2024-2025學年新教材高中數(shù)學第六章計數(shù)原理一分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課時素養(yǎng)評價含解析新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE一分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種,則不同的選法種數(shù)為()A.3 B.6 C.9 D.12【解析】選C.甲運動員有3種選法,乙運動員也有3種選法,由分步乘法計數(shù)原理知,不同的選法種數(shù)為3×3=9.2.家住廣州的小明同學打算周末去深圳旅游,從廣州到深圳一天中動車組有30個班次,特快列車有20個班次,汽車有40個不同班次.則小明乘坐這些交通工具去深圳不同的方法有()A.240種 B.180種 C.120種 D.90種【解析】選D.依據(jù)分類加法計數(shù)原理,得方法種數(shù)為30+20+40=90(種).3.將一個三棱錐的每個頂點染上一種顏色,并使每一條棱的兩端點異色,若只有五種顏色可運用,則不同染色的方法種數(shù)為()A.80 B.100 C.110 D.120【解析】選D.如圖,若先染A有5種色可選,B有4種色可選,C有3種色可選,D有2種色可選,則不同染色方法共有5×4×3×2=120(種).4.某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語和日語的各一人,有______種不同的選法()

A.10 B.20 C.21 D.40【解析】選B.“完成一件事”指“從9人中選出會英語與日語的各1人”,故需分三類:①既會英語又會日語的不當選;②既會英語又會日語的按會英語當選;③既會英語又會日語的按會日語當選.既會英語又會日語的有7+3-9=1(人),僅會英語的有6人,僅會日語的有2人.先分類后分步,從僅會英、日語的人中各選1人有6×2種選法;從僅會英語與英、日語都會的人中各選1人有6×1種選法;僅會日語與英、日語都會的人中各選1人有2×1種選法.依據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有6×2+6×1+2×1=20(種)不同選法.【加練·固】現(xiàn)打算將6臺型號相同的電腦安排給5所小學,其中A,B兩所希望小學每個學校至少2臺,其他小學允許1臺也沒有,則不同的安排方案共有()A.13種 B.15種 C.20種 D.30種【解析】選B.①先給A、B兩所希望小學安排電腦,若每個學校2臺,由于電腦型號相同,故只有1種狀況,其次將剩余的2臺電腦分給其他3所小學,若一所小學2臺,其他的沒有,有3種狀況;若2所小學各1臺,另一所小學沒有,有3種狀況,共有6種狀況;②若A、B兩所希望小學其中一所得3臺,另一所2臺,有2種狀況,再將剩余的1臺電腦分給其他3所小學,有3種狀況,共3×2=6種狀況;③若給A、B兩所希望小學各安排3臺電腦,有1種狀況;④若A、B兩所希望小學其中一所得4臺,另一所2臺,有2種狀況.綜上,共6+6+1+2=15種狀況.二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2024·上海高二檢測)已知A={-3,-2,-1,0,1,2,3},a、b∈A,則|a|<|b|的狀況有________種.

【解析】當a=-3時,0種,當a=-2時,2種,當a=-1時,4種;當a=0時,6種,當a=1時,4種;當a=2時,2種,當a=3時,0種,故共有:2+4+6+4+2=18(種).答案:186.若在如圖1的電路中,只合上一個開關可以接通電路,有________種不同的方法;在如圖2的電路中,合上兩個開關可以接通電路,有________種不同的方法.

【解析】對于圖1,按要求接通電路,只要在A中的兩個開關或B中的三個開關中合上一個即可,故有2+3=5(種)不同的方法.對于圖2,按要求接通電路必需分兩步進行:第一步,合上A中的一個開關;其次步,合上B中的一個開關,故有2×3=6(種)不同的方法.答案:56三、解答題(每小題10分,共20分)7.一個袋子里裝有10張不同的中國移動手機卡,另一個袋子里裝有12張不同的中國聯(lián)通手機卡.(1)某人要從兩個袋子中任取一張供自己運用的手機卡,共有多少種不同的取法?(2)某人手機是雙卡雙待機,想得到一張移動卡和一張聯(lián)通卡供自己今后運用,問一共有多少種不同的取法?【解析】(1)從兩個袋子中任取一張卡有兩類狀況:第1類,從第一個袋子中取一張移動手機卡,共有10種取法;第2類,從其次個袋子中取一張聯(lián)通手機卡,共有12種取法.依據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有10+12=22(種)取法.(2)想得到一張移動卡和一張聯(lián)通卡可分兩步進行:第一步,從第一個袋子中任取一張移動手機卡,共有10種取法;其次步,從其次個袋子中任取一張聯(lián)通手機卡,共有12種取法.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有10×12=120(種)取法.8.已知集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在A中任取一元素m和在B中任取一元素n,組成數(shù)對(m,n),問:(1)有多少個不同的數(shù)對?(2)其中所取兩數(shù)m>n的數(shù)對有多少個?【解析】(1)因為集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在A中任取一元素m和在B中任取一元素n,組成數(shù)對(m,n),先選出m有5種結果,再選出n有5種結果,依據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有5×5=25個不同的數(shù)對.(2)在(1)中的25個數(shù)對中所取兩數(shù)m>n的數(shù)對可以分類來解,當m=2時,n=1,有1種結果;當m=4時,n=1,3有2種結果;當m=6時,n=1,3,5有3種結果;當m=8時,n=1,3,5,7有4種結果;當m=10時,n=1,3,5,7,9有5種結果.綜上所述共有1+2+3+4+5=15種結果.(15分鐘·30分)1.(5分)某地政府召集5家企業(yè)的負責人召開扶貧會議,其中甲企業(yè)有2人到會,其余4家企業(yè)各有1人到會,會上有3人發(fā)言,則這3人來自3家不同企業(yè)的可能狀況的種數(shù)為()A.14 B.16 C.20 D.48【解析】選B.按題意分成兩類:第一類:甲企業(yè)有1人發(fā)言,有2種狀況,另兩個發(fā)言人出自其余4家企業(yè),有6種狀況,由分步乘法計數(shù)原理知有N1=2×6=12(種)狀況;其次類:3人全來自其余4家企業(yè),有N2=4(種)狀況.綜上可知,共有N=N1+N2=12+4=16(種).2.(5分)(2024·長沙高二檢測)某單位有4位同事各有一輛私家車,車牌尾數(shù)分別是0,1,2,5,為遵守所在城市元月15日至18日4天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行,偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行),四人協(xié)商拼車出行,每天任選一輛符合規(guī)定的車,但甲的車(車牌尾數(shù)為2)最多只能用一天,則不同的用車方案種數(shù)是()A.4 B.12 C.16 D.24【解析】選B.15日至18日,有2天奇數(shù)日和2天偶數(shù)日,車牌尾數(shù)中有2個奇數(shù)和2個偶數(shù).第一步支配奇數(shù)日出行,每天都有2種選擇,共有22=4種.其次步支配偶數(shù)日出行,分兩類:第一類,先選1天支配甲的車,另外一天支配其他車,有2種;其次類,擔心排甲的車,只有1種選擇,共計1+2=3種.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同的用車方案種數(shù)共有4×3=12.3.(5分)如圖所示,在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有________個.

