專題08數(shù)列的通項(xiàng)與求和（考點(diǎn)清單知識(shí)導(dǎo)圖+3考點(diǎn)清單+7題型解讀）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（蘇教版2019選擇性必修第一冊(cè)）

專題08數(shù)列的通項(xiàng)與求和【清單01】數(shù)列的遞推公式1、遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．2、通項(xiàng)公式和遞推公式的異同點(diǎn)不同點(diǎn)相同點(diǎn)通項(xiàng)公式可根據(jù)某項(xiàng)的序號(hào)n的值，直接代入求出an都可確定一個(gè)數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項(xiàng)遞推公式可根據(jù)第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))的值，通過一次(或多次)賦值，逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出所需的an，也可通過變形轉(zhuǎn)化，直接求出an【清單02】數(shù)列通項(xiàng)公式的求法1、觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)．2、公式法（1）使用范圍：若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an（2）用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即a1和an合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．3、累加法：適用于an+1=a要點(diǎn)：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解4、累乘法：適用于an＋1＝f(n)an，可變形為eq\f(an＋1,an)＝f(n)要點(diǎn)：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解5、構(gòu)造法：形如an+1=pan+q（其中均為常數(shù)且【清單03】數(shù)列求和的方法1、公式法（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①；②；③；=4\*GB3④2、分組轉(zhuǎn)化法求和（1）適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論．（2）常見類型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列；=2\*GB3②通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列.3、并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，．4、倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．5、裂項(xiàng)相消法求和：如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為分式或根式的形式，且能拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，那么通過累加將一些正、負(fù)項(xiàng)相互抵消，只剩下有限的幾項(xiàng)，從而求出該數(shù)列的前n項(xiàng)和．6、錯(cuò)位相減法求和：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法來求.【考點(diǎn)題型一】已知Sn與a方法總結(jié)：已知Sn求an的三個(gè)步驟（1）利用a1＝S1求出a1.（2）當(dāng)n≥2時(shí)，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表達(dá)式．（3）看a1是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；否則應(yīng)寫成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個(gè)不同的方向轉(zhuǎn)化．（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．【例1】（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=A．23 B．24 C．25 D．26【變式1-1】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n【變式1-2】（22-23高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，若Sn=【變式1-3】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Tn為數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和，若(1)證明：數(shù)列Sn(2)若Tn>120?n【變式1-4】（23-24高二上·江蘇·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式a(2)若數(shù)列bn滿足：bn=【考點(diǎn)題型二】累加法求通項(xiàng)方法總結(jié)：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：【例2】（22-23高二下·江蘇鹽城·期中）南宋數(shù)學(xué)家楊輝的重要著作《詳解九章算法》中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為：1、4、9、16，則該數(shù)列的第20項(xiàng)為（

）A．399 B．400 C．401 D．402【變式2-1】（22-23高二上·江蘇南通·期中）等比數(shù)列an滿足a1+a3=10，a2+a4=5A．2n?3 B．2n?2 C．【變式2-2】（22-23高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀，把數(shù)分成許多類，如圖，第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列an，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列bn，則a10=；【變式2-3】（21-22高二上·江蘇蘇州·期中）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1，an【變式2-4】（20-21高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n2，n∈N（1）求證：數(shù)列bn（2）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式.【考點(diǎn)題型三】累乘法求通項(xiàng)方法總結(jié)：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：【例3】（20-21高二上·江蘇蘇州·期中）已知在數(shù)列{an}中，aA．12020 B．12019 C．11010【變式3-1】（23-24高二下·海南?？凇て谥校┮阎獢?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2且滿足【變式3-2】（22-23高二上·福建寧德·期中）已知a1=1,an+1=【變式3-3】（22-23高二上·黑龍江哈爾濱·期中）數(shù)列{an}滿足a1=1，【變式3-4】（22-23高二上·福建莆田·期中）已知數(shù)列an滿足4Sn=(2【考點(diǎn)題型四】構(gòu)造法求通項(xiàng)方法總結(jié)：形如（為常數(shù)，且）的遞推式，可構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．也可以與類比式作差，由，構(gòu)造為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項(xiàng)．【例4】（23-24高二下·廣東·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，且(n2?1+1)SA．49 B．50 C．51 D．52【變式4-1】（多選）（23-24高二下·廣東·期中）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為SA．a(chǎn)2=7 B．C．a(chǎn)n+3n【變式4-2】（多選）（20-21高二上·江蘇泰州·期中）數(shù)列an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，an+1=2an+3A．a(chǎn)3=13 B．?dāng)?shù)列C．a(chǎn)n=4n【變式4-3】（多選）（20-21高二上·江蘇·期中）已知數(shù)列anA．若a1＝2，anB．若a1＝1，C．若Sn=3D．若a1＝1，an【變式4-4】（23-24高二下·廣東珠?！て谥校┮阎獢?shù)列{an}，其中a1=1，滿足an+1=2a【考點(diǎn)題型五】裂項(xiàng)相消法求和方法總結(jié)：1、用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律（1）裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（2）消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．2、裂項(xiàng)相消法中常見的裂項(xiàng)技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【例5】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）數(shù)列an中，an=1nA．77 B．78 C．79 D．80【變式5-1】（23-24高二下·江蘇徐州·期中）12!【變式5-2】（23-24高二上·安徽馬鞍山·期中）若an是公差不為0的等差數(shù)列，a2,a4,a8成等比數(shù)列，a1=1，【變式5-3】（22-23高二下·江蘇南京·期中）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，3a(1)求數(shù)列an(2)若n+3bn2=【變式5-4】（22-23高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(1)求數(shù)列an(2)記bn=anan?1an+1?1，T【考點(diǎn)題型六】錯(cuò)位相減法求和方法總結(jié)：1、解題步驟2、注意解題“3關(guān)鍵”①要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．②在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．③在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．3、等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯(cuò)位相減法．①②得：．整理得：．【例6】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，a1=1，公差d>0，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且a(1)求數(shù)列an、b(2)設(shè)cn=an?bn【變式6-1】（22-23高二下·江蘇南京·期中）已知數(shù)列{an}滿足a1=5，an(1)求證：{b(2)設(shè)cn=nbn【變式6-2】（22-23高二下·江蘇南京·期中）正項(xiàng)數(shù)列an的前n和為Sn，且2S(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=a13n+【變式6-3】（22-23高二下·湖北·期中）已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=1(1)求an(2)設(shè)數(shù)列2nan的前n項(xiàng)和為S【變式6-4】（22-23高二上·江蘇連云港·期中）已知數(shù)列an中，a1=2，且對(duì)任意n(1)求數(shù)列an(2)若bn=2n?a【考點(diǎn)題型七】分組并項(xiàng)求和方法總結(jié)：并項(xiàng)求和法∶若一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)中兩兩結(jié)合后可求和，則用并項(xiàng)求和法.【例7】（多選）（22-23高二上·江蘇蘇州·期中）數(shù)列an滿足a1=1，an+1anA．a(chǎn)2n?1=12n?1 【變式7-1】（22