≠90°）2.記法：k=tanα3.經(jīng)過兩點(diǎn)A(x1【例2】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）經(jīng)過A?1,2，BA．2 B．?2 C．12 D．【答案】B【分析】直接代入直線斜率公式即可.【詳解】經(jīng)過A?1,2，B?4,8兩點(diǎn)的直線的斜率是故選：B.【變式2-1】（22-23高二上·江蘇蘇州·期中）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致.如下圖是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列.已知拉索上端相鄰兩個(gè)錨的間距PiPi+1i=1,2,3,…,9約為4.4m，拉索下端相鄰兩個(gè)錨的間距AiAiA．±0.40 B．±0.42 C．±0.43 D．±0.45【答案】B【分析】根據(jù)題意利用已知長度可分別計(jì)算OA10，【詳解】解：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建系，根據(jù)題意，最短拉索的錨P1，A1滿足OP且PiPi+1i=1,2,3,?,9均為則OA10=同理B10又OP10=所以kA10P即最長拉索所在直線的斜率為±0.42.故選：B.【變式2-2】（23-24高二上·山東·階段練習(xí)）若某等腰直角三角形斜邊所在直線的傾斜角為15°，則該三角形兩條直角邊所在直線的斜率之和為（

）A．0 B．233 C．?23【答案】B【分析】不妨把三角形的一個(gè)頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，然后作圖分析直角邊所在直線的傾斜角，結(jié)合直線垂直的斜率關(guān)系可解.【詳解】不妨把三角形的一個(gè)頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，如圖所示，因?yàn)橹本€OA的傾斜角為15°，∠AOB所以直線OB的傾斜角為150°或60°，即kOB=?3因?yàn)镺B⊥AB，所以當(dāng)kOB當(dāng)kOB=3所以kOB故選：B【變式2-3】（22-23高二上·江蘇徐州·期中）若三點(diǎn)A1,2，B3,m，C7,【答案】3【分析】利用AB,【詳解】由A1,2，B3,m可得kAB=k解得m=3故答案為：3【變式2-4】(多選)（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）臺球運(yùn)動(dòng)已有五六百年的歷史，參與者用球桿在臺上擊球.如圖，有一張長方形球臺ABCD，AB=3AD，現(xiàn)從角落A沿角α的方向把球打出去，球經(jīng)2次碰撞球臺內(nèi)沿后進(jìn)入角落C的球袋中，若和光線一樣，臺球在球臺上碰到障礙物后也遵從反射定律，則

A．19 B．12 C．1 【答案】AC【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，進(jìn)而求解結(jié)論．【詳解】因?yàn)锳B=3AD，現(xiàn)從角落A沿角α的方向把球打出去，球經(jīng)2次碰撞球臺內(nèi)沿后進(jìn)入角落當(dāng)是圖一時(shí)，如圖：A關(guān)于DC的對稱點(diǎn)為E，C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)為F；

如圖；根據(jù)直線的對稱性可得：tanα當(dāng)是圖2時(shí)，如圖：A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)為G，C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)為E，

如圖：根據(jù)直線的對稱性可得：tanα故選：AC．【考點(diǎn)題型三】斜率與傾斜角的變化方法總結(jié)：:已知線段AB的兩端點(diǎn)及線段外一點(diǎn)P，求過點(diǎn)P且與線段AB有交點(diǎn)的直線l斜率的取值范圍.若直線PA,PB的斜率都存在，解題步驟如下:①連接PA,PB;②由k=y2?y1x③結(jié)合圖形寫出滿足條件的直線l斜率的取值范圍【例3】（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(?1,2)，且不經(jīng)過第三象限，則直線l的斜率kA．(?2,0] B．(?∞,?2]∪[0,+∞) C．[1,2] D．[?2,0]【答案】D【分析】直接根據(jù)圖像觀察可得直線斜率的取值范圍.【詳解】因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)A(?1,2)所以kOA又kOA所以?2≤k故選：D.