專題06 雙曲線性質(zhì)（考題猜想易錯必刷34題14種題型）（教師版） 2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（蘇教版2019選擇性必修第一冊）

專題06雙曲線性質(zhì)（易錯必刷34題17種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）題型大集合雙曲線軌跡第一定義定義求最值焦點(diǎn)三角形焦點(diǎn)三角形面積焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓雙曲線“開口”求漸近線方程焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)第三定義焦點(diǎn)三角形雙余弦定理焦點(diǎn)三角形角平分線型實(shí)軸圓型求離心率“漸漸線”型絕對值范圍漸近線上點(diǎn)求離心率離心率范圍與最值橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)題型大通關(guān)一．雙曲線軌跡（共2小題）1．（23-24上?！て谥校┰O(shè)圓和圓是兩個(gè)定圓，動圓與這兩個(gè)定圓都相切，則動圓的圓心的軌跡不可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】按動圓與圓、圓內(nèi)切、外切情況分類，結(jié)合橢圓、雙曲線定義確定軌跡的可能情況即得.【詳解】設(shè)動圓的半徑為，圓和圓的半徑分別是，①當(dāng)，且兩圓外離時(shí)，，若圓與圓、圓都外切或都內(nèi)切，則有或，于是，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是線段的中垂線；若圓與圓、圓一個(gè)外切一個(gè)內(nèi)切，則有或，于是，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，因此此時(shí)點(diǎn)的軌跡是一條直線和一個(gè)雙曲線，B可能；②當(dāng)，且兩圓內(nèi)含時(shí)(不妨設(shè))，，若圓與圓、圓都內(nèi)切，則有，即有，此時(shí)點(diǎn)軌跡為橢圓；若圓與圓內(nèi)切、與圓外切時(shí)，則有，即有，此時(shí)點(diǎn)軌跡為橢圓；因此點(diǎn)軌跡為兩個(gè)橢圓，C可能；③當(dāng)兩圓且兩圓外離時(shí)(不妨設(shè)，，若圓與圓、圓都外切或都內(nèi)切，則有或，有，點(diǎn)軌跡為雙曲線；若圓與圓、圓一個(gè)外切一個(gè)內(nèi)切，則有或，有，點(diǎn)軌跡為雙曲線，因此點(diǎn)軌跡為兩個(gè)雙曲線，D可能；而兩個(gè)圓相交或相外切時(shí)，點(diǎn)軌跡是被直線分成的不連續(xù)的兩段圖形，軌跡不可能是完整的橢圓兩圓內(nèi)切時(shí)，點(diǎn)軌跡是直線被其中較大的圓分成的在該圓外部的兩條射線（不含端點(diǎn)），A不可能.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及軌跡形狀的判斷問題，利用基本軌跡定理、橢圓、雙曲線及拋物線定義是求解問題的關(guān)鍵.2．（23-24高二上·廣東東莞·期中）設(shè)、是兩定點(diǎn)，，動點(diǎn)P滿足，則動點(diǎn)P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．軌跡不存在【答案】B【分析】由判斷出正確答案.【詳解】依題意，、是兩個(gè)定點(diǎn)，P是一個(gè)動點(diǎn)，且滿足，所以動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支.故選：B第一定義（共2小題）3．（22-23高二上·山西晉中·期中）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C．7 D．8【答案】C【分析】由雙曲線定義等于到右焦點(diǎn)的距離，而的最小值是（是圓半徑），由此可得結(jié)論．【詳解】記雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，取到最小值．故選：C．4．（21-22高二上·四川成都·期中）若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知兩圓圓心為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，利用圓的幾何性質(zhì)以及雙曲線的定義可求得的最大值.【詳解】在雙曲線中，，，，易知兩圓圓心分別為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，記點(diǎn)、，當(dāng)取最大值時(shí)，在雙曲線的左支上，所以，.故選：B.三．定義求最值（共2小題）5．（22-23高二上·福建福州·期中）已知，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線左支上一點(diǎn)，則的最小值為（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線的性質(zhì)，整理，利用三角形三邊關(guān)系，可得答案.【詳解】由雙曲線，則，即，且，由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，等號成立.故選：C.6．（22-23高二·全國·期中）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線的右支上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用雙曲線的定義可得，求的最小值相當(dāng)于求的最小值，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)能取得最小值.【詳解】因?yàn)椋砸蟮淖钚≈?，只需求的最小?如圖,連接交雙曲線的右支于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)A位于點(diǎn)處時(shí)，最小，最小值為.故的最小值為.

