三角形與全等三角形-2022年中考數(shù)學(xué)題源解密(解析版)

專題12三角形與全等三角形

考向1三角形是基礎(chǔ)知識

福題呈現(xiàn)

【母題來源】(2021?浙江溫州)

【母題題文】如圖，BE是△ABC的角平分線，在A8上取點(diǎn)Q,使DB=DE.

(1)求證：DE//BC-,

(2)若/A=65°,/AED=45°,求NEBC的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得NC8E=NE8C,從而求出NOE8=NEBC,再利用內(nèi)錯角相等,

兩直線平行證明即可；

(2)由(1)中。E〃BC可得到NC=/AEO=45°,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出NA8C,最

后用角平分線求出即可得解.

【解答】解：(1)是△ABC的角平分線，

ZDBE=NEBC,

,:DB=DE,

:"DEB=NDBE,

：.NDEB=NEBC,

：.DE//BC；

(2)DE//BC,

/.ZC=ZAED=45°,

在△ABC中，/A+/A8C+/C=180°,

...NA8C=180°-ZA-ZC=180--65°-45°=70°.

,:BE是AABC的角平分線，

???/DBE=NEBC瑟NABC=35°.

閽題解密

【試題分析】這題考察了三角形的角平分線的應(yīng)用；

【命題意圖】通過對角平分線與其他考點(diǎn)的結(jié)合考察，了解學(xué)生對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型的掌握程度；

【命題方向】三角形的基礎(chǔ)知識是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)兒何的基礎(chǔ)，后續(xù)的四邊形以及相似等都需要依托三角形

的基礎(chǔ)知識來展開學(xué)習(xí)；但是因為中考數(shù)學(xué)容量比較大，所以單獨(dú)出三角形基礎(chǔ)知識的中考題并不多，大

多在一些幾何的大題中去綜合考察。所以，考生在復(fù)習(xí)這個點(diǎn)的時候，不是要做多少這個考點(diǎn)的單獨(dú)的習(xí)

題，而是要完全掌握這個考點(diǎn)對應(yīng)的考點(diǎn)，并會根據(jù)題目中給出的已知條件的特征，準(zhǔn)確的選擇對應(yīng)的性

質(zhì)去在綜合題中應(yīng)用。

【得分要點(diǎn)】

-.三角形的“角”

1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°

2.三角形外角的推論：三角形的一個外角=和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

二.三角形的“邊"

1.定理：三角形任何兩邊的和大于第三邊

2.推論：兩邊之差<第三邊<兩邊之和

☆：在應(yīng)用時，求三角形邊的取值范圍，直接用“推論”；

判定三邊能否組成三角形，直接用“定理”，且只需要較小的兩邊之和大于最大的邊長即

可！

3.三角形的分類：

銳角三角形（三個內(nèi)角都是銳角）

按角分類直角三角形（有一個內(nèi)角是直角）

鈍角三角形（有一個內(nèi)角是鈍角）

非等邊三角形（三邊均不相等）

按邊分類等腰三角形普通等腰三角形（有兩邊長相等）

等邊三角形（三邊長均相等）

三.三角形的“線”

考向2全等三角形的性質(zhì)與判定

福題呈觀

【母題來源】(2021?浙江衢州)

【母題題文】如圖，在6X6的網(wǎng)格中，△A8C的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.

(1)在圖1中畫出△ACD,使△AC。與△ACB全等，頂點(diǎn)。在格點(diǎn)上.

(2)在圖2中過點(diǎn)3畫出平分△ABC面積的直線/.

(2)取線段AC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)T,作直線BT即可.

【解答】解：(1)如圖1中，△4OC即為所求.

（2）如圖2中，直線3T即為所求.

【母題來源】（2021?浙江杭州）

【母題題文】在①?ZABE=ZACD,③FB=FC這三個條件中選擇其中一個，補(bǔ)充在下面的問

題中，并完成問題的解答.

問題：如圖，在△ABC中，NABC=NAC8,點(diǎn)。在AB邊上（不與點(diǎn)4,點(diǎn)B重合），點(diǎn)E在4c邊

上（不與點(diǎn)A,點(diǎn)C重合），連接BE,CD,BE與CD相交于點(diǎn)凡若,求證：BE=CD.

