專題07等比數列的概念與前n項和（考點清單知識導圖+2考點清單+10題型解讀）（學生版） 2024-2025學年高二數學上學期期中考點大串講（蘇教版2019選擇性必修第一冊）

專題07等比數列的概念與前n項和【清單01】等比數列的概念與通項公式一．等比數列的定義如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．二．等比中項如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項，這三個數滿足關系式G＝±eq\r(ab).三．等比數列的通項公式等比數列{an}的首項為a1，公比為q(q≠0)，則通項公式為：an＝a1qn－1.四．等比數列的性質1.若數列{an}，{bn}是項數相同的等比數列，則{an·bn}也是等比數列．特別地，若{an}是等比數列，c是不等于0的常數，則{c·an}也是等比數列．2.在等比數列{an}中，若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq.3.數列{an}是有窮數列，則與首末兩項等距離的兩項的積相等，且等于首末兩項的積．4.在等比數列{an}中，每隔k項取出一項，按原來的順序排列，所得新數列仍為等比數列，公比為qk＋1.5.當m，n，p(m，n，p∈N*)成等差數列時，am，an，ap成等比數列．【清單02】等比數列的前n項和一．等比數列的前n項和公式已知量首項、公比與項數首項、公比與末項求和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)q≠1，,na1q＝1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1))二．等比數列前n項和的性質1．數列{an}為公比不為－1的等比數列(或公比為－1，且n不是偶數)，Sn為其前n項和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構成等比數列．2．若{an}是公比為q的等比數列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．3．若{an}是公比為q的等比數列，S偶，S奇分別是數列的偶數項和與奇數項和，則：①在其前2n項中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1項中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．【考點題型一】等比數列基本量的計算方法總結：等比數列前n項和運算的技巧(1)在等比數列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：a1，an，n，q，Sn，其中首項a1和公比q為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來解答．(2)對于基本量的計算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進行消元，有時會用到整體代換，如qn，eq\f(a1,1－q)都可看作一個整體．(3)在解決與前n項和有關的問題時，首先要對公比q＝1或q≠1進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．【例1】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知等比數列{an}滿足an+1A．12 B．1 C．4 D．【變式1-1】（22-23高二上·江蘇淮安·期中）設等比數列an的前n項和為Sn，若S3A．4 B．?2 C．2 D．?4【變式1-2】（22-23高二上·江蘇連云港·期中）記Sn為等比數列an的前n項和．若S2A．24 B．48 C．39 D．36【變式1-3】（22-23高二下·江蘇南京·期中）在等比數列{an}中，已知a1a3【變式1-4】（22-23高二上·江蘇南通·期中）等比數列an的前n項和為Sn，若a2+【考點題型二】等比數列的通項公式方法總結：定義法:先根據條件判斷該數列是不是等比數列，若是等比數列則又等比數列定義直接求它的通項公式?！纠?】（22-23高二上·江蘇南通·期中）等比數列an滿足a1+a3=10，a2+a4=5A．2n?3 B．2n?2 C．【變式2-1】（22-23高二上·江蘇南通·期中）已知數列an的前n項之和為Sn，滿足Sn=2Sn?1n【變式2-2】（20-21高二上·江蘇·期中）設an是正項等比數列，且3a3+2a4=【變式2-3】（21-22高二上·江蘇徐州·期中）(1)已知數列an滿足a1=1,(2)已知數列an中，a1=2,a2=3，其前n項和Sn【變式2-4】（23-24高二下·江蘇南京·期中）設an是公差不為0的等差數列，a1=2，a7為(1)求an(2)設bn=2n，求數列【考點題型三】等比數列的前n項和方法總結：注意:(1)公式的推導方法是錯位相減法，即先求前n項和，然后把等式的兩邊同乘以等比數列的公比，最后等式的左邊減左邊，右邊第一個等式的一項輪空，第二項減去第二個等式的第一項，第一個等式的第三項減去第二個等式的第二項，依次減下去，第一個等式中的最后一項減去第二個等式的倒數第二項，第二個等式的最后一項變成原來的相反數(2)在求等比數列的前n項和時，一要討論公比q是否能為1【例3】（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知數列an是公比為2的等比數列，數列bn是等差數列，a1=b(1)求數列an，b(2)設cn=an+bn【變式3-1】（23-24高二下·江蘇南京·期中）數列an滿足a1=1，a(1)an(2)bn=(a2n+2)log【變式3-2】（22-23高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知數列an滿足：a1=1，n(1)求證：bn(2)求數列an(3)求數列an的前n項和S【變式3-3】（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知數列an的前n項和為Sn，且(1)求an(2)求Sn【變式3-4】（23-24高二下·江蘇南通·期中）已知遞增的等比數列an滿足a3=4(1)求an(2)設bn=2an【考點題型四】等比數列的證明方法總結：判斷一個數列是等比數列的常用方法1.定義法：若數列{an}滿足eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為常數且不為零)或eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，且n∈N*，q為常數且不為零)，則數列{an}是等比數列．2.通項公式法：若數列{an}的通項公式為an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，則數列{an}是等比數列．3.等比中項法：若aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，則數列{an}為等比數列．4.構造法：在條件中出現an＋1＝kan＋b關系時，往往構造數列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)與an＋1＝kan＋b對照，求出x即可．【例4】（多選）（23-24高二下·江蘇南京·期中）設數列an的前n項和為Sn，已知a1=1，A．S2=4 C．數列an是等比數列 D．數列S【變式4-1】（多選）（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知數列an滿足aA．