故選：C四．焦點(diǎn)三角形（共2小題）7．（2024·青海·期中）已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，，點(diǎn)P在C的右支上，且的周長為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助雙曲線定義計(jì)算即可得.【詳解】由雙曲線定義可知：，則三角形的周長為，故.故選：D.8．（23-24高二上·廣東中山·期中）圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)（如圖1所示）：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)處；從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).如圖2，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)，的橢圓與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)過與的反射，又回到點(diǎn)路線長為；若將裝置中的去掉，則該光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)過兩次反射后又回到點(diǎn)路線長為.若與的離心率之比為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為,由橢圓與雙曲線的定義求出兩個(gè)圖形中三角形的周長,再出離心率的比值求得，把轉(zhuǎn)化為的關(guān)系得答案.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為,在圖2左邊圖形中,由橢圓定義可得：①，由雙曲線定義可得：②，由①②可得：∴△的周長為.在圖2右圖中,光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢反射后經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，即直線ED經(jīng)過，則△EDF1的周長為,又橢圓與雙曲線焦點(diǎn)相同,離心率之比為，所以，又兩次所用時(shí)間分別為m,n,而光線速度相同，所以.故選：C五．焦點(diǎn)三角形面積（共2小題）9．（23-24高二上·陜西西安·期中）已知焦點(diǎn)為的雙曲線C的離心率為，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且滿足，若的面積為，則雙曲線C的實(shí)軸長為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由雙曲線定義可得，，應(yīng)用余弦定理及已知有，最后由三角形面積公式列方程求，即得實(shí)軸長.【詳解】設(shè)，則，故（a為雙曲線參數(shù)），所以，，故，而，則，則，，所以，故，則，故長軸長.故選：B10．（23-24高二上·吉林長春·期中）已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，是左支上一點(diǎn)，，當(dāng)周長最小時(shí)，該三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用雙曲線的定義，確定周長最小時(shí)，的坐標(biāo)，即可求出周長最小時(shí)，該三角形的面積．【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由雙曲線定義知，，的周長為，由于是定值，要使的周長最小，則最小，即、、共線，，，直線的方程為，即代入整理得，解得或（舍），所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，.故選：C.六．焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓（共2小題）11．（23-24高二上·湖南·期中）已知為雙曲線右支上的一個(gè)動點(diǎn)（不經(jīng)過頂點(diǎn)），，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為，過做，垂足為，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．的橫坐標(biāo)為 B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行判斷．【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓在，，上得切點(diǎn)分別為，，．設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)．因?yàn)椋?，因?yàn)?，的橫坐標(biāo)為，A正確；，所以B正確；延長交于點(diǎn)，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，且，故．所以，所以，所以C正確．，D錯．故選：D．12．（21-22高二上·四川成都·期中）已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，為的內(nèi)心，點(diǎn)滿足，若且，記的外接圓半徑為，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)點(diǎn)滿足，得到，再由，得到的縱坐標(biāo)是，然后設(shè)，由利用等面積法得到，結(jié)合橢圓的定義，由余弦定理求得，進(jìn)而得到c，再利用正弦定理求解.【詳解】設(shè)，由題意得，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以點(diǎn)G是的重心，則，又因?yàn)?，所以軸，則的縱坐標(biāo)是，所以，設(shè)，則，所以，即，則，由余弦定理得，即，解得或，所以，則，解得，故選：A雙曲線“開口”（共2小題）13．（22-23高二下·上海黃浦·期中）雙曲線和的離心率分別為和，若滿足，則下列說法正確是（