【解析】滿意條件的有兩類:第一類:與正八邊形有兩條公共邊的三角形有m1=8(個);其次類:與正八邊形有一條公共邊的三角形有m2=8×4=32(個),所以滿意條件的三角形共有8+32=40(個).答案:404.(5分)(2024·杭州高二檢測)已知集合P={1,2,3,4,5},若A,B是P的兩個非空子集,則全部滿意A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(A,B)的個數(shù)為________.

【解析】依據(jù)題意,分4種狀況探討:當A中的最大數(shù)為1,即A={1}時,B={2},{3},{4},{5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},{2,3,4,5},即{2,3,4,5}的非空子集的個數(shù)為24-1=15個;當A中的最大數(shù)為2,即A={2},或{1,2}時,B={3},{4},{5},{3,4},{3,5},{4,5},{3,4,5},即2×(23-1)=14個;當A中的最大數(shù)為3,即A={3},或{1,3},或{2,3},或{1,2,3}時,B={4},{5},{4,5},即4×3=12個;當A中的最大數(shù)為4,即A={4},或{1,4},或{2,4},或{3,4},或{1,2,4},或{1,3,4},或{2,3,4},或{1,2,3,4}時,B={5},即23=8個;所以總個數(shù)為15+14+12+8=49.答案:495.(10分)用1,2,3,4四個數(shù)字(可重復)排成三位數(shù),并把這些三位數(shù)由小到大排成一個數(shù)列{an}.(1)寫出這個數(shù)列的前11項.(2)這個數(shù)列共有多少項?(3)若an=341,求n.【解析】(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.(2)這個數(shù)列的項數(shù)就是用1,2,3,4排成的三位數(shù)的個數(shù),每個數(shù)位上都有4種排法,則共有4×4×4=64項.(3)比an=341小的數(shù)有兩類:①1××2×× ;②31×32×33×共有2×4×4+1×3×4=44項.所以n=44+1=45(項).1.幾只猴子在一棵枯樹上玩耍,它們均不慎失足下落.已知(1)甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A,B,C.(2)乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D,E,F.(3)丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G,A,C.(4)丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B,D,H.(5)戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I,C,E.則這9根樹枝從高到低不同的次序有()A.23種 B.24種 C.32種 D.33種【解題指南】先推斷出G,A,B按依次排在前四個位置中的三個位置,C>E>F,D>E>F,且E,F肯定排在后四個位置,然后分I排在前四個位置中的一個位置與I不排在前四個位置中的一個位置兩種狀況探討,利用分類加法計數(shù)原理可得結果.【解析】選D.不妨設A,B,C,D,E,F,G,H,I代表樹枝的高度,9根樹枝從上至下共九個位置,依據(jù)甲依次撞擊到樹枝A,B,C;乙依次撞擊到樹枝D,E,F;丙依次撞擊到樹枝G,A,C;丁依次撞擊到樹枝B,D,H;戊依次撞擊到樹枝I,C,E可得G>A>B,且在前四個位置,C>E>F,D>E>F,且E,F肯定排在后四個位置,(1)若I排在前四個位置中的一個位置,前四個位置有4種排法,若第五個位置排C,則第六個位置肯定排D,后三個位置共有3種排法,若第五個位置排D,則后四個位置共有4種排法,所以I排在前四個位置中的一個位置時,共有4×(3+4)=28種排法.(2)若I不排在前四個位置中的一個位置,則G,A,B,D按依次排在前四個位置,由于I>C>E>F,所以后五個位置的排法就是H的不同排法,共5種排法,即若I不排在前四個位置中的一個位置共有5種排法,由分類加法計數(shù)原理可得,這9根樹枝從高到低不同的次序有28+5=33種.2.用n種不同的顏色為兩塊廣告牌著色,如圖,要求在①,②,③,④四個區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一種顏色.(1)若n=6,為甲著色時共有多少種不同的方法?(2)若為乙著色時共有120種不同的方法,求n的值.【解析】完成著色這件事,共分為四個步驟,可以依次考慮為①,②,③,④這四個區(qū)域著色時各自的方法數(shù),再利用分步乘法計數(shù)原理確定出總的方法數(shù).(1)為①區(qū)域著色時有6種方法,為②區(qū)域著色時有5種方法,為③區(qū)域著色時有4種方法,為④區(qū)域著色時有4