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文檔簡介
專題12三角形與全等三角形
考向1三角形是基礎(chǔ)知識
福題呈現(xiàn)
【母題來源】(2021?浙江溫州)
【母題題文】如圖,BE是△ABC的角平分線,在A8上取點(diǎn)Q,使DB=DE.
(1)求證:DE//BC-,
(2)若/A=65°,/AED=45°,求NEBC的度數(shù).
【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得NC8E=NE8C,從而求出NOE8=NEBC,再利用內(nèi)錯角相等,
兩直線平行證明即可;
(2)由(1)中。E〃BC可得到NC=/AEO=45°,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出NA8C,最
后用角平分線求出即可得解.
【解答】解:(1)是△ABC的角平分線,
ZDBE=NEBC,
,:DB=DE,
:"DEB=NDBE,
:.NDEB=NEBC,
:.DE//BC;
(2)DE//BC,
/.ZC=ZAED=45°,
在△ABC中,/A+/A8C+/C=180°,
...NA8C=180°-ZA-ZC=180--65°-45°=70°.
,:BE是AABC的角平分線,
???/DBE=NEBC瑟NABC=35°.
閽題解密
【試題分析】這題考察了三角形的角平分線的應(yīng)用;
【命題意圖】通過對角平分線與其他考點(diǎn)的結(jié)合考察,了解學(xué)生對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型的掌握程度;
【命題方向】三角形的基礎(chǔ)知識是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)兒何的基礎(chǔ),后續(xù)的四邊形以及相似等都需要依托三角形
的基礎(chǔ)知識來展開學(xué)習(xí);但是因為中考數(shù)學(xué)容量比較大,所以單獨(dú)出三角形基礎(chǔ)知識的中考題并不多,大
多在一些幾何的大題中去綜合考察。所以,考生在復(fù)習(xí)這個點(diǎn)的時候,不是要做多少這個考點(diǎn)的單獨(dú)的習(xí)
題,而是要完全掌握這個考點(diǎn)對應(yīng)的考點(diǎn),并會根據(jù)題目中給出的已知條件的特征,準(zhǔn)確的選擇對應(yīng)的性
質(zhì)去在綜合題中應(yīng)用。
【得分要點(diǎn)】
-.三角形的“角”
1.三角形內(nèi)角和定理:三角形的內(nèi)角和等于180°
2.三角形外角的推論:三角形的一個外角=和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和
二.三角形的“邊"
1.定理:三角形任何兩邊的和大于第三邊
2.推論:兩邊之差<第三邊<兩邊之和
☆:在應(yīng)用時,求三角形邊的取值范圍,直接用“推論”;
判定三邊能否組成三角形,直接用“定理”,且只需要較小的兩邊之和大于最大的邊長即
可!
3.三角形的分類:
銳角三角形(三個內(nèi)角都是銳角)
按角分類直角三角形(有一個內(nèi)角是直角)
鈍角三角形(有一個內(nèi)角是鈍角)
非等邊三角形(三邊均不相等)
按邊分類等腰三角形普通等腰三角形(有兩邊長相等)
等邊三角形(三邊長均相等)
三.三角形的“線”
考向2全等三角形的性質(zhì)與判定
福題呈觀
【母題來源】(2021?浙江衢州)
【母題題文】如圖,在6X6的網(wǎng)格中,△A8C的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.
(1)在圖1中畫出△ACD,使△AC。與△ACB全等,頂點(diǎn)。在格點(diǎn)上.
(2)在圖2中過點(diǎn)3畫出平分△ABC面積的直線/.
(2)取線段AC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)T,作直線BT即可.
【解答】解:(1)如圖1中,△4OC即為所求.
(2)如圖2中,直線3T即為所求.
【母題來源】(2021?浙江杭州)
【母題題文】在①?ZABE=ZACD,③FB=FC這三個條件中選擇其中一個,補(bǔ)充在下面的問
題中,并完成問題的解答.
問題:如圖,在△ABC中,NABC=NAC8,點(diǎn)。在AB邊上(不與點(diǎn)4,點(diǎn)B重合),點(diǎn)E在4c邊
上(不與點(diǎn)A,點(diǎn)C重合),連接BE,CD,BE與CD相交于點(diǎn)凡若,求證:BE=CD.