注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.

【分析】若選擇條件①，利用NA8C=NACB得到A8=AC,則可根據(jù)“SAS”可判斷△ABEg△ACQ,

從而得到BE=CD；

選擇條件②，利用NA8C=/4C8得到AB=AC,則可根據(jù)“ASA”可判斷△ABE絲△48,從而得到

BE=CD；

選擇條件③，利用ZABC=ZACB得到AB=AC,再證明NABE=ZACD,則可根據(jù)“ASA”可判斷△ABE

絲△AC￡>,從而得到8E=CZX

【解答】證明：選擇條件①的證明為：

NABC=ZACH,

：.AB=AC,

在△ABE和△ACD中,

'AB=AC

<ZA=ZA>

AE=AD

O(SAS),

：.BE=CD；

選擇條件②的證明為：

ZABC^ZACB,

：.AB^AC,

在△A8E和△AC。中，

"ZABE=ZACD

<AB=AC，

,ZA=ZA

.?.△ABE-O(ASA),

：.BE=CD；

選擇條件③的證明為：

,：ZABC^ZACB,

：.AB^AC,

,:FB=FC,

.,.ZFBC^ZFCB,

：.AABC-/FBC=NACB-ZFCB,

即/ABE=ZACD,

在△ABE和△AC。中，

rZABE=ZACD

-AB=AC，

ZA=ZA

/./XABE^/XACD(ASA),

：.BE=CD.

故答案為①AO=AE(②/ABE=NACO或③FB=FC)

【母題來源】(2021?浙江臺州)

【母題題文】如圖，在四邊形ABC。中，AB=AZ)=20,BC=DC=10\[^.

(1)求證：ZiABC之△AQC；

(2)當(dāng)N8C4=45°時，求/8AO的度數(shù).

B

【分析】（1）根據(jù)已知條件利于SSS即可求證△48C-zMOC：

（2）過點(diǎn)B作4c于點(diǎn)E,根據(jù)已知條件利于銳角三角函數(shù)求出BE的長，再根據(jù)邊的關(guān)

系即可推出/BAC的度數(shù)，從而求出/BAO的度數(shù).

【解答】解：（1）證明：在△A8C和△AOC中，

，AB=AD

<BC=DC，

,AC=AC

：.^ABC^/\ADC（SSS）；

（2）過點(diǎn)B作BELAC于點(diǎn)E,如圖所示，

.?.BE=10,

又；在RtZVlBE中,AB=20,BE=1。,

.?./8AE=3()°,

XVZVIBC絲△ACC,

：.ZBAD^ZBAE+ZDAC=2ZBAE^2X30Q=60°.

閥題解密

【試題分析】以上題目均考察了全等三角形的判定與性質(zhì)；

【命題意圖】全等三角形的判定和性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)融入到幾何問題中的較為重要的一個知識點(diǎn)，主要是為

了考察學(xué)生對全等的概念以及性質(zhì)判定的應(yīng)用熟悉度；

【命題方向】浙江中考數(shù)學(xué)中，全等三角形的單獨(dú)考題并不多見，通常都是結(jié)合四邊形、相似、圓等常見

幾何圖形一起考察，雖然單獨(dú)考題占比不大，但是后續(xù)考題中都可以出現(xiàn)它的身影，作為中間處理手段，

整體考察度還是很大的，這就要求考生需要對這個知識點(diǎn)很熟悉，當(dāng)題目中出現(xiàn)一些特征，立刻往這個方

向應(yīng)用。

【得分要點(diǎn)】

全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等

推論：全等三角形的周長相等，面積相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)邊上的高線相等，對

應(yīng)角的角平分線相等

二全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS

直角三角形全等的判定方法：HL

☆證三角形全等的基本步驟：①準(zhǔn)備條件；②羅列條件；③得出結(jié)論。

☆有關(guān)三角形全等問題應(yīng)用的三個方向：

①證邊相等就證它們所在的三角形全等；

②證角相等就證它們所在的三角形全等；

③全等三角形可以提供相等線段、相等角

三.全等三角形的常見模型：

由

/L

句

友

施

列

△

全

代

根

也

1.（2021?浙江模擬）已知三角形三邊長分別為2,3,x,若x為奇數(shù)，則x的值為（）

A.1B.3C.5D.7

【分析】根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：；三角形三邊長分別為2,3,x,x為奇數(shù)，

Al<x<5,則x=3.