【變式3-1】（多選）（21-22高二上·江蘇南通·期中）若經(jīng)過A1?a,1+a和A．?2 B．0 C．1 D．2【答案】BCD【分析】利用kAB=1+【詳解】據(jù)題意可知kAB即2+a>0，所以故選：BCD．【變式3-2】（23-24高二上·江蘇無錫·期中）已知點(diǎn)A2,3，B?5,2，若過點(diǎn)C?1,5的直線l與線段AB相交，則直線l【答案】?∞,?【分析】數(shù)形結(jié)合，觀察傾斜角的變換情況確定斜率的變換情況.【詳解】如圖直線l與線段AB相交，因?yàn)閗AC結(jié)合圖形可知l的斜率取值范圍是?∞,?2故答案為：?∞,?【變式3-3】（21-22高二上·江蘇鹽城·期中）直線x?ay?1=0的傾斜角大于π【答案】0,1【分析】求得直線的斜率，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，直線x?ay?1=0，可得直線的斜率為k因?yàn)橹本€的傾斜角大于π4，可得1a>1所以正實(shí)數(shù)a的取值范圍0,1.故答案為：0,1.【變式3-4】（22-23高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）直線xcosA．?∞,3 B．2,+∞ C．?∞,0∪0,【答案】A【分析】求出直線的斜率的表達(dá)式，通過角的范圍求解斜率的范圍即可.【詳解】由xcosθ+當(dāng)θ=π2當(dāng)θ∈(0,π2因?yàn)棣取?0,5π所以k=?所以k∈(?∞,故選：A【考點(diǎn)題型四】直線方程的五種形式方法總結(jié)：求直線方程常用的方法是直接法和待定系數(shù)法，但在待定條件下，應(yīng)考慮下面的設(shè)法。(1)已知直線的縱截距，常設(shè)方程的斜截式;(2)已知直線的橫截距和縱截距，常設(shè)方程的截距式(截距均不為0)(3)已知直線的斜率和所過的定點(diǎn)，常設(shè)方程的點(diǎn)斜式，但如果只給出一個(gè)定點(diǎn)，一定不要遺漏斜率不存在的情況;(4)僅知道直線的橫截距，常設(shè)方程形式:x=my+a(其中a是橫截距，m是參數(shù))，注意此種設(shè)法不包含斜率為0的情況，且在后面要學(xué)的圓錐曲線章節(jié)中經(jīng)常使用如果沒有特別要求，求出的直線方程應(yīng)化為一般式Ax+By+c=0(A，B不同時(shí)為0.)【例4】（23-24高二上·江蘇·期中）已知兩條直線a1x+b1y+1=0和a2x【答案】3【分析】先將點(diǎn)代入得到兩條直線方程，再由兩點(diǎn)都在直線上得到過該兩點(diǎn)的直線.【詳解】將點(diǎn)A3,2代入兩條直線可得3所以點(diǎn)P1a1而經(jīng)過兩點(diǎn)的直線只有一條，所以直線方程是3x故答案為：3x【變式4-1】（23-24高二上·江蘇無錫·期中）已知直線l1：x?2y?2=0的傾斜角為θ，直線l2的傾斜角為2θ，且直線l2【答案】4【分析】確定tanθ=1【詳解】直線l1：x?2y?2=0的傾斜角為故tan2θ=2tanθ1?tan2故直線方程為y=43故答案為：4【變式4-2】（23-24高二上·江蘇徐州·期中）已知直線l經(jīng)過1,2(1)當(dāng)直線的傾斜角為45°時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時(shí)，求直線l的方程.【答案】(1)x(2)x+y【分析】（1）由直線的傾斜角為45°時(shí)，求得斜率為k=tan45°=1（2）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，得到2x?y=0；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為xa【詳解】（1）由題意，直線l的傾斜角為45°時(shí)，可得直線l的斜率為k=tan45°=1又由直線l經(jīng)過1,2，所以直線l的方程為y?2=x?1，即直線l（2）當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)，因?yàn)橹本€l經(jīng)過1,2，可得直線l方程為y=2x，即當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線l的方程為xa因?yàn)橹本€l過點(diǎn)1,2，可得1a+2a=1，解得a綜上所述，直線l的方程為x+y?3=0【變式4-3】（23-24高二上·江蘇常州·期中）過點(diǎn)P2,1的直線l與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)△A．x+2y?4=0C．