注:如果選擇多個條件分別作答,按第一個解答計分.
【分析】若選擇條件①,利用NA8C=NACB得到A8=AC,則可根據(jù)“SAS”可判斷△ABEg△ACQ,
從而得到BE=CD;
選擇條件②,利用NA8C=/4C8得到AB=AC,則可根據(jù)“ASA”可判斷△ABE絲△48,從而得到
BE=CD;
選擇條件③,利用ZABC=ZACB得到AB=AC,再證明NABE=ZACD,則可根據(jù)“ASA”可判斷△ABE
絲△AC£>,從而得到8E=CZX
【解答】證明:選擇條件①的證明為:
NABC=ZACH,
:.AB=AC,
在△ABE和△ACD中,
'AB=AC
<ZA=ZA>
AE=AD
O(SAS),
:.BE=CD;
選擇條件②的證明為:
ZABC^ZACB,
:.AB^AC,
在△A8E和△AC。中,
"ZABE=ZACD
<AB=AC,
,ZA=ZA
.?.△ABE-O(ASA),
:.BE=CD;
選擇條件③的證明為:
,:ZABC^ZACB,
:.AB^AC,
,:FB=FC,
.,.ZFBC^ZFCB,
:.AABC-/FBC=NACB-ZFCB,
即/ABE=ZACD,
在△ABE和△AC。中,
rZABE=ZACD
-AB=AC,
ZA=ZA
/./XABE^/XACD(ASA),
:.BE=CD.
故答案為①AO=AE(②/ABE=NACO或③FB=FC)
【母題來源】(2021?浙江臺州)
【母題題文】如圖,在四邊形ABC。中,AB=AZ)=20,BC=DC=10\[^.
(1)求證:ZiABC之△AQC;
(2)當(dāng)N8C4=45°時,求/8AO的度數(shù).
B
【分析】(1)根據(jù)已知條件利于SSS即可求證△48C-zMOC:
(2)過點(diǎn)B作4c于點(diǎn)E,根據(jù)已知條件利于銳角三角函數(shù)求出BE的長,再根據(jù)邊的關(guān)
系即可推出/BAC的度數(shù),從而求出/BAO的度數(shù).
【解答】解:(1)證明:在△A8C和△AOC中,
,AB=AD
<BC=DC,
,AC=AC
:.^ABC^/\ADC(SSS);
(2)過點(diǎn)B作BELAC于點(diǎn)E,如圖所示,
.?.BE=10,
又;在RtZVlBE中,AB=20,BE=1。,
.?./8AE=3()°,
XVZVIBC絲△ACC,
:.ZBAD^ZBAE+ZDAC=2ZBAE^2X30Q=60°.
閥題解密
【試題分析】以上題目均考察了全等三角形的判定與性質(zhì);
【命題意圖】全等三角形的判定和性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)融入到幾何問題中的較為重要的一個知識點(diǎn),主要是為
了考察學(xué)生對全等的概念以及性質(zhì)判定的應(yīng)用熟悉度;
【命題方向】浙江中考數(shù)學(xué)中,全等三角形的單獨(dú)考題并不多見,通常都是結(jié)合四邊形、相似、圓等常見
幾何圖形一起考察,雖然單獨(dú)考題占比不大,但是后續(xù)考題中都可以出現(xiàn)它的身影,作為中間處理手段,
整體考察度還是很大的,這就要求考生需要對這個知識點(diǎn)很熟悉,當(dāng)題目中出現(xiàn)一些特征,立刻往這個方
向應(yīng)用。
【得分要點(diǎn)】
全等三角形的性質(zhì):對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等
推論:全等三角形的周長相等,面積相等,對應(yīng)邊上的中線相等,對應(yīng)邊上的高線相等,對
應(yīng)角的角平分線相等
二全等三角形的判定方法:SSS、SAS、ASA、AAS
直角三角形全等的判定方法:HL
☆證三角形全等的基本步驟:①準(zhǔn)備條件;②羅列條件;③得出結(jié)論。
☆有關(guān)三角形全等問題應(yīng)用的三個方向:
①證邊相等就證它們所在的三角形全等;
②證角相等就證它們所在的三角形全等;
③全等三角形可以提供相等線段、相等角
三.全等三角形的常見模型:
由
/L
句
友
施
列
△
全
代
根
也
1.(2021?浙江模擬)已知三角形三邊長分別為2,3,x,若x為奇數(shù),則x的值為()
A.1B.3C.5D.7
【分析】根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊,進(jìn)而得出答案.
