專題05拋物線的概念與幾何性質(zhì)（考點(diǎn)清單知識導(dǎo)圖+3考點(diǎn)清單+14題型解讀）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（蘇教版2019選擇性必修第一冊）

專題05拋物線的概念與幾何性質(zhì)【清單01】拋物線的概念與標(biāo)準(zhǔn)方程一．拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注意：1.定點(diǎn)F不在定直線l上，否則動點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，而是過點(diǎn)F垂直于直線l的一條直線．2.拋物線的定義用集合語言表示為：P＝{M||MF|＝d}(d為M到直線l的距離)．3.定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動三定”：一個動點(diǎn)，設(shè)為M點(diǎn)；一個定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))；一條定直線l(拋物線的準(zhǔn)線)；一個定值(即點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．4.拋物線的定義中指明了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的等價性，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這也是利用拋物線定義解題的實(shí)質(zhì)．二．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2=2px(F(P2x=?y2=?2px(F(-P2x=x2=2py(F(0,Py=?x2=?2py(F(0,?Py=【清單02】拋物線的幾何性質(zhì)類型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖象性質(zhì)焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0,0)離心率e＝1開口方向向右向左向上向下【清單03】直線與拋物線的位置關(guān)系一.直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線的位置關(guān)系主要有三種:相交、相切和相離當(dāng)直線與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)時，稱為相交;當(dāng)直線與拋物線只有一個交點(diǎn)時，稱為相切;當(dāng)直線與拋物線沒有交點(diǎn)時，稱為相離，二.直線與拋物線的位置關(guān)系判定方法1.相交:當(dāng)直線的斜率k不為0時，;通過聯(lián)立直線和拋物線的方程，得到的二次方程的判別式Δ>0，表示有兩個不同的實(shí)根，即直線與拋物線相交2.相切:當(dāng)直線的斜率k不為0時，通過聯(lián)立直線和拋物線的方程，得到的二次方程的判別式Δ=0，表示有兩個相同的實(shí)根，即直線與拋物線相切。3.相離:當(dāng)直線的斜率k不為0時，通過聯(lián)立直線和拋物線的方程，得到的二次方程的判別式Δ<0，表示沒有實(shí)根，即直線與拋物線相離三.直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用弦長問題:當(dāng)直線過拋物線的焦點(diǎn)時，弦長AB可以通過公式AB=x1當(dāng)直線不過焦點(diǎn)時，弦長AB可以通過公式AB=1+k【考點(diǎn)題型一】拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程方法總結(jié)：1.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法①先定位：根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線的位置；②再定形：即根據(jù)條件求p.2.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧①利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程；②要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡化運(yùn)算．【例1】（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知拋物線C:y2=2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)MxA．x=?32 B．x=?3 C．【變式1-1】（多選）（22-23高二上·江蘇淮安·期中）對于拋物線上18A．開口向上，焦點(diǎn)為0,2 B．開口向上，焦點(diǎn)為0,C．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4 D．準(zhǔn)線方程為y【變式1-2】（22-23高二上·江蘇常州·期中）已知點(diǎn)F2,0，直線l：x(1)試判斷動點(diǎn)P的軌跡C的形狀，并寫出C的方程；(2)求動點(diǎn)P到直線y=3【變式1-3】（22-23高二上·江蘇連云港·期中）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線x?2(1)求該拋物線的方程；(2)若該拋物線上點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，求點(diǎn)A到該拋物線焦點(diǎn)的距離．【變式1-4】（22-23高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,(1)求雙曲線C的漸近線方程；(2)求拋物線D的方程.【考點(diǎn)題型二】拋物線的準(zhǔn)線方法總結(jié)：1.當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線方程為y2=±2px2.當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，且拋物線方程為x2=±2py【例2】（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知拋物線y=2px2pA．2 B．1C．132 D．【變式2-1】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為lA．1 B．2C．4 D．8【變式2-2】（22-23高二上·江蘇常州·期中）已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P1,y0在C上，過P作lA．3 B．4C．6 D．12【變式2-3】（多選）（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知斜率為3的直線l經(jīng)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F，與拋物線C交于點(diǎn)A．p=32C．BD=2BF D．F為【變式2-4】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知拋物線C：y2=2x的焦點(diǎn)為F，P是拋物線C上的動點(diǎn)，且在第一象限．過P向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為Q．若直線PF的斜率為3，則【考點(diǎn)題型三】拋物線弦長方法總結(jié)：活用拋物線焦點(diǎn)弦的四個結(jié)論拋物線的焦點(diǎn)弦問題一直是高考命題的一個熱點(diǎn)，該問題常與弦長、三角形面積、向量、不等式等知識相融合，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸意識和靈活解題能力．命題點(diǎn)主要體現(xiàn)在焦點(diǎn)弦的四個結(jié)論上：設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1·x2＝eq\f(p2,4).(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直線AB的傾斜角)．(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值(F是拋物線的焦點(diǎn))【例3】（23-24高二上·江蘇無錫·期中）斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A,A．12 C．2 D．3【變式3-1】（23-24高二上·江蘇·期中）已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若△AOF面積是A．4 B．9C．5 D．11【變式3-2】（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F2,0，過點(diǎn)F【變式3-3】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知拋物線C:y2=2pxp>0，過焦點(diǎn)的直線l與拋物線C交于兩點(diǎn)A(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；(2)記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=?3分別與直線OA,OB交于點(diǎn)M【變式3-4】（22-23高二上·浙江嘉興·期中）傾斜角為60°的直線l過拋物線C:y2=4x(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)求△OAB的面積（O【考點(diǎn)題型四】中點(diǎn)弦方法總結(jié)：拋物線的中點(diǎn)弦問題通常涉及到在拋物線上選取兩點(diǎn)，然后找到這兩點(diǎn)所確定的弦的中點(diǎn)，進(jìn)而研究中點(diǎn)弦的性質(zhì)?！纠?】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）若直線l過拋物線y2=8x的焦點(diǎn)，與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且|A．3 B．4C．5 D．6【變式4-1】（22-23高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）青花瓷是中華陶乲燒制工藝的珍品，屬秞下彩瓷.一只內(nèi)壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高為1.5cm，碗口直徑為20cm，碗深10cm.瓷碗的軸截面輪廓可以近似地看成拋物線，碗里有一根長度為12cm的筷子，筷子過瓷碗軸截面輪廓曲線的焦點(diǎn)，且兩端在碗的內(nèi)壁上.則筷子的中點(diǎn)離桌面的距離為（