）A．的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較開闊B．的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較狹窄C．的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較開闊D．的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較狹窄【答案】A【分析】根據(jù)離心率公式及漸近線方程，得到兩曲線漸近線斜率的關(guān)系，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，，又雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)椋裕?，即，所以的漸近線斜率的絕對值較大，又離心率越大，雙曲線開口越開闊.故選：A.14．（2023·上海嘉定·一模）已知四條雙曲線，，，，，關(guān)于下列三個(gè)結(jié)論的正確選項(xiàng)為（

）①的開口最為開闊；②的開口比的更為開闊；③和的開口的開闊程度相同.A．只有一個(gè)正確 B．只有兩個(gè)正確 C．均正確 D．均不正確【答案】D【分析】分別計(jì)算出四條雙曲線的離心率，根據(jù)離心率越大開口更開闊進(jìn)行比較.【詳解】依題意，依次計(jì)算出各自的離心率可得：，比較大小知：可知：三個(gè)結(jié)論均為錯誤；故選：D八．求漸近線方程（共2小題）15．（23-24高二上·河南信陽·期中）如圖，已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線C的左支交于點(diǎn)A，B，若則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義結(jié)合勾股定理求得，再利用勾股定理求出即可得解.【詳解】依題意，設(shè)，則，，由，得，在中，，整理得，因此，，在中，有，整理得，顯然，即，解得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：C【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為（即），應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.16．（23-24高二上·寧夏銀川·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是左支上一點(diǎn)，且，，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合，求得，再在中，利用勾股定理求得之間的關(guān)系，從而得解.【詳解】因?yàn)樵陔p曲線中，因?yàn)?，所以，則，

在中，，，所以，即，所以，所以，則，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.九．焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)（共2小題）17．（23-24高二上·湖北·期中）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與C的左支交于A，B兩點(diǎn)，且，，則C的漸近線為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意設(shè)，則，根據(jù)雙曲線定義可得，，在，中分別利用勾股定理可求得答案.【詳解】如圖．設(shè)，，則，，在中由勾股定理：，解得：，在中，由勾股定理：解得：，所以，所以漸近線方程為：.故選：A．18．（21-22高二下·福建廈門·期中）記雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的左支交于兩點(diǎn)，且，以線段為直徑的圓過點(diǎn)，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，在中，結(jié)合雙曲線定義，利用勾股定理可構(gòu)造方程求得；在中，利用勾股定理和雙曲線的關(guān)系可求得，由此可得漸近線方程.【詳解】設(shè)，由得：；；由雙曲線定義可知：，，，；線段為直徑的圓過點(diǎn)，；在中，，即，解得：；在中，，即，即，，，則的漸近線方程為.故選：C.十．第三定義（共2小題）19．（22-23·江蘇·期中）已知雙曲線：（，）的上、下頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上（異于頂點(diǎn)），直線，的斜率乘積為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)由直線，的斜率乘積為得到，則漸近線可求.【詳解】設(shè)點(diǎn)，又，，則，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上得，所以，故，所以則雙曲線的漸近線方程為.故選：B20．（2022·四川南充·一模）雙曲線，點(diǎn)A，B均在E上，若四邊形為平行四邊形，且直線OC，AB的斜率之積為3，則雙曲線E的漸近線的傾斜角為（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法，結(jié)合雙曲線漸近線方程、平行四邊形的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，顯然線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和線段的中點(diǎn)坐標(biāo)相同，即為，因此點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€OC，AB的斜率之積為3，所以，因?yàn)辄c(diǎn)A，B均在E上，所以，兩式相減得：，所以兩條漸近線方程的傾斜角為或，故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是應(yīng)用點(diǎn)差法和平行四邊形的性質(zhì).