【解答】解:;三角形三邊長分別為2,3,x,x為奇數(shù),
Al<x<5,則x=3.
故選:B.
2.(2021?婺城區(qū)校級模擬)下列長度的三根木棒能組成三角形的是()
A.3,4,8B.4,4,8C.5,6,10D.6,7,14
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊”,進(jìn)行分析.
【解答】解:4、3+4<8,不能構(gòu)成三角形;
8、4+4=8,不能構(gòu)成三角形;
C、5+6>10,能夠組成三角形:
。、7+6<14,不能組成三角形.
故選:C.
3.(2021?諸暨市模擬)在學(xué)完八上《三角形》一章后,某班組織了一次數(shù)學(xué)活動課,老師讓同學(xué)們自己
談?wù)剬θ切蜗嚓P(guān)知識的理解.
小峰說:“存在這樣的三角形,他的三條高的比為1:2:3.”
小慧說:“存在這樣的三角形,其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半.”
對以上兩位同學(xué)的說法,你認(rèn)為()
A.兩人都不正確B.小慧正確,小峰不正確
C.小峰正確,小慧不正確D.兩人都正確
【分析】要判斷是否存在這樣的三角形,可以利用反證法,從各自的已知條件入手進(jìn)行推理,看能否推
出矛盾,得出矛盾的說明不存在這樣的一角形,不出現(xiàn)矛盾的說明存在這樣的三角形.
【解答】解:假設(shè)存在這樣的三角形,它的三條高的比是I:2:3,根據(jù)等積法,得到此三角形三邊比
為6:3:2,這與三角形三邊關(guān)系相矛盾,故假設(shè)錯誤,所以這樣的三角形不存在;
假設(shè)存在這樣的三角形,其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半,延長中線成2倍,利用三角形全等,
可得到三角形中中線的2倍不小于其它兩邊和,這與三角形三邊關(guān)系矛盾,故假設(shè)錯誤,所以這樣的三
角形不存在.
故兩人都不正確.
故選:A.
4.(2021?永嘉縣校級模擬)如圖,在給定的aABC中,動點(diǎn)。從點(diǎn)3出發(fā)沿8c方向向終點(diǎn)C運(yùn)動,DE
〃4C交AB于點(diǎn)E,。尸〃A8交AC于點(diǎn)尸,。是EF的中點(diǎn),在整個運(yùn)動過程中,△OBC的面積的大小
B.一直增大
C.先增大后減小D.先減小后增大
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出在整個運(yùn)動過程中,。的軌跡是△A8C的中位線,到BC的距離相
等,根據(jù)同底等高的三角形面積相等,即可判斷△OBC的面積的不變.
【解答】'JDE//AC,DF//AB,
四邊形AEDF是平行四邊形,
是EF的中點(diǎn),
,。也是AO的中點(diǎn),
,在整個運(yùn)動過程中,。的軌跡是△48C的中位線,
根據(jù)同底等高的三角形面積相等可知:在整個運(yùn)動過程中,△08C的面積不變,
故選:A.
5.(2021?西湖區(qū)校級二模)如圖,在△A8C中,以點(diǎn)B為圓心,AB為半徑畫弧交BC于點(diǎn)Q,以點(diǎn)C為
圓心,AC為半徑畫弧交3c于點(diǎn)£連接AE,AD.設(shè)NE4D=a,NAC5=0,則N3的度數(shù)為()
C.a+號
D.3a-p
用P的代數(shù)式表示NAEC.在三角形AEO中,用a和0的代數(shù)式
表示NADE,最后在等腰三角形48。中根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和等于180°,即可表示出
的度數(shù).
【解答】解:由題意得:BA=BD,CA^CE,
YCA=CE,ZACB=p,
?,-ZAEC=ZEAC=18°-^=90°9B,
在△△£'/)中,ZADE=180°-ZAED-ZEAD
=180。-a-(90°
=90。+lp-a,
■;BA=BD,
?■?ZADE=ZBAD=90°,B-a,
在△BAO中,
ZB=180°-2(90°,6-a)
=2a-p.