）

A．4.5cm B．5cmC．5.5cm D．6cm

【變式4-2】（多選）（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,A．拋物線C的方程為x2=8y B．若|AB|=12C．|AF|+|AM|的最小值為5 D．若|【變式4-3】（23-24高二上·江蘇連云港·期中）已知拋物線y2=4x與過焦點(diǎn)的一條直線相交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，則弦AB的長【變式4-4】（22-23高二上·江蘇宿遷·期中）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于Px1,y1，【考點(diǎn)題型五】拋物線中的最值方法總結(jié)：與拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離有關(guān)的最值問題，一般都是利用拋物線的定義，將到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，然后通過數(shù)形結(jié)合直接判斷出取得最值時所要滿足的條件，這樣就能避免煩瑣的代數(shù)運(yùn)算．【例5】（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知點(diǎn)P是拋物線y2=2xA．172 C．17 D．9【變式5-1】（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）設(shè)點(diǎn)P是曲線x2=4y上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l【變式5-2】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)A2,1，點(diǎn)P是拋物線上一個動點(diǎn)，則【變式5-3】（23-24高二上·江蘇徐州·期中）在數(shù)學(xué)史上，平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形（Cassinioval）.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點(diǎn)P(x,y)到兩個定點(diǎn)F1(?1,0)，F(xiàn)2(1,0)【變式5-4】（23-24高二上·江蘇·期中）已知拋物線x2=4y，過P?1,2作互相垂直的兩條直線l1,l2，l1與拋物線相交于A(1)證明：直線MN過定點(diǎn)；(2)若線段MN的中點(diǎn)記為E，求點(diǎn)E的縱坐標(biāo)的最小值．【考點(diǎn)題型六】直線與拋物線的位置關(guān)系方法總結(jié)：解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的方法(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．(3)涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．[注意]涉及弦的中點(diǎn)、斜率時，一般用“點(diǎn)差法”求解．【例6】（22-23高二下·上海浦東新·開學(xué)考試）已知拋物線方程y2=4xA．0條 B．1條C．2條 D．3條【變式6-1】（多選）（23-24高二上·陜西·期中）過點(diǎn)1,0且與拋物線C:A．x=1 B．C．x?y?1=0【變式6-2】（23-24高二下·上海·期中）已知拋物線C的方程為y2=4x，求過點(diǎn)0,2【變式6-3】（23-24高二下·貴州六盤水·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y=x+1(1)求m的值；(2)已知點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2在拋物線C上，A，B分別位于第一象限和第四象限，且x1【變式6-4】（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知拋物線C：y=x22，點(diǎn)Dx(1)求證：直線AB的方程為x0(2)若Dx0,y0在直線y=?1【考點(diǎn)題型七】拋物線中的軌跡方程方法總結(jié)：通過拋物線的定義:拋物線可以定義為平面內(nèi)與一定點(diǎn)和一定直線(定直線不經(jīng)過定點(diǎn))的距離相等的點(diǎn)的軌跡，其中定點(diǎn)稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線稱為拋物線的準(zhǔn)線。這個定義是拋物線軌跡方程的基礎(chǔ)，通過這個定義可以推導(dǎo)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程?！纠?】（多選）（23-24高二上·浙江臺州·期中）已知A?2,0、BA．平面內(nèi)滿足PA+B．平面內(nèi)滿足PA?C．平面內(nèi)滿足PA=D．平面內(nèi)滿足PA=2【變式7-1】（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心為C的動圓過點(diǎn)1,0，且在y軸上截得的弦長為2，記C的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程，并說明E為何種曲線；(2)已知A2,2及曲線E上的兩點(diǎn)B和D，直線AB，AD的斜率分別為k