十一．焦點(diǎn)三角形雙余弦定理（共2小題）21．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義可得，取的中點(diǎn)，連接，由面積可得，利用余弦定理結(jié)合雙曲線離心率分析求解.【詳解】由題意可知：，可得，取的中點(diǎn)，連接，可知，因?yàn)椋傻?，則，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理得，所以雙曲線C的離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．22．（22-23·江西·期中）如圖所示，，是雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，的右支上存在一點(diǎn)滿足，與的左支的交點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】在和中，由正弦定理結(jié)合條件得到，設(shè)（），由雙曲線的定義和勾股定理得到，結(jié)合即可求解.【詳解】在中，由正弦定理得：①，在中，由正弦定理得：②，又，則，所以得：，又，則，即；設(shè)（），由雙曲線的定義得：，，，由得：，解得：，所以，，在中，由勾股定理得：，整理得：，即雙曲線的離心率，故選：C.十二．焦點(diǎn)三角形角平分線型（共2小題）23．（22-23上海浦東新·期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)C是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)D在直線上，且滿足，．若，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)得在的角平分線上，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義以及切線長性質(zhì)可判斷為的內(nèi)心，結(jié)合重心的向量表示以及重心的性質(zhì)，即可得，進(jìn)而由離心率公式即可求解.【詳解】由于點(diǎn)D在直線上，且滿足，可知在的角平分線上，設(shè)的內(nèi)切圓分別與邊相切于點(diǎn),（如圖1）則有切線長定理可得,結(jié)合雙曲線的定義可得,所以的內(nèi)心在直線上，故為的內(nèi)心，由得,由于是的中點(diǎn),所以,因此,分別延長至,使得,如圖2故，因此是的重心，設(shè)由是的重心，所以，又，同理即，故由于為的內(nèi)心，故到三條邊的距離相等，可得,因此為直角三角形，所以，因此離心率,故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義和性質(zhì)，以及三角形內(nèi)心，重心的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng).對于離心率問題，要充分挖掘幾何性質(zhì)和圖形中體現(xiàn)的等量關(guān)系，建立出的關(guān)系系，從而求解離心率.24．（2023·湖北·期中）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)角平分線定理得到的關(guān)系，再根據(jù)雙曲線定義分別把圖中所有線段用表示出來，根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理即可解出離心率.【詳解】因?yàn)椋浴?，設(shè)，則，設(shè)，則，．因?yàn)槠椒?，由角平分線定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，所以，即是等邊三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化簡得，把①代入上式得，所以離心率為．故選：A．十三．實(shí)軸圓型求離心率（共2小題）25．（22-23高二上·浙江臺州·期中）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過的直線與的右支交于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在圓上，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，雙曲線的右頂點(diǎn)為，連接，則可得，然后在中利用余弦定理求得，則，從而可表示出，代入雙曲線方程化簡可求出離心率.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，雙曲線的右頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在圓上，所以，所以≌，所以，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，過作軸于，則，所以，所以，得，所以，，所以，所以離心率，選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查求雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由題意求得，然后在中利用余弦定理求出，從而可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計(jì)算能力，屬于較難題.26．（2023·江西撫州·期中）如圖，已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過作圓O：的切線，切點(diǎn)為A，且切線在第三象限與C及C的漸近線分別交于點(diǎn)M，N，則（