x+3y?5=0【答案】A【分析】令直線為xa+yb=1【詳解】由題設(shè)，令直線為xa則2a+1當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=2時(shí)等號成立，此時(shí)△所以直線方程為x4故選：A【變式4-4】（20-21高二上·浙江·期中）已知直線l1:(1)若直線l1在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求實(shí)數(shù)a(2)若l1∥l2，求直線【答案】(1)a(2)x【分析】（1）由一般方程求截距，根據(jù)條件，列式求解；（2）代入兩直線平行的公式，即可求解.【詳解】（1）由題意可知，a≠0直線l1在x軸上的截距為2a?4a，在則2a?4a（2）若l1則4a=?2a2且此時(shí)直線l2的方程為x【考點(diǎn)題型五】兩條直線的平行與垂直方法總結(jié)：判斷兩條直線平行時(shí)，注意檢驗(yàn)重合；判斷兩條直線的垂直時(shí)，注意考慮斜率不存在與斜率為0的情況【例5】（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知直線ax+2ay+1=0A．0或3 B．3C．0或?3 D．?3【答案】D【分析】利用兩條直線垂直的性質(zhì)，即可求出a的值【詳解】∵直線l1:ax∴a即a(解得a=?3或a=0(不滿足直線l故選：D.【變式5-1】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）直線l1:ax+3yA．?1 B．1C．3 D．?1或3【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行的條件，列式求解即可.【詳解】因?yàn)閘1：ax由l1//l2可得解得a=3故選：C.【變式5-2】（23-24高二上·江蘇無錫·期中）直線a+1x+3y+3=0A．2 B．1C．?2 D．2或?2【答案】C【分析】求出兩直線不相交時(shí)的a值，再驗(yàn)證即可得解.【詳解】當(dāng)直線a+1x+3y+3=0與直線x當(dāng)a=2時(shí)，直線3x+3當(dāng)a=?2時(shí)，直線?x+3y+3=0所以實(shí)數(shù)a的值為?2.故選：C【變式5-3】（23-24高二上·江蘇南京·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M(2,3)和N(4,0)，點(diǎn)Q在x軸上．若直線MQ與直線MN的夾角為π2【答案】(1【分析】翻譯垂直條件，利用直線斜率建立方程求解即可.【詳解】設(shè)Q橫坐標(biāo)為a，且由題意得kMQ=∵M(jìn)Q與MN相互垂直，∴kMQ?k故答案為：(【變式5-4】（23-24高二上·福建福州·階段練習(xí)）若a，b為正實(shí)數(shù)，直線2a?1x+y+1=0與直線【答案】18【分析】由直線垂直的條件求得a,【詳解】由題意2a?1+b由基本不等式得1=2a+b≥22ab，所以故答案為：18【考點(diǎn)題型六】由直線的平行與垂直求直線方程方法總結(jié)：1.根據(jù)平行關(guān)系求直線方程的方法(1)若直線l與已知直線y=kx+b平行，則可設(shè)l的方程為y=kx+m(m≠b)，然后利用待定系數(shù)法求參數(shù)m，從而求出直線l的方程(2)若直線1與已知直線Ax+By+C=0(A，B不全為0)平行，則可設(shè)l的方程為Ax+By+m=0(m≠C)，然后用待定系數(shù)法求參數(shù)m，從而求出直線的方程.2.根據(jù)垂直關(guān)系求直線方程的方法(1)若直線l的斜率存在且不為0，與已知直線y=kx+b垂直，則可設(shè)直線l的方程為y=-1k(2)若直線1與已知直線Ax+By+C=0(A，B不全為0)垂直，則可設(shè)l的方程為Bx-Ay+m=0，然后利用待定系數(shù)法求參數(shù)m的值，從而求出直線l的方程.【例6】（23-24高二上·江蘇南通·期中）過點(diǎn)3,4且與直線2xA．3x?2yC．3x+2y【答案】B【分析】由題可得直線2x【詳解】2x則所求直線斜率為32，又過點(diǎn)3,4，則直線方程為：y故選：B【變式6-1】（22-23高二·貴州貴陽·階段練習(xí)）過點(diǎn)(1,2)且垂直于直線3xA．2x+3yC．3x?2y【答案】A【分析】設(shè)垂直于直線3x?2y+5=0的直線為2x【詳解】設(shè)垂直于直線3x?2y代入點(diǎn)(1,2)得C=?8則所求直線為2x故選：A.【變式6-2】（23-24高二上·江蘇常州·期中）過點(diǎn)1,2且與直線x?2y?3=0【答案】2【分析】根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)直線方程為2x+2y【詳解】設(shè)與直線x?2y?3=0代入點(diǎn)1,2可得2+2+c=0，解得所以過點(diǎn)1,2且與直線x?2y?3=0故答案為：2x【變式6-3】（23-24高二上·江蘇無錫·期中）已知△ABC的頂點(diǎn)A5,1，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x?y?5=0，(1)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo).(2)求直線BC的方程.【答案】(1)4,3(2)22【分析】（1）根據(jù)互相垂直兩直線斜率的關(guān)系，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，通過解方程組進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）∵邊AC上的高BH所在直線方程為x?2∴kAC?kBH∵△ABC的頂點(diǎn)A5,1，∴直線AC方程;即2x+y?11=0與解得：x=4y=3，∴頂點(diǎn)C（2）∵CM所在直線方程為2x?∵M(jìn)是AB中點(diǎn)，A5,1，∵B2m?5,4m∴2m?5?24m?11∴BC的方程為：y?3=22【變式6-4】（20-21高二上·北京海淀·期中）已知直線l的傾斜角為60°，且l過點(diǎn)P(（1）求l的方程；（2）若直線m與直線l平行，且點(diǎn)P到直線m的距離為3，求直線m的方程.【答案】（1）3x?y?4=0；（2）【分析】（1）由題設(shè)可得k=tan60°=（2）由直線平行可設(shè)直線m為3x?y【詳解】（1）由題設(shè)，直線l的斜率k=tan60°=3，又l過點(diǎn)∴y+1=3(（2）由題設(shè)，令直線m為3x?y∴C=10或C=?2，故直線m為3x【考點(diǎn)題型七】直線過定點(diǎn)問題方法總結(jié)：直線方程過定點(diǎn)問題常用的三種方法:1.將方程化為點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0),其中k為參數(shù),求得直線恒過定點(diǎn)(x02.分離參數(shù)法:將方程變形,把x,y作為參數(shù)的系數(shù),即有參數(shù)的放在一起，沒參數(shù)的放在一起,因?yàn)榇耸阶訉θ我獾膮?shù)的值都成立,故需系數(shù)為零,解方程組可得x,y的值,即為直線過的定點(diǎn)的坐標(biāo).3.賦值法:因?yàn)閰?shù)取任意實(shí)數(shù),所以給參數(shù)任取兩次值,得到關(guān)于x,y的二元一次方程組,解方程組可得x,y的值,即為直線過的定點(diǎn)的坐標(biāo).【例7】（20-21高二上·安徽六安·期末）直線kx?y+1?3A．3,1 B．0,1C．0,0 D．2,1【答案】A【分析】直線方程轉(zhuǎn)化為：x?3k?【詳解】解：直線方程轉(zhuǎn)化為：x?3令x?3=0?y所以直線過定點(diǎn)3,1，故選：A．【變式7-1】（22-23高二上·福建三明·階段練習(xí)）已知m∈R,若過定點(diǎn)A的動(dòng)直線l1:x-my+m-2=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線l2:y-4=-mA．56 B．C．52 【答案】C【分析】首先確定定點(diǎn)A和定點(diǎn)B的坐標(biāo),再判定兩條直線是垂直關(guān)系,從而得到PA2【詳解】根據(jù)題意:動(dòng)直線l1:x-my動(dòng)直線l2:y-4=-mAB=∵直線l1:x-my+m-2=0和直線∴l(xiāng)1∵直線l1與直線l2交于點(diǎn)∴PA⊥∴PA2∴△PAB為直角三角形,且AB設(shè)∠PAB=θ,θ∴PA+∵θ∴θ∴當(dāng)θ+π4=π2即故選:C.【變式7-2】（多選）（21-22高二上·江蘇常州·期中）已知直線l1:xA．不存在k，使得l2的傾斜角為90° B．對任意的k，直線lC．對任意的k，l1與l2都不重合 D．對任意的k，l1【答案】BD【分析】對A，令k=0對B，化簡直線方程，根據(jù)定點(diǎn)滿足k的系數(shù)為0，且滿足方程即可；對C，令k=?對D，根據(jù)B可得l2過定點(diǎn)(0,?1)【詳解】對A，當(dāng)k=0時(shí)，l對B，l2:(k+1)x+ky+k對C，當(dāng)k=?12時(shí)，l對D，l2過定點(diǎn)(0,?1)，而(0,?1)也在l1:x?y?1=0故選：BD【變式7-3】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my+2=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx?y?2【答案】25【分析】根據(jù)直線方程得到A?2,0，B2,3，PA⊥【詳解】直線x+my+2=0直線mx?y?2m+3=0可整理為m所以B2,3因?yàn)??m+m??1=0，所以直線所以點(diǎn)P的軌跡為以AB為直徑的圓，AB=?2?22所以PA?PB≤故答案為：252【變式7-4】（21-22高二上·江蘇連云港·期中）已知直線l：(4λ(1)求證：直線l過定點(diǎn)；(2)若直線l被兩平行直線l1：x?2y+2=0與l2：x【答案】(1)證明見解析；(2)λ=【分析】（1）將直線方程化為λ(4x?