故選：B.

2.（2021?婺城區(qū)校級模擬）下列長度的三根木棒能組成三角形的是（）

A.3,4,8B.4,4,8C.5,6,10D.6,7,14

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊”，進(jìn)行分析.

【解答】解：4、3+4<8,不能構(gòu)成三角形；

8、4+4=8,不能構(gòu)成三角形；

C、5+6>10,能夠組成三角形：

。、7+6<14,不能組成三角形.

故選：C.

3.（2021?諸暨市模擬）在學(xué)完八上《三角形》一章后，某班組織了一次數(shù)學(xué)活動課，老師讓同學(xué)們自己

談?wù)剬θ切蜗嚓P(guān)知識的理解.

小峰說：“存在這樣的三角形，他的三條高的比為1：2：3.”

小慧說：“存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半.”

對以上兩位同學(xué)的說法，你認(rèn)為（）

A.兩人都不正確B.小慧正確，小峰不正確

C.小峰正確，小慧不正確D.兩人都正確

【分析】要判斷是否存在這樣的三角形，可以利用反證法，從各自的已知條件入手進(jìn)行推理，看能否推

出矛盾，得出矛盾的說明不存在這樣的一角形，不出現(xiàn)矛盾的說明存在這樣的三角形.

【解答】解：假設(shè)存在這樣的三角形，它的三條高的比是I：2：3,根據(jù)等積法，得到此三角形三邊比

為6：3：2,這與三角形三邊關(guān)系相矛盾，故假設(shè)錯誤，所以這樣的三角形不存在；

假設(shè)存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半，延長中線成2倍，利用三角形全等,

可得到三角形中中線的2倍不小于其它兩邊和，這與三角形三邊關(guān)系矛盾，故假設(shè)錯誤，所以這樣的三

角形不存在.

故兩人都不正確.

故選：A.

4.（2021?永嘉縣校級模擬）如圖，在給定的aABC中，動點(diǎn)。從點(diǎn)3出發(fā)沿8c方向向終點(diǎn)C運(yùn)動，DE

〃4C交AB于點(diǎn)E,。尸〃A8交AC于點(diǎn)尸，。是EF的中點(diǎn)，在整個運(yùn)動過程中，△OBC的面積的大小

B.一直增大

C.先增大后減小D.先減小后增大

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出在整個運(yùn)動過程中，。的軌跡是△A8C的中位線，到BC的距離相

等，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，即可判斷△OBC的面積的不變.

【解答】'JDE//AC,DF//AB,

四邊形AEDF是平行四邊形,

是EF的中點(diǎn),

，。也是AO的中點(diǎn),

,在整個運(yùn)動過程中，。的軌跡是△48C的中位線,

根據(jù)同底等高的三角形面積相等可知：在整個運(yùn)動過程中，△08C的面積不變,

故選：A.

5.（2021?西湖區(qū)校級二模）如圖，在△A8C中，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫弧交BC于點(diǎn)Q,以點(diǎn)C為

圓心，AC為半徑畫弧交3c于點(diǎn)￡連接AE,AD.設(shè)NE4D=a,NAC5=0,則N3的度數(shù)為（）

C.a+號

D.3a-p

用P的代數(shù)式表示NAEC.在三角形AEO中，用a和0的代數(shù)式

表示NADE,最后在等腰三角形48。中根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和等于180°,即可表示出

的度數(shù).

【解答】解：由題意得：BA=BD,CA^CE,

YCA=CE,ZACB=p,

?，-ZAEC=ZEAC=18°-^=90°9B，

在△△￡'/)中，ZADE=180°-ZAED-ZEAD

=180。-a-(90°

=90。+lp-a，

■;BA=BD,

?■?ZADE=ZBAD=90°,B-a，

在△BAO中,

ZB=180°-2(90°,6-a)

=2a-p.

