2021年中考數(shù)學專題復習 第5講-相似三角形存在性問題

Section1相似三角形存在性綜合

知識總結

1.相似判定：

判定1：三邊對應成比例的兩個三角形是相似三角形；

判定2：兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形是相似三角形；

判定3：有兩組角對應相等的三角形是相似三角形.

以上也是坐標系中相似三角形存在性問題的方法來源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當?shù)呐卸ǚ?/p>

法，解決問題.

2.思路總結：

根據(jù)相似三角形的做題經驗，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會用的，這里也一樣不怎么用，對比判

定2、3可以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！

所以，要證相似的兩個三角形必然有相等角，關鍵點也是先找到一組相等角.

然后再找：

思路1：兩相等角的兩邊對應成比例；

思路2：還存在另一組角相等.

事實上，坐標系中在已知點的情況下，線段長度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考

慮思路1.

【小結】搞定相似存在性問題，需解決好以下兩個問題：

一、如何得到相等角？

二、如何構造兩邊成比例或者得到第二組角？

經典例題

【例1】如圖，拋物線y=or2+fer+c與x軸交于點A(?1,0),點3(3,0),與y軸交于點C,且

過點0(2,-3).點。是拋物線廣加+bx+c上的動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,直線OQ與線段3C相交于點￡當與△ABC相似時，求點。的坐標.

【例2】如圖，已知拋物線丫="2-2》+。經過448。的三個頂點，其中點A(0,1),

點B(9,10),4C〃x軸.

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)求31/ABC的值；

(3)若點。為拋物線的頂點，點E是直線4c上一點，當△COE與△ABC相似時，求點E的坐標.

【例3】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線、=0^+法+。經過A(-1,O),B(4,0),C(0,4)三點.

(1)求拋物線的解析式及頂點。的坐標；

(2)點P為線段6c上一動點(點尸不與點8,C重合)，過點P作x軸的垂線交(1)中的拋物線

于點。，當APQC與A4BC相似時，求APQC的面積.

【例4】如圖，已知拋物線yngf+bx+c與直線y='x+3交于A、B兩點，交x軸于C、0兩點,

連接AC、BC,已知A(0,3),C(-3,0).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在拋物線對稱軸/上找一點M,使1"8一帥1的值最大，并求出這個最大值；

(3)點P為y軸右側拋物線上一動點，連接以，過點尸作P。，以交y軸于點Q,問：是否存在點

P，使得以A、P、。為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；

若不存在，請說明理由.

【例5】如圖，在平面直角坐標系xO)，中，已知二次函數(shù)y=ox2+"+c的圖像經過點A(-2,0),C

(0,-6),其對稱軸為直線42.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)點B是該二次函圖像與x軸的另一個交點，點力是直線產2上位于x軸下方的動點，點E是第

四象限內該二次函數(shù)圖像上的動點，且位于直線x=2右側.若以點E為直角頂點的△8EO與aAOC

相似，求點E的坐標.

【例6】拋物線L：y=-f+法+c經過點A(0,1),與它的對稱軸直線產1交于點B.

(1)直接寫出拋物線L的解析式；

(2)如圖，將拋物線L向上平移m(m>0)個單位長度得到拋物線L,,拋物線A,與y軸交于點C,

過點C作y軸的垂線交拋物線右于另一點D.F為拋物線L,的對稱軸與x軸的交點，P為線段

OC上一點.若△PC。與相似，并且符合條件的點尸恰有2個，求，"的值及相應點P

的坐標.

[例1]

(1)拋物線：y=X2-2x-3；

(2)思路：考慮到aABC和ABOE有一組公共角，公共角必是對應角.

NA3C的兩邊A4、3c與N03E的兩邊5。、BE成比例即可，故可得:

BEBA少BEBC

——=——或——=——?

BOBCBOBA

L9L

解得：BE=2夜或3七==0,

4

故E點坐標為(1,-2)或弓,-0

當E點坐標為(1,-2)時，直線0E解析式為y=-2x,

聯(lián)立方程：一2%=/一2X一3,解得：玉二百，x2=-\/3,

此時。點坐標為(△-2百)或(-瓜2月；

當E點坐標為時，直線OE解析式為y=-3x,

聯(lián)立方程：—3工二/一2%一3,解得：x}=—，“2=―-

此時。點坐標為一三一,一三一或一三一,一三一

[22)[22J

說明：過程應詳細分類討論兩種情況，分別求出結果.