故選:B.
6.(2021?寧波模擬)在AABC和△481。中,已知AC=4Ci=2,BC=4,8iCi=3,ZC=120°,Z
Ci=60°,點(diǎn)O,£>i分別在邊AB,4Bi上,且△4CO鄉(xiāng)△CiAi。,那么AO的長是.
【分析】由題意可將將△Ci4£h與△ACO重合,從而有8c〃BiCi,得出A£)=搟AB,只要求出48的
長,根據(jù)AC=2,BC=4,ZACB=120°解△ABC即可.
【解答】解:?.,△ACQ絲可以將△C14C1與△AC。重合,如圖,
?.?/AC8=120°,乙41cl81=60°,
,3C//B1C1,
?ADB1C1_3
??-----——,
BDBC4
作A”_LBC,交BC延長線于,,
VZACS=120",
/.ZACH=60°,
在RtZXAC”中,CH=\,4〃=2Xsin60°=?,
在中,由勾股定理得:
福刃52+(百產(chǎn)=2",
AD^yAB^yX2^7^yV?,
故答案為:4Q.
7.(2021?吳興區(qū)一模)已知:如圖,點(diǎn)£>,E分別在AC,A8上,AB^AC,添加一個條件,不能判定4
的是()
AD=AEC.NB=NCD.ZADB=ZAEC
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐項進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論.
【解答】解:已知條件中4B=AC,NA為公共角,
A.若添加8D=CE,已知兩邊及一邊所對的角,則不能證明△A8O絲△4CE,故A選項合題意.;
B.若添加AD=4E,可利用SAS定理可證明△48D學(xué)/VICE,故8選項不合題意;
C.若添加NB=NC,可利用ASA定理可證明△A8O絲△4(?£,故C選項不合題意;
D.若添加/ADB=NAEC,可利用A4S定理可證明△ABD-△ACE,故。選項不合題意;
故選:A.
8.(2021?普陀區(qū)二模)已知在△ABC和△/!'B'C'中,AB=4'B',AC=A'C,下列條件中,不
一定能得到△4BC會B'C的是()
A.BC=B'C'B.ZA=ZA'C.ZC=ZC;D.NB=NB'=90°
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行推理.
【解答】解:A、由A8=A'B',AC=A'C,BC=B'C可以判定8cgB'C(SSS),
不符合題意.
8、由AB=A'B1,AC=-A'C',NA=NA'可以判定△48C絲△4'B'C'(SAS'),不符合題意.
C、由AB=A'B',AC=A'C,NC=/C'不可以判定△ABC絲AA'B'C(SSA),符合題意.
D,由AB=A'B',4C=A'C,NB=/B'=90”可以判定RtZ\4BCgRtZ\A'B'C(HL),不
符合題意.
故選:C.
9.(2021?樂清市一模)如圖,四邊形ABCQ中,A8=AC=A£>,AC平分NBA。,E是對角線AC上一點(diǎn),
連接BE,DE.
(1)求證:BE=DE.
(2)當(dāng)BE〃CD,N8AO=78°時,求/BED的度數(shù).
【分析】(1)由角平分線的性質(zhì)得NBAE=/D4E,由SAS證得△8AE絲△D4E,即可得出結(jié)論;
(2)由△8AE絲△〃£;,得出/8EA=/OE4,推出/8EC=/OEC,易求/BAC=
2
=39°,由等腰三角形與三角形內(nèi)角和定理求出/ACO=/AOC=70.5°,由平行線的定義得出/8EC
=/ACD=70.5°,即可得出結(jié)果.
【解答】(1)證明:???AC平分N8AQ,
NBAE=ZDAE,
在△8AE和中,
AB=AD
<ZBAE=ZDAE-
AE=AE
:.^BAE^/\DAE(SAS),
:.BE=DE;
(2)解:由(I)得:^BAE^/^DAE,
:.NBEA=NDEA,
:.ZBEC=ZDEC,
:AC平分/BAO,NBAD=18°,
ZBAC=ZDAC=—ZBAD=—X78°=39°,
22
;AC=AO,
/.ZACD=ZADC=AX(180°-39°)=70.5°,
2
':BE//CD,
:.NBEC=NACD=70.5°,
:.NBEC=NDEC=705°,
AZB£D=2X70.5°=141°
10.(2021?越秀區(qū)校級三模)已知,NABC=NDCB,/ACB=/DBC,求證:△ABC絲△DC8.