當k=0且a1≠0B．當k=1時，aC．當k=2時，aD．當k=3，且a1=5時，【變式4-2】（多選）（22-23高二上·江蘇宿遷·期中）若數列anA．an2 B．an?an【變式4-3】（多選）（20-21高二上·江蘇南通·期中）設數列{an}前n項和為SA．若an=aB．若Sn=aC．若{an}D．若Sn=1?(?1)【變式4-4】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知數列an的前n項和為Sn，且Sn(1)求證：數列an?1是等比數列，并求數列(2)設cn=1an?1，數列cn【考點題型五】等比數列的性質方法總結：1.若數列{an}為公比不為－1的等比數列(或公比為－1，且n不是偶數)，Sn為其前n項和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構成等比數列．注意：如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比數列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不為0.2.等比數列{an}中，若項數為2n，則S奇S偶＝1q；若項數為2n＋1，則eq\f(S奇－a1,S偶)＝q【例5】（20-21高二上·江蘇揚州·期中）已知數列an是等比數列，Sn為其前n項和，若S3A．50 B．60 C．70 D．80【變式5-1】（多選）（23-24高二上·安徽馬鞍山·期中）設Sn,Tn分別是等差數列anA．若a15+a16>0，aB．若Tn=5nC．S5D．T5【變式5-2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）兩個等比數列an，bn的前n項和分別為Sn和Tn，已知Sn【變式5-3】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知Sn是正項等比數列an的前n項和，S4=10，則【變式5-4】（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知數列an共有10項，該數列的前5項成等比數列，后6項成等差數列，且a2=4，a6=34，a10=42，則a【考點題型六】等比數列的單調性方法總結：等比數列的單調性基本方法：1a1>0時，=1\*GB3①公比q>1，單調遞增;=2\*GB3②q=1無單調性;=3\*GB3③0<q<1，單調遞減;=4\*GB3④q<0，無單調性.2a1<0時，=1\*GB3①公比q>1，單調遞減;=2\*GB3②q=1無單調性;=3\*GB3③0<q<1，單調遞增;=4\*GB3④q<0，無單調性.【例6】（多選）（20-21高二上·江蘇無錫·期中）關于遞增等比數列anA．當a1>0q>1 B．a1>0【變式6-1】（20-21高二上·江蘇連云港·期中）設an是公比為q的等比數列，q>1，令bn=an+1(A．?32 B．?43 C．【變式6-2】(多選)（20-21高二上·江蘇蘇州·期中）已知等比數列{an}的各項均為正數，公比為q，且a1>1,a8A．q>1 B．a8>1 C．T【變式6-3】(多選)（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知數列an的前n項和為SA．若數列an為等差數列，則2B．若數列an為等差數列，Sn>0C．若數列an為等比數列，則SD．若數列an為等差數列，a1>0，S【變式6-4】（20-21高二上·江蘇蘇州·期中）在①1，an，Sn成等差數列；②遞增等比數列an中的項a2，已知數列an和等差數列bn滿足__________，且b1=a4，b2=a2?a3，是否存在k【考點題型七】等比數列實際應用【例7】（23-24高二上·江蘇南通·期中）折紙與剪紙是一種用紙張折成或剪成各種不同形狀的藝術活動，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內涵博大精深，世代傳承．現將一張腰長為1的等腰直角三角形紙，每次對折后仍成等腰直角三角形，對折5次，然后用剪刀剪下其內切圓，則可得到若干個相同的圓片紙，這些圓片紙的半徑為（

）A．2?18 B．2?28 C．【變式7-1】（多選）（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）在邊長為3的正方形ABCD中，作它的內接正方形EFGH，且使得∠BEF=15°，再作正方形EFGH的內接正方形MNPQ，使得∠FMN=15°依次進行下去，就形成了如圖所示的圖案.設第n個正方形的邊長為an（其中第1個正方形的邊長為a1=AB，第2個正方形的邊長為a2=EF，??），第n個直角三角形（陰影部分）的面積為A．a2=6C．數列Sn是公比為63的等比數列 D．數列an2的前n【變式7-2】（23-24高二下·江蘇南京·期中）如圖，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形……如此繼續(xù)下去得到一個樹狀圖形，稱為“勾股樹”.若某勾股樹含有511個正方形，且其最大的正方形的邊長為1，則其最小正方形的邊長為.【變式7-3】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）如圖，將數列an中的所有項按每一行比上一行多兩項的規(guī)則排成數表，已知表中的第一列a1、a2、a5、?構成一個公比為2的等比數列，從第2行起，每一行都是一個公差為d的等差數列，若a3=6，【變式7-4】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）侏羅紀蜘蛛網是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網，如圖是由無數個正方形環(huán)繞而成的，且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外邊最近一個正方形四條邊的三等分點上，設外圍第一個正方形A1B1C1D1的邊長為3，往里第二個正方形為A2B2C【考點題型八】等比數列恒成立【例8】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）設數列an的前n項和為Sn，且Sn=2an?2n+1，數列bn滿足b【變式8-1】（20-21高二上·江蘇南通·期中）等比數列an的前n項積為Tn，且滿足a1>1，a102A．102 B．203C．204 D．205【變式8-2】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）已知等差數列an的前n項和為Sn，公差d≠0，且S3+S5(1)求數列an(2)設bn①求數列bn的前n項和T②若不等式λTn?Sn【變式8-3】（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）已知等差數列an的前n項和為Sn，且S10=155，a3=8，設數列(1)求數列an和b(2)設cn=anbn，數列cn的前n項和為T【變式8-4】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）已知數列an的前n項和記為An，且An=na1+an2，數列bn是公比為q的等比數列，它的前(1)若a1=1，a3(2)求證：數列an(3)若q=2，是否存在正整數m，k，使得Ak=65Bm【考點題型九】等比數列分奇偶【例9】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知數列an滿足an=n+2,A．2 B．3 C．4 D．8【變式9-1】（22