【例2】

（1）y=—x2-2x+l；

3

（2）tanZABC=-;

2

（3）思路：平行得相等角，構造兩邊成比例

若點。為拋物線的頂點，則。點坐標為（3,-2）,

直線CD解析式為：＞

又直線AB解析式為：y=x+9,

故C￡）〃A8,：.ZBAC=ZACD,

故點￡在點C左側，

考慮NBAC的兩邊AB、AC與CE、CO成比例:

CDAC—CDAB

——=——或——=——

CEABCEAC

解得：CE=9或2,

故E點坐標為（-3,1）或（4,1）.

【例3】

⑴解析式：y=-￡+3x+4；。點坐標為（|曰.

（2）由8、C兩點坐標易求直線BC解析式：y=-x+4,

不難得出NCPQ=NBCO=NOBC,即在△CPQ和/XABC中，NCPQ=NABC.

接下來求角兩邊對應成比例：

表示點：設尸點坐標為（m,-m+4）（0＜機＜4）,則。點坐標為（犯-nr+3帆+4）,

表示線段：PC=,PQ=—nr+4m,

分類討論

情況一：當△CPQsaABC時，則包=絲，

ABBC

代入得：皿=-而*,解得：叫=口，啊=0（舍），

54夜”5一

對應P點坐標為（上上［，PQ=—,

I55；25

011296576

“82525125

情況二：當△CPQsaCBA時，則色=絲，

CBBA

/心v2w-/n2+4m切出11八/人、

代入得：—尸=--------,解得：叫=一,mA=0（舍）,

4五5544

對應尸點坐標為（工口，PQ=—,

（416

c11155605

aPCQ2416128

綜上所述，當APQC與AABC相似時，△PQC的面積為——或；.

125128

【例4】

(1)解析式：y=—x2+—x+3；

?22

(2)連接MC,則MC=M￡>,故問題可轉化為的最大值.

如圖當8、C、M三點共線時，|MB-MC|=8C=0為最大值.

(3)思路：已知直角構造直角邊成比例，化斜為直

考慮到A(0,3)、C(-3,0)、B(-4,1),

易得aABC是直角三角形，ZACB=90°,且兩直角邊之比二=3,

BC

若△APQ與△ABC相似，則竺=3或竺=L

PQPQ3

考慮到AP、PQ均為斜線，并不容易表示，可轉化比例：

過點P作軸交y軸于”點，則一=—

PQHP

表示點：設尸點坐標為("4療+’+3)(w>0),則H點坐標為+1+3

表示線段：AH=—m2+—m,PH=m

22

分類討論：

情況一：當"=3時，即也=3,

PQHP

125

由題意得：Z———=3,解得：m=\,

m

對應的P點坐標為(1,6).

情況二：當"=_L時，即必=J_,

PQ3HP3

125

由題意得：——2-=-,解得：〃?=一"（舍）.

in33

綜上所述，P點坐標為（1,6）.

【例5】

（1）解析式：y=—x2-2x-6；

2

（2）考慮到N3￡Q=90°=ZAOC,故只需再滿足有一組銳角相等即可.

情況一：當N8DE=NC4。時，即tanNBZ）E=tanNG4O二'，

3

如圖，構造三垂直相似：叢DNEsAEMB,相似比為DF~=上1，

BE3

12,

設E點坐標為『外耳蘇-2m-6卜則硒=〃2-2,BM=——"i"+2m4-6，

2

考慮至IJ包FN=D2F=上1，即m-2

]二-，

BMBE3——m2+2m+63

2

解得：町=4,^=-6（舍）,

故E點坐標為（4,-6）.

情況二：當/BDE=NAC。時，即tanZBDE=tanZACO=-,

3

如圖，構造三垂直相似：ADNEsWMB,相似比——=3,

EB

同上設點E坐標為-2m-6^j,則EN=〃?-2,BM=-g病+2機+6,

tn-2

考慮至喘喘=3,即=3,

1,、一:

-m+2m+o

2

解得…卡5-V145

（舍）,

S+V1451-V145"

???E點坐標為

39J

5+V1451-

綜上所述，E點坐標為（4,?6）或

-3-'一

【例6】

（1）解析式：y=-x2+2x+1；

（2）題目要求恰好有2個P點，且是求〃，的值，所以一定是個特殊位置.

考慮到NOCP=/FOP,故有兩種對應關系：

①若△DCPs/\FOP,

無論m為何值，有且僅有一個這樣的P點使得△QCPS/\FOP.

②老△DCPsWOF,

不難求得NQPF=90°,

作輔助圓：連接。