【分析】根據(jù)ASA證明△A8C出△OC8即可.
【解答】證明:在△ABC與△DC8中,
,ZABC=ZDCB
<BC=CB.
,ZACB=ZDBC
:./XABgXDCB(ASA).
11.(2021?下城區(qū)校級四模)如圖,在邊長為4的正方形A8CD中,E為CD中點(diǎn),F(xiàn)為AO中點(diǎn),AE與
B尸交于點(diǎn)G.
(1)求證:△ABF也△〃£■;
(2)連結(jié)BE,記BE中點(diǎn)為H,求GH的長.
【分析】(1)由“SAS”可證△ABF出ZXD4E;
(2)由勾股定理可求BE的長,由全等三角形的性質(zhì)可得/D4E=N48F,可證N8GE=90°,由直角
三角形的性質(zhì)可求解.
【解答】(1)證明:???四邊形ABC。是正方形,
:.AB=AD^CD^4,
為CO中點(diǎn),尸為AO中點(diǎn),
.?.4F=£)E=2,
在ZXAB尸和△OAE中,
,AB=AD
<ZBAF=ZADE-
AF=DE
(SAS);
(2)解:":BC=4,EC=2,
BE=dBC2KE2=.16+4=2'/^,
;/\ABF^/\DAE,
:.ZDAE=NABF,
?.?/D4E+/BAE=9(r^ZBAE+ZABF,
:.ZBGE=90°,
「點(diǎn)”是8E的中點(diǎn),
;.GH=LE=“.
2
12.(2021?西湖區(qū)校級三模)如圖,D,E為△GCF中GF邊上兩點(diǎn),過。作AB〃CF交CE的延長線于
點(diǎn)A,AE—CE.
(1)求證:AADE^ACFE;
(2)若GB=4,BC=6,BD=2,求CF的長.
【分析】(1)先由AB〃CF得到NF=/AQE,ZA=ZECF,然后結(jié)合AE=CE得到△ADE/△CFE;
(2)由A2〃CF得至lJ△GBZ)s△GC/,然后由相似三角形的性質(zhì)得到CF的長.
【解答】(1)證明:?;AB〃CF,
:.NF=NADE,ZA=ZECF,
在△4£)£:和△CFE中,
,ZADE=ZCFE
,NEAD=NECF,
AE=CE
:./\ADE^^CFE(AAS).
(2)解:':AB//CF,
:.AGBDSAGCF,
??■G---B二BD,,
GCCF
VGB=4,BC=6,
:.GC=GB+BC=IO,
9:BD=2,
??.4二2,
10CF
:.CF=5.
13.(2021?溫州校級模擬)圖AABC的兩條高A。,BE相交于點(diǎn)F,AC=BC.
(1)求證:絲△2EC.
(2)若8=1,BE=2,求線段AC的長.
【分析】(1)由“44S”可證△ADC四△8EC;
(2)由全等三角形的性質(zhì)可得8=CE=1,由勾股定理可求BC的長,即可求解.
【解答】(1)證明:':AD±BC,BE1AC,
:.ZBEC=ZADC=9Qa,
二/C+ND4c=90°=ZC+ZCBE,
:.NDAC=NCBE,
在△AOC和△BEC中,
,ZADC=ZBEC
<ZDAC=ZEBC-
AC=BC
:.AADC注ABEC(AAS);
(2)解:':^ADC^/XBEC,
:.CD=CE=\,
BC=QBE?+EC2=Y1+4=巡,
:.AC=BC=4S-
14.(2021?溫州模擬)如圖,在△ABC中,AB=AC,ADLBD,AE1.EC,垂足分別為點(diǎn)O,E,且/BAE
=NC4D
(1)求證:AABD^AACE;
(2)設(shè)BO,CE相交于點(diǎn)O,ZBOC=140°,求/O2C的度數(shù)
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