（2）聯(lián)立直線方程分別求出C，D的坐標(biāo)，求其中點(diǎn)M的坐標(biāo)，易知其同時(shí)為AB的中點(diǎn)，最后代入題設(shè)直線方程求參數(shù)λ即可.【詳解】（1）由已知：(4λ+1)x令{4∴直線l恒過定點(diǎn)(1,4).（2）設(shè)直線l1，l2分別與直線由{2x+由{2x+∴CD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－2,－2)，不妨設(shè)A在直線l1上，B在直線l2上，則△AMC將M代入直線l的方程得：(4λ+1)(?2)?(λ【考點(diǎn)題型八】距離公式及應(yīng)用方法總結(jié)：距離公式綜合應(yīng)用的三種常用類型最值問題:①利用對稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問題②利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，③利用距離公式將問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，通過配方求最值求參數(shù)問題:利用距離公式建立關(guān)于參數(shù)的方程或方程組，通過解方程或方程組求值(3)求方程的問題:立足確定直線的幾何要素--點(diǎn)和方向、利用直線方程的各種形式、結(jié)合直線的位置關(guān)系：平行直線系、垂直直線系及過交點(diǎn)的直線系，巧設(shè)直線方程，在此基礎(chǔ)上借助三種距離公式求解.【例8】（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知直線l1:2xA．255 C．3510 【答案】C【分析】利用平行直線的距離公式可得.【詳解】將直線l1方程化為4由平行直線的距離公式得d=故選：C【變式8-1】（23-24高二上·江蘇徐州·期中）已知過A(m,2),B(?A．2 B．6C．22 D．【答案】C【分析】利用傾斜角求出m=1【詳解】由題知，m?1?2解得m=1，故A則A,B兩點(diǎn)間的距離為故選：C【變式8-2】（多選）（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知直線l過點(diǎn)P?2,?3，若點(diǎn)M2,?1和點(diǎn)N4,5到直線lA．3x?yC．x?y?1=0【答案】BC【分析】由題意，直線l存在斜率，設(shè)直線l的方程為y+3=【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為x=?2，M2,?1和N4,5因此直線l存在斜率，設(shè)直線l的方程為y+3=kx若點(diǎn)M2,?1和點(diǎn)N4,5到直線則|2k+1+2k?3|k2+1∴直線l的方程為3x?y故選：BC.【變式8-3】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,?2)，B(?3,4)(1)求BC邊所在的直線方程；(2)求△ABC【答案】(1)2(2)15【分析】（1）由B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得直線的兩點(diǎn)式方程，化簡得一般式方程；（2）用兩點(diǎn)間距離公式求B，C兩點(diǎn)間的距離，計(jì)算點(diǎn)A到直線BC的距離可得三角形的高，得三角形的面積.【詳解】（1）因?yàn)锽(?3,4)，C(0,6)，所以BC所在的直線方程為即2x（2）B，C兩點(diǎn)間的距離為BC=點(diǎn)A到直線BC的距離d=所以△ABC的面積為1【變式8-4】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知直線l：m+n(1)證明直線l過某定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最大時(shí)，求直線l的方程.【答案】(1)證明見解析，1,1；(2)3x【分析】（1）直線方程整理為關(guān)于m,n的方程，然后由（2）記定點(diǎn)為Q(1,1)，由直線l【詳解】（1）直線方程整理為(x由x?y=0所以直線過定點(diǎn)(1,1)．（2）記定點(diǎn)為Q(1,1)，易知點(diǎn)P到直線l的距離d≤PQ，當(dāng)dkPQ=5?14?1直線l方程為y?1=?34【考點(diǎn)題型九】和差最值與對稱問題方法總結(jié)：將軍飲馬問題：利用三角形邊角關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