故選：B.

6.（2021?寧波模擬）在AABC和△481。中，已知AC=4Ci=2,BC=4,8iCi=3,ZC=120°,Z

Ci=60°,點(diǎn)O,￡>i分別在邊AB,4Bi上，且△4CO鄉(xiāng)△CiAi。，那么AO的長是.

【分析】由題意可將將△Ci4￡h與△ACO重合，從而有8c〃BiCi,得出A￡）=搟AB，只要求出48的

長，根據(jù)AC=2,BC=4,ZACB=120°解△ABC即可.

【解答】解：?.,△ACQ絲可以將△C14C1與△AC。重合，如圖，

?.?/AC8=120°,乙41cl81=60°,

，3C//B1C1,

?ADB1C1_3

??-----——,

BDBC4

作A”_LBC,交BC延長線于，，

VZACS=120",

/.ZACH=60°,

在RtZXAC”中，CH=\,4〃=2Xsin60°=?,

在中，由勾股定理得：

福刃52+(百產(chǎn)=2"，

AD^yAB^yX2^7^yV?,

故答案為：4Q.

7.(2021?吳興區(qū)一模)已知：如圖，點(diǎn)￡>,E分別在AC,A8上，AB^AC,添加一個條件，不能判定4

的是()

AD=AEC.NB=NCD.ZADB=ZAEC

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐項進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論.

【解答】解：已知條件中4B=AC,NA為公共角,

A.若添加8D=CE,已知兩邊及一邊所對的角，則不能證明△A8O絲△4CE,故A選項合題意.；

B.若添加AD=4E,可利用SAS定理可證明△48D學(xué)/VICE,故8選項不合題意；

C.若添加NB=NC,可利用ASA定理可證明△A8O絲△4(?￡,故C選項不合題意；

D.若添加/ADB=NAEC,可利用A4S定理可證明△ABD-△ACE,故。選項不合題意；

故選：A.

8.（2021?普陀區(qū)二模）已知在△ABC和△/!'B'C'中，AB=4'B',AC=A'C,下列條件中，不

一定能得到△4BC會B'C的是（）

A.BC=B'C'B.ZA=ZA'C.ZC=ZC;D.NB=NB'=90°

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行推理.

【解答】解：A、由A8=A'B',AC=A'C,BC=B'C可以判定8cgB'C(SSS),

不符合題意.

8、由AB=A'B1,AC=-A'C',NA=NA'可以判定△48C絲△4'B'C'(SAS'),不符合題意.

C、由AB=A'B',AC=A'C,NC=/C'不可以判定△ABC絲AA'B'C(SSA),符合題意.

D,由AB=A'B',4C=A'C,NB=/B'=90”可以判定RtZ\4BCgRtZ\A'B'C(HL),不

符合題意.

故選：C.

9.(2021?樂清市一模)如圖，四邊形ABCQ中，A8=AC=A￡>,AC平分NBA。，E是對角線AC上一點(diǎn)，

連接BE,DE.

(1)求證：BE=DE.

(2)當(dāng)BE〃CD，N8AO=78°時，求/BED的度數(shù).

【分析】(1)由角平分線的性質(zhì)得NBAE=/D4E,由SAS證得△8AE絲△D4E,即可得出結(jié)論；

(2)由△8AE絲△〃￡；,得出/8EA=/OE4,推出/8EC=/OEC,易求/BAC=

2

=39°,由等腰三角形與三角形內(nèi)角和定理求出/ACO=/AOC=70.5°,由平行線的定義得出/8EC

=/ACD=70.5°,即可得出結(jié)果.

【解答】(1)證明：???AC平分N8AQ,

NBAE=ZDAE,

在△8AE和中，

AB=AD

<ZBAE=ZDAE-

AE=AE

：.^BAE^/\DAE(SAS),

:.BE=DE；

(2)解：由(I)得：^BAE^/^DAE,

:.NBEA=NDEA,

：.ZBEC=ZDEC,

：AC平分/BAO,NBAD=18°,

ZBAC=ZDAC=—ZBAD=—X78°=39°,

22

；AC=AO,

/.ZACD=ZADC=AX(180°-39°)=70.5°,

2

'：BE//CD,

:.NBEC=NACD=70.5°,

:.NBEC=NDEC=705°,

AZB￡D=2X70.5°=141°

10.(2021?越秀區(qū)校級三模)已知，NABC=NDCB,/ACB=/DBC,求證：△ABC絲△DC8.