）A．直線OA與雙曲線C有交點(diǎn)B．若，則C．若，則C的漸近線方程為D．若，則C的離心率為【答案】D【分析】通過求出直線的方程判斷其為雙曲線的漸近線，從而判斷A，利用雙曲線的定義判斷B，結(jié)合雙曲線的定義和余弦定理判斷C，由與漸近線的傾斜角關(guān)系求得，再變形后求得離心率，判斷D．【詳解】設(shè)（-c，0），（c，0），由題意可知，所以，從而直線的斜率為，由此，直線OA的斜率為，其方程為，恰好是C的一條漸近線，所以直線OA與雙曲線C無交點(diǎn)，A錯誤；由雙曲線的定義及2a，又，則，B錯誤；由，得，再由雙曲線的定義，得；在中，由余弦定理，得，化簡得，所以C的漸近線方程為，C錯誤；由及，得；設(shè)直線ON的傾斜角為α，則=，又，又，所以，解得，所以，D正確.故選：D.十四．“漸近線”型絕對值范圍（共2小題）27．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】實(shí)數(shù)，滿足，通過討論，得到其圖象是橢圓、雙曲線的一部分組成的圖形，借助圖象分析可得的取值就是圖象上一點(diǎn)到直線距離范圍的2倍，求出切線方程根據(jù)平行直線距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，所以當(dāng)時(shí)，，其圖象是位于第一象限，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一部分（含點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第四象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一部分，當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第二象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一部分，當(dāng)時(shí)，其圖象不存在，作出橢圓和雙曲線的圖象，其中圖象如下：任意一點(diǎn)到直線的距離所以，結(jié)合圖象可得的范圍就是圖象上一點(diǎn)到直線距離范圍的2倍，雙曲線，其中一條漸近線與直線平行通過圖形可得當(dāng)曲線上一點(diǎn)位于時(shí)，取得最小值，無最大值，小于兩平行線與之間的距離的倍，設(shè)與其圖像在第一象限相切于點(diǎn)，由因?yàn)榛颍ㄉ崛ィ┧灾本€與直線的距離為此時(shí)，所以的取值范圍是．故選：C．28．（23-24高二下·貴州六盤水·期中）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用絕對值的性質(zhì)化簡，確定其表示的圖形并作出圖形，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可求解.【詳解】由，得當(dāng)時(shí)，方程為，圖形為單位圓在第一象限的部分（含端點(diǎn)）；當(dāng)時(shí)，方程為，圖形為雙曲線在第四象限的部分；當(dāng)時(shí)，方程為，圖形為雙曲線在第二象限的部分；當(dāng)時(shí)，方程為，沒有意義，不表示任何圖形.作出的圖形，如圖，設(shè)點(diǎn)為曲線上的一個(gè)動點(diǎn)，則A到直線的距離為，由圖可知，當(dāng)A在圓心O到直線的垂線段上時(shí)，即時(shí)，，達(dá)到最小值；又雙曲線、的一條漸近線方程為，所以小于直線與的距離，而這兩直線的距離為，故，解得，即的取值范圍為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題問題的關(guān)鍵是確定方程表示的圖形，以及通過A到直線的距離為的取值范圍，間接求解的取值范圍.十五．漸近線上點(diǎn)求離心率（共2小題）29．（23-24高二下·天津·期中）已知雙曲線為坐標(biāo)原點(diǎn)為其左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的漸近線上，，且，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】首先求，，，再根據(jù)，結(jié)合余弦定理，即可求解.【詳解】由題意，不妨設(shè)點(diǎn)在上，焦點(diǎn)到直線的距離，，，，則，，，所以,即，得，所以雙曲線的離心率.故選：A30．（23-24高二下·浙江·期中）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的右支上，與的一條漸近線平行，交的另一條漸近線于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）

A． B． C．2 D．【答案】A【分析】設(shè)出直線的方程，與漸近線的方程聯(lián)立，求出的坐標(biāo)，由為的中點(diǎn)，，得為的中點(diǎn)，求出的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程求解即可.【詳解】令，由對稱性，不妨設(shè)直線的方程為，由，解得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，由為的中點(diǎn)，，得為的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入雙曲線的方程，有，即，，解得，所以雙曲線的離心率為．故選：A十六．離心率范圍與最值（共2小題）31．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)且點(diǎn)在軸上的射影恰為該雙曲線的右焦點(diǎn)交雙曲線于另一點(diǎn)，滿足，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，可得，利用點(diǎn)在雙曲線上，可求得，可求離心率的范圍.【詳解】設(shè)又由，則，可得，所以，解得，，點(diǎn)在雙曲線上，，，故雙曲線離心率的取值范圍是.故選：C．32．（21-22高三下·安徽·期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為4，點(diǎn)M在圓上，且C的一條漸近線上存在點(diǎn)N，使得四邊形為平行四邊形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，