【分析】根據(jù)ASA證明△A8C出△OC8即可.

【解答】證明：在△ABC與△DC8中，

，ZABC=ZDCB

<BC=CB.

,ZACB=ZDBC

:./XABgXDCB(ASA).

11.(2021?下城區(qū)校級四模)如圖，在邊長為4的正方形A8CD中，E為CD中點(diǎn)，F(xiàn)為AO中點(diǎn)，AE與

B尸交于點(diǎn)G.

(1)求證：△ABF也△〃￡■；

(2)連結(jié)BE,記BE中點(diǎn)為H,求GH的長.

【分析】(1)由“SAS”可證△ABF出ZXD4E；

(2)由勾股定理可求BE的長，由全等三角形的性質(zhì)可得/D4E=N48F,可證N8GE=90°,由直角

三角形的性質(zhì)可求解.

【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是正方形，

：.AB=AD^CD^4,

為CO中點(diǎn)，尸為AO中點(diǎn),

.?.4F=￡)E=2,

在ZXAB尸和△OAE中，

，AB=AD

<ZBAF=ZADE-

AF=DE

(SAS)；

(2)解:"：BC=4,EC=2,

BE=dBC2KE2=.16+4=2'/^,

；/\ABF^/\DAE,

：.ZDAE=NABF,

?.?/D4E+/BAE=9(r^ZBAE+ZABF,

：.ZBGE=90°,

「點(diǎn)”是8E的中點(diǎn)，

；.GH=LE=“.

2

12.(2021?西湖區(qū)校級三模)如圖，D,E為△GCF中GF邊上兩點(diǎn)，過。作AB〃CF交CE的延長線于

點(diǎn)A,AE—CE.

(1)求證：AADE^ACFE；

(2)若GB=4,BC=6,BD=2,求CF的長.

【分析】(1)先由AB〃CF得到NF=/AQE,ZA=ZECF,然后結(jié)合AE=CE得到△ADE/△CFE；

(2)由A2〃CF得至lJ△GBZ)s△GC/，然后由相似三角形的性質(zhì)得到CF的長.

【解答】(1)證明：?；AB〃CF,

:.NF=NADE,ZA=ZECF,

在△4￡)￡:和△CFE中，

，ZADE=ZCFE

,NEAD=NECF，

AE=CE

：./\ADE^^CFE(AAS).

(2)解：'：AB//CF,

:.AGBDSAGCF,

??■G---B二BD，,

GCCF

VGB=4,BC=6,

：.GC=GB+BC=IO,

9：BD=2,

??.4二2,

10CF

:.CF=5.

13.(2021?溫州校級模擬)圖AABC的兩條高A。，BE相交于點(diǎn)F,AC=BC.

(1)求證：絲△2EC.

(2)若8=1,BE=2,求線段AC的長.

【分析】(1)由“44S”可證△ADC四△8EC；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得8=CE=1,由勾股定理可求BC的長，即可求解.

【解答】(1)證明：'：AD±BC,BE1AC,

：.ZBEC=ZADC=9Qa,

二/C+ND4c=90°=ZC+ZCBE,

:.NDAC=NCBE,

在△AOC和△BEC中，

，ZADC=ZBEC

<ZDAC=ZEBC-

AC=BC

:.AADC注ABEC(AAS)；

(2)解：'：^ADC^/XBEC,

：.CD=CE=\,

BC=QBE?+EC2=Y1+4=巡，

:.AC=BC=4S-

14.(2021?溫州模擬)如圖，在△ABC中，AB=AC,ADLBD,AE1.EC,垂足分別為點(diǎn)O,E,且/BAE

=NC4D

(1)求證：AABD^AACE；

(2)設(shè)BO,CE相交于點(diǎn)O,ZBOC=140°,求/O2C的度數(shù)